CC BY
38
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОПРОФИЛЕЙ ЛЕСНЫХ ДОРОГ
АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ
STATISTICAL MODELS MACROPROFILES FOREST ROADS ARKHANGELSK REGION
Меньшиков А.М., Чернова Е.М. (САФУ, г. Архангельск, РФ) Menshikov, A.M., Chernova, E.M. (NArFU, Arkhangelsk, Russia)
Публикуются методика и результаты статистического моделирования макропрофилей лесных дорог Архангельской области Российской Федерации.
The publication the methodology and results of the statistical modeling macroprofiles offorest roads of Arkhangelsk region of the Russian Federation.
Ключевые слова: лесные дороги, макропрофили, статистические модели
Key words: forest roads, macroprofiles, statistical models
Кафедра промышленного транспорта Северного (Арктического) федерального университета им. М.В. Ломоносова ведет НИР по созданию автоматизированного банка данных лесных дорог Архангельской области. В 2011 г. по методике [1] были определены типологические и классификационные показатели, идентифицирующие лесные дороги как линейные инфраструктурные объекты.
Задачей 2012 г. являлось создание статистических моделей макропрофилей типичных лесовозных магистралей и веток. Для ее решения были собраны и обработаны данные продольных профилей 63 проектов дорог.
Продольные профили лесовозных дорог в разных районах области имеют различные абсолютные отметки по высоте, поэтому для приведения участков в сопоставимый вид и объединения ординат профилей в единую выборку производилось нормирование и центрирование исходных рядов высотных отметок (ординат) по формуле
xt =
X - XJ (1)
с
где ' - индекс дороги;
Х( - значения ординат исходного ряда;
X-1 - среднее значение ординат продольного профиля '-ой дороги;
су - стандартное отклонение.
Возвратный переход от ординат нормированного и центрированного ряда к ординатам исходного ряда (контроль вычислений) осуществлялся по формуле
Хс = хС + X-1. (2)
Значения нормирующих параметров для всех лесовозных дорог сохранены на серверном компьютере кафедры.
Обработка рядов рабочих отметок и разностей смежных уклонов производилась с применением математического аппарата статистической динамики.
Важнейшими условиями для получения корректных результатов являются случайность и стационарность уровней рядов показателей. Контроль соблюдения этих условий осуществлялся применением сериальных критериев (степени случайности) и критерия Дарбина-Уотсона (степени стационарности уровней).
Следует отметить, что проектные (красные) отметки продольных профилей определяются по единой методике, использующей правила и алгоритмы вычисления оптимального высотного положения проектной линии, в т. ч. с применением известных систем автоматизированного проектирования продольных профилей дорог. Они содержат систематический компонент (в современных проектах - сплайны) и случайный компонент в виде белого шума. В этой связи с целью выделения определяющего дисперсию случайного компонента ряд {xt} был разложен на систематическую и случайную составляющие:
~ = x (t) + et, (3)
где x( t) - систематическая составляющая ряда{£г };
et - уровни ряда остатков, включающие ошибки и белый шум.
Для аппроксимации систематической составляющей x(t) использовалась полигармоническая функция Фурье
a N
x(t) = -° + X \_an cosno(t) + bn sinn о(t)], (4)
2 n=i
с периодом измерения Т, равным общему числу дорожных пикетов, и подстраивающимися коэффициентами
1 т í \ 1 т Í \
an = —Xxposnrn(t), bn = —Xxtsinnrn(t) , (5)
Tt=i Tt=1
где a0/2 - среднее значение нормированного и центрированного ряда
& };
n - число гармоник полинома Фурье, n = 1,2,...,N;
t - шаг проектирования макропрофиля (пикетаж, равный 100 м);
о (t) - круговая частота, о (t) = 2nt / T.
Расчеты ординат полигармонической функции x(t) выполнялись для нескольких вариантов, число гармоник окончательно было принято N = 20.
Значения ординат ряда остатков {et} вычислялись как разность между ординатами ряда t} и значениями полигармонической функции Фурье x(t)
с 20-ю гармониками. Однако тесты на статистическое качество ряда остатков^} вначале показали, что ряд {et} не является ни случайным, ни стационарным.
Далее остаточный ряд {et} был дважды подвергнут процедуре декорре-ляции применением авторегрессионных фильтров I порядка
et = Р1 (x)' et -1 + st, (6)
^t = P1(e) ■ -1 + , (7)
где р1( х) - первый коэффициент автокорреляции ряда {х, ); £( - случайные ошибки уровней остаточного ряда {е,}; рр(е) - первый коэффициент автокорреляции ряда {е,}; * - уровни ряда белого шума {£}.
Выполненная фильтрация существенно, до состояния белого шума изменила остаточный ряд {е}, однако эти изменения были известны, а процедура возврата к исходному ряду строго математически определена.
Авторегрессионным фильтрам I порядка соответствует коэффициент усиления спектра дисперсий случайного ряда, определяемый по формуле [2]:
1-1
G (а>,) = 1 - 2 р1совш{ + р1
-1
(8)
Спектр дисперсий указывает на то, в какой степени ряд подчиняется тому или иному основному ритму. Кроме того, важные преимущества спектрального анализа заключаются также в заложенной в его математическом аппарате возможности промежуточного и итогового контроля результатов расчетов [2,3].
Вычисление эмпирической спектральной плотности дисперсии ординат продольного профиля (значений периодограммы) выполнялось по формуле
* т=Т/ 3
) = X (рСоСЫЮ?), (9)
т=0
где рт - коэффициенты автокорреляции ряда белого шума {<^};
С 0 - автоковариация уровней ряда при т = 0, т.е. дисперсия ряда {£}.
Сходящиеся оценки периодограмм (сглаженные спектральные плотности) У I (а() получили по формуле
т = п
Т* (а ) = X (РтС0КпСОЪЩТ ) (10)
т=1
с применением спектрального окна проф. Е. Парзена шириной п =120:
К =
1 -
6 т
п
, п ,
п
211 -■
п
при 0 < т < —;
п
при — < т < п; 2
(11)
Теоретическая спектральная плотность дисперсии ряда остатков определялась обратным переходом от спектральной плотности белого шума по формуле
(а ) = 2^2
1 - 2 р1 (е) сова, + р1 (е) 1 - 2р2 (е)сова, + р2 (е)
Л-1
(12)
Графики спектров дисперсий отметок макропрофилей лесовозных магистралей на всех последовательных этапах расчетов представлены на рис.1.
3
г
/ы.
м=/100 м
0 ^71 "2" 71 ^71 Л
периодограмма -сглаженный спектр -теоретическая спектр, плотность
Рисунок 1 - Спектры дисперсий макропрофилей лесовозных автомагистралей:
а - остаточного ряда{е}; б - ряда ошибок{^}; в - ряда белого шума{£}
Список использованных источников
1. Чернова Е.М., Меньшиков А.М. Методика создания статистических моделей лесных дорог Архангельской области [Текст] / Современные проблемы и перспективы рационального лесопользования в условиях рынка: материалы Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов. - СПб: СПбГЛТУ, 2011. - С.343-345.
2. Меньшиков А.М. Технологический анализ и моделирование процессов лесозаготовок методами статистической динамики [Текст] / А.М. Меньшиков. Дисс. канд. техн. наук. - Архангельск: АГТУ, 2007. - 180 с.
3. Кендэлл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды [Текст] / Пер. с англ. Э.Л. Пресмана и В.И. Ротара. - М.: Наука, 1976. - 736 с.
