CC BY
29
© И.К. Насыров, В.В. Андреев УДК 681.322
ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И.К. Насыров, В.В. Андреев
vandreev46@mail. ru
Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия
Резюме. Исследуется проблема оптимальной оценки параметров псевдослучайных сигналов нелинейных динамических систем (ДС) на примере системы Лоренца. Основой предлагаемого алгоритма является метод максимального правдоподобия, а также представление системы нелинейных динамических уравнений Лоренца как стохастических дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: оценка параметров; псевдослучайные сигналы; нелинейные динамические системы; метод максимального правдоподобия; стохастические дифференциальные уравнения.
OPTIMAL ESTIMATION OF PARAMETERS OF PSEUDORANDOM SIGNALS OF NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS
I.K. Nasyrov, V.V. Andreev
vandreev46@mail. ru
Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia
Abstract. The problem of optimal estimation ofparameters ofpseudorandom signals of nonlinear dynamical systems is considered. The Lorenz system considered as an example. The maximal plausible method is base of proposed algorithm and as well as represent Lorenz's system as stochastic differential equations system.
Keywords: optimal estimation of parameters, pseudorandom signals, nonlinear dynamical systems, stochastic differential equations.
1. Введение и постановка задачи
Нелинейные ДС в настоящее время нашли применение в радиоэлектронных системах и системах связи. Одним из важнейших приложений хаотической динамики является использование сложных колебаний, порождаемых ДС, при построении систем конфиденциальной широкополосной радио - и оптической связи [1-4]. Хаотические сигналы являются широкополосными по своей природе, поэтому они могут быть использованы для построения систем связи с высокой помехоустойчивостью. В отличие от существующих систем связи, где информационное сообщение передается модуляцией амплитуды, фазы или частоты несущих колебаний, в системах с динамическим хаосом изменение одного или нескольких параметров приведет к принципиально различным по структуре колебаниям с достаточно близкими статистическими характеристиками. На основе нелинейных ДС были реализованы формирователи хаотических колебаний при помощи цифровых сигнальных процессоров и программируемых логических интегральных схем.
Важной задачей является выбор способа оптимального приема псевдослучайных сигналов, генерируемых нелинейными ДС. Предполагая априорно известными некоторые
характеристики передаваемого полезного сигнала, канала и помех, а также их функциональное взаимодействие, нужно получить оптимальное приемное или решающее устройство, которое наилучшим образом воспроизводило переданное сообщение или принимало решение с наименьшими ошибками [5-7].
В настоящей работе строится функционал правдоподобия параметров псевдослучайных сигналов при воздействии гауссовых помех и решается задача оценки информативных параметров (признаков) сигнала на примере нелинейной ДС Лоренца.
2. Источник псевдослучайных сигналов на основе система Лоренца
На современном этапе развития микроэлектроники нелинейная система Лоренца реализуется как с помощью интегральных схем, так и с использованием цифровых сигнальных процессоров, что делает возможным широкое применение сигналов, порождаемых ДС Лоренца, в системах связи [2; 3].
Система нелинейных дифференциальных уравнений, порождающая динамический хаос, впервые была получена Э. Лоренцем в 1963 г. при исследовании турбулентности и анализе конвективного движения неоднородно нагреваемой жидкости [8-10]. Система Лоренца имеет вид:
X = -аХ + аУ,
у=гх-у-хг, (2.1)
2 = -Ы + ХУ,
где X, У, 2 - переменные системы; г, а, Ъ - параметры системы Лоренца, точка над переменной означает дифференцирование по времени.
При решении поставленной задачи оптимального приема псевдослучайных сигналов, физический смысл параметров, а также переменных, входящих в систему уравнений Лоренца не является принципиальным. Важным является то обстоятельство, что эти параметры входят в систему уравнений Лоренца линейно и, таким образом, открывается принципиальная возможность линейного управления состоянием нелинейной системы. Заметим, что возможность линейного управления состоянием характерна для многих нелинейных ДС.
Пусть распространение псевдослучайных сигналов описывается нелинейным векторным пространственно-временным оператором Г(Х, А) с компонентами: Гх, Гу, Г2. Запишем систему Лоренца в векторной форме
Г(ХД) = 0, (2.2)
Г (Х,А) = Х-Р(Х,А), (2.3)
где А(а, г,Ь)~ вектор параметров системы Лоренца, Х(Х, У, Т) - вектор координат, ¥{Х, А) -векторная функция, описывающая правые части системы Лоренца:
рх = —аХ + аУ,
Fy = гХ-У - XI, (2.4)
Р2 = - Ъ2 + ХУ.
Для получения информации о принимаемом сигнале в реальных условиях необходимо учитывать влияние различного рода помех. Как показано в работах [5; 11], для учета влияния помех вместо системы уравнений (2.2) запишем стохастическую систему уравнений для отдельных реализаций случайного сигнала - Х(/), ) (1). '/(!). В этом случае, фигурирующие в задаче параметры и функции теперь случайны и, соответственно, заданы своими распределениями вероятностей.
Используя уравнения (2.2) - (2.4) в качестве уравнения наблюдения по аналогии с уравнением Ланжевена [5; 11], введем реализацию вектора помехи в правую часть уравнения (2.2)
Г(Х,Л) = Х-Г(Х,Л) = (2.5)
т,
где вектор - столбец аддитивных шумов размерности три с нулевым математическим ожиданием М (£:)] =0 и матричной корреляционной функцией М^НС^)] = ¡2),Л(Л1,Л2, ...,Лп) - вектор-столбец параметров системы.
3. Функционал правдоподобия параметров псевдослучайных сигналов при воздействии гауссовых помех
Для решения задач оптимального приема псевдослучайных сигналов на фоне помех при непрерывном наблюдении воспользуемся теоремой Байеса [1,2,3]
шрБ(Л1,Л2,... ,Лп) = кшрг(Л1,Л2,... ,Лп)Ь(Л1,Л2,... ,Я„), (3.1)
где Ь(Л1,Л2, ...,Лп) - функционал правдоподобия, шрз(Л1,Л2,... ,Лп) и шрг(Л1,Л2, ...,АП) -апостериорная и априорная плотности вероятностей параметра Л(Л1,Л2,... ,Лп), к -коэффициент, определяемый из условия нормировки,
Зная выражение для функционала правдоподобия или логарифма отношения правдоподобия, можно решать многие задачи оптимального приема сигналов. Показано, что в большинстве практических задач, связанных с оценкой параметров, преимущественно используется метод максимального правдоподобия. Это объясняется рядом достоинств оценок, получаемых этим методом, а также сравнительной простотой вычислений и практической реализацией соответствующих алгоритмов в виде измерительных устройств.
Во многих практических случаях плотность вероятности а>рг неизвестна и ее полагают достаточно равномерно распределенной (например, прямоугольной или нормальной с большой дисперсией) на интервале возможных значений параметра. При этом значение Л максимума апостериорной плотности вероятности будет совпадать с соответствующим значением функции правдоподобия. В этом случае метод максимума апостериорной плотности вероятности переходит в метод максимального правдоподобия.
Воспользуемся далее результатами работы [12], где получено выражение для функционала правдоподобия для случайных гауссовых процессов с заданными различными корреляционными функциями.
Получим выражение функционала правдоподобия для решаемой задачи, когда на полезный сигнал воздействует случайная помеха Для белого шума, то есть для
случайного гауссовского процесса с равномерной во всем частотном диапазоне спектральной плотностью мощности и матричной корреляционной функцией процесса, задаваемой выражением
к(т) = м[,гах та+т)] = ^ 8(т), (з.з)
где N - симметрическая матрица спектральных плотностей белого шума, запишем выражение для функционала правдоподобия для рассматриваемой системы Лоренца:
НЛ)=кехр(-^1тГ\Х,Л)<Н) = = к ехр{-^/;_т[Гх2(ХД) + Гу2(Х,Л) + Г22(Х,Я)]с1г].
Обратим внимание на то, что функционал правдоподобия определяется через измеряемые реализации случайного поля - Гж, Гу, Г2, а вектор параметров системы , Я2,..., А„) - является неизвестным и подлежит оценке.
4. Характеристики и методы оценки информативных параметров псевдослучайных сигналов
В методе максимального правдоподобия в качестве оценки берется корень уравнения правдоподобия
¿1п ЦЛ1,Л2.....К)\х = 0' (' = 1, 2.....п), (4.1)
решение которого должны обеспечивать получение абсолютного максимума апостериорной вероятности и логарифма функции правдоподобия. В случае, если результаты наблюдений имеют совместное нормальное распределение, то из метода максимального правдоподобия следует так называемый метод наименьших квадратов, который в случае оценки п параметров системы также приводит к решению системы из алгебраических уравнений.
Известно также [5, 6], что оценка наибольшего правдоподобия параметра Л оказывается всегда состоятельной, а при большом объеме выборки распределение оценок является приближенно нормальным с центром в точке Я(а,г,Ь) = А(а,г,Ь). Дисперсия оценки определяется неравенством Рао-Крамера, которое для несмещенных оценок имеет вид:
-1
-2-Г' <4'2)
М[д ЫЦЯ)/дЯ ]
где М [ ] - операция математического ожидания. Иначе говоря, оценка Я(а, г, В) является асимптотически эффективной, так как не существует другой оценки с меньшей дисперсией. С учетом выражения (3.4), выражение (4.1) запишем в виде
^¿^(ХД^с^О. (4.3)
Для системы Лоренца (2.2), (2.3) из соотношений (4.2) и (4.3) получаем искомые оценки параметров и их дисперсии:
г =
м[*(у-х)]
М(Х-У)2 '
м[(г+у+хг)х] мх2 ' м[(-г+х у) г]
М7? '
N
0Й
1
2тт М[(Х—У)2]'
N 1 0-=-—— г 2тт МХ2' N 1
ь 2тт мг2
(4.4)
(4.5)
(4.6)
На рис. 1 показаны оценки измеренных информативных параметров случайного поля (системы Лоренца) - Х(1), 7(0, 2(0 в зависимости от уровня шума, а на рис.2 приведены дисперсии соответствующих оценок.
20
18
16
14
12
8
6
4
2 0
т:\у V 1 (5 Л
Ь
.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Уровень шума (сигнал/шум)
Рис. 1. Зависимость значений параметров системы Лоренца от уровня шума
Г" ГЭп — Ог — йЬ
1
— --
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Уровень шума (сигнал/шум)
Рис. 2. Зависимость значений дисперсии параметров системы Лоренца от уровня шума
В таблице приведены соответствующие результаты машинного эксперимента. Машинный эксперимент заключался в численном дифференцировании стохастических уравнений (2.5) [13].
Таблица
Значения параметров и дисперсии параметров системы Лоренца_
сигнал/шум а b г D а Db D г
1.0000 9.9956 19.9981 2.6675 1.5591 0.0055 0.0011
0.8259 9.9961 19.9964 2.6672 1.0547 0.0072 0.0018
0.6044 9.9967 19.9907 2.6646 0.8232 0.0122 0.0038
0.2504 9.9961 19.9727 2.6755 2.1762 0.1158 0.0137
0.2925 9.9958 19.9781 2.6915 1.8656 0.0782 0.0108
0.2305 9.9958 19.9652 2.6785 2.1622 0.1376 0.0169
0.2214 9.9953 19.9641 2.6600 1.9773 0.1488 0.0183
0.2074 9.9954 19.9549 2.7018 1.8408 0.1590 0.0221
0.2066 9.9949 19.9449 2.7413 1.6753 0.1555 0.0241
0.2185 9.9945 19.9616 2.6874 2.2293 0.1540 0.0157
0.2076 9.9944 19.9506 2.6933 1.6794 0.1560 0.0229
Выводы
На примере нелинейной динамической системы Лоренца решена задача оптимальной оценки параметров псевдослучайных сигналов. Основой предлагаемого алгоритма является метод максимального правдоподобия, а также представление системы нелинейных динамических уравнений Лоренца как стохастических дифференциальных уравнений. В условиях, когда на полезный сигнал воздействует случайная помеха в виде белого гауссовского шума, получено выражение для функционала правдоподобия и найдены выражения для оценок параметров системы Лоренца и их дисперсии, обеспечивающие получение абсолютного максимума апостериорной вероятности и функционала правдоподобия. По результаты теоретических расчетов проведен компьютерный эксперимент.
Литература
1. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2002. 252 с.
2. Кузнецов В.М. Цифровые стохастические осцилляторы и их применение // Эволюционное моделирование: труды семинара «Методы моделирования». Казань: Фэн (Наука), 2004. Вып. 2. С. 248257.
3. Губанов Д., Дмитриев А., Панас А. и др. Генераторы хаоса в интегральном исполнении // Chip news. Новости о микросхемах. 1999. № 8. С. 9-14.
4. Афанасьев В.В., Логинов С.С., Польский Ю.А. Анализ и синтез нелинейных радиоэлектронных динамических систем и устройств с варьируемым шагом временной сетки. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2013. 231 с.
5. Амиантов H.H.. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971. 416 с.
6. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. Радио. 1982. 624 с.
7. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983. 320 с.
8. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.э
9. Аншценко B.C., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пос. для вузов. М.:, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 516 с.
10. Porenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atm. Sei. 1963. Vol. 20, No. 1,PP. 130-141.
11. Рыгов C.M. и др. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II. Случайные поля. М.: Наука, 1978.464 с.
12. Насыров И.К., Пашин Д.С. Многокомпонентный прием гидроакустических сигналов на фоне помех: монография. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2001. 195 с.
13. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. СПб.: Наука, 1999. 459 с.
References
1. Dmitriev A.S., Paiias A.I. Dinamicheskii khaos: novye nositeli informatsii dlya sistem svyazi. M.: Izd-vo fiz.-mat. lit., 2002. 252 p.
2. Kuznetsov V.M. Tsifrovye stokhasticheskie ostsillyatory i ikh primenenie // Evolyutsionnoe modelirovanie: trady seminara «Metody modelirovaniya». Kazan': Fen (Nauka), 2004. Vyp. 2. PP. 248-257.
3. Gubanov D., Dmitriev A., Panas A. i dr. Generatory khaosa v integral'iiom ispolnenii // Chip news. Novosti о mikroskhemakh. 1999. No. 8. PP. 9-14.
4. Afanas'ev V.V., Loginov S.S., Pol'skii Yu.A. Analiz i sintez nelineinykh radioelektronnykh dinamicheskikh sistem i ustroistv s var'iraemym shagom vremennoi setki. Kazan': Izd-vo Kazan, gos. tekhn. un-ta, 2013. 231 p.
5. Amiantov I.N.. Izbrannye voprosy statisticheskoi teorii svyazi. M.: Sov. radio, 1971. 416 p.
6. Tikhonov V.I. Statisticheskaya radioteklmika. Izd. 2-е, pererab. i dop. M.: Sov. Radio. 1982. 624 p.
7. Tikhonov V.I. Optimal'nyi priem signalov. M.: Radio i svyaz', 1983. 320 p.
8. Sinister G. Detenninirovannyi khaos. M.: Mir, 1988. 240 p.
9. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е. Lektsii po nelineinoi dinamike: ucheb. posobie dlya vnzov. M.:, Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2011. 516p.
10. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow// J. Atm. Sci. 1963. Vol. 20, No. 1,PP. 130-141.
11. Rytov S.M. i dr. Vvedenie v statisticheskuyu radiofizikii. Ch. II. Sluchainye polya. M.: Nauka, 1978. 464 p.
12. Nasyrov I.K., Pashin D.S. Mnogokomponentnyi priem gidroakusticheskikh signalov na fone pomekh: monografiya. Kazan': Izd-vo Kazan, gos. tekhn. un-ta, 2001. 195 p.
13. Kuznetsov D.F. Chislennoe modelirovanie stokhasticheskikh differentsial'nykh uravnenii i stokhasticheskikh integralov. SPb.: Nauka, 1999. 459 p.
Авторы публикации
Насыров Ильгиз Кутдусович - доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Инженерная кибернетика»
Андреев Владимир Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Инженерная кибернетика»
Authors of the publication
Il'giz К Nasyrov - doc. sci. (techn.), prof., head of Department «Engineering Cybernetic»
Vladimir V. Andreev - cand. sci. (phys.-math.), Associate Professor, Department «Engineering Cybernetic».
Дата поступления 15.02.2017.
