CC BY
34
ному оптимуму показателей качества маршрутов, есть множество Парето-оптимальных решений.
2. Несмотря на выбор маршрутов с точки зрения согласованного оптимума, многокритериальный подход дает не хуже, а иногда и лучше результаты по сравнению с однокритериальным подходом. При этом в многокритериальном подходе учитываются несколько показателей качества.
3. Множество Парето-оптимальных решений можно использовать для организации многопутевой маршрутизации, что позволит равномерно использовать линии связи.
4. Для выбора единственного варианта маршрута можно использовать дополнительную информацию от экспертов с использованием методов сужения подмножества Парето на основе введения скалярных функций ценности, лексикографического подхода, теории размытых множеств и др.
5. Проведен сравнительный анализ результатов решения задачи многокритериальной оптимизации и
маршрутизации на основе однокритериального подхода.
6. В системе управления сетью связи могут использоваться любые из перечисленных механизмов управления потоками.
Литература
1. Семенов Ю.А. Алгоритмы телекоммуникационных сетей ч.1. Алгоритмы и протоколы каналов и сетей передачи данных. - Москва, 2007.
2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Высшая школа, 1982.
3. Перепелица В.А. Многокритериальные задачи теории графов. Алгоритмический подход. - Киев УМК ВО, 1989.
4. Безрук В.М. Векторная оптимизация и статистическое моделирование в автоматизированном проектировании системы связи. - Харгав: ХНУРЕ, 2002.
-□ □-
Уpo6omi розглянуто основш характеристики складних мереж, правила гх генераци та моделi структуризации. Означет основт фактори впливу на р^т та генеращю вузлiв мережi. Розглянуто статистичний nidxid до опису складних мереж
Ключовi слова: характеристики складних мереж, моделi мереж, правила генераци □-□
В работе рассмотрены основные характеристики сложных сетей, правила их генерации и модели структуризации. Определены основные факторы влияния на рост и генерацию узлов сети. Рассмотрен статистический подход к описанию сложных сетей
Ключевые слова: характеристики сложных сетей, модели сетей, правила генерации □-□
This article examines the main characteristics of complex networks, rules of their generation and models of their structure. There was determined the main factors that influencing growth and generation vertices in the network. The statistical approach was considered in describing complex networks
Keywords: characteristics of complex networks, network models, rules of generation -□ □-
УДК 004.942
СТРУКТУРИЗАЦ1Я ТА ДИНАМ1ЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 СКЛАДНИХ КОМП'ЮТЕРНИХ МЕРЕЖ
В.В. П ас i ч н и к
Доктор техычних наук, професор, завщувач кафедри* Контактний тел.: (0322) 258-25-38 E-mail: vpasichnyk@gmail.com
Н.М. I в а н у щ а к
Фахiвець I категорп* *Кафедра комп'ютерних систем та мереж Чершвецький нацюнальний ушверситет iменi Юрiя
Федьковича
вул. Коцюбинського, 2, м. Чершвф, 58000 Контактний телефон: 096-677-13-74 E-mail: ivanuschak@yandex.ru
1. Вступ
Предметом огляду та дослщження стати е складш мереж^ яю виникають у результат людсько! дiяльно-
сть У робот розглянут моделi та сформульоваш правила структуризацп складних комп'ютерних мереж. Здшснено аналiз факторiв впливу на генеращю та кластеризащю складних мереж, зокрема вплив при-
родного росту мереж, сощально-виробничих законо-мiрностей на генерацiю 1х вузлiв. Приведет фiзичнi аналогii росту та динамжи дослiджуваних систем.
2. Основнi характеристики природних та штучних мереж
В робоп авторiв [1] означенi основш характеристики, якi використовуються при дослщженш та моделю-ваннi мереж.
«Лшшний розмiр» мережi характеризуеться по-няттями середнього (1) i максимального 1тах найко-ротших шляхiв. Шляхом мiж вузлами 1ij назвемо най-коротшу вiдстань мiж ними.
Для зв'язаноi мережi з N вузлiв середнiй найкорот-ший шлях означаеться як:
0=—2— X1Й, (1)
N(N -
1
■ довжина найкоротшого шляху мiж вузлами i та
j, 1тах - найбшьше значення з усiх 1ij, заданих для цiеi мережi.
Глобальною характеристикою мережi е середня довжина найкоротшого шляху, а окремий вузол т ха-рактеризуе локальна величина - коефвдент кластер-ностi Ст [2,3], який вiдповiдае рiвню зв'язаност вузла у мережi i характеризуе тенденцiю до утворення груп взаемозв'язаних вузлiв,
С = 2Ет
т кт(кт - 1).
Ст визначаеться як вiдношення реальноi юлькоси ребер Ет, якi з'еднують найближчих сусвдв даного вузла, до максимально можливоi (такоi, при якiй в« найближчi сусiди даного вузла були б з'еднаш безпо-середньо один з одним).
Головною характеристикою мереж^ яка задае роз-подш ребер вершини, тобто ступiнь вершини, е роз-подiл ступенiв вузлiв Р(к), що визначае iмовiрнiсть того, що вузол i мае ступiнь ki=k, iншими словами, що випадково вибрана вершина буде мати рiвно к ребер. Мережi, якi характеризуются рiзними Р(к), демон-струють дуже рiзноманiтну поведiнку. До найчастiше спостережуваних прикладiв розподiлу ступенiв вуз-лiв вiдносяться:
а) розподiл Пуассона
Р(к) = е-к>^, к!
(3)
b) експоненцiйний розподiл Р(к)~е-к/<к>,
c) степеневий розпод^ Р(к)~1/кт , к * 0, у > 0.
(4)
(5)
титв природних та штучних мереж, таких як сощаль-т, iнформацiйнi та технологiчнi, та продемонстрова-но, що вони являються безмасштабними i тдпоряд-ковуються одному i тому ж степеневому закону росту. Зокрема, до таких мереж вщносяться мережi ствав-торства у рiзних галузях науки, електронних повщом-лень, ШШШ, мережi цитування, мережi громадського транспорту, 1нтернет та ш.
3. Моделi структуризаци та правила генерацп складних мереж
Явища, що вщбуваються у складних мережах, по-яснюються багатьма рiзними моделями. Основними з них, яю в основному спричинили сьогодшшне ро-зумiння складних мереж, е класичний випадковий граф Ердоша-Реш, мережа ткного свiту Ваттса-Стро-Гаца та безмасштабна мережа БарабашьАльберта, що е прикладом зростаючоi мережь Моделi, що описують зростаючi мереж^ приводять до степеневих розподiлiв ступешв вузлiв Р(к).
Граф Ердоша-Реш е рiвноважним ансамблем гра-фiв зi сталою кiлькiстю вершин N [4]. Розпод^ ступе-нiв вузлiв к для цього графа визначаеться формулою Пуассона (3). Побудова графа здшснюеться генеру-ванням, де до N вщокремлених вершин послiдовно додаються ребра, що з'еднують випадковим чином до-вшьт пари вершин. Початково граф складатиметься iз сукупностi малих вершин, яю в процесi генерування з часом розростаються до пгантського кластера зв'яза-них вершин, юльюсть яких е скiнченною частиною загальноi кiлькостi N . При генерацп постшно зростае ймовiрнiсть зв'язування вершин, яка досягае з часом деякого критичного значення. В результат такого про-цесу, який мае характер фазового переходу, граф спонтанно розростаеться до пгантського кластера вершин, пов'язаних мiж собою, що нагадуе конденсащю краплi води в перенасиченш парь
Модель Ваттса-СтроГаца [5] е комп'ютерною мо-деллю тiсного свггу. И побудова зводиться до наступ-ного: розглядаеться одновимiрний iз N вершин перь одичний ланцюг, замкнутий у юльце. Спочатку кожну вершину з'еднуемо з шшими сусiднiми, яю знаходять-ся на вiдстанi не бшьшш за к, а потiм кожне ребро з певною ймовiрнiстю т перез'еднуеться з довiльною вершиною, що приводить до трансформацп регулярного ланцюга у граф ткного свгту (рис. 1).
В залежностi вщ виду розподiлу ступенiв вершин (3)-(5) мережi подiляються на три рiзних типи - класичнi випадковi графи, якi е варiантом моделi Ердоша-Ренi, моделi тiсного свiту [3] та мережi без мас-штабування, яю мають мiсце для бшьшосп реальних складних мереж.
В роботi [1] нами були проаналiзованi характеристики, динамiчнi та кореляцiйнi властивостi основних
Рис. 1. Трансформащя регулярного ланцюга у граф лсного свiту та у випадковий граф
Осюльки в цш моделi кiлькiсть ребер е сталою, а ймовiрностi реалiзацii графiв - рiзнi, то вона зводиться до канотчного ансамблю графiв i описуе реально iснуючi мережi, тополопя яких не е анi щлком регулярною, анi цiлком випадковою.
Бшьшшть реальних графiв пiдпорядковуються степеневому закону розподшу (5). Цi графи описують-ся моделлю переважного приеднання побудови мереж Барабаш^Альберта [6,7] i являються безмасштабни-ми, так як, завдяки далекосяжним взаeмодiям система не мае масштабу змши характерних величин. Зро-стання та переважне приеднання е основними меха-нiзмами побудови безмасштабних мереж. Ця побудова здiйснюеться за такими принципами: 1) до невелико! юлькосп вузлiв ( п0 ) на кожному часовому крощ до-даеться новий вузол з п < п0 зв'язками, якi з'еднують його з наявними вузлами; 2) суть переважного приеднання в тому, що ймовiрнiсть приеднання W нового вузла до вузла i залежить вщ ступеня к вузла i:
W(k1) = (6)
1снують два основних методи побудови графiв зi степеневим законом розподшу Р(к) - це метод рандо-мгзаци (розкиду) ребер та метод рандомгзаци вершин (рис. 2).
3 '?
5 •
<?2 1
94 3
Об 5О
19-
3 9"
Об 5 О
О 2 1 i>
у 4 3
Об 5
О 2
а) б)
Рис. 2. Схема генерування графiв методами рандомiзацiT: а) рандомiзацiя ребер; б) рандомiзацiя вершин
Дов^ьним чином вибираються два ребра i пере-ставляються кiнцi кожного з них, при цьому не-змшними залишаються ступенi всiх вершин. Згене-рований у результатi тако! процедури каношчний ансамбль матиме однаковi ступеш вершин та рiзнi питомi ваги P(k) графiв. Безмасштабнi графи можуть бути згенероваш в результатi нерiвноважних процесiв зростання рiзних ансамблiв мереж. При цьому вони виникають як перехщш ансамблi, що представляють мереж^ утворенi при переходi вiд вихщного до кш-цевого набору графiв. Так, в ансамблях, енергiя яких змшюеться за законом E = kjln(kj), перетворення
класичного випадкового графа в повнiстю зв'язаний кластер вщбуваеться через промiжну безмасштабну зiркоподiбну фазу [8].
Нехай початково е ансамбль ребер, що приеднаш до вершин iз малими ступенями, i невелика юльюсть вершин, що е центрами конденсацп. Змiна енергп, пов'язана з еволющею ребер у ансамблi, е незнач-ною, тодi як центри конденсацп поглинають ребра з великою швидюстю, яка монотонно зростае зi зб^ь-шенням ступенiв вершин, у яких вони сходяться. Приеднання ребра до вершини приводить до змши енергп ДЕ = ЭЕ/Эк = -lnk-1, тому швидюсть конденсацп визначаеться множником: v(k)~e^/T ^ k1/T , де Т - дисперия ансамблю графiв, що ввдграе роль темпе-ратури. Оскiльки ймовiрнiсть P(k) знайти вершину iз заданим ступенем обернено пропорцшна до швидкоси конденсацп, то зi знайдено! оцшки вiдразу випливае степеневий розподiл P(k) ^ 1/v(k) ^ k-Y з показником Y = 1/T . Осюльки центри конденсацii ребер утворю-
ються при температурах T < 1 [8], то знайдений показ-ник обмежений значеннями у > 1.
4. Фактори впливу на динамжу росту комп'ютерних мереж
Розумшня структури локально! комп'ютерно! ме-режi випливае з дослщження 11 еволюцп в чаи, топологи та реального розташування. Локальш мережi створюються для оперування у невеликому географiч-ному просторь Вони дозволяють множинний доступ до високошвидюсного середовища та керування з до-помогою локального адмiнiстрування.
Можна видшити два способи утворення складних мереж:
1. Об'еднання б^ьш дрiбних мереж в едину корпо-ративну мережу;
2. Початково спроектована та реалiзована за проектом мережа.
Частше стикаемося з першим типом мереж: тради-цшно мережi утворюються i органiзовуються розрiз-нено i спонтанно, а потiм !х об'еднують i в результатi здiйснюеться перехщ мережi до другого типу. Змь нюеться обладнання, топологiя, структура окремих д^янок i мережа перетворюеться в струнку iерархiчну структуру.
В даний час створеш i експлуатуються рiзнi типи локальних мереж з рiзними розмiрами, алгоритмами роботи, архiтектурою i структурною оргашзащею. Не-залежно вiд типу мереж, до них виставляються загаль-т вимоги:
1. Швидкiсть - найважливша характеристика локально'! мережц
2. Адаптованiсть до середовища;
3. Надшшсть - властивiсть мережi збер^ати повну чи часткову дiездатнiсть незалежно вщ виходу з ладу деяких вузлiв чи кiнцевого обладнання.
Комп'ютерш мережi вiдносяться до мереж, що постшно ростуть i розвиваються. Аналiз розвитку комп'ютерно! мережi Грунтуеться на встановленш факторгв впливу на генеращю вузлiв та умов утворення i приеднання в мережi нових серверiв зi своею структурою.
Серед факторiв впливу на рiст мережi в першу чергу необхщно вирiзнити розмiр або протяжнiсть локально'! мереж^ що визначаеться вiдстанню мiж най-бiльш вiддаленими станцiями, при якш за нормально! роботи вузлiв чико розпiзнаються колiзi!, та кiлькiстю об'еднаних в мережу комп'ютерiв. Для 1нтернет-мере-жi цей розмiр називаеться дiаметром мережi i складае вiдстань порядку 1 км, що дозволяе отримати високу швидюсть зв'язку та максимально можливий рiвень сервшу. При цьому юльюсть вузлiв в мережi складае ~ 86. Кiлькiсть пiд'еднаних до мережi комп'ютерiв сильно впливае як на !! продуктивнiсть, так i на складнiсть в обслуговуванш i також визначае вартiсть необхвдних програмних засобiв.
При розростаннi мережi зростае число колiзiй, i рiзко падае !! корисна пропускна здатшсть та швид-кодiя передачi сигналу, тому може знадобитися вико-ристання дуже дорогого або рщюсного обладнання. Обмеження мережi за довжиною являеться передумо-вою вибору структури мереж^ розбиття !! на окремi
частини, появи додаткових серверiв з новою мережею зв'язюв. Мiжсервернi з'еднання дозволяють забезпе-чити пiдвищену стiйкiсть, меншу затримку, зменшен-ня вартостi доступу, а також тдвищення якостi зв'язку для юнцевих користувачiв вцiлому.
Спостер^аеться динамiка мережi, своерiдна кла-стеризащя, сервери виступають центрами утворених кластерiв, вiдбуваеться просторове розмiщення компонент мережi в чiтку iерархiчну структуру.
Рис. 3. Схема структуризацп локальноТ lнтернет-мережi. Сервер з'еднаний зi свечами, що е вузлами мережi, ям в свою чергу ребрами з'еднаш з користувачами 1нтернету
Приеднання нових вузлiв диктуеться економiчною вигiднiстю, тобто ресурсними затратами, яю напряму залежать вщ географiчного розмiщення споживачiв. Тому при проектуванш мережi не менш важливим фактором впливу на и ркт е врахування ефективностi по вщношенню цiна/якiсть.
Таким чином, на утворення нових зв'язюв у мережi впливають рiзнi фактори, кожному з яких можна при-своiти свою вагу, а вузлам мережi - певне значення енер-гii, яка залежить ввд способу об'еднання вузлiв у графи.
5. Фiзичнi аналоги росту складних мереж
Дослiджуванi комп'ютерш мережi незмiрно склад-нiшi за кристалiчну систему, однак, розглянутi тут аналоги тдказують одну щлком здiйсненну iдею: знай-ти спочатку для найб^ьш чiтко сформованих мереж вщповщний аналог серед кристалографiчних систем, який таким чином, буде абстрактною, спрощеною, але достатньо наглядною моделлю комп'ютерноi мережь Тодi, на основi «кристалiзащйних» уявлень можна розробити рiзнi способи наглядного графiчного, дина-мiчного зображення росту складноi мережi i розвитку и компонент. Для цього можуть бути залученi двомiрнi або трьохмiрнi моделi росту кристалiв, сферолiтiв, кристалодендритiв i '¿х природних мiнеральних i син-тетичних агрегатiв, якi вибираються в залежносп вiд складностi системи або специфжи задачi.
Аналiз топологи та росту локальних комп'ютерних мереж, яю являються об'ектом наших дослщжень, демонструе '¿х чiтку iерархiчну структуру. Центрами росту та кластеризацп мережi являються сервери, вщ яких географiчно в рiзних напрямках розходяться ка-белi та пiдключаються користувачi.
Аналогiчним чином ввдбуваеться процес криста-лiзацii твердого тша, який починаеться з утворення
кристалiчних зародкiв (центрiв кристалiзацii) i продо-вжуеться в процесi росту '¿х числа i розмiрiв.
При затвердшш система понижуе свою енерпю на величину AfVV , що, однак не вичерпуе всiеi змши енергii. При зародженнi кристалiв виникае границя роздшу мiж твердою i рiдкою фазами, яка володiе енерпею So ( S - поверхня зародюв, о - питома по-верхнева енерпя). Змiна вiльноi енергii для зародка у виглядi кулi записуеться у виглядк
AF = -—лг3тА£, + 4пг2то ,
3 V
тут т - число зародюв, г - '¿х радiус, ДfvV = Рр - Рт - рiзниця вiльних енергiй рщкого i твердого металiв. Критичне значення AFk вiдповiдае зародку з розмiром гк . 1з умови екстремуму функцп AF отримуеться значення критичного радiуса зародка:
= 2оТ5 1
Гк = "О"' АТ ,
Q - тепловий ефект затвердiння на одиницю об'е-
му.
З одного боку, чим менша флуктуащя енергii, не-обхщна для утворення зародка критичного радiусу, тим бiльша ймовiрнiсть його утворення. Згщно з статистичними уявленнями термодинамжи:
Ймовiрнiсть переходу атома з рщко' фази в тверду
при утвореннi зародка Ш2 ~ е кТ , де и - енерпя акти-вацii самодифузii. Швидкiсть утворення зародюв п пропорцiйна до ймовiрностi W складноi поди, яка складаеться з виникнення флуктуацп необхiдного розмiру i переходу атомiв iз рiдкоi фази в тверду: Ш = ■ Ш2.
Виходячи з аналогш мiж процесами кристалiзацii та ростом лояльно' мережi, можна уподiбнити понят-тя критичного радiуса зародку гк до радiуса кластера мережi, а ймовiрнiсть утворення зародка до повно' iмовiрностi реалiзацii графа.
Кристали, що утворюються в процеа затвердiння металу, можуть мати рiзну форму. Часпше в процесi кристалiзацii утворюються розгалужеш або дерево-виднi кристали, що отримали назву дендрипв (рис. 4).
У напрямку вщводу тепла кристал росте швид-ше, нiж в шшому напрямку. Це приводить до того, що спочатку утворюються довп плки - осi першого порядку (I). Одночасно на ребрах осей першого порядку зароджуються i зростають перпендикулярш до них таю ж плки другого порядку(П) i так далi. В кiнцевому рахунку утворюються кристали у формi дендриив.
Причини утворення дендритних форм е рiзнома-нiтними: в одних випадках причиною таких утворень е нерiвномiрний приплив речовини у в'язких рвдинах, в шших - домiшки у розчинах, в треих - швидюсть тепловiддачi. Вiдокремлення тепла, а вщповщно, i рiст кристалу вiдбуваеться штенсившше у вершинах кри-сталу, шж в областi його ребер i граней.
е
Рис. 4. Схема дендритного кристалу (а) i росту дендрилв (б)
За мехашзмом утворення складт мережi повторю-ють в процесi свое! еволюцп рiст дендритних криста-лiв. Вони проходять однаковi стадп зародження i роз-витку: мають свiй початок вщлжу, свiй змiст i форму, виступають як оформленi цiлiснi об'екти, що мають свою iсторiю розвитку.
Таким чином модель структуризованого твердого ила являеться абстрактною, спрощеною, але досить наглядною гомоморфною моделлю складно! мережГ
6. Статистичний пiдхiд до опису складних мереж
Оскiльки випадковий граф мктить велику юль-юсть вершин i ребер, то його юльюсний опис потребуе використання статистичного тдходу [9]. Вершинам графiв приписуеться певне значення енергГ! Е1 , тодi ймовiрнiсть Р, що вершина мае енерпю Е1, визнача-еться з умови максимуму ентропп
S = -£ Р,- 1пР, .
I
При цьому повиннi виконуватися умови нормуван-ня ^ Р = 1, а внутрiшня енергГя и = ^ Ер . В результат приходимо до каношчного розподалу Гiббса
Р, = Z-1 - ехр(-Е,Т), Z = £ ехр(-Е,Т)
статистична сума.
(7)
Згщно з розподiлом Гiббса зростання енергГ! мжро-станiв веде до експоненцшного спадання ймовiрностi !х реалiзащi.
Для бiльшостi реальних складних мереж юльюсть вершин i ребер е змшними величинами, тому для опису таких систем використовуеться великий каношч-ний ансамбль графiв:
Ра задае ймовiрнiсть того, що граф iз змiнним числом ребер (часток) мГстить Ма ребер i знаходиться в а - мжростанГ Статистична сума задаеться виразом
Z = £ е
ь
-(Бь -цМь)/Т
сумування здiйснюеться за всiма мiкростанами, тобто за всiма можливими реалiзованими графами.
Великий канонiчний ансамбль характеризуеться заданими значеннями температури Т i хiмiчного по-тенцiалу ц , а енерпя Еа i юльюсть ребер (частинок) Ма можуть змшюватися.
Можливi рiзнi означення енергГ! графiв: 1. Оскiльки будь-який граф об'еднуе деяку множи-ну вершин, то лопчно присво!ти кожнiй з них певне значення енергГ! Е(к!) , тодi повна енергiя графа виз-начаеться сумою за всiма вершинами:
Е = £ Е(к,).
1=1
2. Якщо присвоювати значення енергГ! не вершинам, а ребрам, то повна енерпя графа визначаеться сумою за найближчими сусщами:
Е = £Е(к,,Ц).
1=1
У найпростiшому випадку, коли функщя, яка задае корелящю мiж вершинами Е(к^Ц) = п8к18к1, е сталою п, генеруеться граф, який зображено на рис. 5, де 8 - символи вказують, що в даному випадку реа-лiзуеться едино можливе з'еднання вузлiв к чи Ц з iншим вузлом.
Рис. 5.
Рис. 6.
3. Енерпя, яка визначаеться властивостями графа. Розмiр мереж^ який визначаеться юльюстю вершин, що входять до !! компонент, е глобальною статистич-ною характеристикою графа. Осюльки частинкам ставляться у вщповщшсть ребра, то ця характеристика зводиться до юлькосп ребер si, якi вхддять в 1 -ту компоненту. Енерпя в цьому випадку Е = ^ Е^), де п - юльюсть компонент графа. 1=1
Завдання оптимiзацii графiв зводиться до змен-шення !х дiаметра d. В цьому випадку треба вико-ристовувати енерпю виду Е = dij , тут сумування
здшснюеться за всiма парами вершин, найменша юль-кiсть зв'язкiв мiж якими дорiвнюе dij. Побудований за цим виразом граф, зображений на рис.6.
Статистика неорiентованих графiв [9] iз фжсова-ною кiлькiстю вершин N що не мають петель, тдпо-рядковуеться великому канонiчному ансамблю, пове-дiнка якого визначаеться енерпею
Е = цМ,
(8)
Р = Z-1 . е-(Еа -ММаУТ
тут ц - хiмiчний потенцiал, а M - юльюсть ребер графа. Використовуючи елементи матриц сумiжностi Ajj = 0;1 кiлькiсть ребер визначаеться виразом
м=iv
i<j
Враховуючи його у стввщношенш для енергп (8), статистичну суму знайдемо зпдно з (7):
ц! A
Z _ ! exp {Ai,j}
T
=П! exp
i<j Ajj =0
mAsL
T
= (1 + e^T )N
де степiнь N = CN _ ■;
N!
визначае кглькгсть пар
2!( N - 2)!
вершин. У результат середню юльюсть ребер знахо-димо за формулою середньостатистичного значення за великим канонiчним розподшом:
<М) _1! Mexp Г-ЦМ
1 dZ = 9(F/T)_
N
T ) Z Э(цД') 3(|I/T) e^T +1
, (9)
Використання масштабовано! змiнноi y _ — i функ-
a
цп n(y) _ yYP(y) переводить умову самоподiбностi (14) в однорiдний розпод^ ймовiрностей:
P(—)= —-Yn(y), (15)
який означае, що зменшення аргументу функцп n(y) в a разiв приводить до факторизацп ймовiрностi випадково! змшно'! x , пiднесеноi до степеня -у .
В гранищ, коли a , y ^ 0 , яка вiдповiдае вщ-сутносп масштабування, n(y) ^ const, а розпод^ (15) набувае степенево! форми, що продемонстровано в (13) для розподшу ймовiрностей випадкового графа.
Таким чином, виходячи iз статистичних закономiр-ностей, яким пiдпорядкованi графи комп'ютерних ло-кальних мереж, продемонстровано, що вони вщносять-ся до систем без масштабування змши характерних величин мереж^ а зростання та переважне приеднання цих безмасштабних складних мереж вщбуваеться за степеневим законом (13).
Вщповщно до останньо! формули, середня юль-кiсть ребер (М) випадкового графа дорiвнюе !х за-гальнiй кiлькостi N , помноженш на ймовiрнiсть реа-лiзацii одного зв'язку 1
m _—=—. (10)
ец/ T +1 V '
Повна ймовiрнiсть реалiзацii графа iз використан-ням (10) набувае вигляду бшомного розподiлу:
P _
_ exp(-E/T) = e
-цМ/T
Ml. \N-M
- = mM (1 - m) .
(11)
Z (1 + e^Tf
Як вщомо з теорп ймовiрностей, у межi безмежно малого значення m = (M)/N << 1 даний розподш набувае стандартно! форми Пуассона:
P = e- М>
ММ
М!
(12)
Незважаючи на малу величину одинично! ймовiр-ностi т, у термодинамiчнiй границi N = N(N -1)/2 середня юльюсть ребер (М) виявляеться скiнченою величиною, яка вдаграе роль масштабу розпод^у Пуассона. В границi, коли (М) , розподiл за ви-падковими графами, що визначаеться корелящями на довiльних масштабах, стае самоподiбним, безмас-штабним i ймовiрнiсть реалiзацi! графа (12) набувае степенево! форми:
p~(M)-Y.
(13)
Останнiй результат отриманий завдяки переходу вщ експоненцiйного розпод^у до степеневого шляхом деформування експоненщально'! функцп [10] 1
exp4(x) _[1+(1 - q) x]+-q,
де [y]+ _ max(0,y).
Степеневi розпод^и важливi тому, що вони опису-ють самоподiбнi системи з вщсутшм будь-яким масштабом змши випадково! величини. Самоподiбний розпод^ ймовiрностей P(x) визначаеться рГвшстю
P(xa) = aYP(x) . (14)
Висновки
Продемонстровано ршт кристалiчного агрегату у вигляд1 графiчноi схеми i побудоваш за кристалогра-фГчними законами моделi i графiчнi схеми розвитку структури локальних комп'ютерних мереж. Таке «кри-сталiзацiйне» моделювання дало можлившть дослщи-ти тополопю i ркт мережевих систем, ввести глобальш характеристики мереж, визначити фактори впливу на динамiку !х росту та розвитку, застосувати статистич-ний тдхщ для юльюсного опису еволюцп змодельова-но! комп'ютерно! мереж^ яка являеться статистичною моделлю зростання та переважного приеднання без-масштабних складних мереж, та визначити степеневий закон ii розвитку.
Лiтература
1. Паачник В.В., 1ванущак Н.М. Дослщження та моделю-
вання складних мереж // Схщно-бвропейський журнал передових технологш. - 2010. - 2/3 (44), с. 43-48.
2. Головач Ю., Олемской О., К. фон Фербер, Головач Т., Мриглод О., Олемской I., Пальчиков В. Складш мережь // Журнал ф1зичних дослщжень. - 2006. - т.10, №4, с. 247-289.
3. Watts D.J., Strogatz S.H. Collective dynamics of "small-world" networks. // Nature. - 1998. - Vol. 393. pp. 440-442.
4. E^s P., Renyi A. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 5, 17(1960).
5. Watts D.J., Strogatz S.H. Nature (London) 393, 440 (1998).
6. Barabasi A.-L., Albert R. Science 286,509 (1999).
7. Barabasi A.-L., Albert R., Jeong H. Physica A 281, 69 (2000).
8. Palla G., Derenyi I., Fakras I., Vicsek T. Phys. Rev. E, 69, 046117 (2004).
9. Park J., Newman M. E. J. Phys. Rev. E., 70, 066117 (2004).
10. Gell-Mann M., Tsallis C. Nonextensive Entropy: Interdisciplinary Applications (Oxford University Press, Oxford, 2004).
M
