CC BY
22Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №6. С. 1-14.
Б01: 10.24108/шаШш.0616.0855417
Представлена в редакцию: 28.12.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 517.98
Лапласиан Леви на четырехмерном рнмановом многообразии
Л
Волков Б. О. ' *[email protected]
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия; 2 Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия
Известно, что уравнения Янга — Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа — Леви для параллельного переноса, соответствующего этой связности. Уравнение Лапласа — Леви представляет собой уравнение Лапласа для лапласиана Леви, который можно определить как среднее Чезаро вторых производных вдоль векторов из ортонормированного базиса некоторого гильбертова пространства. Автором для четырехмерного евклидова пространства было доказано, что при определенном выборе ортонормированного базиса уравнение Лапласа — Леви для параллельного переноса эквивалентно уравнениям автодуальности для связности. Связность, являющаяся решением уравнений автодуальности, называется инстантоном и является решением уравнений Янга — Миллса. В настоящей работе определяется лапласиан Леви для случая четырехмерного риманова многообразия. Такой оператор является обобщением как лапласиана Леви, введенного автором, так и лапласиана Леви, введенного Л. Аккарди и О.Г. Смоляновым для риманова многообразия. Рассмотрен случай линейного расслоения над четырехмерным римановым многообразием и уравнений Максвелла. Найдены условия, при которых из того, что параллельный перенос есть гармонический функционал для введенного лапласиана Леви, вытекает, что соответствующая связность является решением уравнений автодуальности. Также рассмотрена связь лапласиана Леви с оператором Лапласа — Бельтрами на многообразии.
Ключевые слова: уравнения Максвелла; лапласиан Леви; параллельный перенос
1. Введение
Лапласиан Леви — это бесконечномерный лапласиан, действующий на функции /, определенной на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Н, по формуле
1 П
д[еп} / (х)= ш- £ (/" ,в*}, (1)
п к=1
где {еи} — ортонормированный базис в Н [1]. По-другому лапласиан Леви можно определить как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной. Одна из основных причин интереса к такому оператору заключается в его связи с калибровочными полями.
В работе [4] Л. Аккарди, П. Джибилиско, И.В. Воловича был предложен бесконечномерный лапласиан, для которого было показано, что параллельный перенос является гармоническим для такого лапласиана тогда и только тогда, когда соответствующая связность А является решением уравнений Янга — Миллса V^ = 0, где Г кривизна, соответствующая связности А. Лапласиан, введенный в [4], был также назван лапласианом Леви, так как он был определен по аналогии с классическим лапласианом Леви как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной. В [10, 11] было показано, что такой лапласиан можно представить как среднее Чезаро вторых производных по формуле (1), где вместо гильбертова пространства рассматривается оснащенное гильбертово пространство (ср. [2]).
В работе автора [11] с помощью лапласианов Леви были описаны инстантоны. Был построен базис (е^} в Ь2([0,1],М4), заданный выбором кривой Т в группе £0(4). Было показано, что параллельный перенос является гармоническим функционалом для } тогда и только тогда, когда соответствующая связность инстантон, т.е. решение уравнений автодуальности: Г = . В указанных выше работах рассматривались уравнения Янга — Миллса в тривиальном расслоении над евклидовом пространстве (четырехмерном евклидовом пространстве в случае инстантонов). Связь лапласианов Леви и калибровочных полей на римановом многообразии рассматривалась в работах [6, 8].
В настоящей работе мы обобщаем понятие лапласиана
Леви Др} на случай четырехмерного риманова многообразия и изучаем связь такого оператора с оператором Лапласа — Бельтрами и уравнениями Максвелла (коммутативным случаем уравнений Янга — Миллса). Мы рассматриваем линейное расслоение над четырехмерным римановым многообразием и находим значение лапласиана Леви Д} на параллельном переносе, порожденном связностью в этом линейном расслоении. Мы находим условия, при которых гармоничность параллельного переноса для такого лапласиана Леви означает, что соответствующая связность является решением уравнений автодуальности. Кроме того, в работе рассматривается связь введенного лапласиана Леви и оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии. Можно ожидать, что результаты работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса. В этом случае уравнения автодуальности не являются линейными уравнениями. Тогда эквивалентность уравнений автодуальности и уравнения Лапласа для лапласиана Д^п} означает, что система конечномерных нелинейных дифференциальных уравнений эквивалентна линейному бесконечномерному дифференциальному уравнению.
2. Лапласиан Леви
Пусть (М, д) — С^-гладкое риманово односвязное многообразие (не обязательно компактное) размерности 4 с римановой метрикой д. Зафиксируем точку т на М. Греческие индексы пробегают (1, 2, 3, 4}. Мы будем поднимать и опускать индексы у тензоров с помощью римановой метрики д.
Пусть ст([0,1],М) = (7 е С^[0,1], М): 7(0) = т}. Пусть $(7,*) — параллельный перенос в ТМ вдоль 7 е С:([0,1], М), порожденный связностью Леви-Чивиты. Если Z е е ТтМ, то везде ниже Z(7, *) = $(7, . Для каждогор е М будем отождествлять элемент
из £0(4) с вращением в ТРМ. Пусть £ е С:([0,1], £0(4)), £ е ТтМ и к е С:([0,1], М), причем к(0) = 0. Для кривой 7 е С^([0,1],М) кривая 7^ е С^([0,1],М), где 5 е (-5, 5) для достаточно малого 5 > 0, определяется формулой:
7^(*)=ехр7(4)(*Ь(*) £(*) £(*,7)),
где ехрр — экспоненциальное отображение в точке р е М.
Пусть (£1, £2,..., — ортонормированный базис в ТтМ. Для каждой кривой 7 е Ст([0,1], М) и для каждого * е [0,1] обозначим через (^(7, *),(7,*),..., £¿(7, *)} ортонормированный базис в Т7(4)М, полученный параллельным переносом (£1, £2,..., вдоль кривой 7[о,4], т.е. £¿(7, *) = 7для всех г е (1,...,
Вспомним определение слабо равномерно плотного ортонормированного базиса в ¿2[0,1], данное в [1] (см. также [7]).
Определение 1. Ортонормированный базис (еп} в ¿2[0,1] называется слабо равномерно плотным, если
п1^ Д(*)(П £ е2(*) - ^ = 0
0 ЧП к=1 J
для любой функции к е ¿^[0,1].
Пусть П — множество слабо равномерно плотных ортонормированных базисов в ¿2[0,1], таких, что еп е С1 ([0,1], М) и еп(0) = еп(1) = 0 для всех п е N. Пример 1. Пусть еп(*) = -\Z2sin пп*, тогда (еп} е П.
Пусть ([0,1], М), М) — пространство М-значных функций на С1 ([0,1], М). Определение 2. Лапласианом Леви, порожденным базисом (еп} е П и кривой £ е е С 1([0,1], £0(4)), называют линейное отображение
Д?'{е"} : ёош Д?'{е"} ^ ([0,1],М),М),
такое, что
1 п а 12
Д?'{е"}/(т)= Ит 1 ££ ь / (/) п-°о п к=1 ^
п ^
" ■ (2)
«=0
где ёош Д^'{бп} — пространство всех функций / е З^С^, ([0,1], М), М), для которых правая
1
часть (2) существует для всех 7 е С^ ([0,1], М).
З а м е ч а н и е 1. Это определение является обобщением определения лапласиана Леви, введенного Л. Аккарди и О.Г. Смоляновым [3] для случая риманова многообразия, и определения лапласиана Леви, порожденного кривой £ е С 1([0,1], £0(4)), введенного автором [11] для случая М = М4 .
Пусть — символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты на М.
Предложение 1. Существует такое е > 0, что функции [—е,е] х [0,1] Э (в,*) ^ (*) и [—е,е] х [0,1] Э (в,*) ^ — (*) принадлежат классу С1. При этом в локальных координатах выполняется
й
Z,h,S в
в=0
7Z'h'S (*) = (^ (7,*),
йв2
А йв2
= — Ь2(*)ГЛк(т (*))(ЗДЯ Ы))Л(5 (*)Я Ы))к
в=0 )
( У(*) = — ^2(^)(2Г^Л(т (*))(5 (*)Я ы))Л(5 (*)Я (7,*))'в +
п в=0
+ дк Г^ (7 (*))(5 (*)Я Ы))Л(5 (*)Я (7,*)Г 'У к(*)) —
— (Ь2(*))П. (7 (*))(5 (*)Я (*)Я (7,*))к.
Доказательство аналогично лемме 4.1 из [8] (см. также [9]).
Следующая теорема связывает оператор Лапласа — Бельтрами Д = на много-
образии М и лапласиан Леви.
Теорема 1. Пусть I е С2(М, К) и функционал Ь: С^([0,1], М) ^ К определен формулой
¿(7) = /о 1(7(*))й*. Если {ви} е П и 5 е С 1([0,1], 50(4)), то
1
Д^^Ы = / Д/(7(*)) й*.
о
Доказательство. Пусть Л, е С 1([0,1], К) и Л,(0) = 0. Выполняется цепочка равенств
) =
V —
йв2
в
в=0 а
= 53(дА 1(т(*)) — дл/(7 (*))Г^ (7 (*)))(5 (*)^(7, *))"(£ (7,*))" Ь2(*) =
г=1
а
= £ Vs(t)zi(7>t)Vs(t)zi(7>t)^(7 = Д/(т(*))^2(*)
г=1
Последнее равенство выполняется в силу того, что векторы {5(*)21(7,*),..., 5(*)^(7,*)} образуют ортонормированный базис в Т7(4)М.
В силу предложения 1 применима теорема Лебега:
а л2 1 1
£ ¿-2 /1 (тZí'h'S (*)) = / Д1(т(*))Ь2(*) й*.
г=1 в в=0 0 0
Так как {ви} — слабо равномерно плотный базис, выполняется
1 и 1 1
ДР"}Д7) = Иш - £ / Д/(7(*))вк(*) й* = Д/(7(*)) й*.
— I J
к=1
00
Теорема доказана.
3. Уравнения автодуальности
Пусть Е(М, С,п,и(1)) — векторное расслоение над многообразием М со слоем С, структурной группой Ли и(1), проекцией п: Е ^ М. Пусть — открытое покрытие М и : П ^ и (1) — переходные функции, ассоциированные с главным расслоением Р(М, и(1)), ассоциированным с Е. Тогда, если х € то фьь(х) = 1, если х € П Жс, то фЬс(х) = ф—1 (х) и если х € П Жс П ЭД^, то фЬс(х)фс^(х) = Фм(х). Мы можем определить связность как семейство Ж-значных (чисто мнимых) 1-форм {аь(х)}, таких, что аь(х) = а'(х)^х' определена на и для х € П Шс выполняется
а'(х) = а'(х) - ф-с1(х). (3)
Тогда кривизна определяется как Ж-значная 2-форма / (х) на М, такая, что /^ (х) = = (х) — а'(х) при х €
Уравнения Максвелла V/'V = 0 представляют собой уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала действия:
— 2 / /'V (х) / "" (х) Уо1м (ах), (4)
м
где Уо1м — мера объема на М. Пусть ( */— тт^'гав/ав, где — полностью антисимметричный единичный тензор на М. Обозначим /+ = 1 (/ + /) и /_ = 1 (/ — */). Из того, что связность а является решением автодуальности / = */ или антиавтодуальности / = —*/, следует, что связность а является решением уравнений Максвелла.
Пусть Ер обозначает п-1({р}), где р — точка многообразия М. Пусть Е — банахово векторное расслоение, базой которого является банахово многообразие С^,([0,1], М), а слой над 7 € Ст([0,1], М) — это Нош(Ет, Е7(1)). Параллельный перенос Ру — это сечение в Е, которое можно определить следующим образом. Пусть для кривой 7 € С 1([0,1], М) выполняется 7([з,£]) С Жс. Тогда пусть
иС'Лт) = е*р( — / а' (7 (г))Г(г)Д (5)
Для любой 7 € С1 ([0,1], М), рассмотрим разбиение 0 = ¿1 < ¿2 < ... < = 1 отрезка [0, 1], такое, что 7([¿¿,^+1]) С для всех г € {1,..., N — 1}. Для любых п2, п1 € У, таких, что 0 < п1 < п2 < N, мы определим и^12,^^1 (7) следующим образом:
иа:,сп1 (7) = (т) фс„2-1сП2_2 (7(^П2_1))...
„2 V // бп2 ^„2 — 1 ^ тсп2-1сп2-2*
^„1+2,^+1 (7) фсп1+1с„1 (7(^щ+1)) ис 1+1,¿,11
Тогда Ру(7) = и^о 1,с1 (7). В силу (3) определение параллельного переноса не зависит от выбора разбиения.
Определение 2 лапласиана Леви переносится без изменения на пространство сечений в расслоении Е.
Теорема 2. Выполняется равенство
1
Д^'{еп}и1С>^,С1 (7) = — ,С1 (7)/ ^Ыт(*)) 7Л(*) +
+ ,С1 (7) (£/(7твт^лБ(^ы)})й*.
0 Ч=1
Лемма 1. Для любых —2, —1 е N, таких, что 0 < —1 < —2 < N, выполняется
й
иСп2-1'Сп1 (^ Z,h,S ) =
¿по V /в /
п2 '¿п1
в=0 . ¿п
= С^Г(7^^ /(7(*))<5(^(7,*Ж*),т(*)}Л —
¿П1
— аСщ2-1 (7(*П2))<£(*П2(*П2)} + аСщ1 (7(^))<5(^(^)} ) . (7)
и
йв2
(¿п2
— / /.V(т(*))(5(^Ы)ГГ(*Ж*) —
. . /
¿п
и2 и2 и2 и2 и1 и1 и1
+ С22,-пТП1 (7 ^„а?2-1 (7 (*П2 ))(5 (*П2 ^ (*П2 ))"(£ (^ ^ (^ )Г ^) +
+ VXnl (Т(*и1 ))(5 (*П1 (¿щ ))м (5 (¿щ (¿щ)Г ^)) —
¿п2
— и^-ЩГ1 (7)/ Vл/,v(7(*))(5(^Ы)Г(5(^(7,*))ЛГ(*)Ь2(*) й*. (8)
¿П1
Доказательство. Пусть 7 е С^([0,1],М), й е С1 ([0,1],К) и Z е ТтМ. В силу предложения 1 существует такое е > 0, что функция
й
Нс* (в,*) = ас* (^ (*))< (*)} (9)
й
корректно определена на каждом из множеств [—е,е] х производные — НС1 (в,*),
НС4(в, *) существуют и принадлежат классам С([—е, е] х ^+1]). Более того, выполняются следующие равенства:
й
Нс* (в,*) = д. ас; (7 (*))(5 (*)ГГ (*) +
в=0
+ ас; (7 (*))(£(^ (*))") Ь(*) + ас; (7 (*))(5 (^ (*))" М*); (10)
йв2
Нс*(в,*) = {длд.ас;(7(*)) — дкас;(т(*))Г.Л(Т(*)) — 2д.а«(7(*))П(т(*)) +
в=0
2
2
+ ак (7(*)^(ГКл(7(г)) + Пв(7(7(*)) - д,Г^(7(г)))} х х (£(г)Х(г))л(£(г)Х(г))^(г)й2(г) + У,ас;(т(г))(£(г)Х(г))"(£(г)Х(г))"(й2(г))'. (11)
По теореме Лебега
в.
ттСг,с, ^г+Ъ^
г (7
)
-и;
сг ,сг
с ) /
«=0
Нсг (в,*) ¿г.
«=0
Интегрируя по частям, получаем, что для
По теореме Лебега
«=0
ЦГ^ (т^5) выполняется (7).
¿32
%(^) = и^г(7) / ^ нсг(8,г)<й -(7) / ^
«=0 «=0 /
нсг (з,г) ¿г.
«=0
^2
1огда, интегрируя по частям, получаем, что для
и£+ь;г (т^5) выполняется (8). С
«=0
помощью формулы Лейбница для (6) равенства (7) и (8) доказываются по индукции прямыми вычислениями. Лемма доказана.
Группа Ли £0(4) не является простой. Группы ££ и £д — нормальные подгруппы Ли группы £0(4), состоящие из матриц, имеющих вид соответственно
^а —Ь —с —
Ь а — с
с а —Ь
— с Ь а
и
^ а —Ь —с —
Ь а —с
с — а Ь
с —Ь ау
где а, Ь, с, е Е и а2 + Ь2 + с2 + ¿2 = 1.
Пусть £ е С*([0,1], £0(4)). Тогда ££-1 е С([0,1],во(4)) и выполняется (см. [11])
о —Ьь(г) —сь(г) —¿ь(г)\ / 0 —Ьд(г) —сд(г) — ¿д(гЛ
£(г)£-1(г)
Ьь(г) о —¿ь(г) сь(г) сь(г) ^(г) о —Ьь(г) \^(г) —сь(г) Ьь(г) о
+
Ьд(г) о ¿д (г) —сд (г) сд(г) —¿д(г) о Ьд(г) ¿д(г) сд (г) —Ьд (г) о
где Ьь, сь, Ьд, сд, ¿д е С ([о, 1], Е). Пусть Н^ ([о, 1], М) — гильбертово многообразие Н^кривых на М с началом в точке т (см. определение в [5]). Тогда С^([о, 1],М) е е Нт([о, 1], М). Если 7 е Нт([о, 1], М), то пусть X(7, г) снова обозначает параллельный перенос вектора X е ТтМ с помощью связности Леви-Чивиты вдоль 7. Для кривой 7 е
Н1 ([о, 1], М) и г, г е [о, 1] пусть
/ (7, г, г) = Е / (7 (г)) (£(г)^(7, г), £ (г)^(7, г)) м=1
= 26b(r)( f (7 (i))(Z1(7,i),Z2(7,i)) + f (7 (i))(Z3(7,t),Z4(7,t)^ + + 2cL(r) (f (7(t))(z3(y, t), z4(y, t)) - f (Y(t))(z2(y, t), £4(7, t))) +
+ 2dL(r)(f(Y(t))(Zi(Y,t),Z4(Y,t))- f (Y(t))(Z3, (7,t)Z>(7,t))) +
+ 2bR(r)(f(Y(t))(Zi(Y,t),Z2(Y,t))- f(7(t))(Z3(7,t),Z4(7,t))) + + 2cR(r)(f (y (t))(Zi(Y,t),Z3(Y,t)) + f (Y(t))(Z2(Y,t),Z4(Y,t))) +
+ 2dR (r)(f (y (t))(Zi(Y,t),Z4(Y,t)) + f (7 (t))(Z3(Y,t),Z2(Y,t))). (12) Лемма 2. Пусть S G C 1([0,1], SR), причем выполняется
dim span(S?(t)S-1(t)}ie[o,i] = 3.
Следующие условия равносильны:
1) f (7, t, r) = 0 при всех r G [0,1];
2) f (7(t)) = f (7(t)).
Доказательство. Если S G C i([0,1], SR), то = 0, cL = 0, = 0. Таким образом,
f (7, t, r) = £ f (y (t))(S?(r)Z,(Y,t),S (r)Z,(Y,t)) =
= 26r(r)(f(y(t))(Zi(Y,t),Z2(Y,t)) - f(Y(t))(Z3(Y,t),Z4(Y,t))) + + 2cR(r)(f (y (t))(Zi(Y,t),Z3(Y,t)) + f (Y(t))(Z2(Y,t),Z4(Y,t))) +
+ 2dR(r)(f (y (t))(Zi(Y,t),Z4(Y,t)) + f (Y(t))(Z3(Y,t),Z2(Y,t))) =0, (13) если S G Ci([0,1], SR). Так как
dim span(S?(r)S-i(r)}r€[o,i] = 3,
существуют такие ri, r2, r3 G [0, 1], что векторы (bR(r), cR(r^), dR(ri))T при i G {1, 2, 3} линейно независимы. Так как (13) выполняется для r = ri, r2, r3, получаем
' f(Y(t))(Zi(Y,t),Z2(Y,t))- f(7(t))(Z3(Y,t),Z4(Y,t)) = 0; < f(Y(t))(Zi(Y,t),Z3(Y,t)) + f(7(t))(Z2(Y,t),Z4(Y,t)) = 0; (14)
, f(Y(t))(Zi(Y,t),Z4(Y,t)) + f(7(t))(Z3(7,t),Z2(7,t)) = 0.
Условие, что {S(t)Zi(Y, t),..., S(t)Zd(Y, t)} — ортонормированный базис вTY(t)M, означает, что f (7(t)) = *f (7(t)). Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть S G Ci([0,1], SR), причем
dim span{S?(t)S-i(t)}ie[o,i] = 3, (15)
и существует точка x G M, в которой f (x) = *f (x). Тогда следующие два утверждения равносильны:
1) для связности а на М выполнятся на всем М уравнения автодуальности / = */;
2) параллельный перенос Ц^о является решением уравнения Лапласа для лапласиана т.е. Д?,{е"}Ц1,о = 0.
Доказательство. Пусть 7 е Я^ ([0,1],М) и
1 1
77 ч(0/ А
0(7) = / V^/Mл(7Ш^) ^ + / /(7,*,*) Л. (16)
оо
Если 7 е С^([0,1], М), то 0(7) = (7)ДЩ1,о(7) = 0. В силу непрерывности 0 на Я^([0,1],М) для всех 7 е Я^([0,1],М) выполняется 0(7) = 0. Пусть для каждой 7 е е С1 ([0,1], М) кривая 7Г е Я1 ([0,1], М), г е [0, 1], определена следующим образом:
(()= ( 7«), *< г; I 7(г), г > г.
Пусть 07(г) = 0(7Г) для каждой 7 е С1 ([0,1],М). Тогда для всех 7 е С1 ([0,1],М) и г е [0, 1] выполняется
г
07(г) = -у У7„а(7(*))7Л(г)¿г+ Уо (/(7(г))<£(г)^Ы),£(г)^(7,г)>¿г +
оо
1
+ //(7(г))<ад^(7,г),ад^(7,г)>)¿г = 0. (17)
г
Следовательно,
(^)'(г) = —^/а(т(г))тл(г) + /(£У7(г)/(7(г))<ад^(7,г),£(г)^(7,г)>) ¿г = 0.
Г м=1
Тогда (07)'(1) = —Vм/^Л(7(1))'Ул(1) = 0. Подбирая подходящие кривые 7, получаем, что связность а является решением уравнений Максвелла V/^ = 0 на всем М.
Пусть кривая 7У е С 1([0,1], М) соединяет точки т и у, т.е. 7У(1) = у. Докажем теперь, что для каждого г е [0,1] выполняется
]Г / (т)<ЗД^, = / (7„, 1, г). (18)
Пусть 0 < г1 < г2 < 1. Для достаточно малых е > 0 рассмотрим кривые 7^ е Я1 ([0,1],М), г =1, 2, определенные формулой
0 < г < г, — е;
7м(г) = <
.7 — г, + 7у(---), г, — е<г < г,;
У, г, < г < 1.
Тогда
g(Yi,e)=/ f(Yy, 1,t) dt + /(т^М) dt + / E /(т)(ЗД^,ЗД^>) dt = 0.
В силу того, что Yy G C 1([0,1],M) и S G C 1([0,1],SO(4)), существует константа C > 0, такая, что
sup |/(7,t,r)|< C. (i,r)e[o,i]x[o,i]
Тогда выполняются оценки
/(7i>e,M) dt
Ti-e
T2 . 4
< Ce, i G {1, 2}, / (E /(y)(S?(t)Z,(7y, 1), S(t)Z,(7y, 1)>)dt
,_e V=i
T2-e
< Ce,
Ti —e ^=1
£/(m)(S?(t)ZM,S(t)Z„> dt Отсюда следует, что для i = 1, 2 выполняется оценка
£ /(y)(S?(t)Z,(7y, 1), S(t)Z,(7y, 1)> )dt +
Ti M=1
< Ce.
Ti 4
+ / (E /(m)(S?(t)ZM,S(t)Z„>)dt - g(7i,e)
o >=1
< 2Ce.
Тогда
0 = li^mog(Yi,e) = /(E /(y)(S?(t)ZM(7y, 1), S(t)ZM(7y, 1)>)dt +
„. >=1
+ E /(m)(S?(t)ZM,S(t)ZM>dt.
м=1
Значит, для всех 0 < r1 < r2 < 1 верно равенство
T2 4 T2 4
/ Е / (г)^г = / Е / (у)<ЭД^(7у, 1),$ (г)^, 1)>л. (19)
Г1 м=1 Г1 м=1
Дифференцируя последнее равенство по г2, получаем равенство (18) для всех г е (0,1]. Из непрерывности $ и 5 следует, что равенство (18) выполняется для г е [0, 1]. Так как в точке ж выполняется /(ж) = /(ж), то в силу леммы 2 верно
Е / (ж)<£(г)^(7х, 1), $ (г)^(7*, 1)> = 0
м=1
1
для любой кривой c Yx(1) = x. Поэтому в силу (18) выполняется
£ f (y)(S?(t)Z,(7y, 1), S(t)ZM(7w, 1)) = 0
для всех y G M и всех кривык Yy(1) = y. В силу (13) и в силу леммы 2 выполняется f (y) = *f (y) для всех y G M. Теорема доказана.
Замечание 2. В случае, когда M не является компактным многообразием, в условии теоремы 3 требование выполнения в некоторой точке уравнений можно заменить следующим условием. Пусть существует последовательность точек {xn} многообразия M, что lim f- (xn) = 0. В [11] рассматривался случай M = R4. При этом в формулировке теоремы вместо требования выполнения в некоторой точке уравнений автодуальности использовалось более сильное условие конечности интеграла энергии
- 2 / f-(x) f ^ (x)dx<
Если такой интеграл конечен, то существует такая последовательность точек {жп} многообразия М, что Иш /_ (жп) = 0.
Пример 2. В условии теоремы 3 нельзя отказаться от требования выполнения в некоторой точке уравнений автодуальности на М. Рассмотрим пример из [11]. Пусть М = М4, а — автодуальная гармоничная 1-форма на М4 и функция Б принимает значение в группе Бд. Введем связность а' на М4 следующим образом. Предположим, что
а'^жь ж2, ж3,ж4) = а'(ж', ж2, ж3, ж4) + ¿Ьж2 + гсж3 + гйж4,
где Ь, с, й Е М. таковы, что Ь2 + с2 + й2 = 0 и
1
У (66д(*) + ССд(*) + ййд(*)) = 0. 0
Пусть а^ = ам для ^ Е {2, 3, 4}. Тогда порожденный связностью а' параллельный перенос Леви — гармонический функционал для Д^'{бп}, но /' = */' на всем М4.
Заключение
Можно предположить, что результаты статьи переносятся на некоммутативный случай уравнений Янга — Милсса. Также можно предположить, что в условии теоремы 3 условие (15) можно заменить на dim span{S?(t)S-i(t)}te[0 i] > 2. В [11] показано, что так можно сделать для случая M = R4. Было бы интересно исследовать вопрос существования рима-новых метрик, для которых в условии теоремы 3 можно отказаться от условия выполнения в некоторой точке уравнений автодуальности на M.
Список литературы
1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 512 с.
2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа — Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах//Матем. заметки. 2002. Т. 72, № 1. C. 145-150.
3. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леви на бесконечномерных многообразиях // Доклады Академии наук. 2006. Т. 407, №5. C. 1-6.
4. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians //Russian Journal of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2. №2. P. 235-250.
5. Driver B. Classifications of Bundle Connection Pairs by Parallel Translation and Lassos // Journal of functional analysis. 1989. Vol.83, iss. 1. P. 185-231. DOI: 10.1016/0022-1236(89)90035-9
6. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, no2. P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
7. Feller M.N. The Levy Laplacian. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. 160 p. (Ser. Cambridge Tracts in Math.; vol. 166).
8. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol.15. №4. Art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025712500270
9. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. . .. канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 94 с.
10. ВолковБ.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории //Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, №2. C. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372
11. Волков Б.О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды МИАН. 2015. T. 290, C. 226-238.
Mathematics i Mathematical Modelling
Electronic journal of the Bauman MSTU
Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 6, pp. 1-14.
DOI: 10.24108/mathm.0616.0855417
Received: 28.12.2016
© Bauman Moscow State Technical University
Levy Laplacian on a four-dimensional Riemannian manifold
Volkov B. O.1'2* *[email protected]
1 Bauman Moscow State Technical University, Russia; 2 Steklov Mathematical Institute of RAS, Moscow, Russia
Keywords: Maxwell's equations, Levy laplacian, parallel transport
It is known that the Yang-Mills equations for a connection are equivalent to the Levy-Laplace equation for the parallel transport associated with this connection (see the paper [4] by L. Accardi, P. Gibilisco and I.V. Volovich). The Levy-Laplace equation is the Laplace equation for Levy Laplacian, which can be defined as the Cesaro mean of the second-order directional derivatives along the vectors from the orthonormal basis of some Hilbert space. The author's work [11] has proved for the case of a four-dimensional Euclidean space, that with a certain choice of the orthonormal basis, the Laplace-Levy equation for a parallel transport becomes equivalent to the self-duality equations for a connection.
A connection that is a solution to the self-duality equations is called an instanton and is a solution to the Yang-Mills equations. In the paper we define the Levy Laplacian for the case of a four-dimensional Riemannian manifold. This operator is a generalization of both the Levy Laplacian, introduced by the author in [11], and the Levy Laplacian, introduced in [3] by L. Accardi and O.G. Smolyanov for a Riemannian manifold.
In the paper we consider the case of a line bundle over a four-dimensional Riemannian manifold and Maxwell's equations (the commutative case of the Yang-Mills equations). We find the conditions, which imply that from the fact that the parallel transport is a harmonic functional for the introduced Levy Laplacian follows that the appropriate connection is a solution to the self-duality equations. In addition, the paper considers the relationship of the introduced Levy Laplacian and the Laplace-Beltrami operator on a manifold. It can be expected that the results of the paper can be generalized to the non-commutative case of Yang-Mills fields.
References
1. Levy P. Problemes concrets d'analyse fonctionnelle. Paris, Gautier-Villars, 1951, 484 p.
2. Accardi L., Smolyanov O.G. Levy-Laplace Operators in Functional Rigged Hilbert Spaces. Matematicheskie zametki, 2002, vol.72, no. 1, pp. 145-150. DOI: 10.4213/mzm658 (En-
glish version of journal: Mathematical Notes, 2002, vol.72, no. 1, pp. 129-134. DOI: 10.1023/A:1019829424019)
3. Accardi L., Smolyanov O.G. Feynman formulas for evolution equations with Levy Laplacians on infinite-dimensional manifolds. Doklady Akademii Nauk, 2006, vol.407, no. 5, pp. 1-6. (English version of journal: Doklady Mathematics, 2006, vol.73, no. 2, pp. 252-257. DOI: 10.1134/s106456240602027x
4. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians. Russian Journal of Mathematical Physics, 1994, vol. 2, no. 2, pp. 235-250.
5. Driver B. Classifications of Bundle Connection Pairs by Parallel Translation and Lassos. Journal of Functional Analysis, 1989, vol.83, iss. 1, pp. 185-231. DOI: 10.1016/ 0022-1236(89)90035-9
6. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
7. Feller M.N. The Levy Laplacian. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2005. 160 p. (Ser. Cambridge Tracts in Math.; vol. 166).
8. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2012, vol. 15, no. 4, 1250027.
Levy-Laplacian and the Gauge Fields. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2012, vol. 15, no. 4, art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025712500270
9. Volkov B.O. Levy-Laplacians and related: dissertation of the candidate of physical and mathematical sciences, Moscow, 2014. 94 p. [In Russian]
10. Volkov B.O. Levy d'Alambertians and their application in the quantum theory. Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2015, vol. 19, no. 2, pp. 241-258. DOI: 10.14498/vsgtu1372 [In Russian]
11. Volkov B.O. Levy Laplacians and instantons. Trudy MIAN, 2015, vol.290, pp. 226-238. (English version of journal: Proceedings of the Steklov Institute ofMathematics, 2015, vol. 290, pp. 210-222. DOI: 10.1134/S037196851503019X)
