CC BY
37
УДК: 521.937
С.Г. Валеев1, В.В. Лапаева2, М.В.Кутленков2, Ю.А. Нефедъев2
1 Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, [email protected] 2Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгардта, Казань, [email protected]
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЯЕМОСТИ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ШИРОТЫ
В работе рассматривается применение адаптивных динамических регрессий для описания изменений широт. Ключевые слова: полигармоническая модель, изменяемость широты, динамическая регрессия.
Введение
Само явление изменяемости географических широт изучается с конца XIX века. Было обнаружено, что колебания значений широты имеют периодический характер, причем основными периодами являются 14-месячный период Чандлера и годовой период, имеющий четкую геофизическую интерпретацию.
Одной из актуальных задач в этой области является математическое описание изменяемости широты (динамики ее значений во времени). Детерминированная математическая модель позволяет прогнозировать значение изучаемой характеристики на будущие моменты времени. Попытки построения таких моделей предпринимались неоднократно, но, к сожалению, их прогностическая ценность оказывалась невысокой. Развитие статистических методов моделирования временных рядов (ВР) позволяет надеяться на успешное применение статистических моделей для решения рассматриваемой задачи как задачи описания изменяемости географической широты во времени.
В отличие от детерминированных, статистические (регрессионные) модели не остаются постоянными по структуре и значениям параметров на весь период использования. После получения прогноза на шаг или несколько шагов дискретности в будущее модель «обновляется» по текущим значениям широты.
Развиваемый в настоящее время подход динамического регрессионного моделирования (ДРМ - подход) (Валеев, 2001) позволяет строить прецизионные модели ВР (Kuzin et al., 2010; Соболев и др., 2010; Валеев и др., 2010). Точность прогнозирования таких моделей в несколько раз выше, чем при использовании стандартных методик АРСС и АРПСС (авторегрессия - скользящее среднее, авторегрессия - проинтегрированное скользящее среднее).
ДРМ-подход является частным случаем АРМ-подхода (подхода адаптивного регрессионного моделирования) (Валеев, 2001). При его применении формируется комплексная модель ВР, состоящая из набора оптимальных математических структур, каждая из которых описывает зависимость «остатков» своей ступени от времени. Назовем такую модель адаптивной динамической регрессией (АДР-моделью), имея в виду, что основным аргументом является время, а окончательный вид АДР формируется в результате вычислительной адаптации к свойствам остатков той или иной ступени и к нарушениям условий применения метода наименьших квадратов (МНК).
Целью исследований является расширение представлений об изменяемости географической широты на основе применения ДРМ-подхода к одномерным временным рядам ее значений. При этом мы надеемся выявить
устойчивую полигармоническую структуру, содержащую кроме двух основных гармоник другие, поддающиеся объяснениям. Важным практическим результатом может быть обнаружение прогностической ценности модели.
Моделирование изменяемости географической широты
Методика обработки данных. Математические алгоритмы обработки данных достаточно подробно рассмотрены в работе (Соболев, Валеев, Фасхутдинова, 2010).
Считается, что условно ВР есть дискретный процесс У(1), наблюдаемый в равноотстоящие моменты времени
1, 1,,.., 1:
V V 5 п
Y(t) = f(t) + 9(t) + £ (tX t= v V- ^
(1)
где У^), У2(1), ..., УО^) - временной ряд наблюдений случайной функции; ОД - неслучайная функция тренда; ф(1) - случайная с элементами регулярности функция; е(1) -нерегулярная случайная компонента (ошибка, в предельном случае «белый шум»).
Анализ данных. Выполняется проверка данных на стационарность ВР по двум критериям (непараметрическому критерию сдвига и критерию рассеивания). На уровне значимости а=0.05 принимаются гипотезы о том, что в реализации присутствует сдвиг среднего вниз и о равенстве дисперсий обеих групп. В целом можно считать, что ряд является стационарным.
При фрактальном анализе значение показателя Херста Н оказалось равным 0.568, что означает персистентность (трендоустойчивость) ряда или, если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Чем ближе Н к 0.5, тем более зашумлён ряд и тем менее выражен его тренд. Можно заключить, что ВР имеет слабую трендоустойчивость.
Центрирование данныых. Сначала делается попытка описать динамику данных алгебраическим полиномом из некоторого множества возможных. При статистически незначимом значении коэффициента корреляции Я эти действия прекращаются, и данные центрируются обычным
способом ( у (*) = 20.28628).
Спектральный анализ (СА). Для центрированных данных СА выполняется с целью вычисления спектральных мощностей всех гармоник. Из этого набора выбирается примерно 95% для запуска на следующую процедуру.
Выделение полигармонической структуры. С помощью процедуры «Пошаговая регрессия» или «Случайный поиск с адаптацией» для выбранного уровня значимости а ищется оптимальная по критерию ттБ (5 - стандартная ошибка аппроксимации) полигармоническая структура, в
С 20 40 Ю 6С 100 133140193190 Ж1223 240 260250 300323 340 360 З&З 400-23 440 460450500 523 540 56С- 663 600623 640 Рис. 1. Графики гармонической модели и исходным данныгх.
которой все гармоники статистически значимы и не коррелируют друг с другом. Численные эксперименты показали, что из ряда значений а (0.05, 0.1, 0.2, 0.3) в качестве оптимального можно предварительно использовать значение а=0.2. В этом случае (показано ниже) график прогноза наиболее приближен к графику наблюдений.
По остаткам после центрирования методом пошаговой регрессии при а=0.2 получена следующая полигармоническая структура, описывающая регулярную функцию ОД в общем выражении (1):
У© = 0,019268* Бт((2*п*1) / 10 + 55,963) + 0,0018832* бш((2*п*1) / 14 + 20,067) + 0,0015616* бш((2*п*1) / 17 -44,325) + 0,010277* бш((2*п*1) / 18 + 262,22) + 0,084241* бш((2*п*1) / 20 + 11,702) + 0,022923* бш((2*п*1) / 23 + 192,9) + 0,021983* Бт((2*п*1) / 29 + 136,6) + 0,014387* бш((2*п*1) / 30 + 154,1) + 0,0074437* бш((2*п*1) / 44 + 126,51) + 0,010269* бш((2*п*1) / 59 + 124,46) + 0,0059078* бш((2*п*1) / 73 + 135,42) + 0,0070457* бш((2*п*1) / 93 + 132,05) + 0,014105* бш((2*п*1) / 121 + 253,14) +
+ 0,0076755* бш((2*п*1) / 218 - 48,06). (2)
Для структуры (2) оценками точности аппроксимации и прогнозирования могут служить соответственно средние квадратические ошибки (СКО) 5=0.120 и 5Д=0.143, где 5Д определяется по 10%-ой от общего ряда наблюдений конечной части наблюдений.
На рисунке 1 представлены графики исходных данных и центрированных значений широты, вычисленных по формуле (2). По оси абсцисс откладывается время в виде номера наблюдений с дискретностью 0.05 года; по оси ординат - значение широты в долях градуса. Наглядно видно, что структура (2) удовлетворительно описывает периодические колебания на всем исследуемом промежутке. Но, остаются заметные расхождения, которые на следующем шаге мы попытаемся описать моделью АРСС.
Описание случайной функции с элементами регулярности. Воспользуемся моделью АРСС, которая для нашего случая будет иметь порядок (6,0) и следующий вид:
У© = 1,7295*У(Ы) - 1,3845*У(г-2) + 0,99176*У(«) -0,56227*У(1-4) + 0,31749*У(1-5) - 0,26747*У(1-6) + е©. (3)
Значения СКО 5=0.020 и 5Д =0.053 свидетельствуют о резком повышении как точности аппроксимации (в 7 раз), так и, самое главное, точности прогнозирования (в 3 раза).
Рис. 2. Графики модели и исходных данных.
Комплексная модель. Оптимальная при заданных условиях АДР - модель включает среднее, полигармоничес-кую структуру из 14 гармоник (2) и АРСС-структуру (3):
У© = 20.28628 + (2) + (3) + е(1), (4)
где е(1) - желательно, «белый шум»; его свойства будут изучены чуть позже.
На рис. 2 представлены графики наблюдений и значений широты, полученных по модели (4). По оси абсцисс, как и на рис. 1, время, по оси ординат - значения широты.
Судя по графикам, применение АРСС - модели обеспечило практически идеальную аппроксимацию в принятом масштабе представления.
Оценка прогностических свойств модели. На рисунке 3 представлены графики, построенные для 10%-ого интервала прогнозирования по наблюдаемым значениям и значениям, вычисленным по модели (4).
Судя по графикам (Рис. 3), модель (4) обеспечивает хорошее совпадение прогноза и наблюдений на 5%-ом интервале от общей длины анализируемого ВР или на 2.1 года вперед. При включении в модель только двух основных гармоник график будет иметь вид, показанный на рис. 4.
Диагностика остатков. Представляет интерес рассмотреть свойства остатков е(1), выявленные модулями
0 2 4 6 & 10 1214 1618 2022 24 26 28 30 32 34 3638 40 42 4446 4850 5254 56 58 60 62 64 66 68 7072 Рис. 3. График прогноза по комплексной модели (прерыгвистая линия) и наблюдаемыгх данныгх (сплошная линия).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 16 20 22 24 26 28 33 32 3^ 36 38 404 446 48 50 52 54 56 58 60 62 64 ЄЄ63 70 72 Рис. 4. Графики прогноза на 10% и исходных данных.
УДК: 622.276:552.54
Р.С. Хисамов1, Р.В. Давлетшин2, P.P. Минебаев3
]ОАО «Татнефть», Альметьевск, [email protected] 2ОАО «Татойлгаз», Альметьевск, [email protected] 3ЗАО «Тaтex», Альметьевск
ОСОБЕННОСТИ ПОИСКА, ОСВОЕНИЯ И ПРОБНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЗАЛЕЖЕЙ НЕФТИ В КАРБОНАТНЫХ КОЛЛЕКТОРАХ РЕПЕРА «ТУЛЬСКИЙ ИЗВЕСТНЯК» НА ЗАПАДНОМ СКЛОНЕ ЮЖНО-ТАТАРСКОГО СВОДА
В статье представлены основные результаты проведенных работ, дана геолого-промысловая характеристика, определены основные особенности поиска, освоения и пробной эксплуатации залежей нефти в карбонатных коллекторах репера «тульский известняк» на западном склоне ЮТС на примере Кузайкинского (ОАО «Татойлгаз») и Онбийского (ЗАО «Татех») месторождений.
Ключевые слова: Южно-Татарский свод, Кузайкинское месторождение, Онбийское месторождение, тульский репер, карбонатный коллектор.
На месторождениях, расположенных в тектоническом плане на западном склоне Южно-Татарского свода (ЮТС) в пределах Акташско-Ново-Елховского (1-А-в) и Черемша-но-Ямашинского (1-А-б) валов, перспективы нефтеносно-
сти пород-коллекторов тульских отложении являются наиболее высокими. Об этом свидетельствует открытие ряда залежеИ нефти в отложениях репера «тульскиИ известняк» с промышленными запасами нефти на КузаИкинском,
Окончание статьи С.Г. Валеева, В.В. Лапаевой, М.В.Кутленкова, Ю.А. Нефедьева «Полигармоническая модель изменяемости географической широты»
библиотеки В2 пакета. По критерию х2 остатки признаны нормально распределенными; их математическое ожидание примерно равно нулю; фиксируется некоторое гете-роскедастичность, но она порождается шестью аномальными точками в пределах до 7 сигма; критерии Дарбина-Уотсона равен 1.4, что приближенно означает отсутствие авторегрессии или независимость ошибок.
Анализ полигармонической структуры. Полученная модель (4) может рассматриваться как модель, обеспечивающая устоИчивыИ прогноз значении широты на 2 года вперед при непрерывном обновлении ее коэффициентов. Однако остается открытым вопрос об устоИчивости ее регулярноИ части, обеспечиваемоИ в основном полигар-моническоИ структуроИ; после выявления стабильных гармоник помимо двух основных необходимо дополнительно оценить их стационарность во времени.
Для анализа устоИчивости полигармоническоИ структуры ряд наблюдениИ был разделен на три примерно равные части; для каждоИ из них определялась при а=0.2 оптимальная структура, включающая полигармонику. Общими для трех частеИ оказались гармоники с периодами (в единицах 0.05 года) 6-7, 10, 12, 13-14, 20, 24 или в долях года: 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 1.0, 1.2.
Заключение
Полученные результаты подтверждают перспективность применения для описания изменениИ широт так называемых адаптивных динамических регрессиИ, впервые предложенных в работе (Валеев, 2001) и развиваемых в настоящее время. Их достоинствами по сравнению с традиционными подходами к анализу временных рядов, в частности, к анализу изменяемости географическоИ широты, являются: расширение представлениИ о структуре математическоИ модели, описывающеИ динамику, выделение устоИчивых во времени гармоник колебаниИ, по-
вышение точности прогнозирования изменений в несколько раз на некотором интервале времени вперед, что может иметь практические последствия.
Литература
Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. 2-е изд. Казань: ФЭН. 2001. 296.
Kuzin S.P., Tatevian S.K., Valeev S.G., Fashutdinova V.A. Studies of geocenter motion using 16-years DORIS data. J. Advances in space research. 46. 2010. 1292-1298.
Соболев Г.А., Валеев С.Г., Фасхутдинова В.А. Мультигармо-ническая модель сейсмичности Камчатки. Физика Земли. №12. 2010. 3-18.
Валеев С.Г., Кузин С.П., Татевян С.К., Фасхутдинова В.А. Статистическое моделирование временных рядов изменений координат геоцентра. Геодезия и картография. №10. 2010. 9-14.
S.G. Valeev, V.V. Lapaeva, M.V. Kutlenkov, Yu.A. Nefed’ev. Polyharmonical model mutability of latitude.
This article examines the use of adaptive dynamic regressions describing the change latitudes.
Key words: polyharmonical model, mutability of latitude, dynamic regressions.
Султан Галимзянович Валеев
Зав. кафедроИ прикладноИ математики и информатики УлГТУ, д.ф.-м.н., профессор.
Ульяновск, ул. СеверныИ венец, 32. Тел.: (8422) 43-91-18.
Кутленков Михаил Вячеславович, аспирант
Валентина Васильевна Лапаева, с.н.с.
Юрий Анатольевич Нефедьев, д.ф.-м.н., профессор, директор АОЭ.
Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгард-та. Республика Татарстан, ЗеленодольскиИ р-он, ст. Обсерватория. АОЭ. Тел. (84371) 6-55-75.
