CC BY
23УДК 539.1
А. С. Киселёв, В. Г. Кречет
Статические распределения материи в пятимерном пространстве-времени с неметричностью
Данная поисковая научно-исследовательская работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
В работе в рамках пятимерной геометрической теории получен ряд решений для модели, описывающей самогравитирующую идеальную жидкость в пятимерном пространстве с неметричностью вейлевского типа.
Ключевые слова: пятимерие, гравитация, идеальная жидкость, скалярное поле, геометрическая теория.
А. S. Kiseliov, V. G. Krechet
Static Distributions of Substance in Five-Measured Time Space with Non-Metricity
In this work within the five-measured geometrical theory a number of solutions for the model which describes self- gravitating ideal liquid in a five-measured space with non-metricity of Weyl's type is received.
Keywords: five-dimention, gravitation, ideal liquid, a scalar field, a geometrical theory.
Рассмотрим проблемы гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в пространстве Римана - Вейля. В таком пространстве неметричность определяется следующей формулой:
VAgBC = 2WA$BC , (1)
где Wa - вектор Вейля.
В качестве материального источника гравитационного поля рассмотрим идеальную жидкость, описываемую лагранжианом
Lm = -p[c2 + П(р)] + kVl(pUl) + kl(UlUl -1) + k2Ulдx (2)
Здесь Vl - ковариантная производная пространства W4, р - плотность массы, П(р) -внутренняя энергия, pUl - плотность потока массы, k, ki - лагранжевы множители, обеспечивающие выполнение закона сохранения массы Vl(pUl) = 0, нормировки скорости UjU1 =1 и сохранения нумерации частиц U1 дlx = 0 (здесь x - лагранжевы координаты частиц), c
- скорость света.
Гравитационный лагранжиан представим в виде:
Lg = - 2k Д(Г) + aWAWA +P^AB Q ^ ), (3)
где а, в - некоторые константы, к - эйнштейновская гравитационная постоянная, R(r) -скалярная кривизна данного аффинно-метрического пространства. Без учета дивергентных членов R(r) имеет вид:
Я(Т) = R ({}) - (n - 1)(n - 2)WaWa (4)
R({}) - скалярная кривизна риманова пространства, n - размерность пространства-времени, а QAB есть сегментарная кривизна:
QAB = R<ABC = П(дaWB - дBWA ). (5)
© Киселёв А. С., Кречет В. Г., 2012
При варьировании лагранжиана рассматриваемой системы полей Ь = + Ьт по независимым
переменным gAB ,ЖА, р, к, к1, к2, получаем систему уравнений Эйнштейна - Вейля для самогравитирующей идеальной жидкости, которая после исключения лагранжевых множителей к, кх, к2 примет вид:
1 ~ ^лВС г^
= 2ß(— QßCQBCgAB -QacQC) + n
+ [(n - 1)(n - 2) - a](WAWB - 2 WcWCgAB) + k[(p + z)UaUb - PgAB ];
!AcC
(6)
ßQAc - [(n - 1)(n - 2) -a]WA = -nKkpUA.
Здесь ; обозначает ковариантное дифференцирование по римановой связности, 0АВ - тензор
Эйнштейна ( Сав = ЯАВ - 2 ^АВ )•
Из последнего уравнения видно, что источником неметричности, описываемой вектором Вейля, является плотность потока массы идеальной жидкости.
Рассмотрим статические распределения вещества в пятимерном пространстве Римана - Вейля. Для решения данной задачи будем считать, что вектор Вейля является градиентом некоторой скалярной функции Жк = у к , тогда система (6) примет следующий вид:
1 с
САВ =(12-а)(УЖв - gAB ) + ККР + £)иАив - Pg АВ
-г- («4-1
л/- g
5к
12-а
(p + s).
(7)
Таким образом, в этом случае мы получаем два геометрических скалярных поля: метрический коэффициент g44(x) и потенциал неметричности у(х) . Кроме того, из последнего уравнения системы (7) видно, что источником неметричности пространства-времени является плотность энтальпии (р + 8) .
Решения будем искать в сопутствующей системе отсчета иА =(и и,0,0,0,0), иАиА =1.
Вначале исследуем случай сферической симметрии пространства-времени. Соответствующую метрику выберем в виде:
сЬ2 = ; сИ2 - ^(х) йх1 - ^ (х)(с№' + ът2вс1а2) - г(р(х)(йхА)1 (8)
После наложения гармонического координатного условия Х = 2у, + у + ф система (7) можно записать следующим образом:
12-а
г
e
-2j-v-p
-2j-v-p
U
V2
,, р" ju'2 jUp ju'v' v'p'^
+
2 4
+
2
+
2
+
4
+ e~u =
4
jUP ju'v' v'(
V
/ tt
2
2
4
e =
J
J
12-а 2
2
У2е ~2u-v-P + ks + Л
^'2e~2u-v-P + Kp -Л
(9)
e
-2j-v-p
j V"P" j UP jv v(
н---1---
2 2 2
4
2
2
4
у
■i2-^ ' 2e-2u~v-p + Kp -Л
e
r , v" j иФ jUV уул
li л----------
2 4 2 2 4 j
- e~u = - '2e~2u-v-ip +кр -Л
¥'' = ^£~( Р + & 2"+У+(Р 12-а
Здесь Л - космологическая постоянная.
Отсюда можно получить явные выражения для вторых производных искомых функций:
2К 4
,, = 2е^у+р + (р -£)е2м+у+р -^Ле2ц+у+Р
3 3
4К 4
V '' = —(2 р + в)е 2^+Р- з Ле 2^+Р (10)
2К 4
Р' = Р -£)е2ц+У+Р - 3 Ле2^+Р
¥'' = -5К-(Р + 8)е2л+^р 12-а
Далее, продифференцировав уравнение первого порядка системы (9) и подставив в него соотношения (10), получим уравнение движения:
V Л
р + (р + £) — + V
= 0
(il)
V ^ ;
Рассматривая полученную систему в случае отсутствия материи (р = 8 = 0 ),получаем:
V = с1 х; р = с2х; ¥ = с3х; л = 2е 12 (12)
Откуда видно, что общее решение предстанет в виде:
2, тх ч 4
% (^г-С4) + т
ел =-2-•
4m2e(ci+c2)x '
V c1x Ф c^X
e = e 1 ; e^ = e 2; y = c3 x;
(13)
cl5 c2, c3, m = const
Или если константа интегрирования m — 0, то:
1
eu =
2 ( c1+c2) x x e 12
v c1x ф cx
e = e 1 ; e^ = e 2; y = c3 x
(14)
с^х
¥ = С3
В данном решении отсутствует плоская асимптотика.
п оЛ
Далее, из (14) видно, что при С1 + С2 <0 область определения функции е разбивается на две
изолированные области: 1) -да < х <0 и 2) 0 < х < да .
В первой области при х ^ 0 имеем пространственную бесконечность, а ось симметрии находится при х ^ -да .
Во второй области (0 < х < да) при х ^ 0 и при х ^ да имеем две пространственные
бесконечности. При этом функция еи нигде в этой области не обращается в нуль, а это есть условия, определяющие геометрию «кротовой норы». Следовательно, рассматриваемая конфигурация двух скалярных полей может образовывать «кротовые норы».
Если обратиться к уранению состояния пыли (р = 0), то мы придем к таким же результатам и при
этом получим, что 8 = 0, откуда можно сделать вывод, что в рамках этой теории в пятимерном пространстве-времени не существует пылевых равновесных самогравитирующих конфигураций так же, как и в ОТО.
Теперь перейдем к рассмотрению цилиндрической симметрии пространства-времени. Для удобства снова будем использовать экспоненциальный вид метрических коэффициентов:
йз2 = х)сИ2 - еА(х)сСх2 - еи(х)йа1 - ев(х)^2 - ер(х\с1х4)2 (15)
Система (7) для данной метрики запишется следующим образом:
^вР+^+ир+ив+в+Р+ЁР.=12а 2+(к8+Л)е^+в+Р.
222444444 2 '
^ + + ^ + ^ + = 2 + к-л)е^, (16)
444444 2 ()
У^вР-^-Р-в-в-Р-РР = - 12-аУ 2 + (кр-Л)е^+в+Р.
2 2 2 4 4 4 4 4 4 2
= - 12-ау 2 + (кр-Л)е^+в+Р. 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2
=- 12-ау 2+(кр-л)е^+в+Ф. 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2
У' ' = ^К-<< р +
12-а
Здесь также наложено гармоническое координатное условие Х = ц + у + в + р, а Л -космологическая постоянная.
Как и в предыдущем случае, из этой системы можно получить явные выражения для вторых производных и уравнение движения:
V ' ' = - квец+у+в+р+ 8 крец+у+в+р - 4 Ле^+в+р; 3 3 3
2 2 4
и'' = в'' = Р' = 2 крец+у+в+р - 2 кве^+в+р - 3 Леи+у+в+р; (17)
у' ' = ~5К-( р + 8)е^+в+р 12-а
Для предельно жесткого состояния (р = 8) имеем следующее: если параметр а>12
еи = еа1х ; ев = еа2х ; еР = еа3х ;
у = —— 1п 10
Г Ж' Л
2
(а-12)^ 2( — - с2) + т4
200к80 т
2
а, + а2 + а3 + —-2-3 х;
10
ev =
^ 1 mx л ^ 24-2a
(a- 12)tg 2( m- - c2) + m4
e1 =
200ks0 mz
,mx
48k-4ka+a +a, + aQ
-1 2 3 x
48-4a
24-2a
S = Sr
(a-12) tg 2(— - c2) + m« 200ks0 m2
' a- 12)tg2( m - c2) + m - ^
200ks0 m2
48-4a
+ a1 + a2 + a3
( a!+a2 +a3) x
—
■<x> < x < œ;
если параметр a<12
u
a1x. „ß
a2x. „Ф
a3x
e = e 1 ; e" = e " ; e" = e J ;
/ Л
y = —— ln 10
l (12-a)
h
200ks0ch2(— - c3) 2 j
5
a1 + a2 + a3
+ —-2-3 x;
10
ev =
л
I (12-a)
Ix
200Ks0ch 2(--c3)
2 j
24-2a
48k-4ka+a1 + a2+a3 , 48-4a
x
5
e1 =
l (12-a)
lx
200KS0ch2(— - c3)
24- 2a
1-2-3+ k+a + a, +a, Ix
48-4a 1 2 3
S = S0
l (12-a)
lx
200ksQch2(— - c3)
(a1 + a2 + a3 )x
(18)
— ад < x < ад; a2, a3, c2, c3, k, l, m,£0 = const.
В обоих случаях, поскольку eM ^ 0 при x ^ —ад, ось симметрии будет находиться в — ад . В этом
решении отсутствует плоская асимптотика.
5
a + a
e
e
Для вырожденного вакуума (p + s = 0) получим:
s = So; p = -So; w = cx
cj +C4
5cj +c2 +C4
v
e = a-
e
lch( у - ^
e^ = a-
e
lch( j - сз)
Cj +5c2 +C4
5cj +C2 +5c^
eß = a-
e
lch( у - сз)
e9 = a
e
lch( у - сз)
(19)
e1 = a4
e
(3cj +2c2+2C4) x
ch 2( — - c3) 2 3
a =
f л v 32kso j
; c, cl5 c2, c3, c4, I, s0 = const;
ад < x < ад.
Здесь пространственная бесконечность находится при x — ад, а ось симметрии - при x — —ад . Рассмотрим вопрос об асимптотике данного решения. Как известно, условия плоской или струнной асимптотики на пространственной бесконечности следующие:
— м'2
ev — const; ев — const; ем я —-—> 1 — Е; (Е = const). (20)
При Е = 0 получается плоская асимптотика, при 0 < Е < 1 имеется дефицит угла а, то есть струнная асимптотика.
Из решения видно, что если положить c2 = c3 = 0 и c1 + c4 = l, то метрические коэффициенты
ev — const и ев —^ const при x — ад, то есть они соответствуют условиям (20). В таком случае решения (19) примут вид:
ev = eß = a-
Ix
5Ix , 4
(4cj +I) x
eM = a
e
\ch( |)
U |)
e = a
e9 = a-
\ch( f)
(21)
e
(2I +cj) x
2 ,Ix
ch\—) v27
при этом третье условие из (20):
4
4
4
4
4
еЛ
—Я "
.'2
4
а
1 г окХ) 2
е 4
г 1х
4с +1 18к(~22)
2
4 „ , 4 4сН(~)
2
1
при х >>1 в асимптотике ведет себя как функция —- с1е , и при х ^ да получается, что
а
-я "
е"--> 0, откуда Е ^ 1, то есть на пространственной бесконечности дефект угла а — 2п.
4
Следовательно, поверхности, перпендикулярные оси симметрии в точке пересечения с ней, на пространственной бесконечности переходят в цилиндрические поверхности, параллельные оси симметрии.
Имеется также интересный случай: если положить с1 — I и произвести замену х ^ —х, то решение примет вид:
71
еу — ев — а-
е
I
—х 4
1сК |)
е" — а-
е
М( |)
(22)
ер — а-
е
51
--х
4
\сК \)
ея —
а
. 2 /1х
сН\-) 2
Тогда расстояние от оси симметрии до пространственной бесконечности определяется выражением:
да Я да } _ 2
£ — | е2 йх — а21
йх
1х
—да сК2>
2паг
(23)
то есть имеем конечное расстояние при х ^ да . Таким образом, получилась закрытая цилиндрически симметричная Вселенная.
Если же рассмотреть более общее баротропное уравнение состояния р — ке, к Ф — 1, к Ф 1, к Ф 0, то получим следующие соотношения:
в 8к + 4
р — " + ах; р — " + а1 х; V —-" + а2х;
2к — 2
я 14к — 2 , .
Я —-" + (а + а1 + а2) х;
¥
2к — 2
_ 3к(х — (а + а1 + а2 + а3)х) 15к + 3 — (2к — 2)(12 — а) ; _ (2к — 2)(12 — а)
(24)
15(к+1)
■" + аз х;
здесь х в зависимости от знаков констант интегрирования принимает одно из значений:
х
1) х = 1п
2, mx N 4 tg (— - С2) + m4
2cm2
л
2) X = 1n
2c ch 2( — - c3)
V f
2
(25)
У
3) X =1n
2
л
V
c(c4 - x)2
10k2 - 8k - 2 25(k +1)2
c = — ■
3k
k (12-a)
a, a1, a2, a3, c2, c3, c4, l, m = const;
»2,^3,^25^35^4 да < х < да.
Откуда можно получить решения почти для любого уравнения состояния (исключая, как сказано выше, р = ±е и р = 0).
Из выражений (17) получаем, что возникновение «кротовых нор» возможно только для экпиротической материи, то есть когда в уравнении состояния р = ке к > 1. При учете условий на константы интегрирования имеем более жесткие ограничения: к > 3 . Для такой материи скорость звука будет больше , где с - скорость света.
Далее рассмотрим случай, когда материя задается уравнением состояния 3 р + е = 0.
3к
Для упрощения положим--1, с3 = 0 . Далее, наложим следующие
15к + 3 - (2к - 2)(12-а)
ограничения на константы интегрирования:
l 1 31
a + a1 + a3=^; a + a2 + a3= -l; a + a1 + a2= —
Тогда решение соответствующих уравнений запишется в виде:
5
f V
(26)
eß =
m
a-l
2 r lx
ея =
ch 2(-) 2
m
lx
ch2( - ) 2 у
2
eß =
lx
ch(—)
m lx. 2 .
e ; e =
2 Jx
ch 2(-) 2
4m
(27)
x
2
e
e
m
3a—l
^ =
2 Jx
e
m =
63l2 1568
ch 2(-) 2
— да < x< да
Здесь при x ^ да: ee ^ const, ev ^ const, то есть выполняются первые два условия из (20).
Далее при x ^ да выражение
e'
i—X V
л
4
^ m
r9l2
v
16
al +
a
2 Л
4
У
Выбором констант интегрирования можно сделать так, чтобы это выражение стремилось к единице или к 1 — Е , то есть здесь возможна плоская асимптотика, и также возможно возникновение космических струн.
х
2
3
2
