CC BY
11
2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 727 с.
3. Андрейченко К.П. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982. № 2. С. 162-172.
4. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроение / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И.Вавилова, 2003. 156 с.
5. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
Могилевич Лев Ильич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика»
Поволжского филиала Российского государственного
открытого технического университета путей сообщения, г. Саратов
Попов Виктор Сергеевич -
доктор технических наук,
профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета
Анциферов Сергей Александрович -
аспирант кафедры «Высшая и прикладная математика» Поволжского филиала Российского государственного открытого технического университета путей сообщения, г. Саратов
УДК 51:371; 510.662; 681.3
В.Е. Фирстов
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА ДЕДУКТИВНОЙ ТЕОРИИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ
Предлагается стохастическая модель построения дедуктивной теории в виде ветвящегося марковского процесса, который реализуется в соответствующем информационном пространстве. В рамках данной стохастической модели получается корректное обоснование критериев оптимизации для эффективной стратегии исследовательской работы в области математики.
V.E. Firstov
THE STOCHASTIC MODEL BY THE INFORMATION SPACE OF DEDUCTIVE THEORY FORMATION AND OPTIMIZATION OF THE RESEARCH
WORK IN MATHEMATICS
The stochastic model of deductive theory as branching Markov process is offered here. This process realized in corresponding information space. At present, stochastic model formed optimal strategy of the investigations in mathematics.
13
1. Построение дедуктивной теории как марковский процесс
Пусть S=(M; 2) - некоторая математическая структура, заданная аксиомами Z={ai;...;a,s} в рамках системы базисных множеств M={M1;....№k} и Th(S) - неформальная аксиоматическая теория этой структуры. Тогда, как показано в работе [1], информационное
пространство дедуктивной теории Th(S) можно интерпретировать в виде орграфа Г(S), представляющего пару (V; E), где множество вершин V и множество дуг E определяются выражениями:
V = Th(S) u F; E с (Th(S) х F) u (F х!) , (1)
где F - множество функций-дизъюнктов; S - дополнение системы аксиом 2 до Th(S). Орграф Г(S) представляет собой семантическую сеть, источниками которой являются элементы системы аксиом 2.
Построение информационного пространства дедуктивной теории Th(S) представляет собой некоторый случайный процесс Th(S;t), поскольку моменты времени t, когда происходит доказательство того или иного утверждения данной теории, недетерминированы. Априори, об этом процессе можно высказать следующие соображения:
1. Случайный процесс Th(S;t) происходит в пространстве Th(S) и реализуется как случайный орграф Г(S; t) на орграфе Г (S).
2. При t=0: Th(S;0)=S; E(ü)=0, в соответствии с определением (1).
3. В каждый момент времени t>0 случайная функция Th(S;t) обладает конечным набором реализаций (состояний) th1(t);.; thn(t).
4. Каждая реализация th1(t);.; thn(t) представляет собой объединение доказательств некоторых утверждений Th(S) в смысле определения (19)-(21) в работе [1].
5. Для Th(S) и Г(S) имеют место счетность и потенциальная выполнимость:
Th(S) = lim Th(S; t), Г(S) = lim Г(S; t) . (2)
Фундаментальное свойство процесса Th(S;t) устанавливает следующее
Предложение. Случайный процесс Th(S;t) - является марковским процессом.
Доказательство. Пусть th(t) - некоторая реализация случайного процесса Th(S;t) в момент времени t. Тогда th(t)cTh(S) и можно выбрать дополнение th (t) реализации th(t) до Th(S). С th(t) и th (t), соответственно, связаны орграфы g(t) и cg (t), так, что выполняется соотношение:
Г(S) = g(t)u < g(t) >u cg (t) , (3)
где < g(t) > - это орграф, дуги которого соединяют орграфы g(t) и cg (t). Объединение < g(t) > u cg (t) в (3) определяет всевозможные состояния Th(S;t'), в которые может перейти реализация th(t) в некоторый момент времени t '>t. Эволюция рассматриваемого случайного процесса Th(S;t) такова, что при данной реализации th(t) в момент t его дальнейшее поведение совершенно не зависит от состояния данного процесса до момента времени t, т.е. Th(S;t) - марковский процесс. Что и требовалось доказать.
2. Уравнения для переходных вероятностей в неоднородном марковском процессе
Марковский процесс Th(S;t) обладает счетным множеством состояний и является неоднородным, т.к. поведение процесса Th(S;t) на временном интервале (t;t) при данном состоянии Th(S;t) зависит от расположения интервала (t;t) на временной оси. В соответствии с этим, обозначим через Pin(x;t) - условную вероятность того, что в момент времени t процесс
находится в состоянии хИn(X) при условии, что в предшествующий момент т< этот процесс находился в состоянии ¿Лг(т). Как известно [2], для неоднородных марковских процессов переходные вероятности Р,п(т; X) удовлетворяют уравнению Колмогорова - Чэпмена вида
Рп(т; 0= £Р (т;5)Рт(я; X) , (4)
V
где т<$<4, с дополнительными условиями
Р1к(т; X) > 0 , £Р (т; X) = 1 . (5)
к
Уравнения для определения переходных вероятностей Ргк(т;^) выводятся при следующих предположениях [2]:
1. Каждому состоянию хИn(X) соответствует непрерывная функция с„(0>0, такая, что
1 (1 - Рпп (X; X + И))® сп (X) при И®0. И
2. Каждой паре состояний хИj(X), хИк(Х+И) соответствуют переходные вероятностирДО,
1 И
фиксированных X и j: £ р^ (X) = 1, рд{г)=0.
к
3. При фиксированном к переход к пределу в предположении 2 равномерен по j.
В рамках сделанных предположений дифференциальные уравнения для Ргк(т;Х) имеют
вид:
дРл (т; г)
такие, что — Ркк (X; X + И) ® ск (X) ркк (X) при И®0, где кФк, функции рДх) - непрерывны и для
= -Ск (X) Рл (т; X) + £ Рк (т; X) ^ (X) р]к (X) , (6)
о 1:
дР (г X)
= с, (т) Рк (т; X) - с, (т)£ р» (т) Рк (т; X) . (7)
дт V
Уравнения (6) определяют систему прямых дифференциальных уравнений Колмогорова для определения переходных вероятностей Ргк(т; X) при начальном условии: Ргк(т;т)=1 при ,=к, Ргк(т;т)=0 при ,¿к. Уравнения (7) образуют систему обратных дифференциальных уравнений Колмогорова для определения Р,к(т; X) при начальном условии: Рк^; X)=1 при ,=к, Рк^; X)=0 при, ¿к.
При довольно слабых ограничениях в работе [2] установлено, что системы (6), (7) имеют единственное общее решение, которое удовлетворяет условиям (4), (5). Более того, в этом случае ни у одной из систем (6), (7) нет других решений, так что, по существу, эти системы эквивалентны.
3. Формирование информационного пространства дедуктивной теории как ветвящийся марковский процесс
В рамках семантической модели [1] информационное пространство теории ТИ(5) представляется в виде семантической сети Г(5") и ее узлы являются точками ветвления транспортируемой информации, которые определяются пересечением соответствующих областей доминирования, как это следует из предложения 7 работы [1]. Поэтому в рамках рассматриваемой стохастической модели, при построении информационного пространства ТИ(5) случайный процесс ТИ^'^) является ветвящимся марковским процессом.
Неоднородный во времени ветвящийся процесс ТИ^'^) с однородными частицами, которыми в данном случае являются элементы пространства ТИ(5), определяется как марковский процесс, переходные вероятности Р,к(т; X) которого, помимо условий (4), (5), также отвечают дополнительному условию ветвления [3], [4]:
Pk (т; 0 = Е Pф; t) ^(т; о... РК (т; t) , (8)
г1+...г1- =к +/(1-1)
где Р&(т; t) определяют вероятность того, что состояние, обладающее / частицами в момент т, к моменту t будет содержать к>/>1= | Е | частиц.
Прямые и обратные системы дифференциальных уравнений для определения переходных вероятностей Р&(т; 0 для неоднородного ветвящегося марковского процесса получаются из соответствующих уравнений Колмогорова (6), (7), где, согласно [4], следует положить сг-(0=/с(0, считая с(0 положительной непрерывной функцией. В результате интересующие системы дифференциальных уравнений представляются в виде:
sPk (t; t)
д t
(t; t) dt
= -k c(t) Рй (t; t) + c(t)£ Pp (t; t) j pjk (t) , (9)
j
= ic(t)Pk (t; t) + ic (t)£ pj(t)Pjk (t; t) . (10)
Уравнения (9), (10) должны интегрироваться при тех же начальных условиях, что и уравнения (6), (7). Существование решений систем (9), (10) установлено в работе [4], где доказано, что система (10) имеет только одно решение, обладающее свойством (8), и это решение является единственным решением системы (9), так что, по существу, эти системы эквивалентны.
4. Ранжировка значимости элементов информационного пространства
дедуктивной теории
Пусть и(Т) - область доминирования утверждения ТеТЛ(5) и пусть В\(Т);...;Вп(Т) -всевозможные доказательства данного утверждения, так что, согласно [1], В1(Т)и...иВп(Т)= =и(Т) и данные доказательства обладают длинами | Ъ1 (Т)|;...; Ъп(Т). Введем величину
Б(Е;Т) = тхп(Ъ(Т)|; ...; \Ъп(Т)|) , (11)
которую назовем логической дистанцией от системы аксиом ЕсТЛ(5) до утверждения Т.
Характеризуя область и(Т) посредством емкости | и(Т) | и дистанции Б(Е;Т), определенным образом, оценивается значимость того или иного утверждения ТеТН(5), в смысле востребованности данного утверждения Т в иерархической структуре сети Г(5). Формально значимость представляется отношением частичного порядка в пространстве Тк(5) и задается в виде отношения доминирования по Парето:
Т Ч Т | и(Т)|>| и(Т ')1 л Б (Е; Т) < Б (Е;Т') , (12)
где хотя бы одно из неравенств выполняется строго. В случае определения (12) будем считать утверждение Т более значимым, чем Т'; в случае, когда в (12) имеют место равенства,
будем говорить о равнозначности Т '—Т. Смысл определений (12) состоит в том, что более значимые элементы пространства Тк(5) более влиятельны (первое неравенство в (12)) и расположены ближе к источникам информации системы Е (второе неравенство в (12)). Значимые элементы можно также трактовать как достаточно крупные узловые пункты сети Г(5) (5), располагающиеся ближе к источникам системы Е. Тогда, поскольку пространство Тк(5) представляется как виртуальное пространство (в смысле (2)), то, среди всевозможных маршрутов, проходящих через значимые узловые точки сети Г(5), более вероятно, могут быть и такие, которые ранее не были известны.
5. Процедура оптимизации исследовательской работы
Из этих соображений формируется определенная концептуальная линия оптимизации при построении математического знания, например, путем эффективного управления исследовательской работой школьников, студентов или аспирантов. Проведение этой линии предусматривает следующие положения:
1. Построение математического знания рассматривается в рамках нестационарной семантической сети Г(5), реализующей прохождение определенной математической информации в пространстве ТИ(5).
2. Всякое исследование информационного пространства ТИ(5) подразумевает выбор некоторого исходного положения Т0еТИ(5) в сети Г(5) и от того, насколько рационально сделан этот выбор, зависит эффективность данного исследования.
3. В рамках Парето-оптимизации (12) рациональным представляется выбор такого исходного положения Т0, которому в сети Г(5) соответствует достаточно крупный узел вблизи источников Е.
4. Формально реализация рационального выбора Т0 осуществляется с помощью предложения 7 работы [1], определяющего точки ветвления в сети Г(5) и их значимость как результат пересечения нескольких неоднородных областей доминирования. На геометрическом языке это условие означает такие положения теории ТИ(5), в которых одновременно затрагиваются различные пространственные свойства общего характера: метрические, топологические, дискретные или комбинаторные. В элементарной геометрии таким положением, например, является теорема Пифагора; в проективной геометрии - теорема Дезарга или Паскаля; в теории чисел - алгоритм Евклида; в алгебре многочленов - теорема Виета; в теории групп - теорема Кэли и т.д.
5. Исходя из начального положения Т0, интуитивно или из некоторых частных соображений, выдвигается некоторая гипотеза И, которая рассматривается на предмет логического обобщения по правилу Т°;И® Т .
6. В случае, если гипотеза Н подтверждается, получается оригинальный математический результат, значимость которого зависит от того, насколько фундаментальными оказываются логические связи, затронутые при данном обобщении. В противном случае следует вернуться к предыдущему пункту, рассматривая другую гипотезу.
7. При благоприятных условиях результат Н аналогичным образом также подвергается обобщению и т.д. В результате в пространстве ТИ(5) выявляются новые элементы, формирующие последующее математическое знание.
8. Описанная процедура обобщений при надлежащем управлении связана с нарастанием сложности выявляемых результатов, что, естественно, требует привлечения соответствующего математического аппарата все более высокого уровня. Поэтому в процессе таким образом организованного исследования создается благоприятная среда для реализации квалифицированного математического образования, при котором субъект обучения постепенно выводится на самостоятельную орбиту.
6. Обоснование Парето-оптимизации исследовательской работы в области математики
Концептуальная линия при построении эффективной исследовательской работы в математике, сформулированная в п. 5, следует из принципиального положения, предписывающего рациональный выбор исходного положения Т0еТИ(5) путем процедуры Парето-оптимизации (12), из которого более вероятен вывод оригинальных математических резуль-
татов. Следует придать этой линии общее корректное обоснование, для чего используется представленная в п.3 стохастическая модель формирования информационного пространства дедуктивной теории Th(S).
Такое обоснование сводится к тому, что при формировании сети Г (S) информационного пространства Th(S) посредством случайной сети Г (S ; t ), заданной соответствующим ветвящимся марковским процессом Th(S;t) вида (4), (5), (8)-(10), рациональный выбор исходного положения T0îTh(S) в рамках Парето-оптимизации (12) означает более высокие вероятности переходов между состояниями процесса Th(S;t). Данный результат получается из следующих соображений.
Пусть Pik=Pik(t;t) - решение уравнений (9), (10), удовлетворяющее условиям (4), (5), (8). Рассмотрим случай k=i+1 и обратимся к условию ветвления (8), откуда в данном случае получается:
P,i+1 = iPu+РГ1 = i (1 - P ) Pi-1 . (13)
Для значений ie(0;-ln Pu) функция Pi,i+i - возрастающая и, поскольку с увеличением длины интервала (t; t) следует Pu®0 (предположение 1 п.2), то интервал (0; -ln Pu) может быть как угодно большим. Поэтому функция Pi,i+i оказывается возрастающей в достаточно широком диапазоне /£i<-ln Pu. Поскольку значение i в данном случае связывается с количеством элементов пространства Th(S), отвечающих i-му состоянию процесса Th(S;t), то отсюда получается, что, при прочих одинаковых условиях, область доминирования U(T) с большей емкостью | U(T) | имеет больше шансов расшириться, т.к. возрастает вероятность доказательства новых оригинальных утверждений при формировании теории Th(S). Тем самым, дается обоснование первого неравенства в процедуре Парето-оптимизации (12).
Однако возрастание переходных вероятностей Pik(t; t) в модели (4), (5), (8)-(10) происходит не только с ростом i, но также в зависимости от расположения интервала (t; t) на временной шкале. Действительно, рассматривая предположения 1-3 (п.2) для обратных уравнений Колмогорова (10), можно видеть, что с уменьшением t растет вероятность Pik(t; t). Но уменьшение t в данном случае равносильно уменьшению логической дистанции (11), что приводит к обоснованиям второго неравенства в Парето-оптимизации (12).
Таким образом, стратегия оптимизации математических исследований, сформулированная в п. 5, находит достаточное обоснование в рамках стохастической модели, представленной в п. 1-3.
7. Результаты апробации оптимальной стратегии математического исследования
Данный подход апробирован в области евклидовой геометрии и представлен в монографиях [5], [6], где автор исходит из теоремы Пифагора. В частности, в работе [5] обобщается известная задача о пифагоровых тройках, где представляются наиболее важными и оригинальными следующие моменты:
1. Анализ решений задачи Пифагора, полученных пифагорейцами, Платоном и Евклидом, приводит к изящной пространственной геометрической интерпретации этой задачи -пифагоровы тройки определяются на поверхности прямого кругового конуса с помощью некоторого семейства параболических сечений, которое на поверхности конуса порождает неортогональную сеть, узлы которой указывают координаты пифагоровых троек.
2. Некоторые свойства поля комплексных чисел в геометрической интерпретации приводят к остроумному решению задачи Пифагора с помощью циркуля и линейки, которое тесно связано с рациональной параметризацией окружности.
3. Более тонкий инструментарий, связанный с построением полугруппы преобразований примитивных пар взаимно простых чисел разной четности, позволил реализовать весьма эффектное решение задачи Пифагора в виде трихотомического дерева.
18
4. Данный полугрупповой подход позволил несколько иначе интерпретировать имеющийся историко-математический опыт и, в частности, появляется альтернатива традиционному описанию простых пар чисел с помощью алгоритма Евклида, а также обнаружены некоторые новые рубежи для решения проблемы простых пар-близнецов в теории чисел.
В работе [6] обобщается известная конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов», используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора [7]. От этой конфигурации, определенным образом, строится неограниченная взаимосвязанная сеть квадратов, представляющая так называемые «обобщенные пифагоровы построения» (ОПП), для которых обнаруживается, что:
1. С ОПП связан бесконечный планарный граф, который одновременно эйлеров и га-мильтонов.
2. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов и в каждой из них соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка, которое задает фрактальную структуру с размерностью 0,9735.
3. Соответствующие вершины квадратов каждой отдельной серии располагаются на ветви гиперболы и всего в сети ОПП обнаруживается 12 гипербол, имеющих общий центр.
При последующем обобщении от ОПП рассматриваются «обобщенные наполеоновы построения» (ОНП), при которых, по аналогии с евклидовой конфигурацией квадратов, исходят из конфигурации Торричелли-Ферма, когда на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону строятся правильные треугольники [6]. Позднее, по имеющимся данным, Наполеон Бонапарт, рассмотрев конфигурацию Торричелли - Ферма, обнаружил, что центры построенных правильных треугольников также образуют правильный треугольник. Именно по этой причине возник термин ОНП, при которых внешние вершины построенных правильных треугольников соединяются, образуя новый треугольник; на его сторонах вновь строятся правильные треугольники и т.д., в результате чего образуется неограниченная цепь треугольников, определяющая ОНП. Проведенное исследование [6] установило следующие свойства ОНП:
4. При ОНП соответствующие стороны цепи треугольников связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка в векторной форме.
5. Последовательность треугольников при ОНП можно рассматривать как результат действия некоторого линейного оператора, который приводится к главным осям с центром в точке Торричелли - Ферма и, таким образом, представляет обратное косое сжатие плоскости ОНП. Поэтому свойства ОНП инвариантны относительно группы аффинных преобразований плоскости ОНП.
6. Асимптотика ОНП такова, что форма треугольников последовательности ОНП при неограниченном возрастании номера становится как угодно близкой к форме правильного треугольника.
Дальнейшее обобщение свойств ОПП и ОНП [6] обнаруживает:
7. Наличие общей связи между решениями линейных рекуррентных уравнений 2-го порядка и коническими сечениями, включая вырожденные случаи.
8. Оригинальный способ рациональной параметризации конических сечений с помощью рекуррентных последовательностей, который устанавливает топологию рациональных точек для данных многообразий.
Из этих соображений следует еще более глубокое обобщение [8].
9. Наличие общей связи между решениями линейных рекуррентных уравнений произвольного порядка и определенным классом соответствующих алгебраических многообразий.
10. Способ определения рациональных точек в таких многообразиях, в рамках которого возможен подход к рассмотрению проблемы Ферма.
Представленные результаты монографий [5, 6] убедительно свидетельствуют об эффективности процедуры оптимизации исследовательской работы, выдвинутой в п. 5.
Другой яркой иллюстрацией оптимизации математического исследования, укладывающейся в рамки процедуры п.4, 5, являются известные математические проблемы как, например, проблемы Гильберта [9], о которых достаточно точно известна хронология их постановки и решения. Наиболее известные такие проблемы собраны в таблице для анализа. Отметим, что из 23 проблем Гильберта к настоящему времени остались нерешенными всего лишь 4 проблемы (о нулях функции Римана, а также в области алгебраической геометрии и топологии многообразий).
Проблемная оптимизация математического исследования
Проблематика Решение проблемы Период решения проблемы, лет
Название Время постановки Автор Датировка
Теорема Пифагора 1800-2000 гг. до н.э. (Др. Вавилон), XII в. до н.э. (Др. Китай) Пифагор VI в. до н.э. 600-1500
Евклид 1У-Ш в до н.э.
Бхаскар 1150 г.
Последняя теорема Ферма Ок. 1630 Э. Уайлс 1995 365
Проблема Гольдбаха: П = р1+ Р2 + Рз 1742 И.М. Виноградов 1937 195
Проблема Варинга: п= Р13+...+рк3 1770 Д.Гильберт 1909 139-172
Харди-Литлвуд 1928
Ю.В. Линник 1942
Проблемы Гильберта 1900 1-63
Как видно из таблицы, период разрешения приведенных математических проблем для проблем Гильберта оказывается на 1-2 порядка меньше остальных. Это объясняется тем, что Гильберт, обладая уникальным математическим кругозором и авторитетом, сфокусировал именно те узловые проблемы, разрешение которых обеспечивало серьезный прогресс в соответствующих разделах математики и, как следствие, математики в целом. И, что не менее важно, таким образом, к разрешению этих задач удалось сразу подключить и мировую математическую элиту. Успех программы Гильберта, связанный с решением актуальных математических проблем, еще раз подтверждает эффективность формализованного подхода при оптимизации исследовательской работы в области математики, обозначенного в п. 4, 5 путем выделения наиболее значимых узловых элементов сети Г(5) и их последующего обобщения.
Таким образом, предложенная стохастическая модель представляет построение дедуктивной теории в виде ветвящегося марковского процесса, который реализуется в соответствующем информационном пространстве. Освоение этого пространства в данном случае описывается переходами между состояниями данного марковского процесса. В рамках стохастической модели удалось получить корректное обоснование критериев оптимизации при эффективной стратегии исследовательской работы в области математики и в этом смысле можно вести речь о некоторой «интеллектуальной» технологии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фирстов В.Е. Семантическая модель и оптимизация при построении и распространении математического знания / В.Е. Фирстов // Вестник СГТУ. 2006. № 3. Вып. 1. С. 34-43.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. М.: Мир, 1984. Т. 1. 528 с.
3. Севастьянов Б.А. Теория ветвящихся случайных процессов / Б.А. Севастьянов // Успехи математических наук. 1951. Т. 6. № 6.С. 47-99.
4. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов / Т. Харрис. М.: Мир, 1966.
355 с.
5. ФирстовВ.Е. Нетрадиционные геометрические интерпретации, полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек / В.Е. Фирстов. Саратов: Научная книга, 2004. 92 с.
6. ФирстовВ.Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора / В.Е. Фирстов. Саратов: Научная книга, 2005. 136 с.
7. Начала Евклида / с комментариями Д.Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. Кн. 1-6.
8. ФирстовВ.Е. Обобщения теоремы Пифагора, рекуррентные последовательности и их алгебраические образы / В.Е. Фирстов // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 135-138.
9. Проблемы Гильберта / под ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. 240 с.
Фирстов Виктор Егорович -
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Компьютерная алгебра и теория чисел»
Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
