CC BY
6
В po6omi розглянута топологiя та характеристики мереж громадсько-го транспорту чотирьох м^т Украгни. Продемонстровано, що розподш ступе-Hie вузлiв тдпорядковуеться степене-вому закону p(k)~k-y в L-просторi та експоненцшному p(k)~exp(-ak) у Р-про-сторi
Ключовi слова: мережi громадського
транспорту, розподш ступетв □-□
В работе рассмотрена топология и характеристики сетей общественного транспорта четырех городов Украины. Продемонстрировано, что распределение степеней узлов подчиняется степенному закону p(k)~k-y в L-пространстве и экспоненциальному p(k)~exp(-ak) в Р-пространстве
Ключевые слова: сети общественного
транспорта, распределение степеней □-□
The article deals with the topology and characteristics of public transport networks for four cities of Ukraine. There was demonstrated that the distribution of nodes degree obey to power law p(k) ~k-y in L-space and exponential law p(k)~exp(-ak) in P-space Keywords: public transport networks,
degree distribution —--□ □-
УДК 004.942
СТАТИСТИЧН1 ЗАКОНОМ1РНОСТ1 РОСТУ МЕРЕЖ ГРОМАДСЬКОГО ТРАНСПОРТУ М1СТ ЗАХ1ДНОГО РЕГ1ОНУ
УКРАТНИ
В.В. П ас i ч н и к
Доктор техшчних наук, професор,завщувач кафедри Кафедра шформацтних систем та мереж Нацюнальний ушверситет <^bBiBCb^ полЬехшка» вул. Митрополита Андрея, 5, 4-й навчальний корпус, мм. 120,
м. Львiв, 79013 Контактний тел.: (0322) 258-25-38 E-mail: [email protected] Н.М. I в а н у щ а к Асистент
Кафедра комп'ютерних систем та мереж Чершвецький нацюнальний ушверситет iм. Юрiя Федьковича вул. Коцюбинського, 2, м. Чершвщ, 58000 Контактний тел.: 096-677-13-74 E-mail: [email protected]
1. Вступ
Мережi громадського транспорту (ГТ), з якими ми найчаспше стикаемося, докладно дослщжеш та проаналiзованi порiвняно недавно [1-3]. Вони е прикладом транспортних мереж, для яких характерш за-гальш риси цих систем: динамжа росту, оптимiзацiя, вкладення у двовимiрний простiр. Однак про тополо-пчш властивостi мереж ГТ вiдомо значно менше, нiж, скажiмо, про властивосп мереж аеропортiв, якi також належать до транспортних мереж [4-10].
Кожен окремий тип громадського транспорту (мережа автобуав, тролейбуив, трамва'1в) не е замкнутою системою, а е лише тдграфом ширшо1 системи - мере-жi ГТ мiста. Тому для розумшня та опису властивостей ще1 мережi в цiлому, необхщно розглядати мережу ГТ повнiстю, не подшяючи 11 на окремi частини. I справд^ при переходi вщ аналiзу окремо1 мережi трамвайних маршруив до мережi «трамвай+автобус» властивостi мережi значно змiнюються. В [1] проаналiзованi та до-слiдженi транспортнi мережi Берлiна, Парижа та Дюссельдорфа, в [2] - мережi ГТ найб^ьших мiст Польщi, а в [3] - великих мшт свггу.
2. Топологiя мереж
Аналiзуючи мережi ГТ, використовують pi3Hi спо-соби зображення графiв. Ясно, що вщсташ для подоро-
жуючих не таю ж, як фiзичнi вiдстанi, якщо необхiдно потрапити вiд точки мшта А в точку В з використан-ням iснуючого громадського транспорту. Iнодi так трапляеться, що фiзична вiдстань мiж точками А i В не дуже велика, але подорож мiж цими точками в мши, на жаль, може займати багато часу, тому що або прямий автобус робить багато петель на своему шляху, або ми повинш змшити автобус або трамвай юлька разiв. Зввдси випливае, що можна ввести принаймш два рiзнi зображення мережi мшького транспорту, де мережа представляеться безлiччю вузлiв (вершин) i з'еднань (ребер) мiж ними.
Перше зображення - L-простiр, що складаеться з вузлiв, якi е автобусними, тролейбусними або трам-вайними зупинками у наборi маршрутiв, кожен з яких обслуговуе певний набiр станцiй, в той час як зв'язок мiж двома вузлами шнуе за умови, що вони е посль довними зупинками на цих лжях. Вiдстань у такому просторi вимiрюеться загальною юльюстю зупинок пройдених по найкоротшому шляху мiж двома вузлами. Проте вщстань, вимiряна таким чином не вщо-бражае необхiднiсть пересадки тд час по'1здки. Цей фактор враховуеться в другому означенш сусiдства мiж станцiями, яке приводить до шшого зображення - до Р-простору [11]. Вузли в такому просторi е такими ж як i в попередньому випадку, але тепер ребро, що з'еднуе два вузли, означае, що шнуе зв'язок на одному автобусному, тролейбусному або трамвайному шляху мiж ними. Зввдси випливае, що у Р-просторi вiдстанi
е номерами пересадок (плюс один), необхщними тд час по1здки.
■ довжина наикоротшого шляху мiж вузлами i та
Рис. 1. Перетворення L-простору (а) у Р-простiр (б) для двох лшш громадського транспорту А та В
Очевидно, що вщстат, визначенi у P-просторi, на-багато меншi, нiж у L-просторi, i немае унiверсального спiввiдношення мiж ними. У L-просторi двi станцп вважаються сусiдами, якщо вони розмщет безпо-середньо поруч на одному i тому ж маршрутi [12,13], у Р-просторi двi станцii означен як сусiди, якщо вони належать одному i тому ж маршруту [14]. Обидва про-стори представлен на рис. 1.
Зазначимо, що стандартш характеристики мережi (такi, як середнш ступiнь вузла (к) , середня довжина найкоротшого шляху (1) i т.iн.), зображенi в рiзних просторах, стають специфiчними характеристиками, важливими для ощнки ГТ мiста. Так, наприклад, середня довжина найкоротшого шляху (1^ - це мь шмальна кiлькiсть зупинок, якi треба в середньому проiхати мiж двома дов^ьними станцiями. Водночас у Р-просторi величина (1Р)-1 вказуе, яку мжмаль-ну кiлькiсть разiв у середньому необхщно помiняти маршрут при мандрiвцi мiж будь-якими двома станщ-ями. Ще одним прикладом е стутнь вузла к : kL - це юльюсть сусiднiх зупинок; кр - це кiлькiсть зупинок, до яких можна доiхати, не змшюючи маршруту.
3. Характеристики мереж
Кожен вузол мережi характеризуеться ступенем, тобто юльюстю зв'язкiв, якi входять в нього. Фак-тично, ступiнь являе собою мжмальну локальну ш-формащю. Повна шформащя про мережу мктиться в ii матрицi сумiжностi А . Для мережi з N вузлiв А е квадратною матрицею N х N. И елементи а^ дорiвню-ють 1, якщо вузли 1 та ] з'еднат мiж собою, та 0, якщо щ вузли не з'еднанi. Для неспрямованих мереж а^ = а^ та аи = 0 . Тад для ступеня к1 вузла i отримуемо:
к,=! а
.), 1тах - наИбiльше значення з уах , заданих для цiеi мережi.
Середня довжина найкоротшого шляху дае уяв-лення про мережу в щлому i е и глобальною характеристикою.
Не всi вершини мережi мають однакову кiлькiсть ребер. Головною характеристикою мереж^ яка задае розпод^ ребер вершини, тобто стутнь вершини, е розпод^ ступенiв вузлiв Р(к), що визначае iмовiрнiсть того, що вузол i мае ступiнь к;=к, iншими словами, що випадково вибрана вершина буде мати рiвно к ребер. Мережi, якi характеризуються рiзними Р(к), демон-струють дуже рiзноманiтну поведiнку. До наИчастiше спостережуваних прикладiв розподiлу ступенiв вуз-лiв вiдносяться:
/1 \к
а) розподш Пуассона Р(к) = е^,
к!
b) експоненцiИниИ розподiл Р(к)~ е ^ ,
c) степеневий розподш Р(к)~1/к'' , к Ф 0 , у > 0 .
(3)
(4)
(5)
4. Дослщжуваш системи ГТ найбшьших мiст захiдного регiону Украши
В робот зiбранi данi та проаналiзованi мережi ГТ чотирьох наИбiльших мшт захiдного регiону Украiни: Львова, 1вано-Франювська, Тернополя та Чернiвцiв. Вперше проаналiзованi розподiли ступенiв вузлiв Р(к) для даних мереж в обох L - та Р - просторах. Результата дослщжень характеристик мереж ГТ наведет в табл. 1.
Таблиця 1
Характеристики мереж ГТ мют УкраТни
Мюто N Я (к > У Ау а Да (1>
Льв1в 209 110 3,212 2.33 0.23 0.0322 0.0006
1вано-Франювськ 89 60 4,292 1.67 0.20 0.0461 0.0009
Тернотль 84 45 3,606 2.1 0.30 0.0253 0.0004
Чершвщ 118 53 5,402 2.05 0.17 0.0414 0.0006
(1)
«Лшшний розм1р» мережi характеризуеться по-няттями середнього (1) i максимального 1тахнайко-ротших шляхiв. Вiдстань мiж вузлами визначаеться як кiлькiсть кроюв, якi необхiдно здiИснити, щоб добратися по кнуючих ребрах вiд одного вузла до шшого. Природно, вузли можуть бути з'еднат прямо або опосередковано. Шляхом мiж вузлами 1ц назвемо найкоротшу вiдстань мiж ними.
Для зв'язаноi мережi з N вузлiв середнiИ найкорот-ший шлях означаеться як:
0 =-2-X1«, (2)
N(N - 1)1>/в
N - кiлькiсть зупинок на рiзних маршрутах, Я - тльтсть маршрутiв, у i а - показники розподiлiв Р(к) в L- та Р-просторах вщповщно з iхнiми стан-дартними вiдхиленнями Ау , Да .
На рис. 2 зображет типовi графiки для розподiлiв ступетв вузлiв Р(к) у логарифмiчному масштабу в яких знехтувано вкладом точки к = 1, яка вщповвдае закшченню лiнii мережi. Всi розпод^и наближено описуються степеневими законами
р(к)~ к,
показник у якого для рiзних мкт наведений у табл. 1. Значення показниюв вiдрiзняються вiд значення показника у = 3, який характерний для моделi мереж переважного приеднання БарабашьАльберта. Бiльшi показники розподiлiв вiдповiдають б^ьшому числу вершин N у мережь
О
Рис. 2. Розподт ступешв вузлiв Р(к) у L-просторi: Львiв - у = 2.33±0.23 , lвано-Франкiвськ - у = 1.67±0.2 ,
Тернопть у = 2.1 ±0.3 , Чернвцi - у = 2.05±0.17
Вiдповiднi сукупш розподiли ступенiв у Р-про-
сторi для дослiджуваних мереж ГТ обчислювалися
ктах
згiдно з формулою Р(к) = | p(k')dk' i результати
к
обчислень представленi на рис. 3.
ступешв вузлiв Р(к)~к-Т [19] спостер^аеться в соцiальних, бiологiчних та технолоНчних системах.
У роботi [20] розглянута аналиична модель для се-реднiх довжин шляху у випадкових нескорельованих мережах. Показано, що довжина найкоротшого шляху мiж вузлами i та j зi ступенями розподiлу к та к, може бути описана як:
-1пк,к,+ 1п ((к2)-(к)) + lnN-у !
1„(к„к,) =--—„" ' '-+1.
ч4 к 1_ Илл\ 1/лл А 2
1п « к%к) -1)
(6)
де у = 0.5772 е постшною Ейлера, а (к) та ^к2^ ввд-повiдають першому та другому моментам розпод^у ступенiв вузлiв Р(к).
Звiдси випливае, що середня вщстань мiж двома вузлами лшшно залежить вiд логарифма добутку 1х ступенiв:
(1,,) = А - В^(к;к,).
(7)
Рис. 3. Сукупний розподiл Р(к) у Р-просторi для Львова, 1вано-Франмвська, Тернополя i ЧержвЩв
Розподiли Р(к) i р(к) описуються експоненцiаль-ним представленням
р(к)~ехр(-ак).
У табл. 1 наведен показники у i а для дослщжу-ваних мшт, значення яких були отриманi стандартним методом лшшно'! регресп.
5. Ушверсальна залежнiсть вщстаней вiд розподiлу ступешв у мережах ГТ
Аналiз емшричних результатiв для складних реальних мереж [15-18] виявив наявшсть для них деилькох унiверсальних законiв масштабуван-ня. Найвщом^ий степеневий закон розподiлу
Стввщношення (7) також можна отримати з просто'! моделi розгалуження дерев у просторi випадкових мереж [21].
Для б^ьшоси дослiджуваних мереж середня мiж-вузлова вщстань описуеться спiввiдношенням (7) i приймае свое максимальне значення 1тах при мшь мально можливих значеннях к i к,, тобто к = к, = 1. Тодi згiдно з (7) отримаемо, що А = 1тах .
Зауважимо, що слщуючи вздовж випадкового на-
прямку по випадково вибраному ребру, наближуемося
к,
до вузла , з iмовiрнiстю р, =—-, де 2Е - це подвоена
, 2Е
юльюсть зв'язкiв. Це означае, що в середньому по-1 2Е
трiбно М, = — = — випадкових блукань, щоб прийти
, р к до вузла ,.
Тепер розглянемо процес розгалуження, зображе-ний у виглядi дерева (рис. 4), яке починаеться у вузлi , i для якого середнш коефiцiент розгалуження до-рiвнюе к (всiма петлями знехтувано).
Рис. 4. Дерево, сформоване випадковими процесами, ям починаються у вузлi i та закшчуються у вузлi j
Якщо вiдстань мiж вузлом i i поверхнею дерева дорiвнюe х , тодi на цiй поверхш в середньому е N1 = к;кх-1 вузлiв. 6 така ж юльюсть з'еднань (ребер), яю закiнчуються в цих вузлах. Звщси слiдуе, що дерево дотикаеться до вузла j , коли N = М.| , звiдси
kikjKx
' = N ■( k).
(8)
Так як середня вщстань вiд вузла i до вузла j е ^ j = x , звiдси отримаемо масштабування для стввщ-ношення (7):
A = 1 +
logN(k)
log к
B = -
1
log к
(9)
де коефiцiенти А i В залежать вщ середнього фактору розгалуження к розглядуваного дерева i вщ за-гального числа його ребер Е = N(^/2 .
У першому наближеннi для мереж без кореляцп к може бути ощнений як середне арифметичне зна-чення ступеня найближчого сусiда мшус одиниця: к = (к)пп -1. Проте, таке середне значення буде не-точним, осюльки в (8) локальш фактори розгалу-жень перемножаються один на одного. Бiльш точне середне значення к необхщно визначити як середне арифметичне значення в«х геометричних величин з рiзних дерев, однак це важко здшснити чисельно. Ми обчислили середне арифметичне значення фактора розгалуження для найближчих сусвдв вузла
« m », тобто K(m) = (k)J -1, а поим здшснили гео-метричнi усереднення по Bcix вузлах «m», тобто
гричш у
Рис. 5. Залежжсть ^¡^ вiд у L-просторi
Результати, представленi на рис. 5, були розрахо-ванi для чотирьох перших десятюв значень .
Нами виявлено, що для розглядуваних мереж ГТ масштабування (7) добре виконуеться для вщстаней, вимiряних в L-просторi. Спостережуванi значення коефiцiентiв А i В у середньому вiдрiзняються на 15-20% вщ теоретичних значень, отриманих для ви-падкових графiв.
Доцiльно було б дослщити спiввiдношення (7) у Р-просторi. Насправдi через структуру цього простору набiр мштить, як правило, 2-3 точки, що означае, що потрiбно всього 2-3 змши автобуса або трамваю, щоб дiстатися з однiеi точки мшта в iншу [21].
Висновки
Використовуючи статистичнi данi мереж ГТ чотирьох мшт захiдного регiону Украши (кiлькiсть трамвайних, тролейбусних та автобусних маршрупв, кiлькiсть зупинок на рiзних маршрутах та iн.), вста-новлеш закони розподiлiв ступенiв вузлiв цих мереж та залежноси середнiх вщстаней мiж вузлами вiд цих розподШв. Дослiджуванi мережi е безмасштабними для L-простору та мережами тiсного свиу у Р-просторi з вiдносно малим значенням найкоротшого шляху.
^riepaTypa
1. Von Ferber, C. Scaling in public transport networks [Text] / C. von Ferber, Yu. Holovatch, V. Palchykov // Condens. Matter Phys.
- 2005. - №8. - P. 225-234.
2. Sienkiewicz, J. Public transport systems in Poland: From Bialystok to Zielona Gora by bus and tram using universal statistics of com-
plex networks [Text] / J. Sienkiewicz, J. A. Holyst // Acta Phys. Polonica. - 2005. - Vol.36, №5. - P. 1771-1778.
3. Von Ferber, C. Public transport networks: empirical analysis and modeling [Text] / C. von Ferber, T. Holovatch, Yu. Holovatch, V.
Palchykov // Physica A. - 2007. - №380. - P. 585-591.
4. Scala, A. Classes of small-world networks [Text] / L. Amaral, A. Scala, M. Barthelemy, H. Stanley // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
- 2000. - №97. - P. 11149-11152.
5. Guimera, R. Modeling the world-wide airport network [Text] / R. Guimera, L. Amaral // Eur. Phys. J. - 2004. - №38. - P. 381-385.
6. Guimera, R. The worldwide air transportation network: Anomalous centrality, community structure, and cities' global roles [Text] / R.
Guimera, S. Mossa, A. Turtschi, L. Amaral // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. - 2005. - №102. - P. 7794-7799.
7. Barrat, A. Virtual Round Table on ten leading questions for network research [Text] / A. Barrat, A! Barabasi, G. Caldarelli, P. De los Rios, A.
Erzan, B. Kahng, R. Mantegna, J. Mendes, R. Pastor-Satorras, A. Vespignani // Eur. Phys. J. - 2004. - №38. - P. 143-145.
8. Li, W. Statistical analysis of airport network of China [Text] / W. Li, X. Cai // Phys. Rev. - 2004. - №69. - P.461-466.
9. Wang, Q. A composition of different q nonextensive systems with the normalized expectation based on escort probability [Text] / Q.A. Wang,
L. Nivanen, A. Le Mehaute // Eur. Phys. J. - 2005. - №48. - P. 95-100.
10. Guida, M. Topology of the Italian airport network: A scale-free small-world network with a fractal structure? [Text] / M. Guida, F. Maria // Chaos Solitons & Fractals. - 2007. - №31. - P. 527-536.
11. Strogatz, S.H. Exploring complex networks [Text] / S.H. Strogatz // Nature. - 2001. - №410. - P. 268-231.
12. Latora, V. Efficient behavior of small-world networks [Text] / V. Latora, M. Marchiori // Phys. Rev. Lett. - 2001. - №87. - P. 197-201.
13. Latora, V. Is the Boston subway a small-world network? [Text] / V. Latora, M. Marchiori // Physica A. - 2002. - №314. - P. 109-115.
14. Sen, P. Small-world properties of the Indian railway network [Text] / P. Sen, S. Dasgupta, A. Chatterjee, P. A. Sreeram, G. Mukherjee, S. S. Manna // Phys. Rev. - 2003. - №67. - P. 125-129.
15. Albert R. Statistical mechanics of complex networks [Text] / R. Albert, A.-L. Barabasi // Rev. Mod. Phys. - 2002. - №74. - P. 47-97.
16. Bornholdt, S. Handbook of graphs and networks [Text] / S. Bornholdt, H.G. Schusterrks. - Wiley-Vch, 2003. - 401 p.
17. Dorogovtsev, S.N. Evolution of networks [Text] / S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes. - Oxford Univ.Press, 2003. - 356 p.
18. Pastor-Satorras R. Evolution and Structure of the Internet: A Statistical Physics Approach [Text] / R. Pastor-Satorras, A. Vespignani.
- Cambridge Univ. Press, 2004. - 452 p.
19. Barabasi A.-L. Emergence of scaling in random networks [Text] / A.-L. Barabasi and R. Albert // Science. - 1999. - №286. - P. 509-512.
20. Fronczak A. Average path length in random networks [Text] / A. Fronczak, P. Fronczak, J.A. Holyst // e-print: cond-mat/0502663. - 2003.
- P. 216-221.
21. Holyst J.A. Universal scaling of distances in complex networks [Text] / J.A. Holyst, J. Sienkiewicz, A. Fronczak, P. Fronczak, K. Suchecki // e-print: cond-mat/0411160. - 2004. - P. 45-49.
Розглянуто munoei геометризованi схеми вулично-дорожньо1 мережi та критерй ïx оцтки. Визначено структуру системи комуткацш м^та. Запропоновано критерш мiнiмум витрат на функ-щонування вых транспортних систем м^та
Ключовi слова: транспортне планування м^т,
вулично-дорожня мережа
□-□
Рассмотрены типичные геометрические схемы улично-дорожной сети и критерии их оценки. Определена структура системы коммуникаций города. Предложен критерий минимум затрат на функционирование всех транспортных систем города
Ключевые слова: транспортное планирование
городов, улично-дорожная сеть
□-□
The typical geometric schemes of a street-road network and the criteria for their evaluation are considered. The structure of the communications system of the city is determined. A criterion of the minimum costs of the functioning of all transportation systems of the city is suggested
Key words: transport urban planning, street and
road city network -□ □-
УДК 656.11
ВИЗНАЧЕННЯ ДОВЖИНИ Д1ЛЯНКИ ВУЛИЧНО-ДОРОЖНЬОТ МЕРЕЖ1
М1СТА
В. К. Доля
Доктор техычних наук, професор, завщуючий
кафедрою* Контактний тел.: (057) 707-32-61 Я.В. Санько Кандидат техычних наук, доцент* Контактний тел.: 066-740-54-39 E-mail: [email protected] *Кафедра транспортних систем i лопстики Хармвська нацюнальна академiя мюького
господарства
вул. Революци, 12, м. Хармв, УкраТна, 61002
1. Вступ
Дослщження, що розглядаються в стати, вщно-сяться до роздШв транспортного планування mîct. Одним i3 головних питань транспортного планування
MiCT е визначення геометричних розмiрiв майбутньо! селиебно! територп. Так як межами житлових квар-талiв та райошв е мапстральш вулищ та дороги i вони ввдповщно формують конф^уращю вулично-дорож-ньо! мережь Вщ яко! в свою чергу залежать основш
