CC BY
9
5. Десенко, С. М. Азагетероциклы на основе ароматических непредельных кетонов [Текст] / С. М. Десенко, В. Д. Орлов, П. Н. Гапоник, В. П. Каравай // Химия ачеро-цикл. тоед. - 1990. - № 11. - С. 1533.
6. Дормидонтов, Ю. П. Методы УФ, ИК и ЯМР спектроскопии и их применение в органической химии [Текст]: учеб. пособ. / Ю. П. Дормидонтов. - Пермь: ПГУ химический факультет, 2001. - 79 с.
References
1. Krasovitsky, B. M., Lisova, I. V., Bogdanova, L. I. (1995). Research 1,3,3-trimethyl indoline derivatives oxazol-5-one. Ukr. chemical. Zh., 61 (7), 102-104.
2. Krasovitsky, B. M., Afanasiadi, L. M., Lisova, I. V., Stryukov, M. B., Lyubarskaya, A. E. (1982). Spectral-
luminescent properties and electronic structure of some substituted azlactone and azlaktamov. Zh. chemistry, 61 (10), 2481-2485.
3. Krasovitsky, B. M., Bolotin, B. M. (1984). Organic luminophores. Moscow: Chemistry, 336.
4. Krasovitsky, B. M., Afanasiadi, L. M. (1997). Preparative Chemistry Organic luminophores. Kharkiv: Folio, 205.
5. Desenka, C. M., Orlov, V. D., Gaponik, P. N., Loaf, V. P. (1990). Azageterocikly na osnove aromatich-eskih nepredel'nyh ketonov. Himija acherocikl. coed., 11, 1533.
6. Dormidontov, Y. P. (2001). By UV, IR and NMR spectroscopy and its application in organic chemistry. Perm: PSU Department of Chemistry, 79.
Рекомендовано до публгкаци д-р техн. наук Ведь В. С.
Дата надходження рукопису 23.10.2015
Петров Сергей Александрович, старший преподаватель, кафедра органического синтеза и нанотехно-логий, Национальный технический университет «Харьковский Политехнический Институт», ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 61002 E-mail: [email protected]
УДК 681.391
DOI: 10.15587/2313-8416.2015.53966
МЕТОДИ ОПТИМ1ЗАЦП LDPC КОДУ З МЕТОЮ ПОКРАЩЕННЯ ПОРОГУ ВИПРАВЛЕННЯ ПОМИЛОК
© Р. С. Новиков
До^джено непорожнi набори зупинок, яю представляють собою головну причину досягнення порогового значения помилок в каналах передачi даних. Запропонований новий алгоритм перерахування най-менших наборiв зупинки i знаходження вiдстанi зупинки для будь-якого коду LDPC. Запропоновано бшьш функцюнальна i гнучка техтка дробленнян-заповнення. Розрахований час за який буде перераховано найменшi набори зупинки i знайдено вiдстань зупинки коду LDPC
Ключовi слова: набiр зупинки, завадосттке кодування, граф Таннера, матриця перевiрок на партсть
Non-empty stopping sets, which are the main reason for achieving a threshold of errors in data transmission channels, are studied. New algorithm of transfer smallest stopping sets and stop distance of any LDPC code is proposed. More functional and flexible technique of splitting-and-filling is proposed. Time for which will be transferred the smallest stopping sets and founded stop distance of any LDPC code is calculated. Keywords: stopping set, error control coding, Tanner graph, parity check matrix
1. Вступ
Коди шнцево! довжини можуть досягати в!д-мшних характеристик при низьшй вартосп обчислень при ггеративний передач! декодованих поввдомлень. Тим не менш, LDPC код шнцево! довжини, особливо малих розм!р!в, неминуче досягае «порогу помилок». При використанш LDPC код!в в бшарних каналах були знайдет непорожш набори зупинки, як! були головною причиною досягнення «порогу помилок».
Набори зупинки встановлеш в матриц! контролю парност коду LDPC в!др!зняються в!д набор!в зупинки юнуючих в матриц!, що генеруе LT код. Мно-жина набор!в зупинки спочатку не визначаеться i зада-еться, якщо жорстке декодування припиняеться без ввдновлення вах джерельних вузлiв. Тим не менш в кодi LDPC, граф Таннеру в матриц контролю парносп залишаеться незмiнно з гтеративним декодуванням.
Група перев!рочних вузл!в i складае набори зупинки, якщо жоден з ïx сусвдшх перевiрочних вузлiв не мае стутнь один. Число цих перевiрочниx вузлiв предста-вляе собою po3Mip цього набору зупинки рис. 1.
Рис. 1. Ha6ip зупинок po3Mipy 3 в матрищ nepeBipoK на паршсть
Непорожш набори зупинки - це набори зупи-нки, розмiр яких перевищуе 0. Найменший набiр зупинок вщграе дуже важливу роль у кодi LDPC на порiг помилки в бiнарному каналi зi стиранням [1]. Розмiр найменшого набору зупинок називаеться шлях зупинки (гальмiвний шлях), або номер зупинки. Гальмiвний шлях приблизно лшшний до довжи-ни блоку коду LDPC, незалежно вiд того, це регуля-рний або нерегулярний код iз заданим розподiлом пари ступеню.
2. Лггературний огляд
У л1тературних джерелах [1-3], були предста-вленi кориснi дослщження про взаемозв'язок мiж продуктивнiстю ансамблiв LDPC коду i дистрибутиву набору зупинки, але автори не запропонували будь-яш конкретнi пiдходи для пошуку гальмiвного шляху при використаннi довiльного LDPC коду. Причиною може бути властива МР-складшсть цих пошук1в. У [4] був введений ефективний алгоритм пошуку наборiв зупинки i наборiв пасток (зупинок) для довшьно!, коротко! довжини (<500) LDPC коду, аналiзуючи його верхню межу. Тим не менш, цей алгоритм дуже не зручний, осшльки довжина бага-тьох кодiв в додатках бiльше, нiж 500. Дослщження [5, 6] мiстять деяш алгоритми пошуку або аналiзу гальмiвних наборiв для iндивiдуального коду за до-помогою комбiнаторних або алгебрш'чних методiв, але цi пвдходи засноваш на певних обмежених при-пущенях або додатках, тому вони не тдходять для проектування загального LDPC коду. Це привело нас до дослвдження нового пiдходу до пошуку гальмiвно-го шляху i перерахування всiх маленьких наборiв зупинки для будь-якого LDPC коду кшцево! довжини за допомогою деревовидного алгоритму пошуку в залежносл вiд встановлених схем.
Метод дроблення-ьзаповнення був введений Коу та ш. [7] для зменшення показник1в помилок коду LDPC. 1х метод, заснований на матрицi репрезентаций, може призвести до зниження щiльностi мат-рицi контролю парносп i розiрвати деяк1 потенцiйно «погаш» цикли. Ми запропонували бiльш функцюна-льну i гнучку технiку, дроблення-ьзаповнення (ДЗ), заснована на наборi дiаграм (схем).
3. Пiдхiд до пошуку найменших мабор1в зупинки в LDPC кодi
1. Обхват коду LDPC, дорiвнюе принаймнi 6 бгг (пакетам).
2. В змiннiй (перевiрочнiй) дiаграмi набору ву-злiв, цикл - це закрита петля, утворена групою мно-жин (наборiв), серед яких будь-яка пара множин повинна роздмти один спiльний елемент.
3. У наборi зупинки змшних вузлiв, d (d>1) змiнний вузол встановлюе набiр зупинки розмiру d, якщо будь-який елемент мiститься в об'еднанш цих d наборiв змшних вузл1в, то вони е елементами перетину щонайменше двох d змшних вузлiв, де d - це гальмiвний шлях або номер зупинки ще! дiаграми набору.
Перевiрочна матриця з блоком довжиною 9 за-даеться як
H =
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 1 0 1 1
(1)
Ддаграми набору цього коду показаш на рис. 2.
б
Рис. 2. Д1аграми набору для матриц перев1рок на паршсть H: а - д1аграма набору змшного вузла; б - д1аграма набору перев1рочного вузла
В цьому LDPC код1 з припущенням та визна-ченням циклу, ми бачимо, що цикл довжини 2d саме d р1зний зв'язуваний наб1р перев1рочних вузл1в, що м1стять d р1зних елеменпв i кожен елемент мютить чотири змiнних набори вузлiв (два набори перевiроч-них вузлiв), щоб утворити цикл iз d перевiрочних вузлiв. Визначення набору зупинки означае, що будь-який елемент в об'еднанш d змшних наборiв вузлiв мiстить щонайменше два з цих d змiнних наборiв вузлiв. 1ншими словами, iснуе d змiнних наборiв вуз-лiв i щонайменше d рiзних елементiв, кожен з яких мютить будь-як1 два з змшних наборiв вузлiв в наборi зупинки з розмiром d. Слад зазначити, що, тiльки то-да, коли всi цi d рiзнi змiннi вузли мають стутнь 2 -число р!зних об'еднаних елементiв дорiвнюе d. Мае бути, принаймш один цикл в ш6ор! зупинки [3].
vvvvvvvvv
123456789
v
Зробимо ще одне припущення, що в кодi LDPC ступенi вах контрольних вузлiв будуть не ме-нше, шж 2. Позначимо непорожнш набiр зупинок як S. У приймачi в bit error channel (BEC), ми припускаемо, що ва змiннi вузли, що мютяться в S е тдм-ножиною стертих змiнних вузлiв. Декодер зупинить гтерацшну процедуру декодування, коли ва передaнi бiти вiдновляться або максимальна шльшсть iтерaцiй декодування буде закончена. Оск1льки всi елементи перевiрочних вузлiв в S покритi, принaймнi, двома наборами змшних вузлiв, всi декодоваш повщомлен-ня, як1 вони отримують вiд сусiднiх з ними змшних вузлiв - це невизнaченостi i значення цих елементiв не можуть бути iдентифiковaнi. Таким чином, повернет ввд контрольних вузлiв повщомлення завжди будуть невизначеними i змшш вузли в S не можуть бути вщновлеш, тому порiг помилок буде рости.
Виходячи з двох визначень i двох припущень, був запропонований новий алгоритм перерахування найменших нaборiв зупинки i знаходження вщсташ зупинки для будь-якого iндивiдуaльного коду LDPC з вщстанню зупинки менше шж 8 бiт (пaкетiв). Цей алгоритм проводить деревовидний пошук в нaборi дiaгрaм перевiрочноl мaтрицi LDPC. Пошукова дiaг-рама базуеться в одному змшному вузлi i розгалужу-еться вщ змiнного вузла до змшного вузла з'еднaнi ребрами. Кожне ребро мае позначку з групою контрольних вузлiв, як1 з'еднаш з можливими наборами зупинки. Шлях (пошуковий напрям) показуе нaбiр зупинки, якщо цей шлях успiшний. У пошуковш дia-грaмi, змiнний вузол в пошуковому кроцi j назива-еться стан при рiвнi j. Коршь (0-й ступiнь) дiaгрaми -це початковий стан, що е початком пошуку. Для зру-чносп, термiн стан (sj), змiнний вузол (v,), i вершина використовуються сумiсно для цього алгоритму (i -iндекс змiнного вузла). Ця пошукова схема, приводиться в дш двома функщями: функцiя виводу i функци переходного стану пошуку.
Вихвдна функцiя
O =
fj S )>
j = 0,
\f, (Sj, IjJ, j > 0,
(2)
де Oj включае Ij, у пошуковому шляху на piBHi j. I перехвдна функцiя пошукового стану формулюеться
j = 0,
S — "
j I g.jIhl,) j > 0.
(3)
Вихвд Oj - це об'еднання Ij i сусщв вершини i (v,). Серед вхщних пaрaметрiв вихвдно! функци, Sj -це даний змiнний вузол на поточному рiвнi j i Ij.j - це поеднання контрольних вузлiв, вироблених на попе-редньому рiвнi. Ij.! складаеться з одного спецiaльного перевiрочного вузла i к1лькох загальних контрольних вузлiв. Спецiaльний контрольний вузол включений в Ij.j перевiрочного вузла, який використовуеться для отримання поточного стану Sj, а решта загальш пере-вiрочнi вузли. На рiвнi j, якщо перевiрочний вузол покритий як обидва i Ij i сусiднiй нaбiр стану Sj, цей перевiрочний вузол повинен бути «обведеним» зеленим квадратом. Так «обведений» перевiрочний вузол
був вщвщаний двiчi або б№ше, тобто, вiн мае при-наймш двох сусiдiв.
Для того, щоб зменшити складнiсть обчислень, пошуковий шлях, який повторюеться на пошуковш дiаграмi слщ позначити як повторювальний. Правила зупинки у пошуковому шляху:
Правило 1: Якщо вершина в сташ х така ж, як шша вершина в рашше обчисленому станi у i цi двi вершини призвели до того ж шляху пошуку, шлях подорож1 вщ початково! вершини до ще! вершини буде дублтатом або недiйсним, для його позначення використовуеться прапор провалу F для припинення пошуку в цш гiлцi. х i у надшрш (необов'язковi) на тому ж рiвнi пошуку.
Правило 2: Якщо ва контрольнi вузли у виходi ^ по вершинi «обведенi», то пошук з початково! вершини до ще! вершини буде усшшним i цей набiр змiнних вузлiв включае набiр зупинки. Ця устшна пошукова гiлка вiдзначена прапором Т, як к1нцевий стан. Одночасно з цим ва iншi гiлки, в тому числ1 будь-яка з вершин в усшшнш гiлцi, встановлюються як п, що не використовуються, та вщзначаються прапором збою F i припиняються.
З пошуком функци переходу м1ж станами, по-точний стан i спецiальний перевiрочний вузол генерують наступний стан Sj вщповщно до дiаграми перевiрочного вузлу. Наступний стан SJ насправдi може бути будь-яким з сусiдiв спецiального перевь рочного вузла, крiм поточного стану з
Як приклад, на рис. 3 показано пошук наборiв зупинки, що покривають змiнний вузол у] в кодi LDPC представлений в матрищ контролю парностi, наведеною в рiвняннi 1. Процес починаеться з у], який мае двох сусщв (с] i с2) ^ отже, виробляе двi пошуковi гшки на рiвнi 0. Для обох гшок "с], с2" в результат утворюються групи перевiрочного вузла. На верхнш гiлцi, с] спецiальний перевiрочний вузол зверху позначений знаком "л", пошуковi вершини на наступному рiвнi будуть серед сусiдiв с], а попм за-гальна перевiрка вузла с2. З iншого боку, с2 е спецiа-льним перевiрочним вузлом i с] загальний перевiроч-ний вузол на нижнш гiлцi. Верхня гiлка йде на на-ступних рiвень (стан), починаючи з рiвня 1, як1 е су-адами с], крiм у]: у2, у3 i у4. Для вих1дно! функци на у2, вх1дними параметрами е: у2 (5]) i "с], с2" (10), так що вих1дний 0] буде об'еднанням 10 i вах сусщв у2, тобто, 1] = {с]; с2, с3}. Тому що зараз с] був перекри-тий 10 i сус1дами у2, вш «обведений» зеленим полем. В цей час, с3 стае спецiальним перевiрочним вузлом для виведення пошуку на наступний рiвень. Таким чином, у5, у8 i у9 е стани (вершини) на рiвнi 2. Для у5, його вих1дна функцiя виробляе 12={с], с2, с3} i, таким чином, ва цi перевiрочнi вузли «обведеш» в зеленi поля. Таким чином знаходиться набiр зупинки - це об'еднання у], у2 i у5, якi являють собою також устш-ний шлях пошуку "у], у2, у5". Для у8, вихвдш значення включають 12={с], с2, с3, с4}, але тiльки с] i с3 «обве-денi» в зелеш поля i с4 спецiальний перевiрочний вузол, для продовження пошуку. Крiм того, вихiднi даннi для у9 це 12={с], с2, с3, с5}, i вiн не iснуе ш в одному з рашше обчислених шляхов, так що як i ранiше необхiдно продовжувати пошук, тому що пльки с] i
с3 обведеш Повертаемося до р1вня 1. Обидва у3 1 у4 виводять нов1 шляхи пошуку, але тшьки с «обводиться», так що щ дв1 гшки розвивають нов1 стани на наступному р1вш На р1вш 2, у6 {у8 видають р1зш дш-сш шляхи. Тим не менш, у8, у9 { у10, з'являються дв1ч1 на р1вш 2, тому подальший шлях кожного припиня-еться. Аналопчно, для нижньо! гшки на р1вш 0, ва його стани не е устшними тому, що стани на р1вш 1 вже юнували в розвиненш верхньо! гшки.
Юльшсть дшсних гшок може бути оцшена змшним вузлом. Насправд1, число дшсних гшок можуть бути
Рис. 3. Д1аграма пошуку наборш зупинки
Пошуковий процес не продовжуватиметься на наступному р1вш, якщо який-небудь наб1р зупинки був знайдений на поточному р1вш Шсля того, як ва змшш вузли при цьому алгоритм! пошуку заюнчують пошук, ва найменш1 набори зупинки можуть бути знайдеш, так шлях зупинки даного коду шдтверджу-еться. Для наведеного вище прикладу коду LDPC, ва множини найменших набор1в зупинки - це {vj, v2,
V5}, {Vi, V3, v6}, {Vj, V4, V7}, {V2, v3, vs}, {V2, V4, Vp} i {v3,
v4, v10}. Ц набори зупинки були обчислеш за 0,228 секунд на комп'ютер1 2,2-ГГц Intel CORE i5 CPU з 4 Гб оперативно! пам'яп. У нашш модел1, алгоритм застосовуеться для двох випадково згенерованих ко-д1в з довжиною блок1в 1024 i 2304. Це зайняло 5380,328 секунд i 16615,21 секунд, вадповщно, для того щоб обчислити ва найменш1 набори зупинки розм1ру 5.
Для перерахування ва найдр1бшш1 набори зу-пинок, знаходимо n пошукового дерева, n - к1льк1сть змшних вузл1в в LDPC код1. На кожному дереву об-числення складносп в основному викликано кшьшс-тю усшшних гшок i розм1ром найкоротших шлях1в.
пов'язаш з [(cmg - l )( vm, -1)]
де Cavg - середнш
ступ1нь перев1рки вузла, vmg - середня ступ1нь змшно-го вузла i гальм1вний шлях LDPC коду. Для будь-яких постшних або не постшних кодав LDPC кшцево! довжини n, доведено, що наближення до log log(n). Розглянемо стушнь розподшу змшно! вузла.
Д х) = x'
1 ступ1нь розпод1лу перев1рочного вузла
p( x) = Zpx'
(4)
(5)
де ) - ймов1ршсть того, що змшний (перев1роч-ний) вузол, займае, /-ту та к-ту стушнь коду вим1ру. Середня стушнь змшного вузла 1 середня стушнь перев1рки вузл1в може бути отриманий наступним чином:
та
Vavg =Д( X) =^'ДХ'-1 ' =1
Cavg = Р'(Х) = Z 'PlX~l .
'=1
Ми також маемо
Vavg = (1 - R)cavg ,
(6)
(7)
(8)
де R - це швидшсть коду.
Трудом1сткють пошуку вах найдр1бшших на-бор1в гальмування може бути представлено як
[(сш® -1)]^ х п , в пршому випадку може бути
представлено як [(с -1)(^ - 1)]1ов(п) х п . При пр-
шому випадку, варпсть часу, головним чином, зале-жить вш ввдсташ гальм1вного шляху 1 ступешв змш-них 1 контрольних вузл1в в код1 LDPC [4].
Кшьшсть маленьких набор1в зупинок, як правило, набагато менше, шж число гшок в поточному сташ, споживчий прост1р для збер1гання дшсних гшок кожного змшного вузла «дом1нуе» над необ-х1дним простором для процесу пошуку. Таким чином, вш п1дходить для використання 0[(с -1) х
х ^ - 1)]х" простору.
4. Методика дроблення i заповнення
Основна щея запропонованого мето^ дроб-лення-ьзаповнення полягае в наступному: з1 змшни-ми (перев1рочними) наборами схем, по-перше роздь ляеться зм1нний (перев1рочний) наб1р вузл1в в ба-жану к1льк1сть зм1нних (перев1рочних) набор1в вуз-л1в, а пот1м заповнюе щойно створений зм1нний (пе-рев1рочний) наб1р вузл1в елементами вих1дного набору 5, це робиться щоб задати 1м задану ступ1нь роз-подшу 1 потр1бн1 комб1наторн1 властивост1. На стадп заповнення, немае необх1дност1 використовувати ва
'=1
'=1
елементи у вихвдному наборi вузла S [6]. Якщо Bei цi елементи призначаються новому набору вузлiв -процедура називаеться повним дробленням-i-заповненням рис. 4. В шшому випадку, це називаеться частковим дробленням-ьзаповненням. Приклад часткового дробленням-ьзаповненням прошюстро-вано на рис. 5. Набiр змiнних вузлiв vt роздшений на два змiнних набори вузлiв, vi,1 i vl 2, але Елемент cg видаляеться з заповнення.
Рис. 4. Повне дроблення-ьзаповнення у видi графу Таннера
Видал ений вузол
V,
V; / Lfl О
% А
'Ъ
У'-* V
Розщегшеныя
Заповнювання
\ V/Jj сЛ \
\ сЛ
Рис. 5. Часткове дроблення-i-заповнення на наборi змiнних вузлiв
Для застосування технiки дроблення-1-заповнення, спочатку необхвдно нарощувати схеми набору на основi евктадових геометрiй. Потiм, з правильно розробленою парою роздшення ступеню, не-регулярний код LDPC заноситься, тсля застосування технiки дроблення-i-заповнення, в набiр дiаграм з деякими стратепями. За допомогою навмисного за-повнення в процеа генераци, можуть бути отримаш специфiчнi комбiнаторнi характеристики коду.
Припустимо даеться блок коду довжини п та пара розпод1лу ступеня,тому може бути обчислена число ненульових вход1в в неправильнiй матрицi контролю парносп. В робот1 [7] представлеш р1вняння для обчислення кшькосп одиниць в перев1рочно! матрицi:
E — n —-— n ■
1
(9)
J A(x)dx J А( x)dx
Далi представлено шдхвд для визначення вихь дного набору дiаграм. При такому пiдходi необхвдно знати параметри Ein для вибору правильно!
т-розм1рност1 евклщово! геометри в ОЕ (2 ), що поз-начаються ЕG (т, 28). т-розм1рн1сть Евкл1дово1 геометри над ОЕ (28) може бути представлена в 2™ т-набор1в:
У = (10)
де Ь0, Ь], ..., Ьт-] елементи ОЕ (28). Осшльки m-набiр -це точка в геометри Евклвда, наприклад ОЕ(т, 2 «пряма» лши, яка проходить через точку Vo може бути виражена
{Vo + ßV: ß е GF(2s)},
(11)
де У0 i V лшшно незалежш в ЕО (т, 2 ) i ¥ф0. Очевидно, що будь-яш дв1 р1зн1 лши мають не б1льше одш-е! загально! точки i будь-як1 дв1 точки з'еднаш однiею лiнiею
2ms -1 2s -1
(12)
лши, як1 проходять через кожну точку i кожен рядок мають 2* точок в ЕО(т, 28). Тепер змшний вузол 1 перев1рочний наб1р д1аграм можуть бути в1дображен1 в ЕО(т, 28). Давайте розглянемо кожну точку як набор змшних вузл1в 1 лшш, що перетинаються в ц1й точц1, як 11 елементи (сусвдшх контрольних вузл1в). Кр1м того, кожна л1н1я розглядаеться як наб1р перев1-рочних вузл1в 1 точки на лши - и елементи. Таким чином, «сировина» регулярного набору д1аграм (схем) може бути розроблена. Для того щоб розроби-ти «сировину» набору схем, яка буде взаемод1яти з нашою техн1кою дроблення 1 заповнення, ми вибрали т та * параметри дуже обережно. Загалом, так1 в1дно-сини повинн1 бути задоволеш
та
<\ms _1
2* ■ 2E 2s - -
2ms < n,
(13)
(14)
де n - довжина коду.
На наступному етапi, генеруеться неправиль-ний код LDPC iз заданим ступенем розподшу пари. Наступнi три етапи переробки попереднього набору дiаграм описан далi. На першому етапi, мае бути обчисленим число змшних (перевiрочних) вузлiв з кожного призначеного ступеня. Рiвняння розрахунку кiлькостi змiнних вузлiв 1 ступеня i кiлькостi контрольних вузлiв до к:
К, — n .-ЛИ- (15)
J А( x)dx
та
К. — n
Pk 1k
c ,k -
(16)
J p( x)dx
На другому етат застосовуеться часткова тех-шку дроблення-i-заповнення. При правильному ре-
a —
о
о
формування набор1в вузл1в, вона мае усунути Bei надлишков1 ненульовi елементи вадповадно! матрицi контролю парностi i тдкоряеться парi ступеня роз-подшу. Пiсля цих операцiй, генеруеться нова схема, SG1 i всi набори в SG1 повиннi вiдповiдати заданим ступеням. Третiй крок виконуе операцш повного дроблення-i-заповнення. На цьому етат, iнша дiaг-рама, SG2, вадповвдна SG1 уточняеться, щоб данi набори були наближеш до бажаних ступенiв i тримали всi ступеш множин в SG1 без змш
5. Результати дослiджень
За результатами, отриманими при змiнi характеристик для наведених моделей, можна зробити висновок, що алгоритм знаходження найменших наборiв зупинок дозволяе знайти набори зупинок за 0,228 секунд, для перевiрочноï матриц з блоком довжиною 9, та необхадно 5380,328 i 16615,21 секунд, для того щоб обчислити ва нaйменшi набори зупинки розмiру 5, для двох випадково згенерова-них кодiв з довжиною блошв 1024 i 2304, вщпов№ но. Для перерахування всiх нaйдрiбнiших нaборiв зупинок, треба знайти n пошукового дерева, де n -шльшсть змiнних вузлiв в LDPC код^ На кожному деревi, обчислення склaдностi в основному викли-кано кшьшстю успiшних гiлок i розмiром найкоро-тших шляхiв. Кiлькiсть дшсних гшок може бути оцшена змшним вузлом.
Основна шея запропонованого методу дроб-лення-ьзаповнення полягае в тому, що роздшяеться змiнний (перевiрочний) нaбiр вузлiв S в бажану шльшсть змшних (перевiрочних) нaборiв вузлiв, а потiм заповнюе щойно створений змшний (перевiрочний) нaбiр вузлiв елементами вихвдного набору S, це ро-биться щоб задати ш задану ступiнь розподiлу i пот-рiбнi комбiнaторнi влaстивостi. Технiкa дроблення i заповнення дозволяе привести до зменшення показ-нишв помилок коду LDPC.
6. Висновки
Науковою новизною проведених дослвджень е сформовaнi рекомендaцiï щодо ошишзаци парамет-рiв LDPC кодiв, а саме застосування технiки дроб-лення-ьзаповнення, а також алгоритму знаходження найменших нaборiв зупинки i шляху зупинки.
За результатами, отриманими при змш характеристик для наведених моделей, можна зробити ви-сновок, що алгоритм знаходження найменших набо-рiв зупинок дозволяе швидко знайти ва набори зу-пинок , що призводить до зменшення загального часу при передaчi iнформaцiï з використанням завадостш-кого кодування.
^ÏTepaTypa
1. Richardson, T. Error-floors of LDPC codes [Text] / T. Richardson. - Flarion Technologies Bedminster, N. J. -2003. - P. 1426-1435. - Available at: http://www.ldpc-codes.com/papers/ErrorFloors.pdf
2. Milenkovic, O. Asymptotic spectra of trapping sets in regular and irregular LDPC code ensemble [Text] / O. Milenkovic, E. Soljanin, P. Whiting // IEEE Transactions on Information Theory. - 2007. - Vol. 53, Issue 1 - P. 39-55. doi: 10.1109/tit.2006.887060
3. Tian, T. Construction of irregular LDPC codes with low error floors. Vol. 5 [Text]: conference / T. Tian. C. Jones, J. Villasenor, R. D. Wesel. - Communication, Control and Computing. - 2003. - P. 3125-3129. doi: 10.1109/icc.2003. 1203996
4. Chih-Chun, W. Exhausting Error-Prone Patterns in LDPC Codes [Text] / W. Chih-Chun, R. S. Kulkarni, H. V. Poor // IEEE Transactions on Information Theory. - 2006. - P. 46-70.
5. Li, H. Construction of irregular LDPC codes with low error floors [Text]: conference / H. Li, W. Huang and J. Dill. - Communication, Control and Computing. - 2010. -P. 1123-1128.
6. Richardson, T. Design of capacity-approaching iirregular low-density parity-check codes [Text] / T. J. Richardson, M. A. Shokrollahi, R. L. Urbanke // IEEE Transactions on Information Theory. - 2001. - Vol. 47, Issue 2. -P. 619-637. doi: 10.1109/18.910578
7. Kou, Y. Low-density parity-check codes based on finite geometries: a rediscovery and new results [Text] / Y. Kou, S. Lin, M. P. C. Fossorier // IEEE Transactions on Information Theory. - 2001. - Vol. 47, Issue 7. - P. 2711-2736.
References
1. Richardson, T. (2003). Error-floors of LDPC codes. Flarion Technologies Bedminster, N. J., 1426-1435. Available at: http://www.ldpc-codes.com/papers/ErrorFloors.pdf
2. Milenkovic, O., Soljanin, E., Whiting, P. (2007). Asymptotic Spectra of Trapping Sets in Regular and Irregular LDPC Code Ensembles. IEEE Transactions on Information Theory, 53 (1), 39-55. doi: 10.1109/tit.2006.887060
3. Tian, T., Jones, C., Villasenor, J., Wesel, R. D. (2003). Construction of irregular LDPC codes with low error floors. Vol. 5. Communication, Control and Computing, 31253129. doi: 10.1109/icc.2003.1203996
4. Chih-Chun, W., Kulkarni, R. S., Poor, H. V. (2006). Exhausting Error-Prone Patterns in LDPC Codes. IEEE Transactions on Information Theory, 46-70.
5. Li, H., Huang, W., Dill, J. (2010). Construction of irregular LDPC codes with low error floors. Communication, Control and Computing, 1123-1128.
6. Richardson, T. J., Shokrollahi, M. A., Urbanke, R. L. (2001). Design of capacity-approaching irregular low-density parity-check codes. IEEE Transactions on Information Theory, 47 (2), 619-637. doi: 10.1109/18.910578
7. Kou, Y., Lin, S., Fossorier, M. P. C. (2001). Low-density parity-check codes based on finite geometries: a rediscovery and new results. IEEE Transactions on Information Theory, 47 (7), 2711-2736.
Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук Поповський В. В.
Дата надходження рукопису 14.10.2015
Новиков Роман Сергшович, асшрант, кафедра телекомушкацшних систем, Харшвський нацюнальний ушверситет радюелектрошки, пр. Ленша, 14, м. Харьков, Украша, 61166 E-mail: [email protected]
