CC BY
4Haqiqiy AW*-faktorlarning tuzilishi
Gulrux Rustam qizi Sayliyeva Savriniso Alisherovna Sharipova Buxoro davlat universiteti
Annotatsiya: Ushbu maqolada haqiqiy C*-algebralari va haqiqiy W*-algebralari nazariyasi doirasida haqiqiy AW*-algebralari o'rganilgan. Haqiqiy AW*-algebralar tushunchasi kiritilgan. Abel haqiqiy AW*-algebralarining ayrim xossalarini isbotlangan va haqiqiy AW*-algebralarning ayrim aniq misollarini muhokama qilingan. Haqiqiy AW*-algebralar va kompleks AW*-algebralar orasidagi farqlar va ularning murakkabligini tadqiq qilingan. Agar haqiqiy C*-algebraning kompleks A +iA -algebrasi AW*-ning kompleks A +iA -algebrasi bo'lsa, u holda A ning o'zi haqiqiy A ning haqiqiy C*-algebrasi ekanligini isbotlangan.
Kalit so'zlar: C*-algebra, W*-algebra, AW*-algebra, A +iA -algebra
Structure of real AW*-factors
Gulrukh Rustam kizi Sayliyeva Savriniso Alisherovna Sharipova Bukhara State University
Abstract: This article explores real Aw*-algebras within the theory of real C*-algebras and real W*-algebras. The concept of real aw*-algebras is introduced. Abel proved some properties of real Aw*-algebras, and some specific examples of real aw*-algebras have been discussed. The differences between Real Aw*-algebras and complex Aw*-algebras and their complexity have been researched. If the complex-algebra of a real C*- algebra is a complex-algebra of AW*, then it has been proven that a itself is a real C*- algebra of Real A.
Keywords: C* - algebra, W*-algebra, aw*-algebra,- algebra
A haqiqiy C*-algebra va M = A + iA unung kompleks algebrasi bo'lsin. U holda M murakkab C*-algebra va oldingi paragrafda ko'rganimizdek, agar A haqiqiy AW*-algebra bo'lsa, ma'lumki, M (kompleks) AW*-algebradir. Keling, teskari muammosini ko'rib chiqaylik, agar M =A +iA AW*-algebra bo'lsa, u holda A albatta haqiqiy AW*-algebra bo'ladimi? Quyidagi tasdiq bu muammoga ijobiy javob beradi.
1-tasdiq A haqiqiy C*-algebra bo'lsin va M = A +iA uning kompleks algebrasi bo'lsin. Faraz qilaylik, M AW*-algebra. U holda A haqiqiy AW*-algebra.
Isbot. Bizga ma'lumki, A qo'shma chiziqli *-automorfismlarning fiksirlangan
nuqtasi to'plami bilan ustma-ust tnshadi, ya'ni ~~ ■x+iy^~>x~iy M, bu yerda
y e A, ya'ni
A = {a eM : a = a}.
Agar S - A ning bo'sh bo'lmagan to'plami bo'lsa, u holda unung o'ng yo'qotuvchisi (M bo'yicha), u holda
RM(S) = {a e M\sa = 0 for all s e S}
va
a e RM(S) ^ sa = 0, Vs e S ^ sa = s a = sa = 0, Vs e S,
bo'ladi. Chunki s = s e A. Bu shuni anglatadiki a e R (S) bo'ladi, faqat va faqat shundaki, agar a e rm (S ) bo'lsa.
Faraz qilamiz, M - AW*-algebra, u holda Rm(S) = gM ga mos g e Mproyektor mavjud. Yuqorida aytilgan fikrlardan, g e rm (S) kelib chiqadi va g e rm (S). Shuning uchun g - proektor va g e gM doim o'rinli, ya'ni g = gg . Shunday qilib,
= (gg) = (g) g = gg = g = gg T.ye. g = g = gg = gg = g.
Bu shuni anglatadiki g G A. U holda
RM (S ) = RM (S ) n A = gM n A = gA,
ya'ni A - haqiqiy AW*-algebra.
1-natija A Abel C*-algebra bo'lsin, ya'ni A = ), bu yerda Q-A ning
spektral fazosi. Agar Q Stonean fazo (ya'ni ajralgan kompakt fazo) bo'lsa, u holda A-AW*-algebra bo'ladi.
Isbot. A = ) Abel haqiqiy C*-algebra kompleks A +iA algebra
Co(Q) = C (Q) bilan bir vaqtda mos keladi, bundan ^ - kompakt. U holda [1] C(Q) -
AW*-algebra bo'ladi va 1-tasdiqqa ko'ra A = ) = C(Q ) haqiqiy AW*-
algebra bo'ladi.
Endi 1-tasdiqqa murojaat etib, haqiqiy AW*-algebra bo'lmagan AW*-faktorni quramiz.
1-misol. 1-misoldagi (kompleks) AW*-faktorni ko'rib chiqing. W*-faktor holatiga o'xshash (ya'ni ergodik avtomorfizmi bilan Abel W*-algebrasining chalishtirma ko'paytmasi) 2-davr bilan *-antiavtomorfizm mavjud ekanligini
ko'rsatish qiyin emas M ( Z, G ^ U holda
A = \a e M (Z, G): a(a) = a *} = A (Z, G)
to'plam haqiqiy C*-algebra va M A +iA M (Z'G)' Shunisi aniqki, "-"
operatsiya M da a = a(a*)' a e M ga mos keladi. Ma'lumki, 1 -tasdiqdan boshlab M -AW*-faktor va birinchi bobdan boshlab A - haqiqiy W*-faktorni tashkil etadi. Yuqoridagi fikrdan quyidagi natijani olamiz.
2 - tasdiq. Haqiqiy W*-faktor bo'lmagan haqiqiy AW*-faktor mavjud. Yuqoridagi tasdiqni quyidagi umumiyroq alohida holat sifatida ko'rib chiqish mumkin. W*-algebralar uchun ma'lumki ([2] ga qarang) berilgan haqiqiy A-W*-algebralar va uning kompleks A +iA algebralari, bu algebralarning tiplari mos keladi. Endi umumiy Baer *-halqa tiplariga ajralishi asosida [3, 15-paragraf, 3-teorema] va shu tariqa haqiqiy va kompleks AW*-algebralar quyidagi tasdiqda berilgan qonuniyatlarni shakllantirish tabiiy [1-2].
Yuqorida aytib o'tganimizdek, AW*-algebra W*-algebra bo'lishi shart emas. (2-misolga qarang). Ba'zi bir ishlar esa shu masalani yechimini topishga bag'ishlangan. Xususan, J. Dixmier [4] yilda Abel AW*-algebra bo'lishi uchun W*-algebra bo'lishi kerakligini isbot qildi. Ushbu muammoning eng umumiy natijasi G. Pedersen [5] ga tegishli bo'lib, u shuni isbotladiki, AW*-algebra W*-algebra bo'lishi uchun qo'shimcha izning ajratuvchi oilasiga ega bo'lishi kerak. Quyidagi Pedersen teoremasining haqiqiy analogi bo'lgan haqiqiy AW*-algebraning haqiqiy W*-algebra bo'lishi uchun bitta teoremani keltiramiz [3-7].
1-teorema. Haqiqiy AW*-algebra A haqiqiy W*-algebra bo'ladi, faqat va faqat shundaki, agar
(i) A normal izlarning ajratuvchilar oilasiga ega;
(ii) uning kompleks M = A +iA algebrasi AW*-algebradan iborat bo'lsa.
Isbot. Zarurligi aniq, ya'ni agar A - haqiqiy W*-algebra bo'lsa, u holda M = A + iA - (kompleks) W*-algebra bo'ladi [2]. Shuning uchun M - AW*-algebra bo'ladi va oddiy izlarning ajratuvchilar oilasiga ega bo'ladi. A dagi cheklovlar normal izlarning ajralib turadigan oilasini A ga beradi.
Yetarliligi. M = A +iA - AW*-algebra va A da normal izlarning ajralib turadigan
{f \
oilasi mavjud, biz uni ^ ko'rinishida belgilab olamiz, ya'ni ixtiyoriy
a e A, a > 0, a ^ 0 uchun f ef, f(a) = 0 mavjud.
Biz faraz qilgan edikki, a(x) = a*+ib*, x e a +lb eM, a,b e A. To'g'ridan to'gri hisoblashlar shuni ko'rsatadiki, a - M da involyutiv (ya'ni, 2 davr bilan) *-
A = \a e M :a(a) = a *l
antiavtomorfizm va
f,
r
f f° f f0} 7 da kengaytmani va M da chiziqlilikni f 7 orqali belgilaymiz va 7 > shu
oilani M da normal izlarning ajralib turadigan oilasi ekanligini ko'rsatamiz.
x = a + ib e M = fx e M: x* = x} , a* = ab* = -b 1 <1
5 1 > bo lganligidan, a a'b b ga ega bo lamiz.
ermit oilasi ekanligidan, biz quyidagiga
f0( x) = f(a) + ify(b) = fr(a),
ega bo'lamiz, ya'ni fr(b) = 0. Shunday qilib, x eMs uchun
f°( x) = I fr (x + a( x)),
tenglikka ega bo'lamiz. Ya'ni x+a(x) e A, x+a(x) = 2a
Agar x -0, u holda a(x) - 0, ya'niki a - *-antiavtomorfizm. Shuning uchun,
x + a(x) > 0 , • x + a(x) e A+ f0(x) = 1 fr(x + a(x)) > 0 •> ' f0 i x+a(x) >0, ya'ni, x + a(x) e A va 7 27 , ya'ni J r dagi hamma
funksionallar M da musbat aniqlangan. Bundan tashqari, bizda shunday
f 0(1) = f (i) = i f f0} j r \ j j r \ j tenglik borki, ya'ni 7 > - M da izlar oilasidir.
Ehdi har bir fr izning normal ekanligini ko'rsatamiz. Agar fx^)cM ixtiyoriy tarinoq x' ^ ® bo'lsa, u holda a - M tartibli izomorfizn ekanligidan, a(xy^ 0 ya X). + a(xy)□ 0 xv+a(xv)e A+ ega fy . normai ekanligidan, quyidagiga
fy(xv) = 1 f r (xv + a(xv)) ^ 0
f0
ega bo'lamiz, ya'ni hamma J 7 funksionallar M da normaldir.
Vanihoyat, x e M, x > 0 va f (x) 0 hamma y lar uchun mavjud. U holda
x+a(x) e A+ va } - izlarning ajralib turadigan oilasi, bundan x+ a(x) = 0. Shuning uchun
x = -a( x) e M + n (-M+) = f 0},
f f 0}
ya'ni x = 0. Shunday qilib, M - AW*-algebra <■ 7 ' da normal izlarning ajralib turadigan oilasi. Pedersen [39] teoremasidan M - W*-algebradir. Shuning uchun, [2, 6-bob]) dan A - haqiqiy W*-algebra.
1-izoh. Kompleks holdan farqli ravishda (i) shart haqiqiy AW*-algebraning A haqiqiy W*-algebra bo'lishi uchun yetarli emas. Aslida yuqorida qaralgan misollarda
D
B va E haqiqiy AW*-algebralari normal izlarning ajratuvchi oilalariga ega, chunki 5 e
va 5 haqiqiy Abel W*-algebralaridir. Lekin B va E lar haqiqiy W*-algebralar emas,
chunki ularning B+iB va E +iE kompleks AW*-algebralari ham W*-algebralar emas.
2-izoh. (ii) shart ham haqiqiy AW*-algebraning A haqiqiy W*-algebra bo'lishi uchun yetarli emas. 1 va 2-misollardagi haqiqiy AW*-algebralar haqiqiy AW*-algebralar emas, balki ularning (kompleks) AW*-algebralardir [6-11].
Xulosa qilib aytganda, bu teoremani umumlashmasi qiziqarli bo'lishi kerak, deb 1-teorema va Pedersenning teoremasining haqiqiy holda analogini olish mumkin.
M - (kompleks) AW*-faktor, a - esa unung involyutiv *-antiavtomorfizmi. U
holda, yuqorida aytilganidek A ^ae M a(a) a 1 to'plam haqiqiy C*-algebradir va 1-tasdiqdan A - haqiqiy AW*-faktor. Ma'lumki, ikki haqiqiy W*-algebralar, xuddi shu narsani yaratadigan (kompleks) W*-algebralar izomorf bo'ladi faqat va faqat shundaki, agar ularga mos involyutiv *- antiavtomorfizmlar o'zaro qo'shma bo'ladi. Xuddi shunday natijalar ham haqiqiy AW*-algebralar uchun ham amal qiladi:
2-tasdiq. a va ß - M - AW* - (kompleks) faktorning involyutiv *-antiavtomorfizmi bo'lsin. U holda haqiqiy AW*-faktorlar
A = {x e M :a(x) = x * B = {x e M : ß(x) = x *
haqiqiy *-izomorfdir, faqat va faqat shundaki, agar a va P involyutiv *-
p _ QaQ-l
antiavtomorfizmlar o'zaro qo'shma bo'lsa, ya'ni p Q - M - AW*-faktorga mos *-avtomorfizmdir.
Q . A I_V D Q
Isbot. A va B - haqiqiy *-izomorf 0 ' *-izomorf bilan. U holda 0 tabiiy
ravishda (kompleks) *-6 izomorfizmiga ularning kompleks A +iA, B+iB ko'rinishiga keltirish mumkin va ikkalasi ham M bilan ustma-ust tushadi. Shuning
uchun 6 - M ning *-avtomorfizmi va Q(A) _B, ya'ni a(x) _x faqat va faqat shundaki, agar n(Q(x)) = (Q(x))* = Qx *. Shunday qilib, x G A uchun
n(Q(x)) = (Q(x))* = Q(x*) = 0a(x) , T.ye. p = QaQ~xa(xx),
Q-ln-lQa
ga ega bo'lamiz. Q p Qa - m ning *-avtomorfizm ekanligidan, A har qanday haqiqiy *-avtomorfizm bilan bir xil bo'ladi va albatta M dagi kompleks *-
Q-ln-lQa _ id
avtomorfizmgacha uzaytirilishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, Q p Qa id va
M ning hamma yerida o'rinli bo'ladi, ya'ni Qa _ pQ va P _QaQ , ya'ni a va fi o'zaro qo'shma.
p _ QaQ-i
Teskarisi, agar a va fi o'zaro qo'shma bo'lsa, ya'ni p Q M dagi mos 6 kompleks * - avtomorfizm uchun, u holda Qa_pQ bo'ladi va faqat va faqat shundaki, agar P(Q(x)) = Qx* = (Qx)*, a(x) = x *, ya'ni Q(A) = B. Shuning uchun 6 A
ning hamma yerida chegaralangan, A va B - AW*-faktorlar orasida kerakli *-izomorfizmni beradi [4-8].
Shuning uchun haqiqiy W*-algebralar holatiga o'xshash haqiqiy AW*-faktorni izomorfizmgacha klassifikasiyalash muammosini keltirib chiqaradi (kompleks algebra sifatida) va shu kompleks AW*-faktorni vujudga keltiradi.
Shu o'rinda aytish joizki, ushbu mavzuni ilg'or pedagogik texnologiyalar asosida talabalarga o'tish ijobiy samara beradi [12-16].
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Giordano T. Antiautomorphismes involutifs des factors de von Neumann injectifs. II, J.Funct. Anal. 1983. 51. pp. 326-360.
2. Li Bing-Ren. Real operator algebras. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2003. 241p.
3. Berberian S.K. Baer *-rings. Springer-Verlag, BerlinHeidelbergN.Y. 1972.
4. Dixmier J. Sur certains espaces consid.er.es par M. H. Stone. Summa. Bull. London Math. Soc. 1972, 4, pp. 171-175.
5. Pedersen G. Operator algebras with weakly closed abelian subalgebras.
6. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138-144.
7. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный. № 9, С. 17-20.
8. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
9. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices.
10. Латипов Х,.М., Хдйитова М.А. (2021). Компакт тупламда узлуксиз функция хоссалари ёрдамида ечиладиган айрим масалалар. Scientific progress. 2:3, 77-85-betlar.
11. Sayliyeva G.R., Sharipova S.A. (2022), Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanida «Daraxt ko'rki» va «Talaba hayoti va ehtimolliklar». Образование и наука в XXI веке. Центр научных публикаций (buxdu. uz). 8 (8), 25(4), 14931502.
12. Sayliyeva G., Sharipov I. Kompleks sonlar mavzusini o'qitishda "bumerang" texnologiyasi, Образование и наука в XXI веке. 25(4).
13. Сайлиева Г.Р. (2022), Использование метода «Определения, теоремы, дока-зательства, формулы, примера». Образование и наука в XXI веке, Центр научных публикаций (buxdu. uz). 8 (8), 25(4), 1569-1579 c.
14. Sayliyeva G.R., Yahyoyeva Sh.M. (2022). Interfaol usullarni qo'llab funksiyaning differensiali va uni taqribiy hisoblashga doir misollar yechish. Образование и наука в XXI веке. Центр научных публикаций (buxdu. uz) 8 (8). 25(4), 1580-1590.
15. Сайлиева Г.Р. (2021). Использование новых педагогических технологий в обучении «Аналитическая геометрия». Вестник науки и образования. 68-71.
16. Сайлиева Г.Р. Использование метода «математический рынок» в организации практических занятий по «дискретной математике», Проблемы педагогики. 53(2), 27-30.
