CC BY
40
Статистические характеристики генераторов псевдослучайных сигналов на основе систем Лоренца, Чуа и Дмитриева-Кислова, реализованных над конечным полем Галуа
С.С. Логинов, М.Ю. Зуев
Казанский национальный исследовательский технический университет
им. А.Н. Туполева
Аннотация: Рассмотрены статистические характеристики и результаты тестов FIPS 140-2 нового класса генераторов псевдослучайных сигналов, построенных на основе модифицированных систем Лоренца, Чуа и Дмитриева-Кислова над конечным полем Галуа. Получены оценки уровней боковых лепестков корреляционных функций сигналов, а также гистограммы распределений вероятностей формируемых чисел. Получены оценки соответствия двоичных последовательностей, формируемых на основе систем требованиям теста FIPS 140-2 при вариации параметров системы. Результаты работы могут быть использованы при построении систем связи с широкополосными сигналами, моделирования и криптографии.
Ключевые слова: динамический хаос, радиоэлектронная динамическая система, статистическая характеристика
I. ВВЕДЕНИЕ
Многие физические явления можно в той или иной мере описать как хаотические процессы. Динамические системы с хаотическим поведением используются в радиотехнике и телекоммуникациях как для описания радиоэлектронных схем [1], так и в качестве новых носителей информации [2]. Нелинейные радиоэлектронные устройства и системы характеризуются большим разнообразием регулярных и хаотических мод. Поэтому одним из перспективных приложений нелинейных систем с хаотической динамикой является формирование псевдослучайных сигналов с требуемыми статистическими характеристиками в системах связи, моделирования и криптографии. В частности, генераторы хаоса используются для создания последовательностей псевдослучайных чисел. В радиотехнике хаос может применяться для модулирования несущей при создании широкополосных сигналов цифровыми методами (на программируемых логических интегральных схемах или процессорах).
В отличие от шума, который является случайным процессом, динамический хаос описывается детерминированными системами уравнений. Хаотические системы чувствительны к начальным условиям, и малейшие их изменения могут привести к колоссальным различиям.
В настоящее время достаточно широко исследованы нелинейные динамические системы Лоренца, Чуа, системы фазовой автоподстройки частоты, системы связанных генераторов, кольцевые автоколебательные системы Дмитриева-Кислова, генераторы с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова, системы на основе элементов задержки с сумматорами по модулю, нелинейные отображения Бернулли, Хенона, Лози с хаотической динамикой [3,4].
Формирование псевдослучайных сигналов с требуемыми в системах связи, моделирования и криптографии статистическими характеристиками является наиболее интересным и важным аспектом применения хаотических систем.
Целью данной работы является синтез новых генераторов псевдослучайных сигналов на основе систем Лоренца, Чуа и Дмитриева-Кислова, а также оценка статистических характеристик формируемых ими последовательностей требованиям, предъявляемым к генераторам случайных и псевдослучайных последовательностей и требованиям тестов Е!Р8-140-2.
II. МЕТОДЫ И ОГРАНИЧЕНИЯ
В процессе практической реализации систем на элементах программируемой логики важным является использование более простых форматов представления данных с наименьшим возможным числом разрядов. Это могут быть форматы с фиксированной запятой, а также целые числа. В последнем случае система, представленная вместо арифметики с плавающей запятой в целочисленном формате, полностью теряет связь с исходной динамической системой. На основе некоторой первоначальной системы формируется новая система, в которой все операции выполняются над числами в полях Галуа соответствующей размерности. В данной работе при представлении чисел в формате unsigned integer 16 и замене арифметических операций на операции над полем Галуа GF (216).
В качестве первой исходной динамической системы, которая подвергается модификации, в работе была выбрана динамическая система Лоренца [3]:
' хм = X +1 (a- x + a- y ),
<Y+1 = Y + t(r - хг + y + хi - Zi), (1)
Zi+\ = Z, + t(b - Zl + Xl - Y);
где t - шаг интегрирования; r, a , b - параметры системы, а все операции в уравнениях производятся над полем Галуа.
Вторая исследуемая система была получена на основе исходной системы Чуа
' X г+1 = Хг +1 (a(h( Хг) + Y)),
<Y+! = Yi +1(Хг + Y + Zi), (2)
Z+1 = Zi +1 (b - Y);
где t - шаг интегрирования; a, b - параметры системы, а все операции в уравнениях производятся также над полем Галуа; h(Хг)- определяет
J
характеристику нелинейности используемой в системе. При исследовании нелинейность к( Xi) имела характеристику, состоящую из трех участков:
h( хг) =
c1 • Xi + c1 + c2, Xi <N/2
c1 • Xt + c2, Xt > N (3)
c1 • X,.; N/2 < X,. < N
где с1, с2, и N - параметры системы.
Третья система была получена на основе системы Дмитриева-Кислова
'x,.+1 = X, + (/ / T)(X, + M • Zt • 2Zi),
YM = Уг +1(X, + Z, • ¥г), (4)
ZM = Zt +1(X • Y + Zt • Q);
где t - шаг интегрирования; T, M , Q - параметры системы.
В работе анализируются фазовые портреты, гистограммы формируемых последовательностей, авто- и взаимно-корреляционные функции сигналов и их соответствие тестам FIPS 140-2.
Равномерность распределения оценивается по критерию х2 степени согласованности теоретического и статистического распределения
х 2 =у (m - прг )2 (5)
1=1 npt
Важнейшими характеристиками бинарных хаотических последовательностей являются их автокорреляционные функции (АКФ), взаимно-корреляционные функции (ВКФ).
Автокорреляционные функции сигналов являются характеристиками, показывающими наличие внутренних связей в них и имеют первостепенное значение при практическом применении последовательностей псевдослучайных чисел для передачи информации. Поэтому в работе акцент делается на оценке апериодических автокорреляционных функций (6) и взаимнокорреляционных функций (7) полученных кодовых последовательностей.
1 N-1
P(m) = П2Х<
a a
i t-m
a i=o
(6)
Pak (m) =
N-1
a,r
a,
akÄt-m , m ^ 0,
l\\ t=0 1 N+m-1
Zah ;a,*; m, m < 0,
(7)
i t=o
где в (6) p(m) - апериодическая АКФ кодовой последовательности, {a0,ab...,aN-1}, характеризующая схожесть последовательности со своей копией сдвинутой на m позиций, в (7) ра к1 (m) - апериодическая ВКФ кодовых
последовательностей {ak,0,ak,b...,ak,N-1} и {ai,0,ai,b...,a i,N-1} двух сигналов, характеризующая степень сходства первой последовательности со сдвинутой на m позиций репликой второй [5].
Другим, не менее важным показателем псевдослучайности, полученных последовательностей, применяемым многими авторами, являются тесты FIPS 140-2 предложенные Американским Национальным Институтом Стандартов и Технологий описанные в [6].
Тесты FIPS 140-2 используют следующие проверки:
1. Monobit Test состоит в подсчете количества нулей и единиц в последовательности фиксированной длинны N и считается пройденным в случае попадания количества как нулей, так и единиц в требуемый интервал, приведенный в таблице № 1.
2. Poker Test заключается в проверке независимости и равномерности распределения, состоит в объединении последовательно стоящих 4-х битных последовательностей и подсчете по формуле:
16 16
N =-У f (i)2 - 5000
5000 tT
(8)
*
Далее проверяется попадание значения в требуемый интервал в таблице № 1.
3. Run Test состоит в подсчете количества последовательностей рядом стоящих последовательностей '010' и '101' для Run Test - 1, тест считается пройденным при попадании в интервал приведенный в таблице № 1. Аналогичные требования существуют и для других размерностей типовых последовательностей.
4. Long Run Test состоит в подсчете последовательностей количества 26-последовательно стоящих единиц и нулей. Тест считается пройденным при отсутствии последовательностей.
Таблица № 1
Требования к тестам FIPS 140-2
Тест Требуемый интервал для 20000 бит
Monobit Test 9.725 ~ 10.275
Poker Test 2.16 ~ 46.17
Run Test - 1 2493.6 ~ 2506.9
Run Test - 2 1244.9 ~ 1253.8
Run Test - 3 527 ~723
Run Test - 4 240 ~384
Run Test - 5 103 ~209
Run Test - 6+ 103 ~209
III. РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНОК ХАРАКТЕРИСТИК На рис. 1 приведены временные реализации Х,У,7 модифицированной динамической системы и фазовый портрет.
Рис.1. Временная реализация псевдослучайного сигнала построенного на базе системы Лоренца (а, Ь, с) и фазовый портрет (ё) На рис.1 а, Ь, с представлены графики временной реализации трех компонент сигнала модифицированной динамической системы. Из рис.1 ё видно, что фазовый портрет системы достаточно равномерно заполнен фазовыми траекториями, что подтверждает вывод о сложности режима системы построенной над полем Галуа. Необходимо отметить, что полученные режимы работы системы, как и следовало ожидать, имеют мало общего с исходными динамическими системами. Аналогичные портреты были получены и для систем (2) и (4).
Для оценки равновероятности появления на выходе генераторов 16 битных чисел в работе оценены гистограммы для всех компонент хаотических сигналов систем (1), (2), (4). На рис.2 приведена гистограмма одной из компонент реализации хаотического сигнала системы (1).
200 -150 -100 -50 -
о -
-4-3-2-10 1 2 3 4
хЮ4
Рис.2. Гистограмма распределения сигнала Х системы Лоренца.
При анализе распределений компонент реализации хаотического сигнала была проведена оценка равномерности распределения по критерию X2 (5). В соответствии с наложенными ограничениями получившиеся гистограммы сигналов систем (1), (2) и (4) соответствуют равновероятному закону появления 16-битных чисел с доверительной вероятностью не менее 0,95.
В работе выполнен анализ апериодических АКФ и ВКФ кодовых двоичных последовательностей, результаты которого представлены в таблице № 2. Получены оценки максимального и среднего значений боковых лепестков АКФ и ВКФ.
Таблица № 2
АКФ и ВКФ двоичных последовательностей
АКФ ВКФ
Вид системы Лоренца Чуа Дмитриева-Кислова Лоренца Чуа Дмитриева-Кислова
X RmaxVN 5,5906 4,7730 4,4194 4,77 5,01 4,92
Y RmaxVN 4,6404 5,4138 4,4194 4,59 4,77 4,8
Z RmaxVN 4,5520 4,9718 4,9497 4,83 4,55 4,7
X m|R|VN 0,5910 0,5792 0,5798 0,556 0,556 0,552
Y m|R|VN 0,5795 0,5861 0,5743 0,556 0,556 0,552
Z m|R|VN 0,5870 0,5773 0,5786 0,556 0,556 0,556
Для систем Лоренца, Чуа и Дмитриева-Кислова максимальный уровень бокового лепестка составляет не более 0,043 при длине реализации 20000 отсчетов. Из полученных результатов (на основании 2000 опытов) приведенных в таблице № 2 уровней боковых лепестков АКФ и ВКФ, сформированные двоичные сигналы по классификации, Л.Е. Варакина [7] соответствуют «случайным последовательностям».
Сигналы X, Y, Z систем (1), (2), (4) были проверены на соответствие тестам FIPS-140-2:
Для системы Лоренца (1) получены реализации сигналов длиной 20000 бит при вариации параметров r , а, b. Для каждого из значений параметров было получено 1000 трехмерных реализаций последовательностей, которые подвергались тестированию в соответствии с методикой, приведенной в разделе III. Оценено соответствие реализаций требованиям, приведенным в таблице № 1. Если одна из переменных трехмерных реализаций не проходила хотя бы один из тестов, то тест считался не пройденным. При случайной вариации параметра r системы Лоренца с доверительной вероятностью 0,95 число последовательностей,
удовлетворяющих требованиям теста FIPS 140-2 не менее 991 из 1000. При вариации ст и b число последовательностей не менее 993 из 1000.
Для системы Чуа (2) проведены тесты FIPS-140-2 при изменяющейся нелинейной характеристике системы (параметре N). Система удовлетворяет тестам FIPS-140-2, при этом нижняя граница доверительного интервала вероятности выполнения теста составила 0,9942 при доверительной вероятности 0,95.
Для системы Дмитриева-Кислова (4) были проведены тесты FIPS-140-2 при изменении параметров Q и M . Система удовлетворяет тестам FIPS-140-2, при этом нижняя граница доверительного интервала вероятности выполнения теста составила 0,9952 при доверительной вероятности 0,95.
Таким образом, сформированные двоичные последовательности сигналов удовлетворяют требованиям тестов FIPS 140-2.
IV. ВЫВОДЫ
Синтезирован новый класс генераторов псевдослучайных сигналов на основе модифицированных систем Лоренца, Чуа и Дмитриева-Кислова, реализованных над полем Галуа.
Проведенный анализ временных реализаций сигналов показал, что модифицированные системы Лоренца, Чуа, Дмитриева-Кислова формируют псевдослучайные сигналы с уровнем боковых лепестков автокорреляционных функций и взаимно-корреляционных функций, сопоставимым со случайными последовательностями. Анализ гистограмм показал равновероятность появления 16-битных чисел на выходе генераторов хаотических последов ательно стей.
Двоичные последовательности на основе модифицированных систем с нижним значением оценки доверительной вероятности 0,95 соответствуют тестам FIPS 140-2.
Литература
1. V.V. Afanasiev, M.P. Danilayev, S.S. Loginov, Y.E. Polskiy Variable multimode models of complex dynamic systems // Proceedings of SPIE Vol. 9156, Optical Technologies for Telecommunications 2013, 91560H (April 4, 2014); D0I:10.1117/12.2054235.
2. Danilaev, M.P., Afanasiev, V.V., Loginov, S.S., Polsky, Y.E. Diagnostics and stabilization of multimode nonlinear radio physics systems (2017) 2017 Systems of Signal Synchronization, Generating and Processing in Telecommunications, SINKHROINFO 2017, paper № 7997516, DOI: 10.1109/SINKHR0INF0.2017.7997516
3. S.S. Loginov, V.V. Afanasiev. Poly-Gaussian models in describing the signals of Lorenz dynamic system. // Systems of Signals Generating and Processing in the Field of on Board Communications, 2018, pp. 1-4. DOI: 10.1109/SOSG.2018.8350616.
4. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003. 496 с.
5. Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. - Москва: Техносфера, 2007. 488 с.
6. Lequan Min,Tianyu Chen, Hongyan Zang Analysis of FIPS140-2 Testand Chaos-Based Pseudorandom Number Generator. // Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM) pp. 2:273-280, 2013.
7. Л.Е. Варакин Системы связи с шумоподобными сигналами. -М.: Радио и связь, 1985. - 384 с., ил.
8. M.Yu. Zuev, S.S. Loginov Generation of pseudo-random signals based on a modified Lorenz system, realized over a Galois finite field. // Systems of Signals Generating and Processing in the Field of on Board Communications, 2018, pp. 14. DOI: 10.1109/SOSG.2018.8350594.
9. Логинов С.С. Генераторы псевдослучайных сигналов на основе системы Лоренца, реализованной над конечным полем Галуа // Нелинейный мир, №5, т. 15, 2017, с. 26-29.
10. Демьяненко А.В., Топалов Ф.С., Ильин И.В. USB радиомодем // Инженерный вестник Дона, 2015, № 1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/2789
11. Кучеренко И.А. Применение сверхширокополосных сигналов с линейной частотной модуляцией в запреградной радиолокации // Инженерный вестник Дона, 2016, № 1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3545
References
1. V.V. Afanasiev, M.P. Danilayev, S.S. Loginov, Y.E. Polskiy. Proceedings of SPIE Vol. 9156, Optical Technologies for Telecommunications 2013, 91560H (April 4, 2014); DOI: 10.1117/12.2054235.
2. Danilaev, M.P., Afanasiev, V.V., Loginov, S.S., Polsky, Y.E. Diagnostics and stabilization of multimode nonlinear radio physics systems (2017) 2017 Systems of Signal Synchronization, Generating and Processing in Telecommunications, SINKHROINFO 2017, paper № 7997516, DOI: 10.1109/SINKHR0INF0.2017.7997516
3. S.S. Loginov, V.V. Afanasiev. Systems of Signals Generating and Processing in the Field of on Board Communications, 2018, pp. 1-4. DOI: 10.1109/SOSG.2018.8350616.
4. Karlov N.V., Kirichenko N.A. Kolebanija, volny, struktury [Oscillations, waves, structures]. M.: Fizmatlit, 2003. 496 p.
5. Ipatov V. Shirokopolosnye sistemy i kodovoe razdelenie signalov [Broadband Systems and Code Separation of Signals]. Moskva: Tehnosfera, 2007. 488 p.
6. Lequan Min,Tianyu Chen, Hongyan Zang Analysis of FIPS140-2 Testand Chaos-Based Pseudorandom Number Generator. Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM) pp. 2:273-280, 2013.
7. L.E. Varakin Sistemy svjazi s shumopodobnymi signalami [Communication systems with noise-like signals]. M.: Radio i svjaz', 1985. 384 p.,
8. M.Yu. Zuev, S.S. Loginov Systems of Signals Generating and Processing
10.1109/SOSG.2018.8350594.
9. Loginov S.S. Nelinejnyj mir, №5, Vol. 15, 2017, pp. 26-29.
10. Demyanenko A.V., Topalov F.S., Ilin I.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/2789
11. Kucherenko I.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3545
il.
in the Field of on Board Communications, 2018,
pp. 1-4. DOI:
