ТОПОЛОГіЧНі ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕРЕЖ ГРОМАДСЬКОГО ТРАНСПОРТУ ВЕЛИКИХ МіСТ УКРАїНИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

До^джеш топологiчнi eMacmueocmi та розраховаш основш статистичш характеристики мереж транспорту загального користування великих м^т Украгни з пози-цш теори складних мереж. Подано зм^тов-ний аналiз отриманих результатiв

Ключовi слова: складна мережа, мережа

громадського транспорту

□-□

Исследованы топологические свойства и рассчитаны основные статистические характеристики сетей транспорта общего пользования крупных городов Украины с позиций теории сложных сетей. Представлен содержательный анализ полученных результатов

Ключевые слова: сложная сеть, сеть

общественного транспорта

□-□

Topological properties are investigated and the basic statistical characteristics of transit networks of large Ukrainian cities from positions of the complex networks theory are calculated. The substantial analysis of the obtained results is presented

Keywords: complex network, transit network

-□ □-

УДК 004.942:656.02

тополопчн1 характеристики мереж громадського транспорту великих

м1ст украТни

О.Ф. Куз ь к i н

Кандидат техычних наук, доцент Кафедра транспортних технологш* Контактний тел.: (061) 769-84-40, 067-686-52-88

E-mail: horz@ukr.net А.Е. Мовчан* Контактний тел.: (061) 769-84-40 E-mail: tf301@ukr.net А.С. 1орданова* Контактний тел.: (061) 769-84-40 E-mail: tf301@ukr.net *Запорiзький нацюнальний техшчний уыверситет вул. Жуковського, 64, м. Запорiжжя, УкраТна, 69063

1. Вступ

Маршрутний пасажирський транспорт загального користування ввдграе важливу роль у життезабезпе-ченш сучасного великого мкта. Його основною функ-щею е надання транспортних послуг мешканцям мшта з пересування у межах його територп. Яюсть надання транспортних послуг пасажирам мшьким громадсь-ким транспортом, серед шшого, визначаеться рiвнем розвитку його маршрутно! мережь Рiвень розвитку маршрутно! мережi, у свою чергу, визначаеться !! про-сторовими i топологiчними характеристиками.

Топологiчнi властивостi мережi мiського маршрутного транспорту загального користування сут-тево визначають якiсть 11 функцiонування. Вiд них залежать таю важливi показники, як доступшсть, тривалiсть пересування, рiвень пересадочноси [1]. Вiдносно нова мiждисциплiнарна галузь знань - те-орiя комплексних мереж [2], вивчае тополопчш вла-стивостi мереж рiзного походження безвщносно до природи походження цих мереж. В рамках ще! теорii на сьогодш виконанi дослiдження низки сощальних, технологiчних, бiологiчних мереж. Не виключен-ням стали i мережi громадського транспорту. Так, виконаш дослiдження маршрутних мереж 22 мiст Польщi [3], 14 великих мшт свiту [4], Сшгапура [5], мережi метрополiтену Сеула [6], маршрутних мереж Запорiжжя [7] та мшт захiдного регiону Укра!ни [8]. Результати дослiджень дозволили встановити подiбнiсть та розбiжностi топологiчних структур та властивостей цих мереж. Однак, накопичений на сьогодш статистичний матерiал ще не достатнш для

широкого узагальнення i потребуе подальших до-слiджень.

2. Характеристика дослiджуваних MicT та i'x маршрутних мереж

ДБН 360-92** «Мштобудування. Планування i за-будова мiських та сiльських поселень» вiдносить до групи крупних MicbKi поселення з чисельнiстю на-селення ввд 0,5 до 1,0 млн. мешканщв. Для аналiзу було обрано маршрутш мережi чотирьох крупних MicT Укра!ни, якi не мають лшш метрополiтену - Запорiж-жя, Кривого Рога, Львова, Одеси. Загальна характеристика дослщжуваних мкт та !х маршрутних мереж, представлених автобусним, тролейбусним i трамвай-ним видами транспорту, наведена у табл. 1.

Таблиця 1

Загальна характеристика дослщжуваних мют та Тх маршрутних мереж

Показник Значення показника для мюта

Запо-рiжжя Кривий Pip Львiв Одеса

1. Площа, км2 331 410 182 237

2. Населения на 01.09.2011 р., тис. мешканщв 773 664 760 1003

3. Кшькють маршруйв, R 135 146 98 95

4. Кiлькicть зупинок, N 442 286 246 142

3. Способи представлення мереж громадського транспорту

З точки зору теорп складних мереж, мережi мюько-го транспорту вщносяться до технолопчних мереж. У цш мережi перемiщуються потоки маршрутного рухо-мого складу i пов'язаш з ними потоки пасажирiв. Будь-яку мережу зручно представляти у виглядi графа. Граф, як вщомо, е сукупнiсть не порожньо! множини X , елементи яко! називаються вершинами (вузлами, точками) графа та множини А упорядкованих пар вершин, елементи яко! називаються ребрами (дугами, ланками) графа.

Граф мюько! маршрутно! мережi транспорту за-гального користування можна представити деюлькома способами, якi у попередшх дослiдженнях називаються просторами [4]. Приклад представлення маршрутно! мереж^ що складаеться з трьох маршру^в та семи зупинок, у рiзних просторах наведений на рис. 1:

без змши маршруту, тобто, без пересадження (рис. 1, г). Аналопчно простору зупинок, введенням кратних ребер, що вщповщають юлькот безпересадочних марш-рутiв мiж вiдповiдними зупинками, отримуемо муль-тиграф, який називаеться Р' -простором (рис. 1, в);

3) прос^р маршрутiв ( С -прос^р) е простим графом, вершинами якого е маршрути мюького транспорту. Пару вершин графа з'еднуе ребро у тому випадку, якщо вщповщш маршрути мають бодай одну сшльну зупинку (рис. 1, е). Розширення цього графа до муль-тиграфа, кратшсть ребер якого вщповщае кiлькостi спiльних зупинок на вщповщних маршрутах приводить до представлення маршрутно! мережi у С' -про-сторi (рис. 1, д).

4. Показники складних мереж та !х предметна штерпретащя

Однiею з найважлив^их характеристик складно! мережi е характер розподту степе-н1в 11 вершин. Степшь вершини визначаеться як юлькють ребер, приеднаних до не!. Якщо ау - елемент матрицi сумiжностi мережi А розмь ром N х К, де N - юлькють вершин мереж^ то

степшь i -! вершини визначаеться як сума

к = 1V

(1)

]=1

Попереднiми дослiдженнями встановлено, що бiльшiсть iснуючих у природi мереж мають один з таких розпод^в степешв вершин: - розподiл Пуассона

р(к) = е-

експоненцiйний розподiл

р(к) = Ае

-ак.

степеневий розподiл

р(к) - 1/к1;

Рис. 1. Способи представлення маршрутних мереж: L' -прослр (а), L -прост1р (б), Р' -прост1р (в), Р -прослр (г), С' -прост1р (д), С

—прослр (е)

рiвномiрний розподiл

р(к) = и = const .

(2)

(3)

(4)

(5)

1) прос^р зупинок (L -простiр) е простим графом, вершинами якого е зупинки мюького транспорту. Ребро мiж парою вершин юнуе у тому випадку, коли вщповщш зупинки послщовно розташоваш хоча б на одному з мюьких маршрутiв (рис. 1, б). Природно, що таких маршру^в може бути деюлька, у такому випадку можна побудувати мультиграф, кратшсть ребер якого вщповщае юлькос^ маршру^в, на яких вщпо-вщш зупинки е послiдовними. Таке представлення називаеться L' -простором (рис. 1, а);

2) прос^р пересаджень (Р -прос^р) - простий граф, вершинами якого е зупинки мюького транспорту. Вершини зв'язуються ребром у тому випадку, коли мiж вщстань мiж вiдповiдними зупинками можна подолати

У формулi (1) значення (к) е математич-ним очшуванням степенi вершини мережi.

З точки зору природи i властивостей мережi транспорту загального користування значення (к) визна-чае в середньому для випадково обрано! зупинки: у L -просторi, (кЬ) , - юлькють альтернативних напрямiв руху пасажира, у L' -просторi, (кЬ^ , - кiлькiсть марш-рутiв, якими можназдiйснити по!здку,у Р -простора (кР) , - юлькють можливих безпересадочних по!здок з дано! зупинки, у Р' -простора (кР,) - кiлькiсть варiантiв, якими можна здiйснити таку по!здку з використанням рiзних маршрутiв. Таким чином, значення (к) для маршрутно! мереж^ представлено! у цих просторах, у деякш мiрi вiдбивае якють !! розвитку з боку iнтересiв пасажира, причому у Ь та Ь' просторах значення (к) характеризуе наявнють у пасажира альтернатив

у пересуванш, а у Р та Р' просторах - рiвень переса-дочшст сполучення.

У просторах С та С' значення (к) визначае се-редню кiлькiсть маршрутiв, що досяжнi з випадково вибраного маршруту за одне пересадження, та серед-ню юльюсть зупинок, на яких можна виконати таке пересадження вщповвдно. Таким чином, величина (к) вщбивае ступiнь дублювання маршрутiв i ступiнь дублювання зупинок на маршрутах, к таким чином характеризуе рiвень пересадочносп i технолопчно! взаемоди маршрутiв у мережi.

В якост лiнiйних характеристик складно! мережi використовують поняття середнього (1) та максимального 1тах найкоротших шляхiв. Середнiй найкорот-ший шлях мережi визначаеться за формулою

о=

2

N(N -О,

(6)

де ^ - довжина найкоротшого шляху мiж вершинами 1 та ], виражена у юлькост ребер.

Вщповщно, максимальний найкоротший шлях на

мережi визначаеться як 1тах = тах{} .

Для маршрутно! мережi мiського громадського транспорту величина (1,) характеризуе середню до-вжину по!здки мiж випадково обраними зупинками на мережк (1Р)-1 - середню юльюсть пересаджень пiд час тако! по!здки, (1С) - середню кiлькiсть пересаджень, необхвдних для змiни випадково обраних двох маршрупв мережi. Вщповщно, значення 1тах, е оцiнкою максимально! довжини по!здки у мiстi, 1тахР -максимально! кiлькостi пересаджень, необхщних для здiйснення довiльноi по!здки у мережк 1тахС - максимально! юлькосп пересаджень для змiни одного маршруту на шший, довiльний. Зауважимо, що значення 1ц не залежать вiд кратностi ребер мережк

Як показали попередш дослiдження, розпод^ довжини найкоротших шляхiв добре описуеться функ-цiею наступного вигляду

р(1) = А1ехр(-В12 + С1), (7)

де А, В, С - постiйнi коефiцiенти.

Локальною характеристикою кожного окремо! 1 -! вершини складно! мережi е кластерний коефщгент С1, який розраховуеться за формулою 2Е;

(8)

С=

1 к,(к, -1),

де Е1 - кiлькiсть ребер, якi зв'язують мiж собою всi к1 вершини, сумiжнi данiй вершинi.

Кластерний коефвдент мережi в цiлому визначаеться як середне арифметичне кластерних коефвден-пв !! вершин

2Е-

1 N

С = - У

м ^

N к1(к1 -1) '

(9)

Значення С визначае iмовiрнiсть iснування зв'язку мiж двома випадково вибраними сумiжними вершинами дано! вершини, а також мктить iнформацiю про наявшсть у мережi циклiв довжиною 3. Коефвдент кластерностi дерева дорiвнюе нулю, а повного графа - одиницк Таким чином, значення С, е характеристикою прямолшшноси сполучень; СР - характери-

стикою розповсюдження швидюсних режимiв руху на маршрутах; СС - характеристикою надiйностi мережi при виключенш з не! окремих маршрупв.

1ншою важливою характеристикою мережi е !! ко-ефiцiент асортативностi г , який визначаеться як лк ншний коефiцiент кореляцii Пiрсона мiж степенями !! сумiжних вершин та обчислюеться за формулою

МУ и* -

У1*

му 1* -

У1*

(10)

де М - юльюсть ребер мережк Мережк для яких г > 1, називаються асортатив-ними. Для них характерним е еволющя шляхом переважного з'еднання мiж собою вершин з однаковими чи близькими за значеннями степенями вершин. У випад-ку г < 1 маемо дисасортативну мережу, яка еволющо-нуе шляхом переважного з'еднання мiж собою вершин з ввдмшними за значеннями степенями вершин.

5. Результати розрахунмв

У табл. 2 подаш результати розрахунку тополо-пчних характеристик дослщжуваних мереж у рiзних просторах.

Таблиця 2

Тополопчш характеристики дослщжуваних мереж

Характеристика Значення характеристики для маршрутно! мереж1 мют

Запор1жжя Кривий Р1г Льв1в Одеса

<кь) 2,303 2,322 2,772 3,127

(к,,) 24,90 16,74 13,28 15,88

(кр) 73,31 92,41 58,25 46,48

(кр') 185,92 777,40 133,60 123,11

(Ьс> 58,70 53,26 57,10 52,25

(кс) 353,32 1238,5 238,95 169,66

(О 18,23 19,43 7,92 7,87

47 69 21 25

(и 2,00 1,92 1,90 1,74

4 4 4 4

(1с) 1,50 1,54 1,42 1,45

1тахС 3 5 3 3

С, 0,0196 0,0530 0,0892 0,1224

Ср 0,7617 0,7653 0,7422 0,7315

Сс 0,8023 0,7974 0,7768 0,7782

гТ 0,1342 0,1543 0,1511 0,2954

гР -0,0346 -0,0776 0,0566 -0,1253

ГС 0,0467 0,1206 0,0063 -0,0897

На рис. 2 наведен графжи розподiлу степенiв вершин маршрутних мереж дослщжуваних мшт у рiзних просторах.

2

т=1

т=1

г=

2

т=1

т=1

0,100

□ Запор1жжя о Кривий Р1г а Льв1в о Одеса

9

0,1

0,01

0,001

□ Запор1жжя ^ Кривий Р1г а Льв1в о Одеса

а 0 \ □

20 40 60 80 100 120

к

а)

б)

в)

Д) е)

Рис. 2. Розпод!л степешв вершин маршрутних мереж у L -простор! (а), L' -простор! (б), Р -простор! (в), Р'

-простор! (г), С -простор! (д), С' -простор! (е)

Графши розподыу у Ь, Ь', Р та Р' просторах подаш у напiвлогарифмiчнiй системi координат. Для згладжування флуктуацш для всiх просторiв, окрiм Ь -простору, використано штегральне перетворення

кШах ктах

Р(к) = } p(k)dk = £ р(о. (11)

к i=k

Характерною особливiстю маршрутно! мережi гро-мадського транспорту у порiвняннi з iншими мережами е наявнiсть певно! юлькос^ вершин, якi мають степiнь кЬ = 1. Цi вершини вщповщають кiнцевим зупинкам маршрутiв.

Як видно з рис. 2, розподы степешв вершин у Ь , Ь', Р та Р' просторах добре описуеться експоненцшним розподiлом (3) у вщповщнос^ з перетворенням (11), а у С та С' просторах - рiвномiрним розподыом (5). Чис-ловi значення параметрiв розподтв наведенi у табл. 3.

Зауважимо, що мережi мають високу стушнь кластер-ностi у просторах пересаджень i маршрутiв.

Таблиця 3

Значення параметр!в закон!в розпод!лу степен!в вершин

Параметр Значения параметра для маршрутно! мереж1 мют

Запор1жжя Кривий Р1г Льв1в Одеса

1 2 3 4 5

а Ь 1,3933 1,3145 0,6249 0,4429

Аь 12,38 10,14 1,4011 0,7771

а Ь' 0,0553 0,0647 0,0656 0,0623

Аь ' 0,6999 1,1427 0,9193 1,0513

аР 0,0182 0,0187 0,0262 0,0324

г)

Продовження таблиц! 3

1 2 3 4 5

Ap 1,4291 2,1322 1,7530 1,7025

a p 0,0039 0,0012 0,0065 0,0080

ap , 0,7389 0,9405 0,8880 1,0372

UC 0,0115 0,0118 0,0125 0,0120

UC' 0,0012 0,0003 0,0019 0,0024

На рис. 3 наведет графши розподыу довжини найкоротших шляхiв у маршрутних мережах дослщжува-них мют, а у табл. 4 - значення коефвден^в функцп розподiлу (7), пiдiбранi методом нелшшного ощню-вання Гауса-Ньютона.

а)

б)

в)

Рис. 3. Розпод!л довжини найкоротших шлях1в маршрутних мереж у L -простор! (а), P -простор! (б) та C -простор! (в)

З граф1юв на рис. 3 видно, що функцп розподыу довжини найкоротших шлях1в у Ь та Р -просторах е ушмодальними, зсунутими л1воруч. Форма розподыу в1дпов1дае закону розподыу пасажир1в за дальшстю по!здки, теоретично обгрунтовану та емшрично до-слщжену у [9]. Графши рис. 3 та результати розрахун-юв середньо! та максимально! довжини найкоротшого шляху (табл. 2) св1дчать про под1бшсть дослщжуваних мереж 1 наявшсть у них ознак «тюного свггу» [2], тоб-то можна спостер1гати значне перевищення д1аметру мереж1 1тах над середньою довжиною найкоротшого шляху у мережь

Таблиця 4

Параметри функцп розподту ймовiрностей найкоротших шляхiв

Параметр Значення параметра для маршрутное мережi мiст

Запорiжжя Кривий Рн^ Львiв Одеса

Al 0,00223 0,007689 0,00761 0,03135

Bl 0,00364 0,00087 0,03226 0,01238

CL 0,06720 -0,06370 0,33989 -0,03298

AP 0,00669 0,04341 0,01839 0,01906

Bp 1,2570 0,8696 1,1473 1,4594

CP 4,469 2,676 3,714 4,3097

AC 0,0807 0,1870 0,1127 0,0445

Bc 1,3390 0,9285 1,3650 1,7256

CC 3,20 1,94 3,02 4,2513

Висновки

В результатi розрахункiв топологи маршрутних мереж транспорту загального користування великих мют Украши встановленi !х основнi статистичнi характеристики: середню степiнь вузла мережi та ii розподiл, максимальний найкоротший шлях, середнш найкорот-ший шлях та його розподщ коефвденти кластерностi i асортативность Встановлено, що у просторi зупинок мережi е асортативними, а у просторi пересаджень - некорельованими, з експоненцшним розподiлом сте-пенiв вершин. У просторi маршрутiв мережi е некорельованими з рiвномiрним розподыом степенiв вершин. Всi дослiджуванi мережi мають невелику, у порiвняннi з дiаметром мережi, довжину середнього найкоротшого шляху, i мiстять у m6i ознаки «тюного св^у».

Лiтература

1. Ефремов, И. С. Теория городских пассажирских перевозок

[Текст] / И. С. Ефремов, В. М. Кобозев, В. А. Юдин .- М.: Высшая школа, 1980 .- 535 с.

2. Складш мережi / Ю. Головач, О. Олемской, К. фон Фербер

[та ш.] [Текст] // Журнал фiзичних дослщжень. - 2006. - т.10, №4.- С. 247-289.

3. Sienkiewicz, J Statistical analysis of 22 public transport netw-

orks in Poland [електронний ресурс] / J. Sienkiewicz, J. A. Holyst .- режим доступу: http://arxiv.org/PS_cache/phy-sics/pdf/0506/0506074v2.pdf.

4. Von Ferber, C. Public transport networks: empirical analysis and modeling [електронний ресурс] / C. von Ferber, T. Holovat-

ch, Y. Holovatch, V. Palchykov .- режим доступу: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0803/0803.3514v1.pdf.

5. Soh, H Weighted complex network analysis of travel routes on the Singapore public transportation system [електронний

ресурс] / H. Soh, S. Lim, T. Zhang [etc.] [електронний ресурс] .- режим доступу: http://adsabs.harvard.edu/ abs/2010P-hyA..389.5852S.

6. Lee, K. Statistical Analysis of the Metropolitan Seoul Subway System: Network Structure and Passenger Flows [електронний

ресурс] / K. Lee, W.S. Jung, J.S. Park, M.Y. Choi .- режим доступу: http://www.citeulike.org/user/hmedal/ article/9520129.

7. Кузьюн, О. Ф. Статистичний аналiз маршрутно! мережi громадського транспорту Запорiжжя [Текст] / О. Ф. Кузьюн, А.

Е. Мовчан // Вюник Донецько! академп автомобшьного транспорту.- 2011.-№1.- С. 34-42.

8. Паичник, В. В. Статистичш закономiрностi росту мереж громадського транспорту мют захщного репону Укра1ни [Текст]

/ В. В. Паачник, Н. М. 1ванущак // Схщноевропейський журнал передових технологiй .- 2011 .- №6/4(54).- С. 13-17.

9. Шелейховский, Г. В. Композиция городского плана как проблема транспорта [Текст] / Г. В. Шелейховский .- М.: Гипро-

гор, 1946 .- 132 с.

Проведено оцтювання adeKeamHocmi лог^тичних моделей динамши популяцш копитнихмисливськихгосподарств Украши. Доведено, що точтсть розрахунтв, про-ведених за допомогою узагальненог моделi, перевищуе точтсть аналогiчних розрахун-тв, проведених за допомогою моделi Лотт-Вольтерра

Ключовi слова: узагальнена лог^тична

модель, динамта популяцш

□-□

Проведена оценка адекватности логистических моделей динамики популяций копытных охотничьих хозяйств Украины. Доказано, что точность расчетов, проведенных с помощью обобщенной модели, превышает точность аналогичных расчетов, проведенных с помощью модели Лотки-Вольтерра

Ключевые слова: обобщенная логистическая модель, динамика популяций

□-□

The evaluation of logistic models adequacy of population's dynamics of the hoofed of Ukrainian hunts is conducted. It is argued that exactness of the calculations conducted by means of the generalized model exceeds exactness of analogical calculations conducted with the Lotka-Volterra model help

Keywords: generalized logistic model, population's dynamics

_—_П ГП_

УДК 519.8(075.8), 004.942

обгрунтування якост1 узагальненот лопстичнот модел1 динам1ки популяц1й

I.А. П i л ь ке в и ч

Доктор техычних наук, професор, завщувач кафедри* Контактний тел. (0412)-41-56-86, 067-397-87-39 E-mail: igor.pilkevich@mail.ru B.I. Котков Кандидат техычних наук, доцент* Контактний тел. (0412) 22-94-08 E-mail: eko_univer@i.ua О.В. Маевський Астрант*

Контактний тел.: 097-403-14-96 *Кафедра моыторингу навколишнього природного

середовища

Житомирський нацюнальний агроеколопчний уыверситет бульвар Старий, 7, м. Житомир, УкраТна, 10008

Вступ

Тваринний свгг е одним з компонент1в навколишнього природного середовища, нащональним багат-ством Укра1ни, джерелом духовного та естетичного збагачення i виховання людей, об'ектом наукових до-слщжень, а також важливою базою для одержання

промислово1 i лжарсько1 сировини, харчових продук-тiв та шших матерiальних цiнностей.

Динамiка чисельност (щiльностi) популяцiй рiз-них видiв мае дуже важливе значення для людини, оскiльки багато тварин i рослин служать об'ектами 11 господарсько! дiяльностi або причиною якого-не-будь збитку. Тому знання закономiрностей динамжи