CC BY
19
УДК 519.246.8
С. Г. В А ЛЕЕВ, С. В. КУРКИНА
РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗЕМНЫХ СУТОК
Обработаны данные изменения длительности земных суток за промежуток времени 1995-2004 гг. с целью построения моделей, описывающих динамику поведения этого ряда за данный период, и крат-косрочиого прогнозирования на основе ДРМ-подхода.
Введение
Модели изменения продолжительности суток позволяют прогнозировать не только длительность суток, но и изменение средней скорости вращения Земли. Как известно, увеличение длительности суток связано с уменьшением скорости вращения.
Для обработки рядов использовался подход динамического регрессионного моделирования (ДРМ), реализованный в виде программного продукта — автоматизированной системы АС-ДРМ.
Множество алгоритмов ДРМ включают алгоритмы конструирования аппроксимаций, оценивания и структурной идентификации; кроме того, используются процедуры формирования как критериев качества аппроксимаций, так и аналитических и графических критериев выполнения условий применения классических схем регрессионного анализа - метода наименьших квадратов (РА-МНК) и вычислительных процедур моделирования временных рядов
т.
Описание ДРМ-подхода
Общая схема исследования динамики такова [1, 2]: на первом этапе выделяется тренд, обычно в виде
Г=А +В{ (1)
или производный от данного, полученный линейным преобразованием.
Второй этап предполагает исследование остатков тренда на стационарность и выявление периодических компонент. Стационарность в остатках от выделения тренда предполагает следующие условия: постоянство среднего значения, определяемое непараметрическим критерием сдвига и критерием инверсий; постоянство дисперсии, определяемое критерием Кокрена и критерием рассеяния и собственно проверка на стационарность по критерию согласия Пирсона. Существование периодических компонент в анализе временных рядов стандартно определяется при помощи автокорреляционной функции,
С. Г. Валеев, С. В. Куркииа, 2005
Фурье-анализа и других методов. Однако в последнее время все большую популярность приобретает метод вейвлет-анализа (АУТ).
Для проведения Фурье анализа используется стандартная оценка спектральной плотности
1
Ъ (/к)
АТ-А
с коэффициентами Фурье:
(2)
/ / 2 тс к
(3)
/=0
Как известно, преобразование Фурье не локализовано во времени, но предельно локализовано в частотной области. В противоположность этому в вейвлет-анализе используются ядра преобразований, размеры которых согласованы с масштабом изучаемых характеристик процесса. Основная идея \УТ отвечает специфике рядов динамики с эволюционно неустойчивыми основными характеристиками, такими как среднее значение, дисперсия, периоды несущих гармоник, их амплитуды и фазы.
Для построения \¥Т, позволяющего не только отслеживать наличие периодических компонент, но и оценивать стационарность колебания, использовался вейвлет Морле - плоская волна, моделированная гауссианой,
у/ (I) = е 2 • е
/2я/
(4)
дающий результаты, наиболее согласованные с терминами Фурье-анализа.
Третий этап - выделение полигармонической компоненты:
к
1=1
Т
(5)
Несущие гармоники 7} определялись в предыдущем пункте, амплитуда Ах и фаза <р,- - методом наименьших квадратов (вариант, основанный на преобразовании Хаусхолдера) с использованием линейного преобразования. Значимость вклада гармонической компоненты определялась по /-статистике для амплитудной составляющей.
Остаточные колебания после третьего этапа сглаживаются либо авторегрессионой моделью подходящего порядка, либо методами мартингал ьной аппроксимации (или последовательным применением этих двух подходов). Выбор порядка АР-модели основывался на информационном критерии Акайка.
Из формул мартингал ьной аппроксимации для анализа временных рядов наиболее подходящей можно считать функцию следующего вида:
У=ах( 1 -/;\х\ % (6)
где а, Ь, с - некоторые коэффициенты.
Программное обеспечение ДРМ
Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы: графическое представление и описание поведения временного ряда; выделение и удаление неслучайных составляющих временного ряда, зависящих от времени; выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация); исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих; построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка её адекватности; прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом [2].
Разработанное программное обеспечение ДРМ предназначено для анализа выборок, полученных в результате регистрации показателей изменяющихся во времени процессов (временных рядов).
Программа позволяет:
- создавать файлы данных, модифицировать их (редактировать данные, добавлять/убирать столбцы и строки ТЭД), сохранять на диск для последующей работы;
- исследовать выборки: графически; спектральным анализом; вейвлет-анализом; по автокорреляции; корреляции; кросс-корреляции;
- строить модели: простую регрессию (17 парных зависимостей), множественную регрессию (метод Хаусхолдера), гармоническую модель, авторегрессиониую модель, модель, основанную на методах диффузионного анализа;
- осуществлять проверку соблюдения условий РА после применения МНК;
- проводить анализ и прогнозирование по комплексной модели;
- сохранять остатки для дальнейшей работы с ними.
Результаты обработки ряда
В качестве исходных данных были взяты данные изменения продолжительности суток (Length of day - LODX вычисленные International Earth Rotation Service (IERS) с дискретностью 1 день (eopc04) за 1995-2004 годы (3653 наблюдения).
На первом этапе анализа данных в рамках ДРМ-подхода проверяемая гипотеза о стационарности ряда была отвергнута с вероятностью 95%.
На втором этапе предполагалось либо выделение трендовой составляющей, либо построение гармонической модели. Построена модель квадратичного тренда с коэффициентом корреляции R=0,8], являющаяся оптимальной из 17 построенных зависимостей при уровне значимости 0,05 по F-статистике: = 3,84; Ры = 3470,64.
На третьем этапе исследовались график автокорреляции (рис. 1) и рассчитывался коэффициент DW=0,0084; сделан вывод о возможном присутствии периодических составляющих в остатках.
Используя спектральный и вейвлет-анализы остатков, выделены 32 гармоники. Несущие гармоники с максимальными спектральными плотностями: гармоники с периодами 365 дней, 183, 13,6; 28, 1217, 9,1; 63, 91. Среднеквадратичное отклонение (СКО) модели равно 0,00035. На рис. 2 показаны график остатков от выделения тренда и график модели, полученной в результате применения к ряду спектрального анализа. Корреляционная матрица гармоник с заданными периодами показывает, что корреляция между гармониками незначительная. Изменение сценария обработки ряда, то есть первоначальное выделение гармонической составляющей, затем тренда, не приводит к лучшему результату.
Проведённый вейвлет-анализ позволил выявить гармонику с периодом 422 дня. Включение в модель гармоники с этим периодом уменьшает СКО = 0,000345.
О 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800
Рис. 1. Автокорреляция ряда изменения продолжительности суток
0.001
О.С'01
0.001
0.001
•0,002
500
1 ООО 1 500 2 ООО 2 500
3 ООО
3 500
О 2 4 6 8 10 12 14 16 1В 20 22 24 26 28
Рис. 4. Сопоставление прогнозируемых в ДРМ значений средних суток и реальных значений
1 ооо
500 2 ООО 2 500 3 ООО
3 500
Рис. 2. а) остатки от выделения трендовой составляющей; б) гармоническая модель ряда
Рис. 5. Динамика средних суток за 2004 год
500
1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500
а
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500
/Г*
о
Рис. 3. а) график ЬСЮ; б) комплексная модель 1ХЮ
При сравнении с результатами, полученными в [3]. нами выделены гармоники с периодами от 1 до 12 месяцев, обусловленные переносом воздушных масс из одного полушария в другое, с периодами больше года: 1.67 года и 3,33 года, связанные, по всей видимости, с изменениями, происходящими в земной коре, и солнечными вспышками, что предстоит исследовать.
Остаточные колебания сглаживаются либо авторегрессионной моделью подходящего
порядка, либо методами мартингальной аппроксимации (или последовательным применением этих двух подходов). Построена модель авторегрессии второго порядка с СКО модели 0,00005.
Применение метода мартингальной аппроксимации к остаткам не улучшает качество модели.
Таким образом, для ряда получилась модель как сумма квадратичного тренда, периодического тренда, авторегрессии (рис. 36). На рис. За представлен график изменения продолжительности средних суток за период с 1995 г. по 2004г.
На рис. 4 представлены результаты прогнозирования на 31 день (01.01.2005 -31.01.2005) и наблюдаемая за этот период продолжительность суток.
В модуле прогноза по комплексной модели строится прогноз только для 20 значений, далее значения прогноза резко увеличиваются (полученные значения сравнивались с данными с 01.01.2005 по 20.01.2005); последующие значения не соответствуют реальным данным. Этот модуль АС-ДРМ требует доработки и дальнейшего тестирования.
Проанализирована динамика изменения длительности суток за 2004 год. На графике (рис. 5) выделяются характерные колебания с периодом полгода, год, а также месяц и полмесяца.
Это подтверждается проведённым спектральным анализом, выделены гармоники с пе-
риодами 13,6; 28; 9,1; 61 день. По первым трём гармоникам в [3] высказывается предположение о воздействии приливных колебаний на динамику средних суток. Другие выделенные гармоники обусловлены сезонными изменениями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате обработки ряда выделена оптимальная по критерию минимума СКО модель, описывающая д и н а м и ку п р о д о л ж ите л ь н о сти земных суток. Построен прогноз поведения ряда на 3 I день. Выявлена необходимость модификации программного обеспечения.
На сегодняшний день ведётся работа по дальнейшему улучшению визуального представления информации в программе, в том числе графиков. Кроме того, обработаны несколько рядов геофизических характеристик [4], таких как данные изменения координат Северного полюса, изменение скорости вращения, а также индексы солнечной акгивности; проанализирована взаимозависимость этих характеристик при сдвиге временных серий относительно друг друга на некоторый временной промежуток: получены некоторые интересные результаты.
В перспективе планируется обработка данных по динамике барицентра системы Земля-Луна и данных по сейсмической активности Земли с целью установления зависимости, моделирования динамики изменения рядов и прогноза.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - Казань: ФЭН,
2001.-296 с.
2. Валеев, С. Г., Сергеев, Е. С. Алгоритмическая реализация подхода динамического регрессионного моделирования // Труды междунар. конф. «Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации)). - Ульяновск: УлГТУ, 1999, Т. 3. - С.58-62.
3. Сидореиков, Н. С. Природа нестабильно-стей вращения Земли // Природа. - 2004. -№ 8. ЬНр:/Ау\у\у. ibmh.msk.su/vivovoco/VV/JOUR
N АШ АТЦ Я Е/0 8 04/Ш БТ АВ ЬЕ. НТМ
4. Валеев, С. Г., Куркина,С. В., Михайлова, А.И. О применении динамического регрессионного моделирования для обработки некоторых геофизических и гелиофизических характеристик // Труды междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроин-форматика в науке и технике». - Ульяновск:
УлГТУ, 2005, Т. 2. - С. 22-24.
Валеев Султан Гсиишзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет статьи и три монографии в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.
Куркина Светлана Владимировна, аспирантка кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ.
