CC BY
9
2023. 19(1). 73-83
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
ISSN 1815-5235 (Print), 2587-8700 (Online)
http://journals.rudn.ru/structural-mechanics
DOI 10.22363/1815-5235-2023-19-1-73-83 EDN: FYSMCV УДК 539.3
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH ARTICLE
Статика и динамика криволинейных стержней
на основе гипотез Бернулли и соотношений для прямолинейного стержня М.Н. Серазутдинов
Казанский национальный исследовательский технологический университет, Казань, Российская Федерация ^ serazmn@mail.ru
История статьи
Поступила в редакцию: 19 октября 2022 г. Доработана: 28 января 2023 г. Принята к публикации: 30 января 2023 г.
Для цитирования
Серазутдинов М.Н. Статика и динамика криволинейных стержней на основе гипотез Бернулли и соотношений для прямолинейного стержня // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2023. Т. 19. № 1. С. 73-83. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2023-19-1-73-83
Аннотация. Описывается и подробно обосновывается метод расчета статики и динамики криволинейных стержней, основанный на соотношениях для прямолинейного стержня. Используются гипотезы Бернулли и вариационный метод. Основное достоинство и особенность используемых соотношений состоит в том, что для расчетов криволинейных стержней применяются простейшие формулы, справедливые для прямолинейных стержней. В эти формулы не входят параметры, характеризующие кривизны продольной оси стержня. Данная особенность является существенным фактором при расчете криволинейных стержней, информация о продольной оси которых задается дискретно, так как не требуется использование специальных методов аппроксимации дискретно заданных данных, позволяющих получать информацию о радиусе-векторе продольной оси стержня и его производных с требуемой высокой точностью. Представлены решения тестовых статических и динамической задач. Рассмотрены изгиб стержня с продольной осью в виде окружности, естественно закрученного стержня и колебания пружины. Сравнение результатов расчета с опубликованными в литературе данными иллюстрирует достоверность и высокую точность получаемых решений.
Ключевые слова: криволинейные стержни, гипотезы Бернулли, статика, динамика, метод расчета
Statics and dynamics of curved rods
based on Bernoulli hypotheses and relations for a rectilinear rod Murat N. Serazutdinov
Kazan National Research Technological University, Kazan, Russian Federation ^ serazmn@mail.ru
Article history Abstract. Method for calculating the statics and dynamics of curved rods, based
Received: October 19, 2022 on the equations for a rectilinear rod, is described and justified in detail. Ber-
Revised: January 28, 2023 noulli's hypotheses and the variational method are applied. The main advantage
Accepted: January 30, 2023 and special feature of these formulas is that the simplest formulas that are valid
Серазутдинов Мурат Нуриевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры основ проектирования и прикладной механики, Казанский национальный исследовательский технологический университет, Российская Федерация, 420015, Казань, ул. Карла Маркса, д. 68; ORCID: 0000-0001-7222-1935, Scopus Author ID: 6506446566, Researched: HKF-2636-2023, eLIBRARY SPIN-код: 9043-5123; serazmn@mail.ru Murat N. Serazutdinov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Fundamentals of Design and Applied Mechanics, Kazan National Research Technological University, 68 Karla Marksa St, Kazan, 420015, Russian Federation; ORCID: 0000-0001-7222-1935, Scopus Author ID: 6506446566, ResearcherID: HKF-2636-2023, eLIBRARY SPIN-code: 9043-5123; serazmn@mail.ru
© Серазутдинов M.H., 2023
l/JJv I This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
кЕ^лВСЖЭН https://creativecommons.Org/licenses/by-nc/4.0/legalcode
For citation
Serazutdinov M.N. Statics and dynamics of curved rods based on Bernoulli hypotheses and relations for a rectilinear rod. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2023;19(1):73—83. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2023-19-1-73-83
for rectilinear rods are used for the calculations of curved rods. These formulas do not contain parameters characterizing the curvatures of the longitudinal axis of the rod. This feature is an essential factor in the calculation of curved rods, where the information about their longitudinal axis is given discretely, since no special methods of approximation of discretely given data are required, which enable to obtain information about the radius-vector of the rod longitudinal axis and its derivatives with the required high accuracy. Solutions of test static and dynamic problems are provided. Bending of a rod with a longitudinal axis in the form of a circle, a naturally twisted rod, and a spring fluctuation are considered. Comparison of the calculation results with the data published in the literature illustrates the reliability and high accuracy of the solutions obtained.
Keywords: curved rods, Bernoulli hypotheses, statics, dynamics, calculation method
Введение
В настоящее время теория и методы расчета статики и динамики стержневых систем достаточно разработаны и отражены в ряде монографий [1-5]. Однако криволинейные стержни имеют очень широкий круг приложений (арки, пилоны мостов, композитные стержневые криволинейные структуры, пружины, сверла, трубопроводы, упругие подвески вибраторов, лопатки турбомашин упругие амортизаторы) и при их расчете возникают особенности, требующие отдельного внимания. Последнее связано с тем, что традиционно используемые вариационные принципы и уравнения равновесия криволинейных стержней содержат производные не ниже второго порядка от радиуса-вектора продольной оси стержня. Во многих случаях исходные данные о геометрии стержней сложной формы задаются дискретно, поэтому при расчетах используются аппроксимирующие функции, построение которых требует разработки специальных методов, позволяющих получать информацию о радиусе-векторе продольной оси стержня и его производных с требуемой точностью [6-9]. Кроме того, следует иметь в виду, что в настоящее время остаются актуальными вопросы расчета криволинейных стержней, так как возникает ряд особенностей при моделировании технологических процессов [10-12], исследовании контактных взаимодействий, хаотических колебаний и динамической потери устойчивости [13-17], при расчете больших перемещений, когда прямолинейный стержень при деформировании становится криволинейным стержнем сложной формы [18; 19], при расчете влияния ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние оболочек сложной формы [20; 21]. Остаются не до конца исследованными вопросы влияния принятых при моделировании стержней гипотез на результаты расчетов сложных динамических процессов [22-25].
Представлен метод расчета криволинейных стержней, основанный на использовании гипотез Бер-нулли и соотношений для прямолинейного стержня. Приводятся обоснование метода и результаты расчетов. Особенность используемых для расчетов криволинейных стержней соотношений состоит в том, что в них не входят кривизны продольной оси стержня. Ранее подобный метод использовался для решения линейных и нелинейных задач статики стержней с использованием соотношений, полученных на основе гипотез Коссера - Тимошенко [26-28].
Основные соотношения
Рассмотрим стержневую систему, состоящую из прямолинейных и криволинейных стержней. Полагаем, что возникающие в стержневой системе деформации являются малыми, справедливы гипотезы Бернулли, зависимость между деформациями и напряжениями определяется законом Гука, криволинейные стержни являются стержнями малой кривизны, для которых отношением h/R можно пренебречь по сравнению с единицей (h - толщина сечения, R - радиус кривизны продольной оси).
Разобьем систему на N участков таким образом, чтобы на каждом из них направляющие косинусы касательного к продольной оси стержня вектора и ортов главных осей поперечных сечений изменялись непрерывно.
Воспользуемся принципом Гамильтона - Остроградского, в соответствии с которым должно выполняться условие
Ь Г N ^
/ / [SKCs' - 5n(S' + f)] dln (s) } dt = О' C1)
to U = ! In )
где 1п - линия продольной оси стержня на п-м участке; К, П, - кинетическая, потенциальная энергии деформации и элементарная работа внешних сил; t - время; 5 - параметр, используемый для описания линии 1п.
При исследовании статики и динамики сложных стержневых систем часто используются алгоритмы решения, в которых интегралы в условии (1) вычисляются численно. При использовании численного интегрирования выражение (1) можно записать в следующем виде:
Ч ! N I
IЕ X^^ ° -°+Нп1 К0*
(2)
¿0 Кп=1 1=1
где - координаты узлов интегрирования; НП1 - множители, величина которых зависит от формы линии 1п и от используемой при интегрировании квадратурной формулы.
Соотношения для прямолинейного стержня. Для описания деформации прямолинейного стержня используем декартову систему координат Оху2 с ортами Т,}, к. Полагаем, что ось Ох направлена вдоль продольной оси, а Оу, О2 - главные центральные оси поперечного сечения стержня. В этом случае б = х .
Введем вектор перемещения точек продольной оси стержня и(х,Ь) = и1 1 + и2 } + Щ к и вектор углов поворота поперечных сечений ф(х,Ь) = ф1 Т + ф2 } + ф3 к .
При использовании гипотезы Бернулли
Ф2
дщ дх '
фз
дщ йх
Следовательно,
- _ - _ _ ди3 _ ди2 -
и = и1 I + и2 ] + и3 к; ф = ф11 —-— ] + —— к .
дх дх
(3)
Вектор перемещения стержня определяется по формуле
Щ = и + фр,
где р = у ] + г к.
Учитывая выражения для У ,ф ,р , получаем
Шр = (щ- г
дщ дх
дщ
у
2
дх
1 + (щ-г ф1) ] + (щ + у Ф1) к .
(4)
Линейные и угловые деформации вычисляются по формулам
г =
дщ дх
у
д2Щ д2х
д2Щ д2х
; Уху
дф
1
дх
■; Ухг = У-
дф1 дх
(5)
Напряжения и деформации связаны законом Гука:
о = Ег; Т1 = ву^ Т2 = Су2,
(6)
где Е, в - модули упругости и сдвига; У1 = ^у.г)^; У2 = [2(У>г)^фт; Ь(у,г) , /2(у,г) - функции, выражающие закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению стержня, вид этих функций зависит от формы сечения стержня, например для круглого сечения Д = г, /2 = у .
С учетом соотношений (3)-(6) и того, что Оу, Оz - главные центральные оси поперечного сечения, выражения для вариаций кинетической и потенциальной энергий деформации можно записать следующим образом:
ÔK = -Ро/Г
d2Wn —
A dt2
p 5Wp dA
= -РоП^ Ьщ+i^ 5иг) +
д2ф1 +Jp~djT 8(Pi+Jz
д2и7 d2u7
5-
дх2 dx2
+ Jy
d2u?
5
d2u?
dx2 dx2
(7)
5П
= +TÏY1+T2Y2] dA=^5
(ди-л
ЕАЫ +Е]*
д2щ дх2
+ EJZ
d2U2\2 /дф-
дх2 I ]кр ( дх
2
где А, ]у,]2 - площадь, главные моменты инерции поперечного сечения; ]кр - момент инерции при кручении.
Элементарная работа внешних сил
du-.
5'W = q15u1 + q25u2 + q35u3 + M1 5ф1 - M2 5—--+ M3 5
du7
dx '
(8)
где ^, М^ - компоненты внешних сил и моментов функции (I = 1, 2, 3).
Величины , М^ являются функциями координат x и ^ вид которых определяется характером распределения по стержню и во времени действующих внешних силами.
Основные соотношения для криволинейного стержня. Выделим некоторый участок криволинейного стержня, продольная ось которого 1п лежит на поверхности П.п. Введем декартову систему координат Оxyz с ортами Г,] ,к . Выберем такие размеры выделенного участка, чтобы поверхность Пп можно было описать уравнением г = Х(х, у). Зададим линию 1п в параметрическом виде:
х = x(s); у = у (s); z = Z(x(s); y(s)).
(9)
Радиус-вектор поверхности П.Г;
Ra = х 1 + у j + Z(x,y) le.
Если в последнее соотношение подставить выражения (9), то получим радиус-вектор линии 1Г
г = x(s) 1 + y(s) j + Z(x(s),y(s)) к.
(10)
В поперечных сечениях стержня введем репер с началом в центре тяжести Ог:
dr
dr dr
Т ds ' V2 dx dy ' V1
(11)
Вектор Т направлен по касательной к 1п, а у2 - по нормали к Пп. В направлении векторов ~уг,1>2 введем оси координат и Ог\2. В этой системе координат радиус вектор точек поперечных сечений стержня
Р = Кг + ^2 ■
Векторы перемещения точек продольной оси стержня и углов поворота поперечных сечений определяются по формулам
- _ _ ди3 _ ди2
U (S, t) = U1Z + U2 V1+ U3 V2 ' ф(5, t) = ф1 т - —-V1 ^2 ■
2
A
Вектор перемещения стержня
Wp = U + фр,
где Р = К1 1 + ^,2 к.
С учетом выражений для и, ф, р получается, что вектор перемещения точек стержня при деформировании
_ ___( ди3 ди2 \
Шр = и + фр = (Щ- $2 -^Т + К1 -^Т ) Т+(и2-$2 ф1)^1 + (из + К1 ф1) У2 . Радиусы-векторы точек стержня до и после деформации вычисляются по формулам Я = г+ р = х(я) Т + У&}+ г(х(з),у(з)) к + К1 щф + К2
R* = R + wp.
Используя выражения (10), (11) и учитывая, что
dr
dZ - dr
dZ _
dx 1 + dx dy ^ + dy ^'
находим
_ dx _ dy _ dZ - _ dZ _ dZ _ -ds ds ^ ds ' 2 dx dy ^
dy dZ dZ\ /dx dZ dZ\ (dZ dx dZ dy\ -
Vl Ids + ds dy) 1 + Ids + ds dx) ^ + \dy ds dx ds) Рассмотрим стержни малой кривизны, для которых должны выполняться условия
d2x
ds2
« 1'
Si
d2y
ds2
« 1'
d2z
« 1.
Используя приведенные в статье соотношения для dR*, dR, получаем
dR dW0 (dR dW0 dR ЗЖД (dR dW0 dR dWD W„==2.---p ds ds + 2.1---£ +---p ) dsd^ + 2\---p +---p
dR*dR* - dRdR = 2dR dWn == 2
p 2 ds ds ~ + + +
Следовательно, компоненты деформации будут вычисляться по формулам
dR dW0 dR dW0 dR dW0
E =---^ V • =---p +----1 = 12
E ds ds ' Ух1 d\t ds + ds dti ' 1 1,2
(12)
Здесь
dR dx dy dZ - dv, dv2 dx dv dZ _ ds ds ds ds ds ds ds ds ds
d2y dZ d2Z dZ d2Z \ _ ds2 dy ds2 ds dsdy)
id2x dZ d2Z dZ d2Z\ idx d2Z dy d2Z dZ d2y dZ d2x\ _ \ds2 dx ds2 ds dxdsj ^ \ds dyds ds dxds ds ds2 dy ds2)
-S2
d2Z d2Z -i +-]
dsdx dsdy
dR (dy dZ dZ\ (dx dZ dZ\ (dx dZ dy dZ\ _
(13)
dR _ dZ _ dZ _ d^2 dx 1 dy ^ '
dWp ди1 _ du2 _ dd дф_ _ dp ди1 _ ди2 _ ди3 ds ds 1 ds ^ ds dsP ф ds ds 1 ds ^ ds
d2u2 d2Z du3 d2x du2
ds2
+
dsdy ds + ds2 ds 1 +
( d2Z
d2y du2
dsdy ф1 + ds2' ds 1 1
дф1 ds
d2x d2ydu3\ --J-7 ф^^^ТТ1 k
ds2
ds2 ds
+
+ Ï2
d2Ui
+
d2Z du.
ds2 dsdy ds
i —
+
d2Z du-
дф1
ds ' dsdy ds
2
] —
d2Z dsdy
d2Z
du-Л — 31 к
ф1 +----
dsdy ds
dWp 9Î1
du
ds
2
i —
du* - dWp
du.
ds
k ' т-ф1 J
дЪ
ds
Как видно из соотношений (12)-(13), выражения для компонентов деформации являются сравнительно громоздкими и справедливы в случае, когда продольная ось стержня 1п находится на пологой поверхности Пп. Кроме того, коэффициенты перед искомыми функциями в (13) являются первой и второй производной уравнения поверхности г = Z(x,y), поэтому в общем случае, когда линия продольной оси стержня 1п имеет недостаточно простой вид, эти коэффициенты будут переменными величинами и для их определения с нужной точностью необходимо использовать специальные алгоритмы [1-5].
Отметим, что указанные особенности в выражениях для компонентов деформации имеются и в классических теориях криволинейных стержней [6-9].
Для существенного упрощения указанных формул и снятия ограничения, связанного с пологостью Пп, поступаем следующим образом.
Введем две декартовы системы координат, глобальную - Охуг и локальную - Охуг. Начало локальной системы координат совместим с точкой продольной оси стержня, находящейся в сечении, для которого нужно вычислить деформации. Обозначим координату этой точки 51. Совместим направления ортов Т,}, к локальной системы координат Охуг с направлением векторов репера т,у1,у2. В этом случае в точке начала координат при 5 =
dx d d dy dZ dZ dZ
ds 1' ds dx' ds ds dx dy 0' ^ У' z■
(14)
С учетом (14) соотношения (13) существенно упрощаются и принимают вид
_ - _ - _-
d!=l: d^ = J: Щ~2 = к;
dW du1 _ du2 _ du3 _ ds dx 1 dx ^ dx
(d2u2 5ф1 (d2u3 dф1
dx2
dx
4"
dx2
! + ■
dx
dWp du.
d\1 dx
1 +
du, — dWp
dx
k'
d$2
дщ
dx
1-ф1 j■
1
Подставляя эти выражения в соотношения (12), получим формулы для вычисления деформаций, такие же как формулы для прямолинейного стержня в виде (5).
Таким образом показано, что для криволинейного стержня компоненты деформации в локальной декартовой системе координат Охуг определяются такими же соотношениями, как и для прямолинейно-
го стержня. Деформации вычисляются по формуле (5). Вариации потенциальной и кинетической энергий деформации, работа внешних сил определяются соотношениями (7), (8). При проведении расчетов следует ввести вектор перемещения
т
{[/} = [щ(5,0,112(5,0,йз(5,1)} и вектор углов поворота поперечных сечений стержня
дй3(з,1) дй2(з,1)
(ф}Т = {ф1(5, О,
дх дх
с компонентами, определенными в глобальной декартовой системе координат Охуг. Перемещения {и}Т = {и1 (з, £), и2 (з, £), и3 (з, Ь)} и повороты {ф}Т = {ф^з, 0, ф2($, 0, фз(5, 0} в локальной системе координат Охуг будут выражаться через {У} и {ф} по формулам
{и} = [АиЩ; {ф} = К]{ф}, (15)
где [Ау] - матрица направляющих косинусов п^ (Ь,] = 1,3) локальной системы координат.
Вследствие того, что при дифференцировании по направлению Ох направляющие косинусы щ являются константами, справедливы равенства
д д д д
1Гх{и} = [А']1Гх{и}'1Гх{ф} = [А']1Гх{ф} (16)
При вычислении деформаций и напряжений, а также при записи условия (2) следует, с учетом (15), (16), все величины выражать через компоненты векторов { У}, {ф}, определенные в глобальной системе координат.
Для проведения расчетов на основе описанной математической модели использовался вариационный метод. Опишем методику расчета.
На каждом их участков стержневой системы с продольной осью 1п введем вектор ип(й1,й2,й3) и угол поворота (фп((ф1, ф2, ф3) с компонентами в глобальной системе координат.
С учетом соотношений (7), (8), (6), (16) условие (1) можно записать следующим образом:
^ / N I
I {ХХ^^^^ф"^,^) - Щйп^иО^п^иО) + 8'ш(йп(з1,1),(фп(з1,1))нп1} = 0. (17)
Представим перемещения и угол поворота ф^ I, з) в виде рядов
м
м
йк&5) = X А1кт Шт(*),к = 13;
т=1
м
ф1( 1,з)=ХВт(ОГт(*), (18)
т
т=1
где А%т(1), вт(Ъ) - функции, подлежащие определению из решения; 0 < 5 < 1; Д(5) = (1 — з2)2; Г2(з) = [з(2— 5)]2; Ш =з(з — 1)2;&(з) = з2 (з — 1), ^(з) = [(1 — 52) 52] з^-1;} = 1,М — 4. Значению з = 0 соответствует начало участка стержня, значению 5 = 1 - конец. Функции Iт (з) таковы, что на концах отрезка 0 < 5 < 1 выполняются равенства
йк (0, 0 = Апк1 (0; йк (1, 0 = Апк2 (0;
dük(0,t) dük(1,t) _
-Jjf-i = AUO; -Jjf-i = AUt); к = 13 ;
cp1(0,t)=B?(t); cp1(1,t)=B%(t);
0(0,(0,0 d(p1(1,t)
a = ВШ; д , = W(t). д s 3 д s 4
Следовательно, A7^.1(t), A%2(t), Aï3(t), Aï4(t), Bï(t), BZ(t),B%(t),B%(t) - это значения функций uk(t,s), (jp1(t,s) и их первых производных при s = 0 и при s = 1 . Использование аппроксимирующих функций в виде (18) позволяет легко удовлетворять геометрическим граничным условиям для искомых
функций и их производной. Например, для удовлетворения условий й1 = 1 при s = 0, ^=0 при s = 1
следует положить Аг11 = 1,А™4 = 0.
Использование аппроксимирующих функций в виде (18) также позволяет легко осуществить стыковку перемещений и углов поворота на концах участков стержневой системы. Так, если положить Ак2 = А^1, Ак4 = Aк++1, то будет выполнено условие стыковки концов двух стержней с номерами п и п + 1 для перемещений и первых производных от перемещений.
Поэтому при проведении расчетов часть коэффициентов рядов (18) находится из геометрических граничных условий, а также из условий стыковки перемещений и первых производных от перемещений на границах участков стержней.
Подставляя выражение (18) в условие (17), получим систему уравнений для определения Akm(t), Вт(0:
[М]{с} + [К]{С} = {F}, (19)
где [М], - матрицы масс и жесткости стержневой системы; (С) = [А11,А12, ...,Вм}Т - вектор функция; {F} - вектор, зависящий от действующей внешней нагрузки; точка над обозначением означает дифференцирование по времени.
При свободных колебаниях конструкции внешние силы равны нулю и система уравнений (19) записывается следующим образом:
№{с} + [к]{с} = 0.
Полагая (С) = sin(œt) (У), получаем
[K]{V} + u2[M]{V} = 0. Для статической задачи уравнения (20) принимают вид
[К]{С} = {F}.
Результаты расчетов
Представим примеры сравнения результатов расчета по описанному методу с опубликованными в литературе данными. Эти примеры показывают достоверность и высокую точность получаемых решений.
На рис. 1, а схематически показан стержень с продольной осью в виде окружности радиуса Я = 50 см, нагруженный равномерно распределенной нагрузкой д = 0,1 н/см. Один конец стержня защемлен, другой - свободен. Поперечное сечение - квадрат со стороной к = 1 см, Е = 2 • 105 МПа, N = 1, М = 14. В результате решения получено и3 = 1,3 см (при а = 90°), атах = -29,5 МПа (а = 180°). На основе классической теории криволинейных стержней [29] получается и3 = 1,4 см, атах = -29,8 МПа.
Представленные здесь соотношения являются справедливыми и для естественно закрученных стержней. Приведем решение задачи изгиба сосредоточенным моментом М0 равномерно закрученного консольного стержня (рис. 1, б). На одном конце стержня заделка, а на другом конце, в плоскости Охг дей-
ствует момент М0. При расчетах полагалось М0 = 1,28 • 105 н • см, I = 100 см, Е = 2 • 105 МПа, С = 8 • 104 МПа, N = 1, М = 8. Поперечное сечение стержня - прямоугольник со сторонами Ь = 4 см, к = 6 см. Рассмотрены случаи, когда вдоль продольной оси стержня угол закручивания а(х) изменяется по линейному закону, а на конце — а(0 = 45° и а(0 = 90°. Получены расчетные значения перемещения на конце стержня щ = —0,94 см и = —0,83 см. Эти величины с точностью до двух значащих цифр совпали с данными, приведенными в [29].
Рис. 1. Стержень с продольной осью в виде окружности (а), естественно закрученный стержень (б) Figure 1. A rod with a longitudinal axis in the form of a circle (a), naturally twisted rod (б)
Частоты собственных колебаний пружины с сосредоточенной на конце массой М* (рис. 2) представлены во втором столбце таблицы. В последнем столбце таблицы приводятся данные из [29]. При расчетах полагалось, что длина пружины I = 50 см, радиус поперечного сечения г = 0,5 см, радиус винтовой оси Д = 10 см, а = 15°, Е = 2 • 105 МПа, С = 8 • 104 МПа, р = 8 • 10-7 н сек2/см4, М* = 4,19 • 10-5н сек2/см, N = 3, М = 6.
а
Ш59,
Рис. 2. Пружина Figure 2. Spring
Частоты колебаний пружины Spring vibration frequencies
ю, Гц / Hz Расчетные данные / Calculating data Данные из [29] / Data from [29]
Ю1 5,6 5,79
Ю2 7,3 7,04
Ю3 15,8 14,31
Отметим, что в [29] результаты расчетов представлены в виде графиков, поэтому в последнем столбце таблицы данные могут иметь погрешность.
Заключение
Представлен метод расчета криволинейных стержней, основанный на использовании соотношений для прямолинейного стержня и гипотез Бернулли. Основное достоинство и особенность метода состоит в том, что для расчетов криволинейных стержней используются простейшие соотношения, в которые не входят кривизны продольной оси стержня. Как показывают численные расчеты тестовых задач, метод позволяет с высокой точностью получать решения задач статики и динамики криволинейных стержней.
Список литературы
1. ШулькинЮ.Б. Теория упругих стержневых конструкций: монография. М.: Наука, 1984. 271 с.
2. Светлицкий В.А. Механика стержней: монография: в 2 ч. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.
3. Светлицкий В.А. Механика стержней: монография: в 2 ч. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1987. 304 с.
4. Грудев И.Д. Колебания криволинейных стержней: монография. М.: МИК, 2007. 254 с.
5. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней: монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. 208 с.
6. Серазутдинов М.Н., Недорезов О.А. Об аппроксимации срединной поверхности оболочки. Иследования по теории оболочек // Исследования по теории оболочек: труды семинара. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990. Вып. 25. С. 97-102.
7. Хайруллин Ф.С., Серазутдинов М.Н. Метод параметризации срединной поверхности тонкостенного элемента конструкции // Известия вузов. Авиационная техника. 2006. № 4. С. 14-16.
8. Сахбиев О.М., Хайруллин Ф.С. Об одном из методов изогеометрической аппроксимации кубическими сплайнами // Вестник технологического университета.2022. Т. 25. № 5. С. 111-114.
9. КвасовБ.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: монография. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 360 с.
10. Кривошапко С.Н. О параболическом изгибании плоского металлического листа в торсовую конструкцию // Технология машиностроения. 2020. № 11. С. 14-24.
11. Krivoshapko S.N. Shell structures and shells at the beginning of the 21st century // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 6. С. 553-561. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-553-561
12. Papkova I. V., Krysko A. V., Krysko VA. Theory and methods for studying the nonlinear dynamics of a beam - plate nano resonator taking into account the temperature and strain fields connection in additive color noise // Proceedings of the 27th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2020. http://doi.org/10.23919/ICINS43215.2020.9133824
13. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic chaos in one dimensional continuous system. World Scientific Publishing, 2016.
14. Papkova I.V., Krysko A.V., Saltykova O.A., Krysko V.A., Zakharova A.A. Contact interaction of flexible Timo-shenko beams with small deflections // Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012087
15. Saltykova O.A., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic dynamics of two beams described by the kinematic hypothesis of the third approximation in the case of small clearance // Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012102
16. Krysko VA, Yakovleva T. V., Papkova I. V., Saltykova O.A., Pavlov S.P. The contact interaction of size-dependent and multi-modulus rectangular plate and beam // Journal of Physics: Conference Series. 2019. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/3/032021
17. Papkova I. V., Krylova E. Yu., Krysko A. V. Contact interaction of NEMS shell elements in a color noise field // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020;747(1):012059. http://doi.org/10.1088/1757-899X/747/1/012059
18. Артюхин Ю.П. Приближенный аналитический способ исследования деформаций пространственных криволинейных стержней // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2012. Т. 154. № 3. С. 97-111.
19. Артюхин Ю.П. Произвольный изгиб консольного стержня консервативной силой // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2013. Т. 155. № 2. С. 144-157.
20. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии: монография. Казань: ИММ РАН, 1993. 206 с.
21. Кривошапко С.Н. Оболочки и стержневые структуры в форме аналитически незадаваемых поверхностей в современной архитектуре // Строительство и реконструкция. 2020. № 3 (89). С. 20-30.
22. Papkova I. V., Krysko A. V., Barulina M.A., Krysko V.A. Mathematical modeling of the nonlinear dynamics components of nanoelectromechanical sensors taking into account thermal, electrical and noise impacts // Proceedings of the 26th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2019. http://doi.org/10.23919/ICINS.2019.8769406
23. Tebyakin A., Papkova I.V., Krysko V.A. The variational iterations method for the three-dimensional equations analysis of mathematical physics and the solution visualization with its help // CEUR Workshop Proceedings. 2020;l:2744.
24. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Papkova I.V., Saltykova O.A. Analysis of the nonlinear dynamics of flexible two-layer beams, with account for their stratification // Engineering Dynamics and Life Sciences / ed. by J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. Lodz: DAB&M of TUL Press, 2017. Pp. 297-308.
25. Saltykova O.A., Papkova I.V., Vetsel S.S., Krysko V.A. Investigation of the influence of changing the boundary conditions along the side of the plate on its chaotic dynamics // Journal of Physics Conference Series. 2019. Vol. 1158. No. 4. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042008
26. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104-108.
27. Серазутдинов М.Н., Убайдуллоев М.Н. Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней: монография. Казань: Изд-во КНИТУ, 2016. 144 с.
28. Serazutdinov M.N., Ubaydulloyev M.N. The method of calculating inelastic elements of rod structures under loading, unloading and reloading regimes // Journal of Physics Conference Series. 2019. Vol. 1158. No. 4. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042014
29. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания: стравочник: в 3 т. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 821 с.
References
1. Shulkin Yu.B. Theory of elastic rod structures. Moscow: Nauka Publ.; 1984. (In Russ.)
2. Svetlitsky V.A. Mechanics of rods (part 1). Moscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1987. (In Russ.)
3. Svetlitsky V.A. Mechanics of rods (part 2). Moscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1987. (In Russ.)
4. Grudev I.D. Vibrations of curved rods. Moscow: MIK Publ.; 2007. (In Russ.)
5. Levin V.E., Pustovoy N.V. Mechanics of deformation of curved rods. Novosibirsk: NSTU Publ.; 2008. (In Russ.)
6. Serazutdinov M.N., Nedorezov O.A. On the approximation of the median surface of the shell. Research on the Theory of Shells: Proceedings of the Seminar. 1990;(25):97-102. (In Russ.)
7. Khairullin F.S., Serazutdinov M.N. Method of parametrization of the median surface of a thin-walled structural element. Izvestiya Vuzov. Aviation Equipment. 2006;(4):14-16. (In Russ.)
8. Sakhbiev O.M., Khairullin F.S. About one of the methods of isogeometric approximation by cubic splines. Bulletin of the Technological University. 2022;25(5):111-114. (In Russ.)
9. Kvasov B.I. Methods of isogeometric approximation by spline. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2006. (In Russ.)
10. Krivoshapko S.N. On parabolic bending of a flat metal sheet into a torso structure. Technology of Mechanical Engineering. 2020;(11):14-24. (In Russ.)
11. Krivoshapko S.N. Shell structures and shells at the beginning of the 21st century. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2021;17(6):553-561. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-553-561
12. Papkova I.V., Krysko A.V., Krysko V.A. Theory and methods for studying the nonlinear dynamics of a beam - plate nano resonator taking into account the temperature and strain fields connection in additive color noise. Proceedings of the 27th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2020. http://doi.org/10.23919/ICINS43215.2020.9133824
13. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic chaos in one dimensional continuous system. World Scientific Publishing; 2016.
14. Papkova I.V., Krysko A.V., Saltykova O.A., Krysko V.A., Zakharova A.A. Contact interaction of flexible Timo-shenko beams with small deflections. Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1Z012087
15. Saltykova O.A., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic dynamics of two beams described by the kinematic hypothesis of the third approximation in the case of small clearance. Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012102
16. Krysko V.A., Yakovleva T.V., Papkova I.V., Saltykova O.A., Pavlov S.P. The contact interaction of size-dependent and multimodulus rectangular plate and beam. Journal of Physics: Conference Series. 2019. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/3/032021
17. Papkova I.V., Krylova E.Yu., Krysko A.V. Contact interaction of NEMS shell elements in a color noise field. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020;747(1):012059. http://doi.org/10.1088/1757-899X/747A/012059
18. Artyukhin Yu.P. The analytical method for studying deformations of spatial curved rods. Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series. 2012;154(3):97-111. (In Russ.)
19. Artyukhin Yu.P. Arbitrary bending of a cantilever rod by conservative force. Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series. 2013;155(2):144-157. (In Russ.)
20. Yakupov N.M., Serazutdinov M.N. Calculation of elastic thin-walled structures of complex geometry. Kazan; 1993. (In Russ.)
21. Krivoshapko S.N. Shells and rod structures in the form of analytically undefined surfaces in modern architecture. Construction and Reconstruction. 2020;(3):20-30. (In Russ.)
22. Papkova I.V., Krysko A.V., Barulina M.A., Krysko V.A. Mathematical modeling of the nonlinear dynamics components of nanoelectromechanical sensors taking into account thermal, electrical and noise impacts. Proceedings of the 26th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2019. http://doi.org/10.23919/ICINS.2019.8769406
23. Tebyakin A., Papkova I.V., Krysko V.A. The variational iterations method for the three-dimensional equations analysis of mathematical physics and the solution visualization with its help. CEUR Workshop Proceedings. 2020;(l):2744.
24. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Papkova I.V., Saltykova O.A. Analysis of the nonlinear dynamics of flexible two-layer beams, with account for their stratification. In: Awrejcewicz J., Kazmierczak M., Mrozowski J., Olejnik P. (eds.) Engineering Dynamics and Life Sciences (pp. 297-308). Lodz: DAB&M of TUL Press; 2017.
25. Saltykova O.A., Papkova I.V., Vetsel S.S., Krysko V.A. Investigation of the influence of changing the boundary conditions along the side of the plate on its chaotic dynamics. Journal of Physics Conference Series. 2019;1158(4):042008. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042008
26. Serazutdinov M.N., Khairullin F.S. Method of calculating curved rods. News of Universities. Construction and Architecture. 1991;(5):104-108. (In Russ.)
27. Serazutdinov M.N., Ubaydulloev M.N. Variational method of calculation of rectilinear and curved thin-walled rods. Kazan: KNITU Publ.; 2016. (In Russ.)
28. Serazutdinov M.N., Ubaydulloyev M.N. The method of calculating inelastic elements of rod structures under loading, unloading and reloading regimes. Journal of Physics Conference Series. 2019;1158(4):042014. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042014
29. Birger I.A., Panovko Ya.G. Strength, stability, fluctuations (vol. 1). Moscow: Mashinostroenie Publ.; 1968. (In Russ.)
