Неклассические лапласианы Леви в стохастическом анализе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №2. С. 25-38.

Б01: 10.24108/шаШш.0217.0000060

Представлена в редакцию: 03.05.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 517.98

Неклассические лапласианы Леви в стохастическом анализе

Волков Б. О.1'2'*

borisvolkovl986@gmail.com

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия

В настоящей статье рассматривается цепочка неклассических лапласианов Леви в белошумном анализе (одном из исчислений стохастического анализа). Это семейство операторов действует на пространстве белошумных обобщенных функционалах и содержит в качестве одного из элементов классический лапласиан Леви. В работе доказывается формула, связывающая различные элементы цепочки неклассических операторов с помощью оператора вторичного квантования. Кроме того, в работе показано, что один из неклассических лапласианов Леви с точностью до естественного изоморфизма совпадает с лапласианом Леви, определенным на соболевском классе над мерой Винера. Интерес к последнему оператору обусловлен его связью с калибровочными полями.

Ключевые слова: лапласиан Леви; экзотические лапласианы Леви; уравнения Максвелла; бело-шумный анализ

Введение

Пусть функция / на сепарабельном гильбертовом пространстве Н дважды дифференцируема по Фреше. Пусть {еп} — ортонормированный базис в Н. Бесконечномерный лапласиан, определенный равенством

1 п

/ (х)= Кт 1 £ /" (*)е* ,е* >,

п к=1

называется (классическим) лапласианом Леви. Для того чтобы по аналогии определить лапласиан Леви в стохастическом анализе над мерой Винера, обычно используют белошум-ный анализ (исчисление Хиды), так как пространство обобщенных белошумных функционалов — достаточно широкое пространство, чтобы (классический) лапласиан Леви действовал на этом пространстве нетривиально (см. например [15]). В текущей работе мы рассматриваем цепочку неклассических лапласианов Леви (см. [5, 9]), действующих на пространстве обобщенных белошумных функционалов. Эта цепочка включает в себя классический лапласиан Леви, а также экзотические лапласианы Леви, изучению которых посвящены работы [3, 5, 6, 7]. Мы используем идею работ [6, 7] и находим формулу, связывающую

различные элементы цепочки неклассических лапласианов Леви с помощью оператора вторичного квантования.

Одна из основных причин интереса к лапласиану Леви и связанным с ним конструкциям заключается в открытой в [10] связи лапласиана типа Леви с полями Янга — Миллса (см. также [11, 16, 18]). Аналогом лапласиана Леви, связанным с калибровочными полями, является лапласиан, определенный на соболевском классе над мерой Винера (см. [19]). В настоящей работе показано, что последний оператор с точностью до естественного изоморфизма, порожденного изоморфизмом Винера — Ито — Сигала, совпадает с одним из элементов цепочки неклассических лапласианов Леви (этот элемент не является классическим лапласианом Леви).

Статья устроена следующим образом. В разд. 1 приводятся определения неклассических и экзотических лапласианов Леви. В разд. 2 рассматриваются лапласианы Леви в белошумном анализе и доказывается формула, связывающая различные элементы цепочки неклассических лапласианов Леви. В разд. 3 приводится определение лапласиана Леви на соболевском пространстве над мерой Винера, приводится формулировка теоремы о связи такого оператора с уравнениями Максвелла (частный случай уравнений Янга — Миллса) и показано, что этот оператор с точностью до естественного изоморфизма совпадает с одним из неклассических лапласианов Леви в белошумном анализе.

1. Неклассические лапласианы Леви

Ниже, если Gl и G2 — локально выпуклые пространства, символ L(Gl,G2) обозначает пространство непрерывных операторов из Gl в G2. Пусть E — вещественное локально выпуклое пространство, непрерывно вложенное в H = L2([0,1], Rd) так, что образ E при вложении плотен в H. Мы считаем, что E* наделено сильной топологией. Тогда E С H С E* — оснащенное гильбертово пространство. Двойственность на E* х E будет обозначаться символом (•, •). Пусть {pl,p2,... ,pd} — ортонормированный базис в Rd и {gn} — ортонормированный базис в L2([0,1], R), причем pMgn = pм ® gn Е E для каждого ^ Е {1,..., d} и n Е N. Пусть R — линейный оператор, действующий из span {gn: n Е N} в span {gn: n Е N}.

Определение 1. Неклассическим следом Леви trR'{gn}, порожденным оператором R и базисом {gn}, называется линейный функционал dom trR'{gn} ^ R, определенный по формуле

1 n d

trR{gn}(L) = nlim - £ £(L(p, ® Rgk),p„ ® Rgk), (1)

n k=i

где область определения domtrR'{gn} неклассического следа Леви trR'{gn} состоит из всех L Е L(E, E*), для которых правая часть (1) существует.

Пусть C2(E, R) — пространство дважды дифференцируемых по Фреше действительных функций на E (см. [2]). Тогда для каждого x Е E выполняется f'(x) Е E * и f"(x) Е L(E,E *).

Определение 2. Область определения Dom AR'{gn} неклассического лапласиана Леви, порожденного оператором R и базисом {gn}, — это пространство всех f G C2(E, R), для которых выполняется f"(ж) G dom trR'{gn} для каждого ж G E. Неклассический лапласиан Леви, порожденный оператором R и базисом {gn}, — это линейное отображение из dom AR,{gn} в пространство функций на E, определенное так:

AR'{ön}f (ж) = (trR,{gn} f")(ж). (2)

Если R = I, то оператор AR'{gn} — классический лапласиан Леви, который будем обозначать символом A¿0n}.

Определение 3. Экзотическим следом Леви trLön}'1 порядка l > 0, порожденным базисом {gn}, называется линейный функционал dom trLön}'1 ^ R, определенный по формуле

1 n d

triön},1(L) = nlim - £ £® 9k® 9k), (3)

n k=iß=\

где область определения dom trLön}'1 экзотического следа Леви trLön}'1 состоит из всех тех L G L(E, E*), для которых правая часть (3) существует.

Определение 4. Область определения dom A¿0n}'1 экзотического лапласиана Леви порядка l, порожденного базисом {gn}, — это пространство всех f G C2(E, R), для которых выполняется f"(x) G dom tr¿0n}'1 для каждого ж G E. Экзотический лапласиан Леви порядка l — это линейное отображение из dom А[йпЫ в пространство функций на E, определенное так:

A<f}'lf (ж) = (tr[gn}'1 f ")(x). (4)

Пусть для любого l G R оператор Nl на span {gn: n G N} определен следующим образом: N lgn = nl gn.

Предложение 1. Если l > 0, то

trN- 2 '{ö"} = l trjfw

и, соответственно,

g-1)

AN 2 >{ön} = lA{ön}'1 L L

Доказательство. Доказательство прямо следует из следующего факта (см. [7,8,16]). Пусть (On) G и l > 0. Тогда

1 n 1 / 1 n \ lim — Е Ok = 7 lim - E Okk-l+1 (5)

nl k=l l n k=l /

в том смысле, что если существует одна часть равенства (5), то существует и вторая, при

этом равенство (5) выполняется.

Замечание 1. Экзотические лапласианы Леви и соответствующие следы были введены в работе [3] (см. также [5]). Неклассические лапласианы Леви и соответствующие следы были введены в работе [4]. Формула (5) впервые стала использоваться для изучения экзотических лапласианов Леви в [5].

2. Лапласианы Леви в белошумном анализе

Выберем в HC = L2 ([0,1], Cd) следующий ортонормированный базис:

e„(i) = Van СО Itn (t)

где l0 = 1; ln(t) = л/2 cos nnt; an = n — d n , 1

L d

ный оператор на HC, действующий по формуле

; bn

n — 1 d

. Пусть A — самосопряжен-

Aen Anen,

где {An} — возрастающая последовательность вещественный чисел, такая, что

1 < Ai < A2 < ... < An < ... и Y, A-2 <

-2 - 00.

fc=1

Для всех p е R определим гильбертову норму | ■ |p на HC согласно формуле

оо

№ = £ Akpi(e,efc )hc i2. k=l

Для p > 0 положим Ep = G HC: |£|p < то} и пусть E-p — пополнение HC с помощью нормы | • |-р.

На E®n гильбертову норму также обозначим символом | • |р. Обозначим проективный предел proj lim Ep символом EC. Пространство EC — ядерное пространство Фреше и, следовательно, рефлексивное пространство. Его сопряженное E£ — это индуктивный предел indlim E-p. Мы получаем комплексное оснащенное гильбертово пространство:

р^+ж

EC С HC С EC .С помощью ограничения оператора A на HR = L2([0,1], Rd) аналогичным образом получаем вещественное оснащенное гильбертово пространство: Er с Hr с ER. Фоковское пространство над гильбертовым пространством Ep определяется следующим образом:

r(Ep) = { ^ = (/п)£о: f G Epfn, Mlp = £ n!|fn|p < .

I n=0 )

Обозначим proj lim r(Ep) символом E. Тогда E* = indlim r(E-p). Пространство E —

пространство белошумных пробных функционалов, пространство E* — пространство бело-шумных обобщенных функционалов. Будем обозначать каноническую билинейную форму на E* х E символом ((•, •)).

По теореме Минлоса — Сазонова существует вероятностная гауссовская мера ßI на а-ал-гебре, порожденной ER-цилиндрическими множествами на ER, такая, что ее преобразование

£)„ \ ( Ü02 Ü®n ^

Фурье имеет вид ¡1 (£) = ехр^~ 2 у ' Элемент ^ = ..., —р .. ^ е Е,

£ е Ее, называется когерентным состоянием. Унитарный изоморфизм Винера — Ито — Сигала Д между Г(Н) и ¿2(Е^, ) однозначно определяется значениями на когерентных состояниях:

)(х) = е^-^2.

Комплексное оснащенное гильбертово пространство

ЕС Ь2 (Е£ ) = Г(Нс) С Е *

называют пространством Хиды — Кубо — Такенаки.

5-преобразование обобщенного функционала Ф е Е* — это функция 5Ф: Ес ^ С, заданная формулой 5Ф(£) = ((Ф, -ф)), £ е Ес. Элемент Ф е Е* можно формально записать в виде (см. [14, 15])

Ф = £ (::, ЕП/

n=0

где : ж0п: — виковский тензор порядка n; Fn G (ECfn)*; (E£)<n = indlim E®?n. Тогда

^Ф(е) = E (Fn, e

n=0

Комплекснозначная функция F на EC является S-преобразованием обобщенного функционала Ф G E* тогда и только тогда, когда выполняются условия (см. [15]):

1) для любык Z и п из EC функция Fz,n (z) = F(zn + Z) голоморфна на C;

2) существуют такие C, K > 0 и p G R, что для всех £ G EC выполняется оценка

|F(£)| < CeK|?p.

Комплекснозначные функции, определенные на пространстве Ec и удовлетворяющие условиям 1 и 2, называются U-функционалами.

Определение неклассических лапласианов Леви, порожденных операторами

R: span{ln, n G Z+} ^ span{ln, n G Z+}

(см. разд. 1) без изменений переносится на пространство U-функционалов. Это позволяет определить лапласианы Леви на пространстве обобщенных белошумных функционалов. Как и в разд. 1, для любого l G R оператор N1 на span{ln,n G N} определен следующим образом: N1 ln = (n + 1)11n.

Определение 5. Неклассический лапласиан Леви AR, порожденный линейным оператором R: span{ln, n G Z+} ^ span{ln, n G Z+}, — это линейное отображение из Dom AR в E*,

определенное так:

А^Ф = S-1AR,{1n}(S Ф), (6)

где Dom AR — пространство всех обобщенный белошумнык функционалов, для которых правая часть (6) существует.

Пусть T G L(EC, EC), тогда его вторичное квантование — это оператор Г(Т) G L(E, E), однозначно определяемый так:

r(T = ^г?.

Каждый T из L(EC, EC) обладает своим вторичным квантованием (см. [14]). Для вторичного квантования выполняется сдедующее:

S(Г(Т)*Ф)(£) = (Sф ◦ T)(£) = SФ(Т£). (7)

Пусть собственные числа {An} оператора A выбраны так, что линейный оператор

Ns: span{pM 0 ln,ß G {1,... ,d},n G Z+} ^ Ec,

действующий по формуле

Ns(pM 0 In) = (1 + n)spM 0 In, можно продолжить до непрерывного оператора на пространстве EC. Это будет выполняться, если, например, An = C —1 , где C > 1. Будем обозначать непрерывное продолжение оператора Ns тем же символом. Тогда для каждого s G R оператор Ns — топологический изоморфизм пространства EC.

Верна следующая теорема о связи между лапласианами Леви. Теорема 1. Пусть l, r G R и ф G Dom AN1. Тогда

ANl-r r(Nk )*ф = r(Nr )*Af Ф. Доказательство. Действительно, в силу (7), выполняется цепочка равенств

S (r(Nr )*AN1 Ф)(е ) = S (ANl Ф)(№ 0 =

1 n d

= ^гт 5 5(SФ"(№£)(p, 0 Nl lk),p„ 0 Nllk) = n + 1 k=0 m=i

1 n d

lim —TT E E((SФ ◦ Nr)"(e)(p^ 0 Nl-rlk),p„ 0 Nl-rlk)

k=0 m=1

Nl

= 5 (А£"Г(№- )*Ф)(£).

Теорема доказана.

3. Лапласиан Леви на соболевском пространстве над мерой Винера

Пусть (П, Т, Р) — каноническое вероятностное пространство, ассоциированное с ^-мер-ным броуновским движением на отрезке [0, 1], т.е.

П = Со([0,1],Ша) := {а е С([0,1],№*): а(0) = 0} ,

Т — пополнение борелевской а-алгебрына С0([0,1], Е^) с помощью меры Винера Р. Символом 64 = (6^,..., 6^) будем обозначать ^-мерный винеровский процесс. Символом д6 будем обозначать стохастический дифференциал Стратоновича, а символом ^6 — стохастический дифференциал Ито. Пусть

Ж01,2([0,1],Е) = {7 е АС([0,1],№*): 7(0) = 0, 7 е ¿2((0,1),Е^)} .

Пространство Ж02,1([0,1], К*) — пространство Камерона — Мартина (пространство диффе-ренцируемости) меры Винера Р.

Соболевский класс ^^(Р, С) над мерой Винера Р — это пополнение бесконечно гладких цилиндрических функций с компактным носителем на С0([0,1], К*) относительно соболевской нормы

г ( , те Лр/2\1/р

1|ф||Р,г = Е Щ Е ..акф|2 ,

к=1 \ ¿1...гк = 1 ' )

где |гга} — произвольный ортонормированный базис в Ж02,1([0,1],К*). (О различных определениях соболевских классов относительно меры Винера и их эквивалентности см., например, [13] и цитированную там литературу.)

Если к е Жо1,2([0,1],К*), оператор дифференцирования по направлению можно продолжить по непрерывности как линейный непрерывный оператор из ЖР(Р, С) в Ьр(П,Р) при р > 1. Будем обозначать это продолжение снова символом с^. Вторая производная для Ф е ЭД^ (Р, С) определяется по аналогии.

Пусть а(ж) = а,(ж) — вещественная Сте-гладкая 1-форма на К*. Пусть 2-форма /(ж) = I] /^ (ж) Л ^ж^ определена формулой /^ (ж) = (ж) — с^а, (ж). Тогда чисто

мнимая 1-форма га(ж) является связностью в тривиальном векторном расслоении х С, ассоциированном с главным расслоением х и(1), а чисто мнимая 2-форма г/(ж) — тензором кривизны в этом расслоении. Уравнения Максвелла без источника в евклидовом случае можно рассматривать как уравнение на связность га вида

/ = 0. (8) Параллельный перенос и"(7) вдоль кривой 7 е

Ж01,2([0,1], К*), порожденный связностью га, — это оператор из и(1), определенный формулой

и"(7) = ехр(—г | а,(7(в))Г (в) ¿Л (9)

0

Стохастический параллельный перенос иа(6,£), порожденный связностью га, — это случайный процесс, определенный формулой, аналогичной формуле (9):

и°(М) = ехр(—г | а^)

0

Выберем Е = Ж01,2 ([0,1], К*) и кга(£) = -\72sin пп! Рассмотрим классический лапласиан

Леви

{М ь .

Теорема 2. Для параллельного переноса выполняется

1

АЬ^п}и"(7) = —ги"(7) / д/(7(*)) Г (*) (10)

о

Связность ¿а является решением уравнений Максвелла (8) тогда и только тогда, когда для параллельного переноса выполняется

д^иа = 0.

Доказательство см. в работе [19]. Более важный случай, когда вместо уравнений Максвелла рассматриваются уравнения Янга— Миллса, изучался в [10, 11, 16, 17, 18].

Естественный аналог классического лапласиана Леви Д^} для функций на винеровском пространстве дается следующим определением.

Определение 6. Лапласиан Леви Д^ —это линейное отображение из ёош Д^ в ¿2(П, Р), определенное следующим образом:

1 П 1

Дьп }Ф(Ь) = Иш - ЕЕ ^ дР/Лк Ф(Ь), (11)

-к=1.= 1

где последовательность в правой части сильно сходится в Ь2(П, Р) и ёош Д^ состоит из всех Ф € Ж|(Р, С), для которых правая часть (11) существует.

Теорема 3. Пусть все а. ограничены со всеми своими частными производными до третьего порядка включительно. Тогда для стохастического параллельного переноса выполняется

/1 1 \

Дьиа(б, 1) = -иа(ь, 1) |¡.V(б4)(б4)л + г |ад(ь)^

Связность ¿а является решением уравнений Максвелла (8) тогда и только тогда, когда для стохастического параллельного переноса выполняется

1

¡.V (

1

Дьиа(6,1) = -иа(Ь, 1) | ¡.V&) Г-&) Л.

Доказательство см. в работе [19].

Так как Ее плотно в Не, унитарный изоморфизм Винера — Ито — Сигала 12 между Г(Не) и Ь2(П, Р) определяется значениями на когерентных состояниях:

1 1 1

)(6) = ехр /-ал,

где £ € Ее. Пусть 1 = /2/-1, где 11 — изоморфизм из разд. 1.

Следующая теорема связывает неклассический лапласиан Леви Д^ из предыдущего параграфа и лапласиан Дь на соболевском пространстве Ж|(Р, С). Теорема 4. Если Ф € Д^, то

ДЬФ = п21 ~1Д111Ф. (12)

В начале докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Пусть (an) G Сте. Тогда

1 П 1 n

lim - T(k + 1)2ßfc = lim - T k2ßfc (13)

п^те n^^ п^те n ^^

fc=1 fc=1

в том смысле, что если существует одна часть равенства (13), то существует и вторая, при этом равенство (13) выполняется.

Доказательство. Пусть cn = n2an. Тогда

2 2 1

(n +1) а„ = c„ + -c„ + — cn. (14)

n n2

Пусть существует правая часть (13). Тогда в силу (5)

n

lim1 f Ck = cj = 0

и

lim - f Ck = 3( lim — f cfc) = 0. ^те n k2 \^те n- /

Тогда в силу (14) существует правая часть (13) и равенство (13) выполняется. В другую сторону лемма доказывается аналогично.

Докажем теорему 4. Пусть Ф G AL. Так как Ф G L2(Q, P), то Ф можно представить в виде

те

ф = f In(Fn), (15)

п=0

где Рга е Н0га, /га — п-кратный интеграл Винера — Ито и ряд (15) сходится сильно в Ь2 (П, Р) (см. [12]). Так как ккк(¿) = пк/к(¿), выполняется

dpMhfchfcФ = n2k2 £ n(n - 1)/n-2(Fn®2((pM 0 lfc)00 4))).

n=2

Тогда мы получаем

au Ф, ^)) = s (/öPMhfc <vfc Ф)(е) =

= n2k2 f n(n - 1) (Fn02((pM 0 lfc)00 lfc)), £0(n-2)) =

n=2 те

= n2k2 f n(n - 1) (Fn, £0(n-2)00 lk)00 /fc))) =

n=2

= n2k2(S(IФ)"(£)рД, рД). (16)

Так как последовательность

1 n d

n E E dpMhfc Ф

n fc=lM=1

сходится сильно к Д^Ф при n ^ то, для каждого £ G EC

/1 n d \ ]im nЕЕ<VfcdPMhfc= (дьф,/-1^«)Ь2(П,Р).

n , _ -, ,,_-, /L2(n,P)

s (i ДьФ)(£) = «/дьф, ^ » = Hm(( ^nE E v* ¿^ ф), =

i n d

= Jim n ЕЕ n2 k2( S (i ф)"(£)РЛ , PA). (17)

n 71 \ I

"n k_l M_1 /L2(fi,P)

Тогда в силу (16) выполняется

1 n d k_i

1

k_l

В силу леммы 1 выражение (17) совпадает с (IФ)(£). Это означает, что равенство (12)

верно. Теорема доказана.

Заключение

Можно предположить, что некоторые результаты статьи распространяются на некоммутативный случай уравнений Янга — Миллса. Можно рассмотреть другие пространства белого шума, отличные от того, который рассматривался в разд. 3 (см. [15]), и неклассические лапласианы Леви на этих пространствах.

Список литературы

1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 510 c. [Lévy P. Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle. 2 éd. P.: Gauthier-Villars, 1951. 484 p.].

2. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах // Успехи математических наук. 1967. Т. 22, №6. С. 201-260. DOI: 10.1070/RM1967v022n06ABEH003761

3. Accardi L., Smolianov [Smolyanov] O.G. On Laplacians and traces // Rendiconti del Seminario Matematico dell'Universita di Bari. 1993. Vol. 250. P. 1-25.

4. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Классические и неклассические лапласианы Леви // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417, № 1. С. 7-11.

5. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Обобщенные лапласианы Леви и чезаровские средние // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424, № 5, C. 583-587.

6. Accardi L., Ji U.C., Saitô K. Ехойс Laplacians and Derivatives of White Noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2011. Vol. 14, no. 1. P. 1-14. DOI: 10.1142/S0219025711004262

7. Accardi L., Ji U.C., Saitô K. The Exotic (Higher Order Levy) Laplacians Generate the Markov Processes Given by Distribution Derivatives of White Noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16, no. 3. Art. no. 1350020 [26 pages]. DOI: 10.1142/S0219025713500203

8. Accardi L., Ji U.C., Saitd K. Higher order multi-dimensional extensions of Cesaro theorem // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2015. Vol. 18, no. 4. Art. no. 1550030 [14 pages]. DOI: 10.1142/S0219025715500307

9. Volkov B.O. Hierarchy of Levy-Laplacians and Quantum Stochastic Processes // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16, no. 4. Art. no. 1350027 [20 pages]. DOI: 10.1142/S0219025713500276

10. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian J. of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2, no. 2. P. 235-250.

11. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2. P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

12. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. B.; N.Y.: Springer, 2006. 382 p.

13. Богачев В.И. Гауссовские меры. M.: Наука, 1997. 352 c.

14. ObataN. White Noise Calculus andFock Space. B.; N.Y.: Springer, 1994. 183 p. (ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 1577).

15. Kuo H.-H. White noise distribution theory. Boca Raton: CRC Press, 1996. 378 p.

16. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. . .. канд. физ.-мат. наук. M., 2014. 94 с.

17. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, №2. C. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372

18. Волков Б.О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2015. T. 290. C. 226-238. DOI: 10.1134/S037196851503019X

19. Волков Б.О. Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №6. С. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138

Mathematics i Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2017, no. 2, pp. 25-38.

DOI: 10.24108/mathm.0217.0000060

Received:

03.05.2017

Electronic journal of the Bauman MSTU http://mathm.elpub.ru

© Bauman Moscow State Technical University

Nonclassical Levy Laplacians in the stochastic analysis

Volkov B. O.1'2'*

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia; 2 Steklov Mathematical Institute of RAS, Moscow, Russia

Keywords: Levy Laplacian, exotic Levy Laplacians, Maxwell's equations, white noise analysis

The Levy Laplacian and the related constructions are the most studied in the Hida stochastic calculus (white noise analysis). This is due to the fact that the natural domain of the (classical) Levy Laplacian in the stochastic analysis over the Wiener measure is a subspace of the space of white noise generalized functional. The interest in the deterministic Levy Laplacian results from its connection with the gauge fields. Namely, the Yang-Mills equations for the connection are equivalent to the Levy Laplace equation for the parallel transport (see the paper [10] by Accardi, Gibilisco and Volovich and also [11,18]). The paper [19] introduces the Levy-Laplacian, defined on the Sobolev class over the Wiener measure, and considers its connection with the stochastic parallel transport and Maxwell's equations, which are a linear case of the Yang-Mills equations. In this paper we construct a special Hida-Kubo-Takenaka space and a family of non-classical Levy Laplacians, which action is based on the generalized white noise functional. This family includes the family of exotic Levy Laplacians, which, in turn, includes the classical Levy Laplacian. We show that one of the non-classical Levy Laplacians, which is non-exotic, agrees with the Levy Laplacian, introduced in [19], up to the natural isomorphism. Moreover, using the second quantization operator we prove a formula connecting various elements of the family of non-classical Levy Laplacians. In this case, we use the idea from the papers [6, 7]. One expects that the paper results can be extended to the non-commutative case of the Yang-Mills fields. One also expects that the results remain true for the Hida-Kubo-Takenaka spaces of a general form.

1. Levy P. Problemes concrets d'analyse fonctionnelle. 2nd ed. P.: Gauthier-Villars, 1951. (Russ. ed.: Levy P. Konkretnye poblemy funktsional'nogo analiza. Moscow: Nauka Publ., 1967.

References

510 p.).

2. Averbukh V.I., Smolyanov O.G. The theory of differentiation in linear topological spaces. Russian Mathematical Surveys, 1967, vol.22, no. 6, pp. 201-258. DOI: 10.1070/RM1967 v022n06ABEH003761

3. Accardi L., Smolianov [Smolyanov] O.G. On Laplacians and traces. Rendiconti del Seminario Matematico dell'Universita di Bari, 1993, vol. 250, pp. 1-25.

4. Accardi L., Smolyanov O.G. Classical and nonclassical Levy Laplacians. Doklady Mathematics, 2007, vol. 76, no. 3, pp. 801-805. DOI: 10.1134/S1064562407060014

5. Accardi L., Smolyanov O.G. Generalized Levy Laplacians and Cesaro means. Doklady Mathematics, 2009, vol. 79, no. 1, pp. 90-93. DOI: 10.1134/S106456240901027X

6. Accardi L., Ji U.C., Saitô K. Ekhotis Laplacians and derivatives of white noise. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2011, vol. 14, no. 1, pp. 114. DOI: 10.1142/S0219025711004262

7. Accardi L., Ji U.C., Saitô K. The Exotic (higher order Levy) Laplacians generate the Markov processes given by distribution derivatives of white noise. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2013, vol. 16, no. 3, art. no. 1350020 [26 p.]. DOI: 10.1142/S0219025713500203

8. Accardi L., Ji U.C., Saitô K. Higher order multi-dimensional extensions of Cesaro theorem. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2015, vol. 18, no. 4, art. no. 1550030 [14 p.]. DOI: 10.1142/S0219025715500307

9. Volkov B.O. Hierarchy of Levy-Laplacians and quantum stochastic processes. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2013, vol. 16, no. 4, art. no. 1350027 [20 p.]. DOI: 10.1142/S0219025713500276

10. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians. Russian J. of Mathematical Physics, 1994, vol. 2, no. 2, pp. 235-250.

11. Leandre R., Volovich I.V. The stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 161-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

12. Nualart D. TheMalliavin calculus and related topics. 2nd ed. B.; N.Y.: Springer, 2006. 382 p.

13. Bogachev V.I. Gaussovskie mery [Gaussian measures]. Moscow: Nauka Publ., 1997. 352 p. (in Russian).

14. ObataN. White Noise Calculus andFockSpace. B.; N.Y.: Springer, 1994. 183 p. (ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 1577).

15. Kuo H.-H. White noise distribution theory. Boca Raton: CRC Press, 1996. 378 p.

16. Volkov B.O. Laplasiany Levi i sviazannye s nimi konstruktsii. Kand. diss. [Levy-Laplacians and related constructions. Cand. diss.]. Moscow, 2014. 94 p. (in Russian).

17. Volkov B.O. Levy d'Alambertians and their application in the quantum theory. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo Universiteta. Ser. fiziko-matematicheskie nauki [J. of Samara State Technical Univ. Ser. Physical and Mathematical Sciences], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372 (in Russian)

18. Volkov B.O.Levy Laplacians and instantons]. Proc. of the Steklov Institute of Mathematics, 2015, vol. 290, iss. 1, pp. 210-222. DOI: 10.1134/S008154381506019X

19. Volkov B.O. Stochastic Levy Laplacian and d'Alambertian and Maxwell's equations. Matem-atika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2015, no. 6, pp. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138 (in Russian)