CC BY
32
УДК 624.042:534.014
А.В. Дукарт, Тхань Бинь Фам
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С УДАРНЫМ ГАСИТЕЛЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрены установившиеся колебания неавтономной двухмассовой системы, вызванные кратковременными периодическими импульсами и сопровождающиеся соударениями масс. Найдено периодическое решение, описывающее устойчивое движение системы с одним соударением масс за период приложения внешних импульсов прямоугольной формы, которое используется для выбора оптимальных параметров гасителя.
Ключевые слова: механическая система, периодические импульсы, длительность и форма импульса, стационарные колебания, ударный гаситель, настройка гасителя, импульс-но-частотная характеристика.
К настоящему времени достаточно полно изучены возможности виброзащиты различных конструкций и сооружений, машин и виброизолированных установок (далее — защищаемая конструкция) с помощью ударных гасителей колебаний пассивного типа при гармонических воздействиях с различной степенью нестабильности их частоты. Значительно меньше в литературе освещены вопросы ударного гашения колебаний конструкций при периодических импульсивных нагрузках [1].
Импульсивные нагрузки в виде периодически повторяющихся кратковременных импульсов или ударов широко распространены в инженерной практике и создаются штамповочными автоматами, формовочными машинами, гидравлическими и механическими молотами и другими механизмами. Во многих расчетных ситуациях замена импульсов конечной продолжительности мгновенными недопустима, и для получения удовлетворительных результатов исследование поведения конструкций должно производиться с учетом влияния формы и длительности действия импульсов [2].
В настоящей статье рассматриваются задачи построения периодических режимов движения механической системы и выбора параметров ударного гасителя колебаний с собственной частотой (рис. 1) при действии односторонних периодических импульсов
прямоугольной формы. Принимается, что число повторений импульсов настолько велико, что колебания конструкции являются установившимися. В случае, когда отношение периода приложения импульсов T к периоду основного тона собственных колебаний конструкции T близко к целому числу, периодические импульсы вызывают так называемый импульсный резонанс, характеризующийся [3] резким увеличением перемещений и внутренних усилий конструкции в сравнении с их значениями при однократном приложении импульса той же величины. Будем считать далее, что защищаемая конструкция и ударный гаситель как парциальные системы могут быть представлены системами с одной степенью свободы. Предполагается, что в исходной системе защищаемая конструкция — гаситель реализуется основной режим движения с одним соударением между массами защищаемой
Рис. 1. Расчетная схема защищаемой конструкции с ударным гасителем колебаний одностороннего действия
конструкции (главной массой ml) и гасителя (m2), который является устойчивым.
Соударения масс принимаются мгновенными и учитываются по стереомеханической теории удара [4]. Будем считать также, что демпфирование в звеньях исходной системы описывается гипотезой вязкого трения, а исходная система обладает непропорциональным демпфированием.
Примем за начало отсчета времени (t = 0) момент приложения внешнего импульса для промежутка времени [0, T]. Тогда для этого интервала, как и для любого другого цикла колебаний системы, заданная нагрузка P(t) может быть представлена аналитическим выражением
P(t) = P0 при 0+ < t < t0 ; P(t) = 0 при t0+ < t < T, (1)
где P0 — величина и t0 — длительность импульсивной нагрузки. Знаками «-» и «+» обозначены моменты времени непосредственно до и после скачкообразного изменения импульса при t = 0 и t = t0.
В соответствии с принятыми предположениями полное движение исходной системы в промежутке времени [0, T] можно рассматривать [1] как колебания безударной системы, к которой наряду с заданным воздействием P(t) к каждой из масс приложена бесконечная последовательность внутренних мгновенных импульсов одностороннего направления
S(t) = S, £8(t -kT -U),
(2)
где S(t) — дельта-функция Дирака; S* — величина импульса, вызванного соударением; t* — момент возникновения. Обозначим (рис. 1) через Xj (/) абсолютные координаты главной массы (j = 1) и массы гасителя (j = 2). Тогда
Xj (t) = xj (t) + xj (t), (3)
где xp(t) — установившиеся колебания j-й массы, определяемые заданным воздействием (1); xSj (t) — периодические колебания j-й массы, отвечающие внутренним импульсам (2). Движение гасителя относительно защищаемой конструкции ограничено начальным зазором D (рис. 1).
x(t) = x2(t) -xl(t) < D . (4)
Соударения масс m1 и m2 происходят, когда в (4) выполняется равенство и относительная скорость x(t) в момент времени, непосредственно предшествующий соударению, положительна.
Искомое установившееся движение системы можно считать установленным, если найдены величины S* и t* . Для их определения запишем составляющие полного движения масс, воспользовавшись известными периодическими решениями [1, 5]. С учетом прерывистого характера заданной нагрузки P(t) движение системы в промежутках времени [0, /q ] и [/q, T] описывается разными уравнениями. Используя соответствующее (1) периодическое решение [5], представим функции xp(t) для интерва-
ла времени 0 < t < t0 в виде
P 2 „-0,5V v (t) --
^ mA £ (®2 + 0,25hv2)
(ch0,5hvT - cos ravT)
V , v (t) +Ф v (t)
(5)
k=-ю
где
V,v(t) = (0,5hvupv -t^opv)[«v(t)e0'5hA -bv(t)] +
+ + 0,5hvиjv) [dv (t)e0'5>h'° + rv (t)]; (6)
(') = 2[(0,5hvu;v-covofv)(e0^' -cost) + (rovufv + 0,5hvof)sint],
av (t) = cos cov (i + T -10) - e~0'5ll"T cos oo v (í - í0); (i) = (1 / cov )av (i); 6V (0 = cosav(t + T)~cosodví; (0 = "d/oav)¿v (í).
Для промежутка времени t„ < t < T уравнение движения (5) сохраняется, как и входящие в него функции (6), (7), кроме функции ф^ (t), для которой следует принять
(t) = 2[(0,5hvufv -covofv)gv(t)-(®vufv + 0,5hup)^(t)], (8)
где
gv(t) = e°^'° cos 03 v (/-/„) - cos со v/; 9v(i) = -(l/o\)gv(0. В (5)—(8) величины ufv , ofv и As вычисляются по формулам
up = -up = 2KP2P3 -Ю1Р1Р4) -P2P4(h2 - h,); of, = 2K (P1P3 - P2 - P4) + Ю1Р2Р4 ] - P1P4 (h - h,);
of = 2[ю, (P1P3 - P2 - P2) + ^2P2P4] + P2P3 (h - h,); (9)
u2fv = uivP2v-1 - 0fP2v ; ofv = u1vP2v + ofvP2v-1 ;
As = 4{Ю1Ю2Ю31 -P3)2 +P2 +P2]-P2P4[0,25(h1 - h2f +Ю,2 +ю2]}.
Действительные P,v-1 и мнимые P,v части коэффициентов распределения амплитуд определяются соотношениями
P2v-1 = [(0, 25hv - h02hv + Ю,2 - ^v Ж22 - h02hv ) + ^02^ (2h02 - hv )]/ CTv ;
P,v = [2Л^ (0,25hv2 - h02hv + < - ®v2) - ®v (ffl,2 - hA )(2h0, - hv)]/ av; (10)
av = (0,25hv2 - hm\ + < -®2)2 + (2h02 - hv )2 fflj.
Частоты rav и коэффициенты демпфирования hv свободных колебаний системы защищаемая конструкция — гаситель являются комплексно-сопряженными корнями ^2v i,2v = -0,5hv + т v характеристического уравнения
m^4 + 2[m1h01 + (m1 + т2)^2 j^3 +[m1(ro21 + 4h01h02) + (m1 + т2)а^2 +
+2m1 (h02® 01 + h01® 22 )X/ + т1Ю01Ю02 = 0 (11)
где ю0j =^c~7m~; h0у = kj /(2mj); i = V-i; / = 1,4; Cj — квазиупругий коэффициент и kj — коэффициент вязкого трения j-го звена системы.
Колебания системы, определяемые действием односторонних мгновенных импульсов (2), приложенных к массам m1 и m2 в противоположных направлениях, в интервале времени t* < t < t* + T запишем в виде [1] S 2 е-ол(t-t*) ,
X (t) =—Г ^П e t-^{["Sv (e°'5h"T - cos ®vT )-oSv sin ^T ]x
m1As (ch0,5hvT - cos T) v ¡ja
x cos rav (t -1*) - [ (e0'4T - cos covT) + ujv sin со vT] sin cov (t -1*)|. (12)
С учетом (9) для определения величин usjv и usv имеем
mi
<1 =-<2 = UP + — (Р2Ю2 "Р4Ю1 ) ; = < + ~^(А - h2) + 2Ю2(р! "Рз)];
m2 m2
m
^ = < [р2(Й2 - h) - 2®i(Pi -Рэ)]; m2
< = UvP2v-1 -«1vp2v ; "2v = UvP2v +4vp2v-1.
Вычисление остальных величин, входящих в (12), производится по ранее приведенным формулам. При -T +1* < t < t* необходимо в (12) заменить t на t + T.
Для определения величины ударного импульса S* и момента его возникновения t* воспользуемся геометрическим условием соударения x(t*) = D и теоремой импульсов [4]. Они приводят [1] к трансцендентному уравнению относительно t*
xp(t,) + Nxp(t,)=D (13)
и дают формулу для вычисления ударного импульса
* (m1 + m2)[1 + (R +1)ФГ (
где R — коэффициент восстановления при ударе [4], 0 < R < 1;
m2(R +1) ^ 1 г, s s ч •
—------/7-d (и2v )smrovT +
As (m1 + m2)[1 + (R +1)Ф] tí (ch0,5hvT - cos rovT)L
+ («2v- <)(«* t^T - )];
Ф =--m2-У--1-- (Го, 5hv sin ovT-rav (cos ravT -
(m1 + m2)As У (ch0,5hvT - cos rav T)lL v v vV v
-e"0,5hvTI (D2v-ufv)- 0,5hv(cosravT-e_0,5hvT) + cov sincovT (ufv -ufv)J.
Для отыскания корней уравнений (11) и (13) могут быть использованы численные методы. Корень t* уравнения (13) должен удовлетворять условию положительности импульса S* , определяемого по формуле (14). Можно показать, что Ф > -0,5, причем знак равенства соответствует отсутствию трения в звеньях системы.
Полученное в настоящей статье периодическое решение может быть использовано для определения оптимальных параметров ударного гасителя колебаний одностороннего действия. Отметим, что оно применимо и при учете демпфирования в звеньях системы по гипотезе частотно-независимого трения [2]. В этом случае характеристическое уравнение (11) и формулы для вычисления коэффициентов распределения амплитуд (10) следует принять в соответствии с [1].
Решение задачи выбора параметров ударных гасителей колебаний при периодических нагрузках основано [1] на анализе зависимости наибольшего перемещения главной массы от частоты возмущения, в данном случае от частоты приложения импульсов. Эта зависимость при импульсивных нагрузках называется импульсно-частотной характеристикой (ИЧХ). Влияние параметров защищаемого объекта и гасителя на ИЧХ колебаний массы m1 при действии периодических мгновенных импульсов подробно изучено в [1], поэтому здесь остановимся только на влиянии, оказываемом длительностью импульсов. При этом ограничимся рассмотрением расчета конструкции на действие периодических импульсов конечной продолжительности, основанном [2] на предположении о постоянной величине внешних импульсов So при изменении
величин нагрузки Pq и продолжительности /q . Для импульса прямоугольной формы Sq = pq/q , поэтому Pq и /) обратно пропорциональны.
На рис. 2 приведены ИЧХ колебаний главной массы при различных величинах длительности внешних импульсов и коэффициента восстановления R для некоторых значений безразмерных параметров системы: ц = m2 /m1, s = raQ2 /ш01, SQ1 = hQ1 /ш01, SQ2 = h)2 /ш01, т = ш01/, tq = qQ1/q, X = /(ю01Г); кроме того обозначено: >1(т) = Xj(?)/ xQ, 11 = max| j1(r)|, J = D / xq, где xQ = PQtQ / (m1aQ1). Графики Y1 (X) характеризуют поведение защищаемой конструкции при нестабильности частоты нагрузки +20 % (0,8 < X < 1,2) в окрестности основного импульсного резонанса и соответствуют оптимальной настройке гасителя sonT при действии периодических мгновенных импульсов [1].
Рис. 2. ИЧХ колебаний массы m1 (ц = 0,025; 801 = 0,0125; §02 = 0,025; d = 0,5: 1 — R = 0,8; 5 = 0,5008; 2 — R = 0,6; 5 = 0,5027; 3 — R = 0,4; 5 = 0,5082)
ИЧХ колебаний массы от^ в зависимости от значений параметров защищаемой конструкции и гасителя имеет в рассматриваемом частотном диапазоне один (при 9 = ш01) или два максимума, расположенные слева и справа от резонансной частоты воздействия 9 = ш01; 9 = 2л /Т . При этом в первом случае оптимальное значение настройки минимизирует наибольшую ординату кривой ?1(А,), а во втором — выравнивает максимумы ИЧХ.
Результаты расчетов показывают, что с увеличением длительности периодических импульсов значение 5ОПг (при фиксированных значениях других параметров системы) возрастает незначительно. Так, например, для выравнивания максимумов кривой 1 на рис. 2, г следует принять 5ОПТ = 0,5020. Отметим также, что с увеличением То
максимальные ординаты кривой ?1(А,) уменьшаются. При этом эффективность гашения колебаний, оцениваемая отношением максимумов ИЧХ колебаний массы m1 без гасителя к соответствующей величине при наличии оптимально настроенного гасителя, слабо зависит от длительности внешних импульсов.
Библиографический список
1. Дукарт А.В. Задачи теории ударных гасителей колебаний. М. : Изд-во АСВ, 2006.
2. Динамический расчет зданий и сооружений : справочник проектировщика / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М. : Стройиздат, 1984.
3. Сорокин Е.С. Основные предпосылки расчета сооружений на импульсивные нагрузки // Вопросы прикладной механики. М. : Стройиздат, 1968. Вып. 260. С. 5—37.
4. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М. : Стройиздат, 1965.
5. Дукарт А.В. К определению установившихся колебаний системы с двумя степенями свободы при действии периодических импульсов конечной продолжительности // Известия вузов. Строительство. 2012. № 1. С. 3—13.
Поступила в редакцию в марте 2012 г.
Об авторах: Дукарт Адам Вилебальдович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Фам Тхань Бинь — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Дукарт А.В., Тхань Бинь Фам. Стационарные колебания системы с ударным гасителем при действии периодических импульсов конечной длительности // Вестник МГСУ. 2012. № 4. С. 44—50.
A.V. Dukart, Ihanh Binh Pham
STATIONARY VIBRATIONS OF A SYSTEM WITH AN IMPACT ABSORBER SUBJECTED TO PERIODIC IMPULSES OF FINITE DURATION
Impulsive loadings, or repetitive brief impacts, produced by machines and mechanisms of the shock action, are widely spread in the engineering practice. In many cases, trustworthy results of their dynamic analyses can be obtained by taking account of the shape and duration of their impulses.
In the paper, the periodic mode of the system motion and the parameters of the impact absorber applicable to one-sided periodic impulses of rectangular form are examined. The structure to be protected and the absorber are simulated as a system of a single collision of masses. The impacts are accepted to be instantaneous and taken into account by means of the coefficient of restitution. The damping properties of the protected structure and the absorber are considered on the basis of the viscid friction hypothesis; therefore, the damping properties of the whole system are disproportionate.
The relations identified in the course of the research are used to find the impulse frequency characteristics (IFC) of the protected structure to identify the absorber parameters. The affect of duration of external impulses produced onto the IFC, characterized by the drastic increase in the amplitudes as compared to that in the case of a single impulse of the same magnitude, is the subject of research. It is proven that the maximal ordinates of IFC decrease slightly against the increase in the duration of external impulses; therefore, the efficiency of the impact absorber changes insignificantly, and it is equivalent to that of a dynamic absorber. It is noteworthy that if the duration of external impulses is under 10 % of the duration of the period, they may be replaced by instantaneous impulses.
Key words: mechanical system, periodic impulses, duration and form of impulses, stationary vibrations, impact absorber, absorber tuning, impulse frequency characteristic.
References
1. Dukart A.V. Zadachi teorii udarnykh gasiteley kolebaniy [Objectives of the Theory of the Impact Vibration Damper]. Moscow, ASV Publ., 2006.
2. Korenev B.G., Rabinovich I.M., editors. Dinamicheskiy raschet zdaniy i sooruzheniy: spravochnik proektirovshchika [Dynamic Analysis of Buildings and Structures: Designer's Reference Book]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1981.
3. Sorokin E.S. Osnovnye predposylki rascheta sooruzheniy na impul'sivnye nagruzki [Main Preconditions for Calculation of Structures Exposed to Impulsive Loads]. Voprosy prikladnoy mekhaniki [Problems of Applied Mechanics]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1968, no. 260, pp. 5—37.
4. Goldsmith V. Udar. Teoriya i fizicheskie svoystva soudaryaemykh tel [Impact. Theory and Physical Properties of Colliding Bodies]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1965.
5. Dukart A.V. K opredeleniyu ustanovivshikhsya kolebaniy sistemy s dvumya stepenyami svobody pri deystvii periodicheskikh impul'sov konechnoy prodolzhitel'nosti [About the Identification of Stationary Vibrations of a System That Has Two Levels of Freedom Exposed to Periodic Impulses of Finite Duration]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2012, no. 1, pp. 3—13.
About the authors: Dukart Adam Vilebal'dovich — Professor, Doctor of Technical Sciences, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaro-slavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Thanh Binh Pham — graduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Dukart A.V., Thanh Binh Pham. Statsionarnye kolebaniya sistemy s udarnym gasitelem pri deystvii periodicheskikh impul'sov konechnoy dlitel'nosti [Stationary Vibrations of a System with an Impact Absorber Subjected to Periodic Impulses of Finite Duration]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 4, pp. 44—50.
