Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

http://mathmjournal.ru

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №5. С. 1-16.

БОТ: 10.7463/шаШш.0515.0820322

Представлена в редакцию: 07.10.2015

Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

05.11.2015

УДК 517.98

Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла

В работе доказано, что значение функционала действия полей Максвелла на связности (векторе-потенциале) совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для ки-ральных полей, полученного с помощью чезаровского усреднения, на соответствующей связности стохастическом параллельном переносе. Кроме того, в статье по аналогии с лапласианом Леви вводится стохастическая дивергенция Леви и доказывается, что связность является решением уравнений Максвелла тогда и только тогда, когда соответствующий стохастический параллельный перенос является решением уравнения, содержащего такую дивергенцию и являющегося бесконечномерным аналогом уравнения движения кирального поля.

Ключевые слова: уравнения Максвелла; лапласиан Леви; дивергенция Леви; стохастический параллельный перенос; киральные поля

Напомним общую схему определения однородных линейных дифференциальных операторов второго порядка из статьи [1]. Пусть Е — вещественное банахово пространство и Е* — его сопряженное пространство. Если f е С1 (Е, К), то для каждого х е Е выполняется (х) е Е* и ^(х) е Ь(Е, Е*). (Везде ниже символом , ), где и — банаховы пространства, обозначается пространство линейных непрерывных операторов из в С2, символом Ск (С1, й2) — пространство к раз всюду дифференцируемых по Фреше функций из в й2.)

Рассмотрим линейный вещественный функционал 5, определенный на пространстве 5 С Ь(Е, Е*). Областью определения Ds дифференциального оператора второго порядка Ds, порожденного линейным функционалом 5, является подпространство С1 (Е, Е*), состоящее из всех функций ^ для которых ^(х) е ^ш 5 для каждого х е Е. Оператор ^ш Ds действует следующим образом: Ds^х) = 5(^(х)) для х е Е, f е ^ш Ds. Заметим, что функционал 5 также задает дифференциальный оператор ds, действующий на С1 (Е, Е*) и принимающий значения в пространстве вещественных функций на Е. Областью определения ^ш ds дифференциального оператора ds является подпространство С1 (Е, Е*),

Волков Б. О.1'2'*

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия

Введение

состоящее из всех функций j, для которых ^(ж) € 5 для каждого х Е Е. Оператор ds действует следующим образом: Dsf(x) = 5(^(х)) для х € Е, f € doшDs. Если Е = Е^, а — это след, то Dtr — это лапласиан и dtr — это дивергенция.

Пусть теперь Е непрерывно вложено в бесконечномерное действительное сепарабельное гильбертово пространство Н так, что образ Е при вложении плотен в Н. Тогда Е С Н С С Е* — оснащенное гильбертово пространство. Зафиксируем в Н ортонормированный базис {еп}, состоящий из векторов пространства Е. Лапласиан Леви , порожденный базисом {еп} — это дифференциальный оператор второго порядка, порожденный функционалом ^ (следом Леви), который определяется следующим образом:

1 п

^(Я) = Иш -]Т(Явк,вк), (1)

п^оо п *-'

п к= 1

а область определения которого состоит из всех Я Е Ь(Е, Е*) для которых правая часть (1) существует [2]. Дифференциальный оператор dtrL мы будем называть дивергенцией Леви.

Интерес к лапласиану Леви, его обобщениям и аналогам вырос после того как в [7, 8] (см. также [3]) была доказано, что связность в тривиальном векторном расслоении является решением уравнений Янга — Миллса, когда порожденный связностью параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для лапласиана Леви. При этом в этих работах использовался отличный от описанного выше подход к определению лапласиана Леви, а именно этот оператор определялся как интегральный функционал, заданный специальным видом второй производной. Связи лапласианов Леви и уравнений Янга-Миллса посвящены работы [9, 12, 13], причем в первой из этих работ в том числе был введен стохастический лапласиан Леви, определенный с помощью специального вида второй производной, и было найдено его значение на стохастическом параллельном переносе.

Данная работа посвящена связи стохастической дивергенции Леви, стохастического параллельного переноса и уравнений Максвелла (коммутативного случая уравнений Янга — Милсса). Если В — линейное непрерывное отображение из пространства Камерона — Мартина меры Винера Р в соболевский класс ^21(Р) по этой же мере, а DB — обобщенная производная В, то стохастическая дивергенция Леви определяется по формуле ^ DB, которой придается смысл как предел в Ь2(Р). В статье выводится бесконечномерное уравнение, содержащее стохастическую дивергенцию Леви, такое, что стохастический параллельный перенос является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда соответствующая связность является решением уравнений Максвелла. При этом полученное уравнение является бесконечномерным аналогом уравнения движения киральных полей.

Напомним, что д: ^ С (где С — матричная группа Ли) — киральное поле [5], его интеграл Дирихле имеет вид

У tг(дмд(х)3^д-1(х)) dx, (2)

а уравнения движения:

]Г д,(д-1(х)д,д(х)) = сЦу А = 0, (3)

где Ам = д-1(х)д^д(х). О связях между бесконечномерными аналогами киральных полей и уравнениями Янга — Миллса см. [11, 3].

В статье показано, что функционал действия можно выразить с помощью аналога выражения (2) (интеграла Дирихле), где вместо кирального поля берется стохастический параллельный перенос, в вместо суммирования берется усреднение по Чезаро. Заметим, что форма Дирихле, порожденная лапласианом Леви рассматривалась в [6].

Статья построена следующим образом. В первом разделе напоминаются общие сведения об уравнениях Максвелла, которые рассматриваются как уравнения в тривиальном главном расслоении со структурной группой и(1) на связность га. Во втором разделе находится первая производная стохастического параллельного переноса, порожденного этой связностью. В третьем разделе, доказывается, что значение функционала действия полей Максвелла на 1-форме га совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для киральных полей, полученного с помощью чезаровского усреднения, на соответствующем стохастическом параллельном переносе. При этом используется результат предыдущего раздела. В четвертом же разделе вводится стохастическая дивергенция Леви и доказывается, что связность является решением уравнений Максвелла тогда и только тогда, когда соответствующий стохастический параллельный перенос является решением уравнения, содержащего такую дивергенция.

1. Уравнения Максвелла

Везде ниже греческие индексы пробегают значения 1,.. ., ¿, если не оговорено противное. Пусть {р1,... ,ра} — ортонормированный базис в М^. Символом обозначим евклидову метрику, а символом п^ метрику Минковского (мы считаем, что в базисе {р1,... ,ра} метрика П задается диагональной матрицей с диагональю {+1, -1,..., -1}). Мы будем опускать и поднимать индексы с помощью евклидовой метрики и суммировать, используя обозначения Эйнштейна.

Пусть а(х) = а^(х)йх^ — вещественная С^-гладкая 1-форма на Е^. Пусть 2-форма /(х) =52 (х)^хм Л ¿хи определена формулой /^ = д^аи — дуам. Тогда га(х) является связностью в тривиальном векторном расслоении, ассоциированном с главным расслоением

х и(1), а форма г/(х) — тензором кривизны. Уравнения Максвелла без источника в евклидовом случае можно рассматривать как уравнение на 1 -форму а, имеющее вид

д/» = 0.

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала действия

/ /г (х) /^ (х) ¿х.

к

Уравнения Максвелла без источника в случае пространства Минковского можно рассматривать как уравнение на 1-форму а, имеющее вид

= 0.

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала действия

/ Л/ (x) /лк(х) dx.

Форма a(x) в случае четырехмерного пространства-времени имеет физический смысл вектора-потенциала, а форма /(x) электромагнитного поля.

2. Стохастический параллельный перенос и его первая производная

Пусть (П, F, P) — каноническое вероятностное пространство, ассоциированное с d-мер-ным броуновским движением на отрезке [0, 1], т.е.

П = Co([0,1],Rd) := {y е C([0,1],R4): y(0) = о} ,

F — пополнение борелевского а-поля на C0([0,1], Rd) с помощью меры Винера P. Символом bt = (b^,..., bd) будем обозначать d-мерный винеровский процесс, а символом (Ft) — порожденный этим процессом возрастающий поток а-полей. В статье мы будем обозначать дифференциал Ито символом db, а дифференциал Стратоновича символом odb. Пространство

W02,1 ([0,1], Rd) = {y — абсолютно непрерывная, y(0) = 0, y е L2((0,1), Rd)} —

пространство Камерона — Мартина (пространство дифференцируемости) меры Винера.

Соболевский класс W(P) — пополнение вещественных бесконечно гладких цилиндрических функций с компактным носителем на C0([0,1], Rd) относительно соболевской нормы

г , , те \ р/2\ 1/p

I|F ||P,r = E 4 E (^ ...deik F)2 , k=1 4 Xii...ik = 1 ' '

где {en} — некоторый ортонормированный базис в W02,1([0,1], Rd). Символ Wp^P) обозначает проективный предел proj lim Wp^P).

p^+те

Для каждого h е W'1 ([0,1],Rd) оператор dh замыкаем как оператор из Wp(P) в Lp(P) для каждого p > 0. Будем обозначать замыкание dh тем же символом, а также символом Dh. Если F е Wp(P), то DtF — случайный процесс, определяемый почти всюду по мере Л х P формулой

1

DhF = dhF = J(DtF, h(t))Rddt

для к е ([0,1], М^) (здесь Л — мера Лебега на отрезке [0,1]). Старшие производные определяются аналогично. (О различных способах определить соболевские классы относительно гауссовских мер и о их эквивалентности см., например, [4] и цитированную там литературу.)

Мы считаем, что а. ограничены со всеми производными до третьего порядка включительно константой С > 0, т.е.

вир(|а.(х)|, |д Vа. (х )|, |длд Vа. (х )|, дд\дvа.(х)|) < С

Стохастический параллельный перенос иа'х(Ь, Ь), порожденный а, где х е К — случайный процесс, определенный формулой

ь

-г [ a^(x+bs)odbli

иа'х(Ь,г) = е 0 .

Предложение 1. Выполняется Ца'х(Ь, 1) е С. Если и е W2'1([0,1],^), то

выполняется равенство

1

^ "х(Ь, 1) = -гиа'х(Ь, 1) / ¡.V(х + Ьг)и.(Ь) о (Щ

дуДа'х(Ь, 1) = -гиа'х(Ь, 1) | ¡.V(х + Ьг)и»(Ь) о (Щ - гиа'х(Ь, 1)а.(х + Ь^и.(1) =

0

= -гиа,х(Ь, 1) У ¡.V(х + Ьг)и»(Ь)Щ + 11 дv¡;(х + Ь*К(*)(А -

- гиа'х(Ь, 1)а.(х + Ь1К(1). (4) г

Доказательство. Рассмотрим случайный процесс Za'x(Ь,Ь) = /а.(х + Ьг) о (Ь.. В

0

силу леммы 1.3.4 из [10] Za'x(Ь, 1) е W2,(P) и выполняется равенство

1

Б^а'х(Ь, 1) = а.(х + Ьг) + / да(х + Ьг) о . (5)

г

В силу ограниченности а и ее первых и вторых производных 0^а'х(Ь, 1) е Ьр(Р) для всех р > 1. Тогда в силу предложения 1.5.5 из [10] Za'x(Ь, 1) е ). Получаем

1

БйZa'x(Ь, 1) = ду^а'х(Ь, 1) = I В^а>х{Ь, 1)и"(*) (г =

0

1 1

У(а.(х + Ьг) + У да(х + Ьг) О (Щ,)и.(г) (Ь.

0

По формуле Ито

1

I.V(х +

Виzа,х(Ь, 1) = ¡.V(х + Ьг)и.(Ь) О (Щ + а.(х + Ь1К(1).

Поскольку Ua'x(b,t) = e iZa,x(b,t), согласно предложению 1.2.3 из [10] получаем Ua'x(b,t) е е Wf° ®R C и DuUa'x(b, 1) = -iUa'x(b, 1)DuZa'x(b, 1). Так мы получили (4).

3. Функционал действия

В этом разделе показано, что значение функционала действия полей Максвелла на

1-форме а совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для

киральных полей, полученного с помощью чезаровского усреднения, на соответствующем

1-форме а стохастическом параллельном переносе их'"(6,1).

1 п

Будем обозначать Л.п(£) = у2вт пП и /п(з,£) = — ^ Ьк(з)Л,к(¿). Заметим, что

П к=1

lim 1n(s, t)

1, t = s, (t, s) = (0, 0), (t,s) = (1,1); 0, иначе,

(6)

и для всех n е N, (t, s) е [0,1] х [0,1] выполняется

|1n(s,t)| < 2.

(7)

В начале докажем две леммы.

Лемма 1. Пусть к — согласованные с ограниченные процессы. Пусть

1 / t

Rn(b) = ДУ mM(b,s)/„(s,t)db^Jk(b,t) dt. Тогда lim E (R„(b)) = 0.

и^те

Доказательство. Мы докажем более сильное утверждение, а именно, что в L2 (P) выполняется равенство lim Rn(b) = 0.

и^те

Пусть всюду |mM(b, t)| < K и |k(b, t)| < K .В силу теоремы Фубини

I|Ru(b)l2 = e((f(fhM(b,s)/u(s,t)db^)k(b,t)d^ ) =

00

1 1 / ti

0 0 0

E\j j\j h^(b,S1)/u(s1,t1)db^^| hM(b,S2)/u(s2,t2)db^^ k(b,t2) k(b,t1) dt^J <

1 1 ti

< eJJJ hM(b,S1) 1n(s1 ,t1)db^1

00

x

t2

hM(b, S2) 1u(S2,t2) db(fr

k(b,t2) k(b,t1)) dt1dt2.

Тогда

шад <

11 ti

< -

K 2eJJJ hß(b,si)ln(si,ti)db% 0 0 0 1 1 ti

K2eJJJ hß(b,S1)ln(s1,t1)dbß1

t2

hß(b,s2)ln(s2,t2)dbß )

dt1 dt2 <

0 0 0 1 / t

t2

hß (b,s2 )ln (s2,h)dv:2

dt1 dt2 <

1 / t

< K2 J EU hß (b,s)ln(s,t)dbn dt < K2 J EU hß (b,s)hß (b,s)% (s,t) dsjdt <

00

00

1 t '4 [ f i2,

< dK4 / ln(s,t) dtds.

00

Тогда утверждение леммы в силу (6) и (7) следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

Лемма 2. Пусть г, к — согласованные с (Тг) ограниченные процессы. Пусть

1 / t

Rn(b)

00

r(b, s) ln(s, t) dsj k(b, t) dt.

Тогда в L2(P) выполняется lim En = 0.

n—

Доказательство. По теореме Фубини

E(En(b)) = E ^J^J r(b, s) ln(s, t) ds^J k(b, t) dtj = J j E(r(b, s) k(b, t) ln(s, t)) dsdt.

Тогда утверждение леммы в силу (6) и (7) следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

Предложение 2. Выполняется равенство

nlim n £ E(dp^hk (Ua,x)-1(b, l)dp^hkUa,x(b, 1)) = e( f fßv(x + bt) f;(x + bt) dtY

n k=1 \q '

Доказательство. Заметим, что в силу предложения 1 выполняется

dP^hn (Ua,x)-1 (b, 1)dp,hnUa,x(b, 1) = fßV(x + bt) hn(t) о db^ . Применяя формулу Ито, мы получаем

( 1 N 2 1

11 fßV (x + bt) hn(t) ◦ dbvt) = j f v (x + bt) f; (x + bt) hn(t) dt + 00 1(t \ + 2 Д j fßV(x + bs) hn(s) о dbvs j fßX(x + bt) hn(t) dbxt +

1 ( t \

+ / / f^s (x + bs) hn(s) о dbss\ dxft(x + bt)hn(t) dt.

00

00

2

2

Выполняется

Е( / ( I (х + 6в) М*) ◦ ¿6^ /мл(х + 6*) Лп(*) ¿64л ) = 0.

0 ч0

В силу лемм 1 и 2 выполняется

Игл Е ^I ^I /^(х + 6в) /п(*, ¿) ◦ ¿6^ дл/л(х + 6*) = 0.

Мы получаем

1 п

п11ш П Е Е(др^(иа,х)-1(6,1)др^иа,х(6,1))

к=1

1 \ / 1

п1лш Е ^ /^(х + 6*) (х + 6;) /п(*, *) = Е ^ (х + ) (х + 6;)

Последнее равенство выполняется в силу теоремы Лебега. Теорема 1. Если

//м^ (х) /^ (х) ¿х < то рл^/

| дм/^(х) 5л/(х) ¿х< то,

то

1

Цш П Е Е / Е^ (иа,х)-1 (6,1) др^иа,х(6,1)] ¿х = I /м,(х) /^(х) ¿х (8)

к=1 м=и я \ /

и

1 I Щд^Нк(иа,х)-1(6,1) иа,х(6,1) -

к=1тг

- Е дРмНк (иа,х)-1(6,1) др^иа,х(6,1)) ¿х) = I (х) /лк(х) ¿х. (9)

м=2 / ТП>Л

Доказательство. Введем обозначения

(х) = Е | I /м^ (х + 6*) (х + 6*

С1(х) = /м^ (х + 6*) /^ (х + 6*) , С2(х) = Е ^I дм/мл(х + 6*) д^/"л(х + 6*) .

По теореме Тонелли — Фубини

J С1(х) ¿х = J /м^(х) /(х) ¿х < то, У С2(х) ¿х = I дм/мл(х) д^/(х) ¿х < то.

Заметим, что

Е^¡¡.V (х + Ьг) кк(г) О (ЬЦ^ <

/1 \ 2 1 /1 V

< 2Е^| ¡.V (х + Ьг) кк (г)с(Ь^ +1 дv ¡/ (х + Ьг) кк (г) ^

Для всех п е N выполняется

1 \ 2

п Е е( ¡¡.V (х + Ьг) кк (г) (Ь^) < 2С1(х)

п к=1 \д /

и

1

П Е Е(I дVI\ (х + ь,) кк (г) ((г\

к=1 0

х + Ьг) кк (

= п Е е(1/8, ¡; (х + Ьг) кк (гшл. (х + Ьв) кк (в) с(гс(8] < п к=1 0 0

1 " 1 1

< п Е/ / Е(д!А(х+Ьг) д! ¡ ^(х+Ьг) кк (г)+д.ГА(х+ЬвЯ ¡vЛ(x+Ь3) к2 (в)) (г(в <

к=10 о

< 4Е^I д.Гл(х + Ьг) дv¡"Л(х + Ьг) ^ = 4С2(х).

0

Тогда равенство (8) следует из предложения 2 и теоремы Лебега. Равенство (9) доказывается аналогично.

4. Стохастическая дивергенция Леви

В этом разделе вводится стохастическая дивергенция Леви и выводится бесконечномерное уравнение, содержащее такую дивергенцию, эквивалентное уравнениям Максвелла.

ПустьЬ(Ш02'1([0,1], МЛ),Ш1(Р)0КС) = №(Р)0кС) 0 Ж02,1([0,1], №*) —пространство линейных непрерывных функционалов из Ж02,1([0,1], в Ш2,(Р) С.

Определение 1. Дивергенция Леви ^у^ в случае евклидова пространства — линейный оператор из ^ш&у^ в Ь2(Р), определенный формулой

1 п d

^в(Ь) = пш пЕЕдР1лкв(Ь)(р.кк), (10)

п к=1.=1

где ряд сходится в Ь2(Р), а областью определения ^ш&у^ являются все

В е Ь(Ж02,1([0,1],Rd),W21(P)), для которых правая часть (10) существует.

2

Определение 2. Дивергенция Леви в случае пространства Минковского — линейный оператор из ёсш&у^ в Ь2(Р), определенный формулой

1 п / * \ а1у£в(6) = пИш - Е дР1Нкв(6)(Р1^к) - Е дРмНкв(6)(рм^к), (11)

- к=Л м=2 У

где ряд сходится в Ь2(Р), а областью определения ^ш&у^ являются все

В е Ь(Жо2,1([0,1], К*), ^(Р) С)),

для которых правая часть (11) существует.

Пример 1. Пусть d =3, ем^л — полностью антисимметричный единичный тензор. Пусть Ь е Ь(Ж02,1([0,1], К*), Ж1(Р) С) определена формулой

1

Ь°(6)(Ь) = | ^л/"л(х + 6;)Лм(£) 0

Тогда из тождества Бьянки следует, что

1

Ь"(6) = 1 ^лдм/^л(х + 6*) = 0. 0

Определим В"'ж е Ь(Ж02,1([0,1],К*), Ж1(Р)) формулой

1

В"'х(6, и) = (иа'ж(6))-1д«иа'х(6)) = -г | /м^(х + 6*) им(£) о ¿6? + Шм(60 им(1).

0

Предложение 3. Выполняются равенства

1 1

В",х(6) = -г | дм/м (х + 6*) о ¿6? = -г | дм/м,(х + 6*) , 00 1

В",х(6) = -г | плмдл/м^(х + 6*) о ¿6?. (12)

0

Доказательство. Пусть Л, е Ж02,1([0,1],К) и Л(1) = 0. Тогда

1

DtмBа,х(6)(рмЛ) = -г | дм/м^(х + 6*) Л(*) о ¿6?

Поэтому в силу леммы 1.3.4 из [10] выполняется

1

дРмнВа,х(6)(рмЛ) = -г | дм/м^(х + 6*) Л2(£) о ¿6?.

о

Введем обозначения

1 п ^

ЗГ (6) = -¿-- ЕЕ V* В ",х(6)(рмЛк).

- к=1м=1

Тогда

е(} дм/м(х + 6^6" - 5^(6)) = Е^I дм/м(х + 6*) дл/л"(х + 60 (1 - - Е Лк(í))2d^ По теореме Лебега о мажорируемой сходимости

п1кп е (I дм/м (х + 6*) - (6)1 = 0.

Формула (12) доказывается аналогично.

Теорема 2. Следующие условия равносильны:

1) дм/ м = 0;

2) В"'х = 0 для некоторого х е К*.

Доказательство. Пусть для некоторого х е К* выполняется ^у^ В = 0. Тогда

0 = Е| В",х|2 = Е | дм/м^(х + 6*) дл/л"(х + 6*) =

0

1

= // дм/м(х + У) дл/л"(х + у)(2п*)-1 е- ^ 0

Следовательно, дм/'V = 0. В другую сторону доказательство теоремы тривиально. Теорема 3. Следующие условия равносильны:

1) Плмдл/^ = 0;

2) В"'х = 0 для некоторого х е К*.

Доказательство. Пусть для некоторого х е К* выполняется divLВ= 0. Для С е Ж02,1([0,1], К*) пусть

щ = ехр[I (í)d6V - 11|С(*)|2 л) — ^0 0 '

когерентное состояние. Для Е е Ь2(Р) пусть 5Е(С) = Е(Е^). Заметим, что

>(С,*) := 5(плмдл/м"(х + 64))(£) = I плмдл/^(х + у + С(*))(2п*)-яе-1212 ¿у, (13)

*(С,*) := 5(пл^/м"(х + 64))(С) = I плмдлд"(х + у + С(*))(2п*)-яе-1212¿у, а также

1 1

0 = 5 (^ Ва,х)(С) = / > (с,*)С" (*)л + / *(С,*) л.

00

Если £ е W02,1([0,1], Rd), то символ £r (где r е [0, 1]) обозначает кривую, определенную

так:

Тогда

и

js (£r ,t)

z(£r,t)

Тогда

£r (t)

£(t), t < r; £(r), t > r.

js (£,t),

t < r;

f nXßdtfßs(x + y)(2nt) d e-"y 2r"' dy, t > r.

z(£,t),

t < r;

, d lly —¿(r)n

f ntßdtdsfs(x + y)(2nt)-de-" 2« " dy, t > r.

0 = S(divLBa,x)(£r) = / js(£,t)£s(t) dt + z(£,t) dt + z(£r,t) dt.

(14)

Пусть теперь £ е C 1([0,1],Rd) и £(0) = 0. Тогда, дифференцируя обе части (14) по r, получаем

0 = js(£,r)£s(r) + f drz(£r,t) dt.

r

Тогда для всех £ е C 1([0,1], Rd), таких, что £(0) = 0, выполняется

js (£, 1) (1) = 0.

Отсюда в силу (13) следует rqtßd\fßs = 0. В другую сторону доказательство теоремы тривиально.

Замечание 1. Пусть öa(x) — C^-гладкая 1-форма. Тогда в L2(P) выполняется

lim1 (Ua+£&a'x(b, 1) - Ua'x(b, 1)) = -iUa'x(b, 1) С1Saß(x + bt) о db?\.

Обозначим правую часть предыдущего равенства символом dsa(Ua'x)(b). Пусть dßSaß = 0 (Sa удовлетворяет лоренцевской калибровке), тогда верно равенство

Sax(x)dßf ßX(x) dx = E(dSa(Ua'x)(b) (Ua'x)-1(b) divL Ba'x(b)) dx

(15)

Заключение

В настоящей работе введена стохастическая дивергенция Леви, определенная с помощью чезаровского усреднения, и изучена связь этого оператора с уравнениями Максвелла на евклидовом пространстве и на пространстве Минковского. Получено бесконечномерное уравнение, содержащее такую дивергенцию, эквивалентное уравнениям Максвелла, причем

2

2

1

r

r

полученное уравнение является аналогом уравнения движения кирального поля. Кроме того, в статье показано, что функционал действия полей Максвелла можно представить как аналог функционала Дирихле для киральных полей, также определенного с помощью чезаровского усреднения.

В следующей статье будет показано, что подход, используемый в настоящей работе, можно использовать для определения стохастических лапласиана и даламбертиана Леви, но в отличии от детерминированного случая такой лапласиан Леви не совпадет с лапласианом Леви, определенным с помощью специального вида второй производной в работе [9] Р. Леандра и И.В. Воловича.

Можно предположить, что результаты, представленные в статье, обобщаются на некоммутативный случай полей Янга — Миллса. Это означает, что нелинейные конечномерные уравнения Янга — Миллса могут быть эквивалентны линейному уравнению на бесконечномерную 1-форму, порожденную параллельным переносом.

Список литературы

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье // Труды Моск. Мат. Общества. 1972. Т. 27, С. 249-262.

2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа — Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Матем. заметки. 2002. Т. 72, № 1. C. 145150.

3. Арефьева И.Я., Волович И.В. Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях // Обобщенные функции и их применения в математической физике. Тр. Междунар. конф., ВЦ АН СССР, М., 1981. С. 43-49.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 с.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. 2-е изд., перераб.. М.: Наука, 1986. 760 с.

6. Accardi L., Bogachev V.I. The Ornstein-Uhnlenbeck process associated with the Levy-Laplacian and its Dirihlet form // Probab. Math. Statist. 1997. Vol. 17. P. 95-114.

7. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russ. J. Math. Phys. 1994. Vol. 2, no. 2. P. 235-250.

8. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations // Rendiconti Lincei. 1993. Vol. 4, no. 3. P. 201-206. DOI: 10.1007/BF03001574

9. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang — Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2. P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

10. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2006. 382 p.

11. Polyakov A.M. Gauge fields as rings of glue//Nuclear Physics B. 1980. Vol. 164. P. 171-188. DOI: 10.1016/0550-3213(80)90507-6

12. Volkov B.O. Levy Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, no. 4. Art no. 1250027-1/19. DOI: 10.1142/S0219025713500276

13. ВолковБ.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории //Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, №2. C. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372

Mathematics i Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 5, pp. 1-16.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322

Electronic journal of the Bauman MSTU http://mathmjournal.ru

Received: Revised:

07.10.2015 05.11.2015

© Bauman Moscow State Technical University

Stochastic Levy Divergence and Maxwell's Equations

Volkov B. O.1'2'*

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia 2Steklov Mathematical Institute of RAS, Moscow, Russia

Keywords: Levy Laplacian, Levy Divergence, Maxwell's equations, stochastic parallel transport, chiral

fields

One of the main reasons for interest in the Levy Laplacian and its analogues such as Levy d'Alembertian is a connection of these operators with gauge fields. The theorem proved by Accardi, Gibillisco and Volovich stated that a connection in a bundle over a Euclidean space or over a Minkowski space is a solution of the Yang-Mills equations if and only if the corresponding parallel transport to the connection is a solution of the Laplace equation for the Levy Laplacian or of the d'Alembert equation for the Levy d'Alembertian respectively (see [5, 6]). There are two approaches to define Levy type operators, both of which date back to the original works of Levy [7]. The first is that the Levy Laplacian (or Levy d'Alembertian) is defined as an integral functional generated by a special form of the second derivative. This approach is used in the works [5, 6], as well as in the paper [8] of Leandre and Volovich, where stochastic Levy-Laplacian is discussed. Another approach to the Levy Laplacian is defining it as the Cesaro mean of second order derivatives along the family of vectors, which is an orthonormal basis in the Hilbert space. This definition of the Levy Laplacian is used for the description of solutions of the Yang-Mills equations in the paper [10].

The present work shows that the definitions of the Levy Laplacian and the Levy d'Alembertian based on Cesaro averaging of the second order directional derivatives can be transferred to the stochastic case. In the article the values of these operators on a stochastic parallel transport associated with a connection (vector potential) are found. In this case, unlike the deterministic case and the stochastic case of Levy Laplacian from [8], these values are not equal to zero if the vector potential corresponding to the stochastic parallel transport is a solution of the Maxwell's equations. As a result, two approaches to definition of the Levy Laplacian in the stochastic case give different operators. This situation is different from the flat deterministic case, which is discussed in [11].

It can be expected that the work can be summarized in the non-commutative case of the Yang-Mills theory.

References

1. Averbukh V.I., Smolyanov O.G., Fomin S.V. Generalized functions and differential equations in linear spaces. II. Differential operators and their Fourier transforms. Tr. Mosk. Mat. Obs., 1971, vol. 27, pp. 249-262. (in Russian)

2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа — Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Матем. заметки. 2002. Т. 72, № 1. C. 145150. Accardi L., Smolyanov O.G. Levy-Laplace Operators in Functional Rigged Hilbert Spaces. Matem. zametki, 2002, vol. 72, no. 1, pp. 145-150. (English version of journal: Math. Notes, 2002, Vol. 72, no. 1, pp. 129-134. DOI: 10.4213/mzm658)

3. Aref'evaI.Ya., Volovich I.V. Higher order functional conservation laws in gauge theories. Proc. Int. Conf. Generalized Functions and their Applications, in Mathematical Physics, Academy of Sciences of the USSR, Moscow, 1981, pp. 43-49. (In Russian)

4. Bogachev V.I. Gaussian measures. Rhose Island, American Mathematical Society, 1998. (Russ. ed.: Bogachev V.I. Gaussovskie mery. Moscow, Nauka publ, 1997. 352 p.)

5. DubrovinB.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Sovremennajageometrija: Metody iprilozhenija. 2-e izd. [Modern Geometry: Methods and Applications. 2nd ed.]. Moscow, Nauka publ., 1986. 760 p. (In Russian)

6. Accardi L., Bogachev V.I. The Ornstein-Uhnlenbeck process associated with the Levy-Laplacian and its Dirihlet form. Probability and Mathematical Statistics, 1997. Vol. 17, iss. 1, pp. 95-114.

7. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians. Russian Journal of Mathematical Physics, 1994, vol. 2, no. 2, pp. 235-250.

8. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. The Levy Laplacian and the Yang-Mills equations. Rendiconti Lincei, 1993, vol. 4, no. 3, pp. 201-206. DOI: 10.1007/BF03001574

9. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no. 2. P. 161-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449

10. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin, Springer-Verlag, 2006. 382 p.

11. Polyakov A.M. Gauge fields as rings of glue. Nuclear Physics B, 1980, vol. 164, pp. 171-188. DOI: 10.1016/0550-3213(80)90507-6

12. Volkov B.O. Levy Laplacian and the Gauge Fields. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2012, vol. 15, iss. 4. Art no. 1250027 (20 pages). DOI: 10.1142/S0219025713500276

13. Volkov B.O. Levy d'Alambertians and their application in the quantum theory. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki = Journal of Samara State Technical University. Series Physical and Mathematical Sciences, 2015. Vol. 19, no. 2, pp. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372 (in Russian)