Вычисление касательных напряжений в тонкостенных стержнях комбинированного профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

М. Н. Серазутдинов

ВЫЧИСЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЯХ

КОМБИНИРОВАННОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенный стержень, комбинированный профиль, касательные напряжения.

В статье приведен вывод формул для вычисления касательных напряжений в тонкостенных стержнях комбинированного профиля, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных участков.

Keywords: thin-walled bars, сombinetprofil, tangent tensions.

To the article the conclusion of formulas is driven for the calculation of tangent tensions in the thin-walled bars of the combined profile with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors.

В работе [1,2] представлены вариационные соотношения теории тонкостенных стержней комбинированного профиля, изложен метод, позволяющий на основе простейших соотношений для компонент деформаций представить вариационные соотношения принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено как из прямолинейных, так и криволинейных участков. Отмечается, что для того, чтобы описать распределение касательных напряжений в поперечном сечении стержня, обходимо использовать формулу, полученную из уравнений равновесия отсеченного элемента стержня.

В данной статье приводится вывод формул для вычисления касательных напряжений в поперечном сечении стержня. Используются обозначения, принятые в [1].

Бесконечно близкими продольными и поперечными сечениями выделим из стержня элемент (Рис. 1). Продольные сечения проводятся

через начальную 01 и текущую М точки профиля.

Уравнение равновесия выделенного элемента в виде проекций сил на ось 0х имеет вид:

qi(x,y,z) =qi(x,yM,zM) x,s).

fl

dox

dx

dxdA + T(s) dx - T(0) dx +

(1)

+ Ц Я1( X, У, z)dxdA = 0

А,

Здесь А ' площадь отсеченной части поперечного сечения стержня, Т(в) = т(в) ¡(в) -поток касательных напряжений, х, у, z) -проекция внешней нагрузки на ось 0х .

Для тонкостенного стержня при вычислении интегралов в (1) можно считать, что стх

и q1( х, у, z) постоянны по толщине профиля сечения и полагать

стх =стх (Ум, ^ ) =

= Eoe(s)

du1( x) dx

+ zM

d<P2(x) - y d<p3(x)

y м

dx

dx

^ ( (s) - *30П (s) - (1 - K30 ) nl (sM ))

Рис. 1 - Отсеченная часть стержня

Справедливо равенство

JJ f (s) dA = J f (s) h(s) ds,

где 1-о - срединная линия отсеченной части профиля. Следовательно, уравнение (1) можно записать в следующем виде:

T(s) = T(0) - Jdox (y", Zm ) h(s) ds -

dx

(2)

- J q1(x,s)h(s)ds

На рис. 2 показано поперечное сечение стержня. Заштрихованные области - это возможные варианты площади А, отсеченной части стержня.

Входящее в формулу (2) значение потока касательных напряжений Т (0) вычисляется различными способами, в зависимости от того, на открытой или на закрытой частях профиля находится точка М .

Если текущая точка М находится на закрытой части профиля, то для определения Т(0) ,

используем формулу для момента стесненного кручения, которое можно представить в следующем виде:

Мш = Цт(в) р(в) dA =

А

= |т(в)р(в) ¡(в^в = | Т(в)р(в) ds.

А

L

0

o

L

О

А

О

L

О

Подставляя в эту формулу выражение (2),

получим

Ми = Т(0)|р(5) бз -

-I

Кз) бз

дх

р(з) бз -

-I

| д1( х,з )Л(з )бз

м

р(з) бз.

о.

:

В)

м

Г- ¡^к.

:

:

Рис. 2 - Поперечное сечение стержня

Следовательно

Т (0) = +

I

..

|дст х(у"■ гм) кз бз

дх

| д1( х,з )Л(з)бз

р(з) бз + р(з) бз ,

где -. = |р(з) бз .

С учетом последнего равенства, из уравнения (2) находим

т (з) = +

Л

- .Л.

|дСТ х (Ум ■ ) Кз) бз

дх

р(з) бз -

-1 ^ах(ум ■ гм) кз бз +

Л ,

дх

| д1( х,з )Л(з)бз

-о

- -Л I Я1( х,з )Л(з) бз.

р(з) бз - (3)

Подставляя в формулу (3), полученное в [1] выражение для нормального напряжения

х = Еое (в)

би^ х) бф2 (х) бфз (х)

бх

■ + г

бх

-у-

бх

бР( х) бх

(ю (з) - к30- (з) - (1 - к30) - (зЦ))

получим

т(з) =

Мю

1- |

- .Л - .Л .

I Еов'(з)

г б 2и1(х)

бх2

+

б2ф2 (х) б2фз (х)

бх2

Ум

бх2

б 2Р( х) бх2

(ю (з) - к30- (з) -

- (1 - к30) -(зм)))Л(з)бз]р(з)бз

1 г *

- Л I Еое (з)

б 2и1( х) б 2ф2( х) бх2 бх2

-

б 2фз( х) б 2Р( х)

м . 2

бх2

бх2

(ю (з) - к30-1 (з) -

- (1 - к30) -

. (зМ ))]к(з)

бз +

+—I

-Л [

Iд1(х,з)Л(з)бз р(з)бз -

.0 _

- -Л I Я1(х, з)Л(з) бз.

Обозначая,

^м(з) =

Мю

|

N0 и J

I д1( х, з) Л(з )бз

-0 Л -0 Л .

- -Л I Я1(х,з)Л(з) бз,

.0

А0 = ЛI е >) Л(з)бз, Л .0

1 . * * ~0 = — IА (з)р(з)бз - А0(з),

-и

Э'0у = ЛIе>)2м Л(з)бз ,

.0

1 г * *

Б0у = —I Б0у (з) р(з) бз - Б0у (з),

= % I е>) Ум Л(з)бз ,

~* 1 , * * ^ог =— I (з) Р(з) бз - (з) ,

р(з) бз -

0

+

+

.

.

0

0

0

0

+

0

I

0

0

I

0

(s) = % J е* (s) [ю (s) - k30q-3l (s) -

h г

Lo

- (1 - k30 ) Q (sM )]h(s)ds, ~ 1

SOZ = -— J So3° (s) P(s) ds -S™ (s),

L L

получаем формулу для вычисления касательных напряжений в сечениях закрытого профиля:

T (s) = t„ (s) +

С2Ui(x) ~* cCzg>2(x) -

,2 A° + SoV

dx2

cx

d2q3(xd2ß(x) ~зо

' Snrл

'Soz -- ..2

вида

dx2 dx2

Отметим, что при вычислении интегралов

11 (в) dв, следует учитывать наличие

разветвлений срединой линии профиля. Так, для отсеченной части, показанной на рис. 2, а -М

11 (в) dв = 11 (в) dв , а для отсеченной части,

1-е 01

показанной на рис. 2,6 -

М1 Г1 М2

11 (в) dв = 11 (в) dв + 11 (в) dв + 11 (в) dв +

о

M1

M1

1 1 '"1 Г2 M

+ J f (s) ds + J f (s) ds.

T (s) = T (sr) + J

d^x(У M , ZM ) dx

h(s) ds +

I

J q1( x,s )h(s) ds.

Точка Г1 находится на поверхности

стержня, поэтому значение Т (вк) известно. Если на

поверхности стержня приложены внешние силы, касательная составляющая которых в направлении

оси 0х равна , то Т(вк) =ткКв). Если на

поверхности стержня нет внешних касательных сил,

то Т(вк) = 0 .

Подставляя в (4) выражение (2), получим формулу для вычисления касательных напряжений на отрытых частях профиля:

т (s) =ik +

d2Щ(x) . d2ф2(x) S. -

j 2 Ao + 2 Soy dx2 dx2

d 2Фз(x) . _ d 2ß(x)

2 Soz ^,2 So®

dx

dx2

Здесь

E,

AO = J e* (s) h(s)ds = J e* (s) h(s)ds h r h{

E

E0

Sly =-° J e* (s) Zm h(s)ds = h J e* (s) Zm h(s)ds

Если текущая точка М находится на отрытой части профиля, то проводим сечение и рассматриваем отсеченную часть открытого профиля. На рис. 2,6 площадь отсеченной части поперечного сечения А0, заштрихована. Уравнение равновесия (2) в этом случае имеет вид:

JJ

dzx dx

dxdA + T(sr) dx - T(s) dx +

JJ q1( x, y, z)dxdA = 0,

где вг - значение координаты в в точке Г1 (рис.2,в).

Последнее уравнение можно записать в следующем виде:

E E sk

S'oz =-0 Je* (s) Ум h(s)ds =-0 J e* (s) yм h(s)ds,

h O h s

Si (s) = h J e* (s) [ (s)- Q (sM)] h(s)ds -

Lo

= E0 Je* (s)[ (s)- Q(sM)]h(s)ds.

Литература

1. Серазутдинов М.Н. Убайдуллоев М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней комбинированного профиля // Вестник технол. ун-та. 2014. Т. 17, № 17. С. 153 - 158.

2. Серазутдинов М.Н. Убайдуллоев М.Н. Вариационный метод расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня открытого профиля // Вестник технол. ун-та. 2014 г. Т. 17, № 8. С. 255 - 260.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, serazmn@mail.ru.

© M. N. Serazutdinov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Theoretical Mechanics and Strength of Materials Department, KNRTU, serazmn@mail.ru.

s

+

L

O

s

o

L

O

s

o

M2 M2

А

o

А

o