CC BY
0"ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI" RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY
STEYN KVAZIGRUHI HAQIDA
G'iyosov Loiqjon DTPI
https://doi.org/10.5281/zenodo.11122448
2.1.1. Ta'rif. Ushbu (Q, •) Chap tomondagi Steyn kvazigruhi deb ataladi, agar (Q, •) da Vx, y e Q uchun
x •(x • y) = y • x (2.1.1)
ayniyat bajarilsa.
2.1.2. Ta'rif. (Q,•) kvazigruh Steynning o'ng tomondagi kvazigruhi deb ataladi, agar (Q, •) da Vx, y e Q uchun
(y • x)-x = x • y (2.1.2)
tenglik bajarilsa.
2.1.3. Ta'rif. (Q, •) kvazigruhi Steynning kvazigruhi deb ataladi, agar (Q, •) da Vx, y e Q uchun quyidagi
(y • x) • x = x • y x •(x • y ) = y • x (2.1.3)
tengliklar bajarilsa.
2.1.1. Lemma. Istag Steyn kvazigruhi (Q ,•) idempotent hisoblanadi (x2 = x).
Isbot. Biz (2.1.1) da x = y - ni qo'yamiz natijada x • (x • x) = x • x kelib chiqadi bu yerdan keb chiqadiki
x2 = x (2.1.4)
2.1.4. Teorema. Agar Steinningchap tomonidagi kvazigroup o'ng tomonda teskari element bo'lsa, ya'ni (-1 x• (x • y)) = y o'rinli bo'lsa, shu holda (Q°) - elementi birligi hisoblanadi.
Isbot. Agar (Q °) elementi chap tomonda boshqacha bo'lsa, ya'ni (Q ,•) (-1 x •(x • y )) = y da Vx,y e Q uchun o'rinli bo'lsin. U holda (-1 x •(x • x)) = x xususiyat uchun hosil qilamizki -1 x• x = x, bu yerdan -1 x = x (-1 x •(x • y)) = y, natijaga asoslanib y = x• y , ya'ni y = x, Vx,y e Q -ni qo'lga kiritamiz. Shu tarzda, Q da faqat bitta element qoladi. Ya'ni (Q,•) elementi guruhning birligi hisoblanadi.
2.1.5. Teorema. Steynning chap kvazigruhi ixtiyoriy (Q ,•) da elastik qonun mavjud
(x •( y • x))=(x • y).
Isbot. Ushbu x •(xy) = y • x tenglikni ikkala tomonni x ga ko'paytirib x • (x • (x • y)) = x • (y • x) bu yerda (2.2.1) ga ko'ra hosil qilamiz:
2.1.6. Teorema. Agar Steynning chap kvazigroupi Bolning o'ng kvazigroupi bo'lsa
x•(y• x) = (x• y\x, LRx = RL (5) (2.1.5)
u holda (Q, •) kvazigruhi o'ng tomondagi distributivlik va (Q, •) Bol lupasi (Q,o) bilan izotopiyadir, chunki bu yerda xoy = x • LLay va (xoy) 1 = xyva xox= e = a, e birlik elementning (Q, o) lupasi hisoblanadi.
Isbot. Bolning o'ng tomondagi kvazigruhi (Q, •) bo'lsin, u holda (Q, •) ayniyatida
ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI' RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY
o'rinli bo'ladi. (2.2.4) va (2.2.5) ko'ra quyidagicha yozish mumkin:
((zx)-y)-x = z • Ux (x •(y • x)) = z•(y • x). Agar y = x bo'lsa, u holda quyidagini hosil qilamiz:
(2.2.7)
Ushbu tenglikning ((z • x) • y) • x = z • (y • x) z ^ zx qo'yilishidan foydalanib, [2] -adabiyotini nazarga olib, hosil qilamiz:
Bu yerdan kelib chiqadiki, (Q, •) - kvazigruhi chap tomonning distributivi bo'ladi. Ushbu (2.2.8) dan kelib chiqadiki, Rx (zy ) = Rzx • Rxy ya'ni R avtomorfizm (Qs)Vx e Q kvazigroupi bo'ladi. Hozir (Q,o) lupa sharti ekanligini ko'rsatib beramizki, bu yerda xoy = R-1 x • La1-1y va
bu yerdan
kelib chiqadi.
Ushbu [3] dan ma'lum, Bolning o'ng toman (Q,o) lupasi bo'ladi. Faqat isbotlash kerak bo'ladiki, (xoy) 1 = x-1o y-1 bo'lsin, bu yerda xax-1 = e = a,e birlik elementning lupasi hisoblanadi. Ishonch bilan aytish mumkiki, Ra = 1 bu yerda x= Ix va Ra avtomorfizm (Q,o) lupaligi, (2.1.7) ga ko'ra LxRx = RxLx ushbu VxeQ uchun bajaramiz. Ushbu (2.1.8) va (2.1.9) kelib chiqadiki Ra (R0zoLax) oLax ± z. bo'ladi.
Hisobga olamizki R - avtomorfizm (q, •) kvazigroupi hisoblanadi. Bu yerdan (2.1.9), (2.1.7) ga ko'ra (2.1.10) tenglikni hosil qilamiz:
Ra (Rax0 Lay) = R2a xoLaRay = xoRaLay
Ya'ni
Ra {x°y)= 0Ray> (2.1.10)
Bu yerda R - avtomorfizm (q,o) lupasidir. Ushbu (2.1.9) va (2.1.7) ko'ra hosil qilamizki:
Ya'ni
R zoRax) ox = z
(z o Rax )o x = 2.
(2.1.11)
Biz (2.1.1) ga Z = e - ni qo'yamiz va x ^ Rax ni almashtiramiz. Keyin bu yerdan kelib chiqadiki R2axoRax = e, Rxx = e bu yerda R = I, ifodadan Ix = xo'rinli bo'ladi.
2.1.4. Teorema. Agar (Q,o). - Mufang lupasi yoki guruh bo'lsalar, u holda (Q,o) komutativi va (Q, •) distributivi hisoblanadi.
Isbot. Berilgan teorema yuqoridagi teoremaning isboti kabi bo'ladi. 2.1.5. Teorema. Steynning kvazigroupi ixtiyoriy (Q, •) shu holatdagina Bolning o'ng tomondagi ayniyati deb ataladiki, agar quyidagi tenglik
"ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI" RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY
bajarilsa.
Isbot. Chap tomondagi Steyn ayniyati x •(x • y) = y • x - ni o'ng tomonidan y ga ko'paytirib va (2.1.7) - (2.1.8) - dan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(x-(x• y))y = (y•x)-y, (x• y)-((x• y)-y) = (y•x)-y, (x• y)-x = (y•x)-y.
2.1.7. Teorema. Steynning chap tomondagi kvazigroupi (Q, •) agar Bolning o'ng tomondagi ayniyati bajarilsa, u holda abelii (Q, +) guruhi faqat va faqat shu holda bajariladiki, agar (Q, •) kvazigroupi medial bo'lsa.
Isbot. Agar (Q, o). lupa kvazigroupi (Q, •) da izotopiya bo'lsa bu yerda xoy = Rx • L-1 y abeli guruhi bo'lsa, u holda (Q, •) distributive va La, R avtomorfizm (Q, •) kvazigroupi ekanligi, (Q, +) ea LaRa = RaLa guruhi hisoblanadi. Haqiqatdanham isbot qilamizki, (Q, •) kvazigroupi medial bo'ladi. Bu yerdan (xoy)oz = xo(yoz ) kelib chiqadiki, R(r x • Lл y)• Lлz = R- x • Lл (r y • Lлz),
a \ « « * / a a a \ « * a P
(x • y)• z = Rax (y • z) bor. Keyin kelib chiqadiki:
Shunday qilib (Q,o). guruhi abel hisoblanadi. Albert teoremasidan kelib chiqadiki, ixtiyoriy lupa (Q, •) kvazigroupi izotopiyadir. Shu holda (Q, •) guruhi abeli hisoblanadi. Shunday qilib (2.1.4) tenglikdan quyidagi natijada kelib chiqadiki a - ixtiyoriy elementi (Q, •) kvazigroupi bo'ladi. Shu (Q, •) guruhi abel bo'ladi.
Isbot. Berilgan teorema yuqoridagi teoremaning isboti kabi bo'ladi.
REFERENCES
1. Табаров А.Х. Автотопии и антиавтотопии линейных квазигрупп /А.Х. Табаров // Доклады АН РТ, 2009, том 52, №1, C. 10-16.
2. . Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Ядра и центр линейных квазигрупп /Г.Б.Белявская, А.Х. Табаров // Известия АН Республики Молдова. Математика, Кишинев, 1991, №3(6), C. 37-42.
