Об эффективности двухмассового динамического гасителя колебаний при периодическом импульсивномвоздействии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МГСУ

ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДВУХМАССОВОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИМПУЛЬСИВНОМВОЗДЕЙСТВИИ

ON EFFICIENCY OF TWOMASS DYNAMIC ABSORBER AT PERIODIC IMPULSIVE PERTURBATION

Из условия минимума наибольших отклонений защищаемого объекта найдены оптимальные параметры линейного двухмассового динамического гасителя с демпфированием при действии односторонних периодических мгновенных импульсов.

From the criterion of the minimum of the largest rejection of the protected object, the optimum parameters of alinear twomassdamped dynamicabsorberatthe action of one-sided periodic instantaneous impulsesare found.

Одно из основных направлений развития теории динамических гасителей колебаний (ДГК) пассивного типа связано с изучением возможности их применения для виброзащиты зданий, инженерных сооружений и их отдельных конструкций, машин и приборов (далее - защищаемый объект) при различных возмущающих нагрузках [7]. Важный класс эксплуатационных нагрузок составляют широко распространенные во многих областях техники нагрузки импульсивного характера в виде многократно повторяющихся кратковременных сил и ударов [1]. Наибольший практический интерес представляют такие воздействия в виде повторяющихся через равные промежутки времени импульсов одинаковой величины, когда число их повторений достаточно для установления периодического режима колебаний объекта. Длительность импуль-сов,создаваемых многими вибрационно-ударными машинами (ковочные штамповые молоты, механизмы с зубчатыми передачами, копровые устройства, машины ударного действия с кривошипно-шатунным приводом и т. п.), несоизмеримо мала по сравнению с периодом их приложения, поэтому импульс может рассматриваться как действующий мгновенно.

Ограничимся далее рассмотрением воздействия в виде односторонне направленных периодических мгновенных импульсов, предполагая, что расчетная схема защищаемого объекта может быть представлена в виде линейной системы с одной степенью свободы. Такое воздействие описывается периодической последовательностью

где 5 - величина импульса; 8{С) - дельта-функция Дирака; T, в = 2я / T - период и частота приложения импульсов.

А.В. Дукарт, Вьет Нгок Фам

A.V. Dukart, Viet Ngoc Pham

ГОУ ВПО МГСУ

(1)

Рис. 1. Расчетная схема защищаемого объекта с двухмассовым ДГК

Поведение защищаемого объекта, оборудованного линейными одномассовыми ДГК с демпфированием, при возмущающей нагрузке (1) с большой нестабильностью частоты изучено достаточно полно [4, 5, 7, 8]. В настоящей статье рассматриваются задачи выбора оптимальных параметров и оценки эффективности линейного двухмас-сового динамического гасителя каскадного типа с частотно-независимым трением (рис. 1). Предполагается, что исходная система «защищаемый объект - гаситель» обладает непропорциональным демпфированием.В соответствии с рекомендациями [9] эффективность гашения колебаний определена для двух вариантов воздействия (1), когда значение импульса не зависит от частоты (5 = 50) или пропорционально частоте (5 = Л50) действия импульсов; Х = в/ <% ; <% - частота собственных колебаний защищаемого объекта в отсутствие гасителя. Назовем их воздействиями 1и Птипа.

Диссипативные свойства защищаемого объекта и звеньев гасителя учтем по гипотезе Е.С. Сорокина введением комплексных жесткостей [10]. В промежутках между двумя любыми последовательно приложенными импульсами воздействия (1) рассматриваемая система совершает свободные колебания, которые описываются дифференциальными уравнениями

т1 X + Сх1 + с2(х1 — х2) = 0; т2х2 + с2(х2 — х1) + т3х3 = 0; т3х3 + с3(х3 — х2) = 0, (2)

где е] = (uJ + ю])е]; и] = (4-у]) /(4 + у)); о] = 4у] /(4 + у]) ; т], е], у], х 3 - масса,

квазиупругий коэффициент, коэффициент неупругого сопротивления и абсолютная координата ] -го звена системы.

Для отыскания решения уравнений (2), удовлетворяющего условиям периодичности движения системы

х,(Г) = хД0); х2(Г) = х2(0); хз(Т) = хз(0);

х1(Т) = хх1(0)-5/т1 ; х2(Т) = хх2(0); хз(Т) = хх3(0),

воспользуемся способом расчета многомассовых виброударных систем [3], согласно которому искомые установившиеся колебания массы т; при 0 < г < Т могут быть

представлены в вещественной форме (]' = 1,3) [2]

_МГСУ

3 e-0,Shvt

Xj (t) = SX . ,T--{[ujv (e0'5h"T - cos wvT) - oJV sin mvT] cos 4t -

;"lch0,5h>,T - cosc^T1-1- J

- [ujv sin wvT + vjv (e0'5hyT - cos wvT)] sin wvt\ . (3)

Здесь (ov, hv- частоты и коэффициенты демпфирования свободных колебаний рассматриваемой системы как системы с тремя степенями свободы. Они являются корнями характеристического уравнения

m¡m2m3Áf + {m3 [m2 (c¡ + c2) + m¡ (c2 + c3)] + m¡m2c31 +

+[m3C¡C2 + (m2 + m3 )c¡C3 + (m¡ + m2 + m3 )C2C3 + c¡c"2C3 = O ; l = ¡, 6 . (4)

Предполагается, что принятым параметрам защищаемого объекта и гасителя отвечают только простые корни уравнения (4) A2v_¡2v = -0,5hv ± iav; v = ¡, 3.

Входящие в функции (3) абсолютных отклонений масс величины ujv и ojv вычисляют по формулам

ujv = P2v-¡a2v-¡ ~ Plva0v ; Vjv = A^'^v-l + ,

причем для рассматриваемой системы действительные Р2,]_х и мнимые части коэффициентов распределения амплитуд[3] определяются соотношениями

Вт = ¡; Вт = 0 ;

H2v-¡ 1 ' H2.V u ' A^-l = (u2d¡v + d2v ) / ; = (u2d2, - y2d¡v ) / ;

= «ÓU^yC-i -0,№)d3v + + U3A™ KJ/a^; = «¿[(u^? + ^¡¥3, - ^^ -^KJ/af; a = m2®02 ; = d\v + d42v ; ®02 =4c2 / mi ; ®03 = -JCJm , где d¡v = m¡(0,25h2 - ®2 + 0)¡¡u¡) + m2a>l2u2; d2v = m¡(a»0¡f¡ -hvcov) + m2a>l2v2; d3V = 0,25h2 - ®2 + ; d4V = ®023^3 - Kcov.

Постоянные иа21/ отвечают свободным колебаниям системы, вызванным приложенным в начальный момент времени (t = 0) к массе m¡ однократным импульсом [3]. Для их определения используются начальные условия

x¡(0) = 0; x2(0) = 0; x3(0) = 0; x¡(0) = S/m¡; X2(0) = 0; X3(0) = 0,

которые приводят к матричному уравнению

¡ 0 1 0 1 0 a¡° 0

Л(2) "Af Af "Af Af -Af a2 0

A(3) "Af Af "Af Af -Af a30 0

0,5h¡ Щ 0,5h2 co2 0,5h3 co3 a40 -S / (2m¡)

Д(2) -Д(2) Af -Af Af -Af a50 0

Д(3) "Af Af -Af Af -Д(3) _ _«60 _ 0

где = + = 0,4$;° - ®v J J = 2, 3.

Приведенное решение позволяет описать движение защищаемого объекта с рассматриваемым гасителем и, таким образом, решать задачу выбора оптимальных параметров двухмассового ДГК. Эффективность такого гасителя определяется [6, 7] величинами относительных масс /л2 = m2 / m1 и ^ = m3/ m1, значениями настроек s2 = а>02 / <% и s3 = ®03 / о01 и коэффициентов неупругого сопротивления у2 и у3 его звеньев; при этом она существенно зависит от диссипативных свойств защищаемого объекта. Для численного анализа функций отклонений масс (3) введем дополнительно безразмерные параметры

Л = в / ®01 = 2к / (<%T); т = 6t = 2nt / T ; pv = cov / o01;

Sv= К /q)1; yj(r) = Xj(t)/ x0; x0 = 5/(m1®01).

Рассмотрим здесь задачу выбора параметров двухмассового ДГК только при большой нестабильности частоты действия импульсов, т. е. будем считать, что частота воздействия (1) может принимать произвольные значения. За критерий качества виброгашения примем максимальную величину отклонения y1(r) защищаемого объекта (главной массы m1), причем, согласно [9], ограничимся изучением поведения защищаемого объекта с гасителем в диапазоне частот 0,8<Л< 1,2 . Такой выбор критерия качества продиктован также возможностью сопоставления эффективности одномассо-вого и двухмассового гасителей. Отметим, что воздействие (1) как I, так и Птипа вызывает несимметричные колебания системы: максимальные положительные

YJ = max yj(r) и отрицательные YJ = |min yj (г)| отклонения масс на заданной частоте

Л неодинаковы, что следует учитывать при построении импульсно-частотных характеристик (ИЧХ) колебаний главной массы (m1) и масс основного (m2) и подстро-ечного (m3) звеньев гасителя.

Как следует из (3), полное движение масс системы складывается из свободных колебаний с различными частотами и амплитудами. Поэтому целевая функция Y1(^) = max Y1± (Л) на частотном диапазоне 0 <Л<ж имеет сложную «овражную» структуру с большим числом локальных экстремумов, причем наибольшими являются экстремумы, соответствующие основному импульсному резонансу. Как и при гармонической нагрузке [2, 6, 7], в зависимости от величин параметров защищаемого объекта и гасителя и их соотношений между собой в частотном диапазоне 0,8<Л< 1,2 ИЧХ колебаний главной массы Y1^) может иметь до трех резонансных максимумов. Оптимальным значениям настроек и коэффициентов демпфирования звеньев гасителя соответствуют ИЧХ колебаний защищаемого объекта с тремя равными резонансными пиками при их минимальных ординатах: при меньшем числе максимумов (двух или одном) звенья гасителя либо передемпфированы, либо не настроены должным обра-

Проблема полной оптимизации параметров двухмассового ДГК представляет собой сложную и трудоемкую многопараметрическую задачу. Как отмечается в [7], в практических приложениях реализовать оптимальные параметры гасителя не всегда удается по конструктивным соображениям (прежде всего это касается демпфирования в звеньях ДГК). Поэтому зачастую ограничиваются рассмотрением задачи о неполной

оптимизации: при фиксированных значениях одних параметров определяются оптимальные значения других параметров гасителя и дается оценка его эффективности.

7i = 0,7

0 S3 = 1,0

1

Ч

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

Рис. 2. ИЧХ колебаний главной массы с настроенным двухмассовым ДГК (1 - ц = 0,025; ц2 = 0,024; ц3 = 0,001; s2 = 1,00982; х2 = 0,01; у3 = 0,2496; 2 - ju = 0,05; ¡лг = 0,048; ¡л3 = 0,002; s2 = 1,00496; у2 = 0,11; у3 = 0,2846 )

2

1

ИЧХ колебаний масс системы с двухмассовым ДГК при действии периодических мгновенных импульсов весьма похожи на амплитудно-частотные характеристики колебаний при гармонической нагрузке [2, 6, 7]. Об этом свидетельствуют приведенные на рис. 2 ИЧХ колебаний главной массы при воздействии 1типа, соответствующие параметрам гасителя, найденным из решения неполной задачи их оптимизации. Некоторые другие результаты неполной оптимизации параметров рассматриваемого гасителя при импульсивных воздействиях 1и Птипа представлены в табл. 1 и 2 в зависимости от: величин относительных масс ¡лг и ¡л3 при фиксированной суммарной массе ДГК ц = + (табл. 1), коэффициентов неупругого сопротивления основного звена гасителя у2 (табл. 1) и защищаемого объекта у1 (табл. 2). Эффективность виброзащиты здесь оценивается коэффициентом гашения колебаний Кг [7], который определяется как отношение наибольшего отклонения Y1max главной массы в отсутствие гасителя к соответствующей величине при наличии оптимально настроенного гасителя. Значения максимальных ординат ИЧХ колебаний массы m1 без гасителя для рассматриваемых значений коэффициента неупругого сопротивления защищаемого объекта приведены в [5]. В табл. 1 и 2 через Y2IIJax = maxY2t1 и YT" = maxY32 обозначены максимальные величины относительных колебаний масс основного y21(r) = y2(r) - y1(r) и подстроечного y32(r) = y3(r) - y2(r) звеньев двухмассового ДГК; Л", Лс, Лп - частоты возмущающей нагрузки, соответствующие левому (< 1 ),среднему (Лс «1)и правому (Лп > 1) резонансным максимумам ИЧХ колебаний главной массы (рис. 2).

Таблица 1

Результаты неполной оптимизации параметров двухмассового ДГК без учета трения в защищаемом объекте при импульсивном воздействии 1типа (ц = 0,05; Г1 = 0; ^ = 1,0)

^2 Мз У2 52 73 X" Iе Хп тлшах ■ч

0,049 0,001 0,15 0,99230 0,1672 0,880 1,010 1,115 2,040

0,16 0,99310 0,1876 0,885 1,015 1,105 2,018

0,17 0,99390 0,2082 0,890 1,020 1,095 2,010

0,18 0,99465 0,2290 0,895 1,025 1,085 2,015

0,19 0,99535 0,2500 0,895 - 1,060 2,030

0,048 0,002 0,09 1,00223 0,2450 0,870 1,025 1,125 1,986

0,10 1,00375 0,2648 0,875 1,025 1,120 1,962

0,11 1,00496 0,2846 0,880 1,030 1,110 1,951

0,12 1,00601 0,3041 0,885 1,040 1,095 1,952

0,13 1,00690 0,3236 0,890 - 1,075 1,961

0,047 0,003 0,04 1,01085 0,2988 0,860 1,030 1,135 1,973

0,05 1,01295 0,3178 0,865 1,035 1,130 1,944

0,06 1,01467 0,3366 0,870 1,040 1,120 1,927

0,07 1,01612 0,3553 0,875 1,050 1,105 1,920

0,08 1,17350 0,3739 0,880 - 1,085 1,923

Таблица 2

Результаты неполной оптимизации параметров двухмассового ДГК с учетом трения в защищаемом объекте (ц = 0,05; ц2 = 0,0485; = 0,0015; х2 = 0,14; я3 = 1,0)

71 52 73 ушах ■1 Кг т^шах ■2,1 шах ■3,2

Воздействие I типа

0,01 0,99990 0,2506 1,897 16,95 7,01 24,94

0,025 0,99996 0,2443 1,794 6,96 6,56 23,72

0,05 1,00013 0,2340 1,649 3,71 5,94 22,01

0,1 1,00048 0,2158 1,427 2,06 5,00 19,35

Воздействие II типа

0,01 1,02195 0,2327 1,874 17,12 7,14 26,58

0,025 1,02580 0,2245 1,777 7,03 6,74 25,52

0,05 1,03272 0,2114 1,642 3,73 6,20 24,04

0,1 1,04970 0,1880 1,435 2,05 5,40 21,70

_МГСУ

Сравнение полученных результатов с аналогичными данными других работ (например, [2, 6, 7]), посвященных изучению линейного двухмассового ДГК, показывает, что эффективность такого гасителя при действии периодических мгновенных импульсов в режиме основного резонанса высока и сопоставима с эффективностью виброзащиты при гармонической нагрузке.

Литература

1. Динамический расчет зданий и сооружений: справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1984

2. Дукарт A.B.Об эффективности двухмассового динамического гасителя колебаний с ударным звеном и частотно-независимым трением при гармонических воздействиях / / Известия вузов. Строительство. 2009. № 1, с. 7-20

3. Дукарт A.B. Способ построения периодических режимов движения многомассовых виброударных систем и его приложение к расчету ударного гасителя колебаний с демпфированием / / Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. № 3, с. 16-22

4. Дукарт A.B., Фам Вьет Нгок. К определению оптимальных параметров динамического гасителя при периодическом импульсивном воздействии с нестабильной частотой / / Вестник МГСУ. 2010. № 3, с. 113-117

5. Дукарт A.B., Фам Вьет Нгок. Оптимальные параметры и эффективность динамического гасителя с частотно-независимым трением в режиме основного импульсного резонанса / / Известия вузов. Строительство. 2010. № 7, с. 89-97

6. Коренев Б.Г., Олейник А.И. Эффективность многомассовых динамических гасителей колебаний при гармонических внешних воздействиях / / Строительная механика и расчет сооружений. 1984. № 5, с. 39-43

7. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: теория и технические приложения. М., Наука, 1988

8. Резников Л.М., Фишман Г.М. Оптимальные параметры и эффективность динамического гасителя при действии периодических импульсов / / Машиноведение. 1973. № 1, с. 32-36

9. Рекомендации по проектированию гасителей колебаний для защиты зданий и сооружений, подверженных горизонтальным динамическим воздействиям от технологического оборудования и ветра. М., Стройиздат, 1978

10. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., Гос-стройиздат, 1960

1. Dynamic analysis of buildings and structures: designer's handbook / ed. by B.G. Korenev, I.M. Rabinovich. M., Stroyizdat, 1984

2. DukartA.V. On efficiency of a dual-mass dynamic vibration damper with impact element and frequency-independent friction under harmonic actions / / News of Higher Educational Institutions. Construction. 2009. N 1, p. 7-20

3. Dukart A.V. Method for construction of the periodic modes of motion of the multimass vi-broimpact systems and its application to the design of impactabsorberwith damping / / Problems of engineering and reliability of machines. 1993. N 3, p. 16-22

4. Dukart A.V., Pham Viet Ngoc. On determination of optimum parameters of dynamic absorber at periodic impulsive force with unstable frequency / / Vestnik MGSU. 2010. N 3, p. 113-117

5. DukartA.V., PhamVietNgoc. Optimum parameters and efficiency of dynamic damper with frequency-independent friction at main impulse resonance / / News of Higher Educational Institutions. Construction. 2010. N 7, p. 89-97

6. Korenev B.G., Oleynik A.I. Efficiency of multimass dynamic absorber at harmonic excitation / / Structural mechanics and calculation of structures. 1984. N 5, p. 39-43

7. Korenev B.G., Reznikov L.M. Dynamic vibration dampers: theory and engineering applications. M., Nauka, 1988

8. Reznikov L.M., Fishman G.M. Optimum parameters and efficiency of dynamic absorber at the action of periodic impulses / / Engineering science. 1973. N 1, p. 32-36

9. Instructions for design of absorbers for buildings and structuressubject to horizontal dynamic influences produced by technological equipment and wind. M., Stroyizdat, 1978

10. Sorokin E.S. On theory of internal friction under vibrations of elastic system. M., Gosstroyiz-dat, 1960

Ключевыеслова: двухмассовыйдинамическийгасителъколебаний, защищаемыйобьект, периодические мгновенные импульсы, частотно-независимое трение, импулъсно-частотная характеристика, настройка и демпфирование звеньев гасителя.

Keywords: twomass dynamic absorber, protected object, periodic instantaneous impulses, fre-quency-independentfriction, amplitude-frequency characteristics, parameter optimization.

129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, кафедра строительной механики МГСУ

Рецензент:3евин Александр Аронович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института транспортных систем и технологий НАН Украины