CC BY
33
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С УДАРНЫМ ГАСИТЕЛЕМ ОДНОСТОРОННЕГО ДЕЙСТВИЯ
FREE VIBRATIONS OF ONE-MASS SYSTEM WITH ONE-SIDED
IMPACT ABSORBER
A.B. Дукарт, Тхань Бинь Фам
A.V. Dukart, Thanh Binh Pham
ФГБОУ ВПОМГСУ
Изучается влияние параметров одностороннего ударного гасителя колебаний с собственной частотой на характер переходных режимов движения масс защищаемого объекта и гасителя, вызванных однократным начальным импульсом.
Effect of parameters of a one-sided impact absorber on transient motion of the masses of the system under a single initial impulse.
При работе широкого класса машин и механизмов наряду с чисто вынужденными колебаниями рабочих органов и несущих конструкций (например, фундаментов, плит перекрытий и других) возбуждаются свободные и сопровождающие свободные колебания, которые происходят с собственными частотами и отклонениями, соизмеримыми и даже превышающими амплитуды установившихся колебаний. Обеспечение нормальной эксплуатации машин, механизмов и несущих конструкций во многих случаях связано с необходимостью подавления таких колебаний, в частности становятся актуальными задачи уменьшения длительности переходных процессов. Аналогичные задачи возникают в связи с необходимостью сокращения интервала иувеличения темпа затухания свободных колебаний, вызванных заданными силовыми и кинематическими возмущениями. Для решения указанных задач успешно применяются демпферы, гасители колебаний и другие специальные средства виброзащиты.
В настоящей работе изучается поведение защищаемой конструкции с ударным гасителем колебаний одностороннего действия. Предполагается, что колебания системы вызваны приложенным к защищаемой конструкции в начальный момент времени( t = 0 ) однократным импульсом конечной продолжительности t0, представленным аналитическим выражением:
P(t) = Pof (t) при 0 < t < to; P(t) = 0 при t > t0,
где P0 - максимум импульсивной нагрузки; f (t) - функция, характеризующая форму импульса, причем она при всех t положительна и удовлетворяет условию f (t) < 1.
Наиболее острой задача учета продолжительности действия ударных импульсов становится при исследовании колебаний континуальных систем [1]. Применение для таких систем гипотезы о мгновенном действии импульсов некорректно. Отметим, что
свободные колебания конструкций с ударными гасителями различных типов рассматривались ранее в литературе [5, 6, 8, 9]. При этом достаточно полно теоретически и экспериментально изучено поведение конструкций с ударным гасителем двухстороннего действия свободного типа (с так называемым плавающим ударным гасителем) [6, 8, 9]. Переходные режимы свободных колебаний системы с ударным гасителем одностороннего действия, вызванных заданным начальным смещением защищаемой конструкции, рассматривались в [5]. Полученные в перечисленных и других работах результаты свидетельствуют о высокой эффективности ударных гасителей, оцениваемой различными критериями качества виброзащиты.
Будем считать, что расчетные схемызащищаемой конструкции и гасителя моделируются системами с одной степенью свободы (рис. 1), причем в промежутках между соударениями масс конструкции (главной массы) т1 и гасителя т2 они линейны. Здесь ограничимся учетом длительности только внешних импульсов; внутренние импульсы, вызванные соударениями масс системы, принимаются мгновенными и оцениваются в соответствии со стереомеханической теорией удара коэффициентом восстановления 0 < Я < 1 [5-9]. Внутренние диссипативные силы в звеньях защищаемой конструкции (у = 1) и гасителя (у = 2) учтем по гипотезе частотно-независимого трения Е.С. Сорокина [1] введением комплексных жесткостей с. (и. + ю.), где и] = (4 - у)) / (4 + у)), = 4^ / (4 + у]) ; с., у - соответственно квазиупругий коэффициент и коэффициент неупругого сопротивления у - го звена системы.
т2
V
' с1, 71 777У777
Рис. 1. Расчетная схема защищаемой конструкции с ударным гасителем колебаний одностороннего действия
Пусть в начальный момент времени рассматриваемая система находится в состоянии покоя. Найдем колебания системы, соответствующие разным интервалам ее движения. Для определения движения системы в интервале 0 < ? < t0 непрерывного действия импульсивной нагрузки Р(^) воспользуемся известным решением в виде квадратур [3], в соответствии с которым колебания масс системы при произвольной возмущающей нагрузке описываются функциями
х ,(() =
тА
XI / №
(3) -г)-Л? ята^ -Т)]Л\
(2)
Здесь соу, ку- частоты свободных колебаний и соответствующие им коэффициенты демпфирования рассматриваемой системы как системы с двумя степенями свободы.Они являются корнями Л2у_1 2г = -0,5йг ± 'т^, характеристического уравнения
т1т2Я4 + [с1т2(и1 + ги1) + с2(т1 + т2)(и2 + ш2)]А2 + с1с2[(м1м2 -и1и2) + +г'(м1и2 + и2ц)] = 0, (3)
причем предполагается, что для принятых значений параметров системы вещественные части всех корней уравнения (3) положительны, т. е. Ау > 0.
<3) "(3)
,(3) _ ,,(3) _
Коэффициенты и(3), и величина А, вычисляются по формулам
"(3) = -и|2' = ^ЛА "^АА - 0,5 А А(А - А,);
= ©2 (ДД - А2 - Д2) + ©1ДД + 0,5ДД, (А - й2); ц(23) ^(ДД-Д2-Л2) + ®2ЛЛ + 0,5ДД(А2 - А.); (4)
А, = ®1®2[(Д -Д)2 + А' + А'1"ААК + ®22 + 0,25(Й1 - й2)2].
Действительные /32у_1 и мнимые /32у части коэффициентов распределения амплитуд свободных колебаний системы определяются соотношениями
А V-! = С2 {[т2 (0, 25А1 ~в>1) + и2С2 ]и2 + (^2С2 " тгК <4 } ■ А V = С2 {[т2 (0, 25А' + и2С2 М - (^2С2 " т2А,Ч К } ■■
ау = [т2(0,25А"-а>1) + и2с2]2 + (и2с2 -тА©„)2. Для определения движения системы в интервале времени между окончанием действия внешнего импульса (? = t0) и первым соударением (? = t1) масс т1 и т2, а также в интервалах времени между любыми двумя последовательными соударениями воспользуемся подходом, связанным с пересчетом начальных условий движения масс для соответствующего интервала времени < t < . Здесь tk - время к - го соударения масс; ^, t+k - моменты начала и окончания контактного взаимодействия масс, причем в связи с принятой стереомеханической теорией удара [7] tk - Гк ^ 0; к = 0,1, 2, 3,... , при этом к = 0 соответствует началу свободных колебаний системы (приt = t0). Кроме того, обозначим через х~к, х~2к - доударные и х^, х2к - послеударные скорости масс т1 и т2, отвечающие моменту времени к - го соударения. Они связаны между собой соотношениями [7]
. + _ (т1 ~ т2Я)\к + т2(Я + 1)Х2~к . • + _ (т2 ~ т1^)Х2,к + т1(Я + 1)Х1,к (5) т1 + т2 т1 + т2
Алгоритм указанного подхода сводится к следующему. В общем случае начальных условий движения системы при 1 = tk
(Л) = хЛк; х+/(к) = х1 к; ] =1,2 (6)
в интервале времени tk < t < Гых функции абсолютных координат (отклонений) х] (t) и скоростей х^ (t) масс системы могут быть, согласно [4, 5], записаны в виде:
где
8/2011 ВЕСТНИК _8/2011_МГСУ
х.(t) =~тЕ} СО® - Ч) - ю„ (t - ^)]; (7)
х.^) ="Т 4 "[(о^Кй^-аи^п^ - ч) -
+®l/(^JV)cos®l/(t - tk)], (8)
= х1,к«£ + х2,к«(2> + х1>(3> + ^.к^ ; «V = Х^ + ^^ + + ^.к^ .
Коэффициенты и(/ = 1,4) соответствуют свободным колебаниям системы, вызванным только одним из начальных условий (6) при нулевых значениях остальных: начальным смещением х1к массы т1 (I = 1) или х2к массы т+ (I = 2), начальной скоростью движения хх1+к массы т1 (I = 3 ) или х+к массы т+ (I = 4). Их вычисление при I = 1, 2, 4 производится по формулам статьи [4], а при I = 3 - по формулам (4) настоящей статьи.
Относительные колебания массы гасителя ограничены начальным зазором Б (рис.1)
х^) = х2^) - х^) < В, (9)
причем односторонние соударения масс т1 и т2 имеют место, когда в (9) выполняется равенство и относительная скорость х(?) , соответствующая моменту соударения, положительна.
Начальные условия движения масс системы для интервала времени между любыми двумя последовательными соударениями tk+1 и tk+2 (к = 0, 1, 2, 3,...) вычисляются в следующей последовательности. Сначала из геометрического условия (9) определяется время (к +1) - го соударения масс; оно вычисляется как корень трансцендентного
уравнения х(^+1) = В, удовлетворяющего условию х~+1 = х(^+1) > 0. Далее, для известного значения определяются начальные условия колебаний масс для рассматриваемого интервала. При этом начальные отклонения масс х]к+1 = хД^+1) можно найти непосредственно с помощью уравнений (7). Для определения начальных скоростей х*к+1 следует, используя (8), вычислить сначала доударные скорости масс
х~ к+1 = х /(tk+1), а затем по формулам (5), заменив в них к на к +1, - начальные скорости масс для искомого интервала движения. В процессе отыскания моментов соударений масс tk (к = 1, 2, 3,...) на всех интервалах движения системы должна осуществляться проверка условия х^) < В при ^ < t < Гых.
В качестве примера рассмотрим переходные режимы колебаний системы (рис. 1), вызванные действием однократного импульса конечной продолжительности прямоугольной формы. Такая сила описывается выражением (1) при /(0 = 1. Для определения движения масс в интервале времени [0, t°] воспользуемся решением (2). Подставляя полученное для данного случая выражение (1) в (2) и воспользовавшись таблицами интегралов [2], после несложных преобразований получим уравнения колебаний в виде:
X]^) = Л~Т—^-Г[(0,5Ауи(3!-^)(1 -соз^) +
т1А, ;-10,25А>, +«/
+ (0,5куо(]1) + зт®^ ]. (10)
Соответствующие скорости колебаний масс описываются функциями
X]0) = £е-0^(и(3 cos©vt зшй^). (11)
Для численного анализа функций абсолютных отклонений масс защищаемой конструкции и гасителя (7), (10) и их скоростей (8), (11) введем безразмерные переменные
¡л = т2 / т{; , = ®02 / Ру=®у / 5У = Ау / «01; г = г0 =
Л = О / .0; У](г) = X](t)/ .0, где х0 = Р^0 / (т1®01); ®01 = ^с1 / т1 - частота собственных колебаний конструкции без гасителя; ®02 =^с2 / т1 - парциальная частота колебаний гасителя.
Для заданного закона изменения импульсивной нагрузки расчет конструкций на действие кратковременных сил обычно производится двумя способами [1]. Первый из них соответствует предположению о постоянстве максимума Р0 возмущающего воздействия при изменении его продолжительности. Второй способ расчета конструкций основан на предположении о постоянстве импульса воздействия 50 при изменении его максимума Р0 и продолжительности .
Ниже остановимся на анализе переходных режимов колебаний системы при нагрузке, соответствующей второму из указанных способов расчета, т. е. будем считать величину импульса 50 фиксированной. Для импульса прямоугольной формы 50 = Р/0, поэтому в рассматриваемом случае величина нагрузки Р0 и ее продолжительность t0 обратно пропорциональны (Р0 = Бй/ ^).
Некоторые результаты вычислений в виде графиков переходных процессов колебаний масс защищаемой конструкции и гасителя для значений коэффициента восстановления при ударе Я = 0,3; 0,7 и продолжительности действия внешних импульсов
Т0 / (2;т) = 0,1; 0,25; 0,5 приведены на рис. 2 и рис. 3 (значения остальных параметров системы приняты фиксированными и указаны на рисунках). Для сравнения на рис. 2, а пунктирной линией изображен график колебаний главной массы при отсутствии гасителя, а на рис. 2, б такой же линией показан график переходного процесса колебаний защищаемой конструкции с гасителем при действии мгновенного импульса.Для их построения используются известные решения[4, 5, 7]. Представленные кривые у](г)
свидетельствуют о существенной зависимости переходных процессов колебаний масс системы от коэффициента восстановления и продолжительности внешнего импульса. Для малых значений коэффициента восстановления (например, Я = 0,3 )характерно плавное затухание колебаний защищаемой конструкции (рис. 2, а). При сравнительно больших величинах коэффициента восстановления (например, Я = 0,7) движения главной массы сопровождаются так называемыми затухающими биениями (рис. 2, б). При этом, с увеличением коэффициента восстановления при ударе интенсивность затухания колебаний защищаемой конструкции на начальном этапе движения системы быстро возрастает. Это обстоятельство может быть использовано для решения задач
виброзащиты конструкции в тех случаях, когда необходимо к определенному моменту времени обеспечить заданный уровень ее колебаний.
Сопоставление графиков переходных процессов, соответствующих различным значениям продолжительности действия внешнего импульса, показывает, что импульс можно считать действующим мгновенно только при малых значениях г0. С увеличением продолжительности начального импульса уровень отклонений масс системы существенно отличается от величин, отвечающих его мгновенному действию (рис. 2, б).
0123456789 т/(2я)
Рис. 2. Переходные процессы колебаний главной массы: 1 - г0 / (2л") = 0,1; 2 - г0 / (2тг) = 0,25; 3 - г0 / (2тг) = 0,5.
Графики переходных процессов колебаний гасителя одностороннего действия (рис. 3) свидетельствуют о том, что он, как и свободный ударный гаситель [6, 8, 9], быстро (в течение одного - двух условных периодов колебаний защищаемой конструкции) включается в работу, что обеспечивает повышенное рассеяние энергии колебаний главной массы, в том числе за счет динамического взаимодействия масс защищаемой конструкции и гасителя в результате соударений. Заметим, что колебания
массы гасителя после первоначального нарастания в зависимости от величины коэффициента восстановления при ударе либо плавно затухают (рис. 3, а), либо сопровождаются затухающими биениями (рис. 3, б).
В заключение отметим, что выполненный в настоящей статье, а также в работе [5], анализ влияния параметров ударного гасителя одностороннего действия на характер переходных режимов движения защищаемой конструкции позволяет решать задачи выбора оптимальных параметров такого гасителя при заданных начальных услови-
У2 0.5
0
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5
У2 0.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
-6.0
a)
А 1 / 2 / 3 1 2 3 \
1 ш
V № ч/Ч У
\ v А мЛ /
\\ J
\ / у
у ц=0 ,05; s=0 5; т,=0,( 25;
у2=0,01; d=0; R=0,3 i i
9 т/(2я)
1 / ... 2 3 / 1 \ 2 ^ 3 ^ 4 6)
\ / М/ л У ъ
X л
\\ \ \ У
\ 1
v
7 ^=0,05; s=0,5; y1=0,025; y2=0,01; d=0; R=0,7 1 1
0123456789 т/(2тг) Рис. 3. Переходные процессы колебаний массы гасителя: 1 - г0 / (2п) = 0,1; 2 - г0 / (2п) = 0,25; 3 - г0 / (2п) = 0,5.
Литература
1. Динамический расчет зданий и сооружений: справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1984
2. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., Наука, 1973
3. Дукарт A.B. Об установившихся колебаниях двухмассовой системы с демпфированием при произвольной периодической возмущающей нагрузке / / Известия вузов. Строительство. 2009. № 3-4, с. 3-13
4. Дукарт А.В., Фам Вьет Нгок, Фам Тхань Бинь. К определению свободных колебаний двух-массовой системы с демпфированием / / Известия вузов. Строительство. 2011. № 5, с. 98-106
5. Дукарт А.В., Фам Тхань Бинь. О переходных режимах колебаний одномассовой системы с ударным гасителем при заданных начальных условиях / / Известия вузов. Строительство. 2011. № 6, с. 16-22
6. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (Динамика и устойчивость). М., Наука, 1973
7. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика. М., Дрофа, 2006
8. Романовский В.А. Ударное гашение собственных колебаний механической системы / / Прикладная механика в прибостроении. Л., ЛЭИ, 1978,с. 70-75
9. Bapat C.N., Sankar S. Single unit impact damper in free and forced vibration / / Journal of Sound and Vibration. 1985. V. 99. N 1, p. 85-94
The literature
1. Dinamic analysis of buildings and structures: designer's handbook; ed. by B.G. Korenev, I.M. Rabinovich. M., Stroyizdat, 1981
2. DwichtH.B. Tables of integrals and other mathematical formulas. M., Nauka, 1973
3. Dukart A.V. On periodic oscillations of a two-mass damped system with an arbitrary exciting force / / News of Higher Educational Institutions. Construction. 2009. N 3-4, p. 3-13
4. Dukart A.V., Pham V.N., Pham T.B. To determination of free oscillations of two-mass system with damping / / News of Higher Educational Institutions. Construction. 2011. N 5, p. 98-106
5. Dukart A.V., Pham T.B. On transient vibration regimes of one mass system with impact damper of fixed initial conditions / / News of Higher Educational Institutions. Construction. 2011. N 6, p. 16-22
6. Kobrinsky A.E., Kobrinsky A.A. Vibroimpact systems (Dynamics and stability). M., Nauka,
1973
7. Loytsyansky L.G., Lurie A.I. Course of theoretical mechanics. V. 2. Dinamics. M., Drofa, 2006
8. Romanovsky V.A. Impact damping of free oscillations of a mechanical system / / The applied Mechanics in Instrument-making. L., LEI, 1978, p. 70-75
9. Bapat C.N., Sankar S. Single unit impact damper in free and forced vibration / / Journal of Sound and Vibration. 1985. V. 99. N 1, p. 85-94
Ключевыеслова:защищаемыйобъект, ударный гаситель колебаний, свободные колебания, коэффициент восстановления, частотно-независимое трение, переходные режимы движения, однократный импульс.
Keywords: protected object, impact absorber, free vibrations, restitution coefficient, frequency-independent friction, transient motion, single impulse.
129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, кафедра строительной механики МГСУ
Сведение об авторах:
Дукарт Адам Вилебалъдович, доктор технических наук, профессор, МГСУ, кафедра строительной механики; тел. - 8(985)763-30-06;
Фам Тхань Бинь, аспирант, МГСУ, кафедра строительной механики; тел.- 8(929) 684-37-18; адрес - 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, 26а, корп. 2, комн. 412
Рецензент:Потапов Александр Николаевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительная механика» ФГБОУ ВПО Южно-Уральский государственный университет (НИУ)
