CC BY
39
3/2010 мв.ВЕСТНИК
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИМПУЛЬСИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С НЕСТАБИЛЬНОЙ
ЧАСТОТОЙ
А.В. Дукарт, Вьет Нгок Фам
МГСУ
Используя аналитические законы движения системы с двумя степенями свободы, из условия минимума наибольших отклонений защищаемого объекта найдены оптимальные параметры динамического гасителя колебаний с вязким трением для двух случаев действия односторонних периодических мгновенных импульсов с нестабильной частотой их приложения.
A dynamic damper with viscous friction, attached to a system subject to periodic instantaneous impulses with unstable frequency, is considered. Utillizing the analytical expression for the periodic motion of a system with two degrees of freedom, the optimum parameters of the damper are found for two kinds of the impulses from the condition of a minimum of the maximum amplitude of the protected object.
Возмущающие нагрузки в виде периодических кратковременных импульсов, длительность которых в некоторых случаях настолько мала, что их можно считать мгновенными [3,9,11], широко распространены во многих отраслях инженерной практики. Вместе с тем, возможности применения динамических гасителей колебаний (ДГК) различных типов [8] для уменьшения уровня вибрации строительных конструкций и машин (далее - защищаемый объект) при таких нагрузках изучены сравнительно мало. Так, в работе [1] исследована эффективность ДГК без демпфирования при фиксированной частоте приложения односторонних
да
периодических мгновенных импульсов P(t) = S ^ 5(t — kT), где S - величина
к=-ю
импульса; S(t) - дельта-функция Дирака; T, 0 = 2п/Т - период и частота приложения импульсов. Поведение гасителя с вязким трением при основном импульсном резонансе с учетом неупругого сопротивления защищаемого объекта и возможной нестабильности частоты действия импульсов рассмотрено в статье [10], где для решения задачи оптимизации параметров гасителя используется приближенный подход, основанный на разложении последовательности импульсов P(t) в ряд Фурье
и удержании только первой гармоники с последующим учетом постоянной составляющей и высших гармоник разложения.
В настоящей статье для решения минимаксной задачи определения оптимальных параметров ДГК с вязким трением используются точные аналитические зависимости, описывающие установившиеся колебания системы «защищаемый объект-гаситель» при действии односторонних импульсов P(t) . Рассматривается классическая схема ДГК [3,8], масса которого присоединена к защищаемому объекту (главной массе)
упругой связью и демпфером вязкого трения. Предполагается, что защищаемый объект и гаситель могут быть представлены линейными системами с одной степенью свободы. Неупругое сопротивление в звене главной массы системы учитывается в соответствии с гипотезой вязкого трения [3,9]. Эффективность гасителя оценивается по величине наибольшего отклонения защищаемого объекта в предположении, что частота действия импульсов может принимать произвольные значения в окрестности основной резонансной частоты, в том числе совпадать с любой из частот свободных колебаний системы. В соответствии с рекомендациями [11] эффективность рассматриваемого гасителя изучается для двух расчетных случаев импульсивной нагрузки P(t) , когда величина импульса либо не зависит от частоты приложения
импульсов (S=S0), либо пропорциональна частоте действия импульсов (S = S0d / а)0), где Ю0 - частота собственных колебаний главной массы в отсутствие гасителя.
Найдем замкнутую форму решения, описывающего установившийся режим движения системы «защищаемый объект-гаситель» с периодом приложения мгновенных импульсов. Для этого рассмотрим любой из периодов T, принимая начало отсчета времени в конце действия предшествующего импульса, например, в мгновение t=0. До приложения следующего импульса при t=T система совершает свободные колебания, дифференциальные уравнения которых имеют вид
X1 + 2h0x1 + colx1 + цх2 = 0, ic2 + 2hr(X2 -xx1) + ©°(x2 -x1) = 0. (1)
Здесь h0 = kj/(2mj); hr = k2/(2m2); co0 c1 /m1 ; тг = ^c2 /m2 - парциальная частота колебаний и ^ — относительная масса гасителя; mj, Cj, kj, Xj - масса, квазиупругий коэффициент, коэффициент вязкого трения и координата защищаемого объекта (j=1) и гасителя (j=2).
Решениями уравнений (1) являются вещественные функции [4] 2
Xj (t) = 2^e-°-5Kt [a^cosffl^t -a2i)sin«rt] , j = 1,2, (2)
V—1
cov, hv — частоты свободных колебаний и коэффициенты демпфирования системы, являющиеся корнями X2v_l 2v = -0,5hv ± ia>v характеристического уравнения m1A'4 + 2[mth0 + (ml + m2)hr + [m1(®<2 + 4h0 hr) + + (ml + ^ + 2ml(hra0 + h0o1r)ll + = 0, l = 1,4;
P2v_l,P2v ~ коэффициенты распределения амплитуд, вычисляемые по формулам
= [(0,25h1° - hr hv+w2r-ю1)(югг - hr hv) + 2hro>l(2hr - hv)]/av ; 02v = [2hrmv (0,25h1° - hrhv+a>2r-a>2v)-mv(a>2r - hr hv)(2hr - hv)]/av; av = (0,25hv2 -hrhv + o)2r - co2v)2 + (2hr - hv)2 a>2v;
3/2010 ВЕСТНИК _f/2°™_МГСУ
а(2jj' - произвольные постоянные, которые для реализации установившихся
колебаний системы необходимо подчинить условиям периодичности движения главной массы и массы гасителя
xl(T) = x¡(0); il(T) = -5/mx ;
x2(T) = x2(0); x2(T) = x2(0).
Использование условий (3) приводит к системе алгебраических уравнений относительно постоянных a¡ (l = 1,4), решение которой достаточно просто найти в замкнутом виде. После их подстановки в (2) получим искомое периодическое решение
xf (t) =-У-e-( \u- (e0'shyT - cos (ОТ) - V- sin ® T cos at -
>' m1A S V~í ch 0,5hvT - cosrnj^L jv v) j vJ v
(4)
- [ujv sin avT + vjv (e0'5hyT - cos avT)] ) sin ovt.
Здесь
U11 = U12 = 2(®гРгРз -p2@4(h2 - h);
Vil = 2[®2 (ДД - ^ " £4) + ] - AA Oh - h) ;
V12 = 2[®2^2^4 + ®1 (Л A - Л2 - A2)] + А А (К - h); (5)
U2v = Uvp2v-1 - Vvfav ; V2v = U1v$2v + V1vAv-1
As = 4{®1 ^[(A "A)2 + A2 +Л2]"AA^^-h,)2 +®12 +®22]}.
Решением (4) можно пользоваться только в интервале времени 0 < t < Т. В каждом последующем интервале [Т,2Т], [2Т,3Т] и т.д. движение системы полностью повторяется с соответствующим смещением отсчета времени. Отметим, что уравнения движения (4) являются частным случаем более общих решений, описывающих колебания рассматриваемой системы при произвольной периодической нагрузке [5] или системы с ударным гасителем [4] (к сожалению, в статью [7] вкрались неточности:1) формулы для u 1v, vív соответствуют более общему случаю приложения нагрузки P(t) одновременно к обеим массам [5]; при этом все вычисления в [7] выполнены верно - они соответствуют формулам (5) настоящей статьи; 2) в таблице следует заменить S1 и S2 на <£0 и 5Г соответственно).
Для численной реализации приведенного решения перейдем к безразмерным параметрам s = сог / w0 , с>0 = h0 / w0 , 5Г = hr / со0 , Х = в/ со0, т = 0t, y- = x- / x0 , где x0 = S0/(»z1®0). Оптимальным параметрам гасителя при заданной величине его относительной массы соответствуют [6-8,10] такие значения настройки (s=sonr) и коэффициента вязкого трения (5Г = 8Гош), которые минимизируют наибольшие отклонения защищаемого объекта в частотном интервале 0,8 <Л< 1,2 [11], включающем частоты ®0, 0)1 и ®2. Для решения минимаксной задачи используются численные методы анализа аналитических законов (4) движения системы [2], в том числе наиболее простые и устойчивые методы последовательного перебора. При оптимальных значениях параметров ДГК импульсно-частотная характеристика колебаний главной массы m1 имеет два резонансных пика, ординаты которых равны
между собой. Найденные таким образом оптимальные параметры гасителя и соответствующие им максимальные отклонения защищаемого объекта Y1max = max| yl{r)\ приведены в таблице. В отсутствие гасителя наибольшие перемещения Y0max массы m1 найдем с помощью [9]: при <£0= 0,025; 0,05 соответственно имеем Y0max = 6,613; 3,433, причем для рассматриваемых расчетных случаев, когда S=S0 или S= ^S0, значения Y0max с точностью до 10-4 совпадают;
отличаются только частоты Я, при которых эти максимумы достигаются. Сопоставление величин Y1 max и Y0 max позволяет оценить эффективность работы гасителя.
Таблица
И ¿0 S=Sq S II 0S
sr 1 ,опт ^ОПТ Y 1,max Sr 1 ,опт ^ОПТ Y 1,max
0,025 0 0,093 0,98090 3,059 0,095 0,98699 3,042
0,025 0,096 0,97838 2,268 0,099 0,98926 2,256
0,05 0,099 0,97537 1,817 0,103 0,99264 1,808
0,05 0 0,128 0,96274 2,224 0,132 0,97471 2,200
0,025 0,131 0,95929 1,801 0,137 0,97764 1,782
0,05 0,133 0,95545 1,524 0,142 0,98178 1,507
0,1 0 0,171 0,92860 1,636 0,181 0,95137 1,601
0,025 0,173 0,92386 1,416 0,188 0,95477 1,386
0,05 0,176 0,91823 1,256 0,196 0,95915 1,229
Из полученных результатов следует, что использование замкнутой формы решения задачи о колебаниях двухмассовой системы «защищаемый объект-гаситель» с демпфированием при действии односторонних периодических мгновенных импульсов позволило, в отличие от приближенного подхода [8,10], выявить существенную зависимость оптимальных значений коэффициента вязкого трения гасителя 8Г 011Г от величины коэффициента демпфирования <£0 в звене главной массы
системы. При этом значительно, кроме случая <£0 =0, отличаются и оптимальные значения настройки ДГК при одинаковых закономерностях ее изменения: при фиксированном значении относительной массы гасителя для случая значение 5ош. с увеличением коэффициента демпфирования защищаемого объекта уменьшается, тогда как для случая 5 = Я 50 - возрастает; при <£0 =0 оптимальные значения настройки гасителя мало отличаются от значений, приведенных в [8,10]. Аналогичная ситуация имеет место и при гармонической нагрузке [12].
Сравнение наибольших отклонений главной массы, соответствующих оптимальным параметрам гасителя, при использовании точного и приближенного решений, свидетельствует о их практическом совпадении. Отметим также, что эффективность ДГК с вязким трением при действии периодических мгновенных импульсов сопоставима с его эффективностью при других периодических воздействиях [6-8, 10, 12].
3/2010 ВЕСТНИК
Литература
1. Абрамов Б.М., Абрамов А.Б. Динамический поглотитель колебаний, вызываемых периодическими ударами // Механика машин. М., Наука, 19б9. Вып. 20, с.103-117
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980
3. Динамический расчет зданий и сооружений: Справочник проектировщика / Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1984
4. Дукарт A.B. Задачи теории ударных гасителей колебаний. M., АСВ, 200б
5. Дукарт A.B. Об установившихся колебаниях двухмассовой системы с демпфированием при произвольной периодический возмущающей нагрузке // Известия вузов. Строительство. 2009. №3-4, с.3-13
6. Дукарт A.B. Об эффективности одномассового динамического гасителя колебаний при негармонических периодических возмущающих нагрузках // Известия вузов. Строительство. 2010. №2, с.80-89
7. Дукарт A.B. Оптимальные параметры и эффективность одномассового динамического гасителя колебаний с вязким трением при периодической возмущающей нагрузке типа «прямоугольный синус» // Вестник МГСУ. 2009. №4, с.92-100
8. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М., Наука, 1988
9. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., Политехника, 1990
10. Резников Л.М., Фишман Г.М. Оптимальные параметры и эффективность динамического гасителя при действии периодических импульсов // Машиноведение, 1973. №1, с.32-36
11. Рекомендации по проектированию гасителей колебаний для защиты зданий и сооружений, подверженных горизонтальным динамическим воздействиям от технологического оборудования и ветра. М., Стройиздат, 1978
12. Сум (A. Soorn), Ли (Ming-san Lee). Оптимальное проектирование линейных и нелинейных виброгасителей для задемпфированных систем // Труды американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. Т.105. №1, с.60-66
Ключевые слова: динамический гаситель колебаний, защищаемый объект, периодические
мгновенные импульсы, вязкое трение, импулъсно-частотная характеристика, настройка и
демпфирование гасителя
Key words: dynamic absorber, protected object, periodic instantaneous impulses, viscous friction,
impulse-frequency characteristics, tuning of absorber friction
Рецензент: Мондрус Владимир Львович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Строительной механики МГСУ
129337, Москва, Ярославское ш., 26, кафедра строительной механики
