Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 517.98

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №6. С. 1-16.

Б01: 10.7463/шаШш.0615.0822138

Представлена в редакцию: 09.11.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла

Л ^

Волков Б. О.1'

borisvolkovl986@gmail.com

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия

В статье вводятся стохастические лапласиан Леви и даламбертиан Леви, определенные с помощью чезаровских средних вторых частных производных и действующие на соболевском пространстве над мерой Винера. Находятся значения этих операторов на стохастическом параллельном переносе, порожденным связностью (вектором-потенциалом электромагнитного поля). Показано, что в отличие от детерминированного случая не выполняется теорема об эквивалентности уравнений Максвелла на евклидовом пространстве и на пространстве Минковского и соответственно уравнения Лапласа для лапласиана Леви и уравнения Даламбера для даламбертиана Леви.

Ключевые слова: уравнения Максвелла; лапласиан Леви; стохастический параллельный перенос; даламбертиан Леви

Введение

Полем Леви в 20-е годы XX века было предложено несколько определений бесконечномерного лапласиана, в последствии названного его именем (см. [7]). Первое из них (определение лапласиана Леви с помощью специального вида второй производной) заключается в следующем. Если функция ^ Ь2(0,1) ^ К такая, что для всех х,и,у Е Ь2(0,1) для второй производной ^ верно равенство

11 1

f// (х)(и,^) = ^ I Ку (х)(г)в)и(г) V (з) + у Кь (х)(*) и(г) V (*) (1)

0 0 0

где Ку(х) Е Ь2([0,1] х [0,1]) и Кь(х) Е Ь^([0,1]), то значение лапласиана Леви на f определяется по формуле

1

ДьКх) = У Кь (х)(*) <1.

0

Другое определение (определение лапласиана Леви, зависящее от выбора ортонормиро-ванного базиса) состоит в следующем. Пусть {еп} — ортонормированный базис в Ь2(0,1).

Значение лапласиана Леви Д^п) на f определяется равенством

1 п

>„)..... 1

Д^(х) = п11ш -Е №)(е*), (2)

к= 1

Для базисов {еп} из специального класса слабо равномерно плотных базисов, эти два определения эквивалентны (см. [7]). Некоторые стандартные базисы тригонометрических функций являются слабо равномерно плотными. Если усреднение по Чезаро в определении лапласиана (2) заменить на сумму ряда получится определение лапласиана Гросса — Вольтерры, который в отличие от лапласиана Леви является обобщением конечномерного лапласиана.

В работе [5, 6] Л. Аккарди, П. Джибилиско и И.В. Волович (см. также [3]) ввели аналог первого определения лапласиана Леви (этот аналог также называют лапласианом Леви) и дифференциальный оператор, названный даламбертианом Леви, заданные более сложным видом второй производной, чем (1), и изучили связь этих операторов с калибровочными полями. А именно, ими было доказано, что связность в тривиальном векторном расслоении, базой которого является евклидово пространство (пространство Минковского), является решением уравнений Янга — Миллса тогда и только тогда, когда соответствующий связности параллельный перенос является Леви-гармоническим функционалом (или решением уравнения Даламбера — Леви соответственно). Подход к лапласиану Леви с помощью специального вида второй производной был использован также в работе [8], где было рассмотрено расслоение над компактным римановым многообразием и был рассмотрен стохастический случай. А именно, был введен стохастический лапласиан Леви, определенный с помощью специального вида второй производной, и для него доказана теорема об эквивалентности уравнений Янга — Миллса для связности и уравнения Лапласа — Леви для стохастического параллельного переноса. В [2] и [10] были соответственно введены лапласиан и даламбер-тиан Леви на многообразиях, определенные с помощью среднего Чезаро вторых производных по направлению. Для таких операторов в [10] была доказана теорема о связи лапласиана Леви и даламбертиана Леви и калибровочных полей, но эквивалентность различных способов определений операторов не доказывалось. Для плоского случая такая эквивалентность была доказана в [11]. На данный момент неизвестно совпадают ли операторы в случае расслоения над многообразием.

В настоящей работе показывается, что определения лапласиана Леви и даламбертиана Леви с помощью чезаровских средних вторых производных переносятся на стохастический случай, но в отличие от детерминированного случая для теорема о связи с калибровочными полями не выполняется: значение такого лапласиана Леви (даламбертиана Леви) на стохастическом параллельном переносе не обращается в ноль, если соответствующая связность является решением уравнений Максвелла без источника на евклидовом пространстве (пространстве Минковского).

Статья построена следующим образом. В первом разделе для наглядности разобран детерминированный случай лапласиана и даламбертиана Леви, определенных с помощью чезаровского усреднения вторых производных, и уравнений Максвелла. Во втором разделе

найдена вторая производная стохастического параллельного переноса. В третьем разделе доказываются технические леммы. В четвертом разделе вводятся стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и находятся их значения на стохастическом параллельном переносе, при этом используются результаты предыдущих двух разделов.

1. Уравнения Максвелла и параллельный перенос вдоль кривых

Везде ниже греческие индексы пробегают значения {1,..., ¿}. Пусть {рь ... ,р^} — ортонормированный базис в М^. Символом обозначим евклидову метрику, а символом п^ метрику Минковского (мы считает, что в базисе {р 1,..., р^} метрика п задается диагональной матрицей с диагональю {+1, — 1,..., -1}). Мы будем опускать и поднимать индексы с помощью евклидовой метрики и суммировать, используя обозначения Эйнштейна.

Пусть а (ж) = а» (ж) ¿ж» — вещественная С^-гладкая 1-форма на . Пусть 2-форма /(ж) = 52 /^(ж) ¿ж» Л определена формулой /^ = — дVа». Тогда га(ж) является связностью в тривиальном векторном расслоении М х С, ассоциированным с главным расслоением М х и(1), а 2-форма г/(ж) является тензором кривизны в этом расслоении. Уравнения Максвелла без источника в евклидовом случае можно рассматривать как уравнение на 1-форму а, имеющие вид д»/» = #Лмдл(дма^ — дVа») = 0. Уравнения Максвелла без источника в случае пространства Минковского можно рассматривать как уравнение на 1-форму а, имеющие вид:

ПЛмдл/^ = ПЛмдл(дм^ — д^ а») = 0.

Рассмотрим пространство абсолютно непрерывных функций 7: [0, 1] ^ М^, удовлетворяющих условиям 7(0) = 0, 7 € ¿2((0,1),М^). Параллельный перенос в тривиальном векторном расслоении М х С, порожденный связностью га (ж), мы будем рассматривать как функционал, действующий на пространстве

Ж02,1 ([0,1], №*) по формуле

иа(7) = ехр(—г | а,(7(*)) , 7 € Ж2'1 ([0,1], №*).

Предложение 1. Если и, V € Ж02'1([0,1], №*), причем и(1) = v(1) = 0, то верны равен-ва:

1

дадиа(7) = — гиа(7) / /»V(7(¿)) «»(¿) Г(¿) (3)

о

д«д^иа(7) = — иа(7)(I /»V(7(¿)) «»(*) Г (¿) (/ /лк(7(¿)) vЛ(í) Г(*) —

— ги"(7) /(дл/-(7(¿)) + д»/л,(7(*))>»(*) vЛ(í) Г(¿) ^ + о 1

+ 1 / /»V(7^)Ж(^(¿) + ^(¿К(¿)) , (4) 20

где производная берется в смысле Фреше.

Доказательство. Если 7, и Е Ж02,1([0,1], К(), то

/1 1 ч

дадиа(7) = и "(7) -г | а»(7(*)) и»® - г | ди а»(7 (*)) ^ (*) 7»(*) (5)

о о

Если и(1) = 0, то при интегрировании по частям, мы получаем (3). Дифференцируя (3), мы получаем

дид.и"(7) = -иа(7) / /»V(7(*)) и»(*) Г (*) / /л*(7(*)) )л(*) 7к(*) +

' Ч) '

+ ги"(7) (I дл/»,(7(*)) и»(*) )л(*) Г(*) + I /»V(7(*)) и»(*) V(*) ^ . (6) Тогда, интегрируя по частям выражение

1 1

2 У /»V(7(*)) и»(*) V)(*)

0

и используя тождества Бьянки

дл/»v + д»/л + дл/v» = 0,

мы получаем (4).

1 п

Обозначим Л.п(*) = у2втпп* и /п(з,*) = — ^ (5) (¿). Заметим, что

П к=1

г , ( .) / 1, * = 5, (¿,5) = (0,0), (М) = (1,1); (7)

Ит /п(5,*) = \ (7) I 0, иначе,

и для всех п Е N (¿, 5) Е [0,1] х [0,1] выполняется

|*п(М)|< 2. (8)

Определение 1. Лапласиан Леви Дь — это линейное отображение из пространства ёош Дь в пространство всех С-значных функций на Ж02,1([0,1], К(), определенное следующим образом:

1 п (

дь^ (7) = И^ п ЕЕ ^ ^ ^ (7), (9)

п к=1»=1

где ёош ДЬ2 состоит из всех дважды дифференцируемых по Фреше С-значных функций на Ж02,1([0,1], К(), для которых правая часть (9) существует для всех 7 Е Ж02,1([0,1], К().

З а м е ч а н и е 1. Предыдущее определение является частным случаем определения лапласиана Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах (см. [1]), так как Ж02,1([0,1],К() С Ь2([0,1],К() и вектора {р»Л.к} образуют ортонормиро-ванный базис в Ь2([0,1], К().

Определение 2. Даламбертиан Леви — это линейное отображение из пространства ёош в пространство всех С-значных функций на Ж02'1([0,1], определенное следующим образом:

1 п / л \ (7) = Иш - Е ¿рЛ4*/* ^(7) — £ ^^(7), (10)

- »=2 У

где ёош состоит из всех дважды дифференцируемых по Фреше С-значных функций ^ на Ж02,1([0,1], для которых правая часть (10) существует для всех 7 € Ж02,1([0,1], Предложение 2. Выполняются равенства

1

дьиа(7) = —гиа(7)/ д»/»V(7(¿)) Г (¿)

о

1

□ьиа(7) = —гиа(7)/ ПЛ» дл/^(7(¿)) Г (¿) ^

о

Доказательство. В силу (7) и (8) предложение следует из предложения 1 и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

В доказательстве следующего предложения и ниже, если £ € Ж02,1([0,1], М^), то символ £г (где г € [0,1]) обозначает кривую, определенную так:

е-м={«Г)' г;

[ £ (г), ¿>г.

Предложение 3. Следующие два утверждения равносильны: 1) и" является решением уравнения Лапласа для лапласиана Леви:

Дг,и° = 0

2) 1-форма а является решением уравнений Максвелла на евклидовом пространстве:

д/ = 0.

Доказательство. Пусть Дъи" = 0. Рассмотрим функцию

Я(г) =ехр(—г I а»(7(в)) Г (в^Д^У).

Тогда

-Д(г) = — гд/»V(7(г)) 7V(г) и"(7).

А

¿г

Так как Д(г) = 0, мы получаем, что для всех 7 € Ж02,1([0,1],М^) и г € [0,1] выполняется д»/» (т(г)) 7V(г) = 0. Тогда д»/»V = 0. В другую сторону доказательство предложения тривиально.

Предложение 4. Следующие два утверждения равносильны:

1) и" является решением уравнения Лапласа для даламбертиана Леви:

□ьи" = 0;

2) потенциал а является решением уравнений Максвелла на пространстве Минковского:

Пл»дл/^ = 0.

Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.

2. Стохастический параллельный перенос и его вторая производная

В начале этого раздела мы следуем изложению из статьи [12].

Пусть (П, Т, Р) — каноническое вероятностное пространство, ассоциированное с <-мерным броуновским движением на отрезке [0, 1], т.е.

П = С0([0,1],К() := {а Е С([0,1],К4): а(0) = 0} ,

Т — пополнение борелевской а-алгебры на С0([0,1], К() с помощью меры Винера Р. Символом 64 = (6^,..., 6() будем обозначать ¿-мерный винеровский процесс, а символом (Т4) — порожденный этим процессом возрастающий поток подалгебр Т. Пространство Ж02 ^ ([0, 1], К() — пространство Камерона — Мартина (пространство дифференцируемости) меры Винера. Символом о<6 будем обозначать стохастический дифференциал Стратоновича, а символом <6 будем обозначать стохастический дифференциал Ито.

Соболевский класс Ж-Р(Р) —это пополнение бесконечно гладких цилиндрических функций с компактным носителем на С0([0,1], К() относительно соболевской нормы

. р/2 \1/р

к=1 гх...г^ = 1

г / / \ р/2 \1/р ||р,г = Е (Д. Е (дег1 ^)2] ] ,

где {еп} — ортонормированный базис в Ж0' ([0,1],К(). Символ обозначает про-

ективный предел ргоЩт ЖДР). (О различных определениях соболевских классов относительно меры Винера и их эквивалентности см. например [4] и цитированную там литературу.)

Оператор д^ замыкаем в Жр(Р) при р > 1. Будем обозначать это замыкание снова символом д^ или символом . Если ^ Е ЖР(Р), где р > 1, то = (Д^,..., ) — случайный процесс, определяемый почти всюду по мере А х Р, где А — мера Лебега на

• 1 О !

отрезке [0, 1], формулой Я*^ = д^ = /(А^1, к(*))к*для всех к Е Ж02,1([0,1], К().

00

Старшие производные для ^ Е Жр(Р) определяются по аналогии.

Мы считаем, что а» ограничены со всеми производными до третьего порядка включительно константой С > 0, т.е.

8ир(|а»(х)|, ^а»(х)|, |длдvа»(х)|, |д„длдvа»(х)|) < С.

Стохастический параллельный перенос и"'х (6, ¿), порожденный а, — случайный процесс, определенный формулой

г

и"'х(6, ¿) = ехр ^—г I а» (ж + 6в) о ¿6^ . 0

Предложение 5. Выполняется и"'х(6,1) € Ж2Г(Р) С. Если и, V € Ж02,1([0,1], и и(1) = v(1) = 0, то выполняется равенство

д„д^и"'х(6,1) = —иа'х(6,1) (| /»V(ж + 6) О ^ (| /лк(ж + 6г) vл(í) о ¿6^ —

— ги"'х(6,1) I(дv/»л(ж + 6) + д»/>л(ж + 64)К(*) vV(¿) о ¿6Л — о 1

— 1 / /»V(ж + 6г)(й^К(¿)+ V»(¿К(¿)) А (11) 20

Доказательство. Рассмотрим случайный процесс

г

^'х(6,£) = | а»(ж + 6г) о ¿6». 0

В силу леммы 1.3.4 из [9] 1) € ЭД^Р) и выполняется равенство

1

"'х(6,1) = а» (ж + 64) + | д^(ж + 6-) о ^. (12)

г

В силу ограниченности а и ее первых и вторых производных Б^а'х(6,1) € Ьр(Р) для всех р > 1. Тогда в силу предложения 1.5.5 из [9] 1) € ЖГ(Р). Получаем

1

^(6,1) = д„^"'х(б, 1) = у да°'л(6, 1) и» (¿Э =

0

1

0

= У (а» (ж + 6г) + У д^ (ж + 6-) о

По формуле Ито

1) = I /»V(ж + 6г) «»(¿) о ¿6Г. (13)

1

(.V

0

Так как и"'х(6, ¿) = е г^а'х(ь,г), в силу предложения 1.2.3. из [9] мы получаем иа'ж(6,£) € € ЖГ(Р) С и

и"'х(6,1) = —ги"'х(6,1)Би 1).

Так мы получили

д«и"'х(6,1) = —ги"'х(6,1) | /»V(ж + 6) о =

о

= —ги"'х(6,1) (I /»V(ж + 6) + 1 / дv//(ж + 6) . (14)

В силу леммы 1.3.4 из [9] 1) Е (Р) и выполняется равенство

1

дд»^>х(6,1) = дvа»(х + 6г) 1пё,<г + | д»дvал(х + 6Г) о <&л. (15)

тах(«,г)

В силу ограниченности а, ее первых, вторых и третьих производных Д 1) Е Ьр (Р)

для всехр > 1. Тогда в силу предложения 1.5.5 из [9] мы получаем 1) Е Ж^(Р).

Рассмотрим случайный процесс

г

Ьх,и (6,*) = У" /»V (х + К) и» (г) о .

Тогда

д д и"'х(б, 1) = -и"'х(б, 1) Д 1) ди 1) - ги "'Х(6,1) Д ьх'и(б, 1). (16)

В силу леммы 1.3.4 из [9]

1

Ьх,и(6,1) = /»V(х + 6г) и»(*) + 1 дv/»л(х + 6Г) и»(г) о <бл.

г

Заметим, что по формуле Ито выполняется

1 1 1 1

2 У /»V(х + 6г) и»(*)VV(*) = -2 У дл/»v(х + 6г) и»(*) vV(*) о <6,л -00

1

2

1 1

- 2 У /»V (х + 6г) ии»(t)vV (*) (17) 0

Тогда, используя (17) и тождества Бьянки, мы получаем

ДЬи(6,1) = | /»V(х + 6г) и»^/^/»л(х + 6г) и»(г) о <ьл>)>V(¿Л =

0 ^ г ' 1 1 1 1

= 2 У /»V(х + 6г) и»(*)VV(*) - 2 У дл^(х + 6г) и»(*) vV(*) о <6,л -00

1 1 1

- 2 / /»V(х + 6г) и»(*) vV (*) + ] дv/»л(х + 6г) и»(*) vV(*) о <6,л = 00

= (1/(дv/»л(х + 6г) + д»/vл(x + 6г)) и»(*) vV(*) о <6,л + 20

+ 1 //»V(х + 6г)(и»(*))v(*)+ )»(*) иv(*)) А (18)

Из равенств (13), (16) и (18) мы получаем (11).

Замечание 2. Заметим, что в силу (12) и (15)

Ej DfDfU^b, 1)dt = 0

1 t 1 ч

= -¿У ^ öv (div a)(x + bt) о dbv + J Aßv (x + br) о db^ J dtUa'x(b, 1) -0 0 t d 1 / t 1 \ - E У У dvам(х + br) о dbv + J dMav(x + br) о dbrv)2 dtUa'x(b, 1). (19) ^=1o 4 t /

Это равенство означает, что стохастический параллельный перенос лежит в области определения лапласиана Гросса — Вольтерры. Значение этого оператора на стохастическом параллельном переносе равно (19).

3. Вспомогательные леммы

В этом разделе получены некоторые технические результаты, которые используются в доказательствах теорем из следующего раздела.

Лемма 1. Пусть mM — согласованные ограниченные процессы. Пусть

Rn(b) = /(У Mb,s)/„(M)db^mv(b,t) dbv. Тогда в L2(P) выполняется

lim Rn(b) = 0.

Доказательство. Пусть всюду |hM(b,t)| < K и |mM(b, t)| < K .В силу теоремы Фубини

l|Rn(b)|2 = /(У hM(b,s) /„db^mv(b,t)dbtv)

1 // t x 2

v

/((/ ^(b,s) ln(s,t) db^j mv(b,t) mv(b,t)jdtj =

E fУ hM(b, s) ln(s, t) db^ mv(b, t) mv(b, t) dt.

00

Тогда

1 / t \ 2

l|Rn(b)|2 < dK^Ei у hM(b,s) ln(s,t) dbM dt

00

14 14

= ¿К2У У Ей»(6,в) й»(6,в) (в, ¿) ^ < У /П (в,*)

0 0 0 0

Поэтому утверждение леммы в силу (7) и (8) следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

Лемма 2. Пусть mM, k — согласованные ограниченные процессы. Пусть

1 , t \ Rn(b) = |l У k(b,s) t) dsW(b,t) dbtv. 0 4 '

Тогда в L2(P) выполняется

lim Rn(b) = 0.

Доказательство. Пусть всюду |mM(b,t)| < K и |k(b,t)| < K .В силу теоремы Фубини

l|Rn(b)||2 = Е^(Д/k(b,s) 1n(s,t)d^mv(b,t)dbtv) j =

= E^Д j k(b,s) 1n(s,t)dsj ^ k(b,s) 1n(s,t) dsjmv(b,t) mv(b,t) dtj = i t t

///^"(si,t) 1n(s2,t)E(k(b, si) k(b,s2)mv(b,t) mv(b,t)) dsids2dt.

000

Утверждение леммы в силу (7) и (8) следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости. Лемма 3. Пусть k — согласованные ограниченные процессы. Пусть

Rn(b) = ДI mM(b, s) 1n(s, t) db^j k(b, t) dt.

Тогда в L2(P) выполняется

lim Rn(b) = 0.

n—

Доказательство. См. доказательство леммы 1 в [12].

Лемма 4. Пусть r, k — согласованные ограниченные процессы. Пусть

Rn(b) = Д^ r(b, s) 1n(s, t) ds j k(b, t) dt.

Тогда в L2(P) выполняется

lim Rn = 0. Доказательство. По теореме Фубини

||Rn(b)||2 = (Д/r(b, s) 1n(s,t) dsjk(b,t) dtj j = i / ti \/ ti

r(b,si) In (si,ti) dsijyj r(b,s2) 1n(s2,t2) ds^ k(b,ti) k(b,t2) dt^jj = i i ti t2

= // / / In (si,ti) 1n(s2,t2) E^r(b,si) r(b, s2) k(b, ti) k(b,t2^ dsids2dtidt2.

1п (51, ¿1) 1п (52, ¿2) Е (6, 51) г (6, 52) к(6, ¿1) к(6, <51<52<*1<

0000

Тогда утверждение леммы в силу (7) и (8) следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

4. Стохастические лапласиан Леви и даламбертиан Леви

Определение 3. Стохастический лапласиан Леви Дъ — линейный оператор из ёош Дъ в Ь2(Р), определенный формулой

1 п (

= ,ёг П ЕЕ аи Р (20)

- к=1»=1

где ряд сходится в Ь2(Р), а областью определения ёош Д^ являются все Р € Ж22(Р) С, для которых правая часть (20) существует.

Определение 4. Стохастический даламбертиан Леви — линейный оператор из ёош в Ь2(Р), определенный формулой

1 п / (

1 п / ( \

= П^ - Е ^р — Е ^р : - »=2 7

(21)

где ряд сходится в Ь2(Р), а областью определения ёош являются все Р € Ж22(Р) С, для которых правая часть (21) существует. Теорема 1. Выполняется равенство

/1 1 ч

Дьи"'х(6,1) = —и"'х(6,1) У /»V(ж + 6*) /^(ж + 6*) + г | д/(ж + 6*) о ¿6,4 .

00

Доказательство. Введем обозначения

1 п ( -

и

дП'ж(6) = -£ ЕдРм ^ и(6) к=1»=1

^(6) = и"'х(6) | /»V(ж + 6*) /^(ж + 6*) + г | д/(ж + 6*) о ¿6,4 .

00 Из предложения 5 следует, что выполняется равенство

||Яа'х — Д^Ъ = (VI /»V (ж + 6*) / ^ (ж + 6*) (1 — /п(*, *)) +

0

1 / *

+ /(/ /»л(ж + 6*) ЦМ) о ¿6Л)/»V(ж + 6г) + 00

+ 1 /(/ /»л(ж + 6*) /п(М) о ¿6^дv/^(ж + 6*) ^ +

+ Е^I д/»V(ж + 6*)(1 — /п(М)) о ¿6^ ) 1.

Из леммы 1 и леммы 2 следует, что

Иш е(I /»л(ж + 6*) /п(М) о ¿6Л] /»,(ж + 6*) ¿6^ =0.

Из леммы 3 и леммы 4 следует, что

nl—m Е^Д j /M(x + bs) 1n(s,t) ◦ db^öv/'v(x + bt) dtj = 0.

00

В силу теоремы Лебега

i

/ 'v

0 и

1——а E^I /Mv(x + bt) /'v(x + bt) (1 - In(t,t)) dtj =0

( i \ 2 nl—m ЕЦ d/'(x + bt) (1 - 1n(t,t)) ◦ dbtvJ = 0.

Тогда в силу неравенства Минковского lim ||Ra'x — Яп'ж||2 = 0. Теорема 2. Выполняется равенство

/ i i \

□lUtt'x(b, 1) = —Utt'x(b, 1) I /'v(x + bt) A«(x + bt) dt + ij (x + bt) ◦ dbtv .

00

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Теорема доказана.

Аналогично теореме 2 и 3 из [12] можно доказать следующие утверждения. Предложение 6. Следующие условия равносильны:

1) / = 0;

2) для некоторого x е

ALUa,x(b, 1) = — Ua,x(b, ДI /'v(x + bt)/'v(x + bt) dtj.

Предложение 7. Следующие условия равносильны: 1) = 0; 2) для некоторого x е

□LUtt'x(b, 1) = —Utt'x(b, ДI nV/(x + bt) A«(x + bt) dtj = 0

Заключение

В настоящей работе определения лапласиана Леви и даламбертиана Леви с помощью чезаровских средних вторых производных переносятся на стохастический случай. В отличие от детерминированного случая и в отличие от случая стохастического лапласиана Леви, определенного в [8] как интегральный функционал, заданный специальным видом второй

производной, теорема о связи с калибровочными полями не выполняется: значение лапласиана Леви (даламбертиана Леви) на стохастическом параллельном переносе не равно нулю, если соответствующая связность является решением уравнений Максвелла без источника на евклидовом пространстве (пространстве Минковского). Тем не менее в предыдущей нашей статье [12] показано, что подход, основанный на чезаровском усредении можно использовать для описания решений уравнений Макселла и в стохастическом случае. А именно, эти уравнения эквивалентны линейному уравнению, содержащую стохастическую дивергенцию Леви, на бесконечномерную 1-форму, порожденную стохастическим параллельным переносом.

На данный момент неизвестно, существует ли формула, связывающая стохастический лапласиан Леви, введенный в настоящей работе, и стохастический лапласиан Леви, введенный в работе [8]. Можно предположить, что результаты, представленные в статье, обобщаются на некоммутативный случай полей Янга — Миллса.

Список литературы

1. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа — Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150.

2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леви на бесконечномерных многообразиях // Доклады Академии наук. 2006. Т. 407, №5. С. 1-6.

3. Арефьева И.Я., Волович И.В. Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях // Обобщенные функции и их применения в математической физике. Тр. Междунар. конф., ВЦ АН СССР, М., 1981. С. 43-49.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 с.

5. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, no. 2. P. 235-250.

6. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, no. 3. P. 201-206. DOI: 10.1007/BF03001574

7. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М: Наука, 1967. 512 c.

8. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2. P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

9. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 382 p.

10. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol.15, no. 4. Art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025713500276

11. ВолковБ.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории //Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, №2. C. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372

12. Волков Б.О. Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 5. С. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 6, pp. 1-16.

DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138

Received: 09.11.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

Stochastic Lévy Laplacian and d'Alambertian and Maxwell's equations

Volkov B. O.1*

borisvolkovl986@gmail.com

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia 2Steklov Mathematical Institute of RAS, Moscow, Russia

Keywords: Maxwell's equations, Levy Laplacian, stochastic parallel transport, Levy d'Alambertian

One of the main reasons for interest in the Levy Laplacian and its analogues such as Levy d'Alembertian is a connection of these operators with gauge fields. The theorem proved by Accardi, Gibillisco and Volovich stated that a connection in a bundle over a Euclidean space or over a Minkowski space is a solution of the Yang-Mills equations if and only if the corresponding parallel transport to the connection is a solution of the Laplace equation for the Levy Laplacian or of the d'Alembert equation for the Levy d'Alembertian respectively (see [5, 6]). There are two approaches to define Levy type operators, both of which date back to the original works of Levy (see [7]). The first is that the Levy Laplacian (or Levy d'Alembertian) is defined as an integral functional generated by a special form of the second derivative. This approach is used in the works [5, 6], as well as in the paper [8] of Leandre and Volovich, where stochastic Levy-Laplacian is discussed. Another approach to the Levy Laplacian is defining it as the Cesaro mean of second order derivatives along the family of vectors, which is an orthonormal basis in the Hilbert space. This definition of the Levy Laplacian is used for the description of solutions of the Yang-Mills equations in the paper [10].

The present work shows that the definitions of the Levy Laplacian and the Levy d'Alembertian based on Cesaro averaging of the second order directional derivatives can be transferred to the stochastic case. In the article the values of these operators on a stochastic parallel transport associated with a connection (vector potential) are found. In this case, unlike the deterministic case and the stochastic case of Levy Laplacian from [8], these values are not equal to zero if the vector potential corresponding to the stochastic parallel transport is a solution of the Maxwell's equations. As a result, two approaches to definition of the Levy Laplacian in the stochastic case give different operators. This situation is different from the flat deterministic case, which is discussed in [11].

It can be expected that the work can be summarized in the non-commutative case of the Yang-Mills theory.

References

1. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа — Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовык пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150.

2. Accardi L., Smolyanov O.G. Feynman formulas for evolution equations with Levy Laplacians on infinite-dimensional manifolds. Dokladi Akademii nauk, 2006, vol. 407, no. 5, pp. 1-6. (English version of journal: Doclady Mathematics, 2006, vol. 73, no. 2, pp. 252-257. )

3. Aref'eval.Ya., Volovich I.V. Higher order functional conservation laws in gauge theories. Proc. Int. Conf. Generalized Functions and their Applications in Mathematical Physics, Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1981, pp. 43-49. (in Russian)

4. Bogachev V.I. Gaussian measures. American Mathematical Society, Rhose Island, 1998. (Russ. ed.: Bogachev V.I. Gaussovskie mery. Moscow, Nauka publ., 1997. 352 p).

5. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians. Russ. J.Math. Phys., 1994, vol. 2, no. 2, pp. 235-250.

6. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations. Rendiconti Lincei, 1993, vol. 4, no. 3, pp. 201-206. DOI: 10.1007/BF03001574

7. P. Levy. Problemes concrets d'analyse fonctionnelle. Paris, Gautier-Villars, 1951. (Russ. ed.: P. Levy. Konkretnyeproblemy funktsional'nogo analiza. Moscow, Nauka publ., 1967, 512 p.)

8. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

9. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin, Springer-Verlag, 2006. 382 p.

10. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2012, vol.15, no. 4, art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025713500276

11. Volkov B.O. Levy d'Alambertians and their application in the quantum theory. Vestnik Samarskogo Gos. Tekhn. Univ. = Bulletin of Samarskii State Techn. Univ., 2015, vol. 19, no. 2, pp. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372 (in Russian).

12. Volkov B.O. Stochastic Levy Divergence and Maxwell's Equations.

Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла // Matematika i matematich-eskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana = Mathematics and mathematical modelling of the BaumanMSTU, 2015, no 5, p. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322 (in Russian).