Пятимерная геометрическая скалярно-электро-вакуумная задача Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 524.8

В. Г. Кречет, Д. В. Садовников, М. В. Левкоева

Пятимерная геометрическая скалярно-электро-вакуумная задача

Рассматривается электро-вакуумная задача с геометрическим скалярным полем в рамках пятимерной теории гравитации и электромагнетизма. Получены соответствующие точные сферически-симметричные решения пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна, определяющих физические поля в данной задаче. Среди них есть решения, описывающие геометрию «кротовых нор».

Ключевые слова: гравитация, пятимерная теория, электромагнетизм, «кротовые норы».

V. G. Krechet, D. V. Sadovnikov, М. V. Levkoeva

A Five-Measured Geometrical Scalar-Electro-Vacuum Problem

The electro-vacuum problem with a geometrical scalar field within the limits of the five-measured gravitation theory and elec-tromagnetism is considered. Are received corresponding exact spherical-symmetric solutions of the five-measured vacuum equations of Einstein defining physical fields in the given problem. Among them there are the solutions describing geometry of «mole holes».

Keywords gravitation, a five-measured theory, electromagnetism, "mole holes".

В рамках пятимерной геометрической теории гравитации электромагнетизма Калуцы [1] рассматривается стационарная скалярная электро-вакуумная задача при учете геометрического скалярного поля G44 (X) в пространстве со сферической симметрией, описываемом пятимерной метрикой вида

dI2 = -evdt2 + exdx2 + e» (dO2 + sin2 в dç2) + ea (dx4 )2 + 2ee dt dx4, (i)

где все метрические коэффициенты являются функциями от X, при этом коэффициент G44 (x) = ea

соответствует скалярному полю геометрического происхождения, гв пропорционален электромагнитному потенциалу ф е.

Метрика эффективного пространственно-временного сечения [1] при этом будет иметь вид

ds2 = -гуэффdt2 + ezdx2 + eM (dO2 + sin2 в dç2 ), (2)

где

V a „-a A „a+v , J2R

eэфф=Ae , A = e +eP. (3)

В общем случае в качестве гравитационного лагранжиана Lg в теории Калуцы выбирается пятимерная скалярная кривизна 5R(GAB ) :

Lg = 5 R(Gab » (4)

где Gab - метрические коэффициенты общей пятимерной метрики, G - определитель матрицы метрических коэффициентов.

В рассматриваемом случае пятимерный гравитационный лагранжиан данной вакуумной модели с метрикой (1) за вычетом дивергентного члена принимает вид

'2 п '2 2 в ^

\ f f f 2 f f a+V . nf2 2 ß

L = + 2e^ 4K,

e2. (5)

Л 2 2 л J"

V y

© Кречет В. Г., Садовников Д. В., Левкоева М. В., 2011

После варьирования данного лагранжиана (5) по метрическим коэффициентам получаем следующую систему уравнений:

А '/ / a'v'ea+v + ß'2e2ß А 2 2 А

- 2eI-/ = 0:

Al-Al + / + /2 + 3 АУ-А£-У£-2е-у= 0; А 2 А2 2 А 2 А 2

а'Х а'А' А'/

2у" + а" + у'2 + а'2 + ау - /X -

2/ + v" + /2 + v'2 + V/ - /X -

2/ + ß" + у'2 + ß'2 + вУ-л'Х-

В интегральном виде эта система выглядит так:

'2 -г\>'na+v _l_ n'2„2ß

2 2 А А

v'X V'А' А '/

2 2А А

ß 'X в А А '/

2 А

= 0; = 0; = 0.

(6)

А ff f2 ff a+V . nf2 2

-/ + •/- + - 2еХ-/= 0;

А 2 2А

f + /)VÄ e

/ 2

= ^VÄ

e2;

(7)

,2

5

(a' — v')ea+v = qVA e*

{a'-P')ea+e = C2VA e*

(v'-P')ev+p= C3VA e *-M, где Cj, C2, C3 - постоянные интегрирования.

Вводя гармонические координаты: GnV —G = const, которые в данной задаче записываются как A = eA~2м (A = ea+v + e2e), - из системы (6) получим систему первых интегралов:

■ 3 ^ + — 2e1-" = 0.

2 2A

(I - /)' = W4eX ц + к, где n = ±1, к = const; (a-V)ea+V= С1А; А = ea+V + e2ß; {a'-ß')ea+ß = C2 А; {v'-ß')eV+ß = С3А.

(8)

Первые два уравнения системы (8) сводятся к следующим соотношениям соответственно:

+ Р--2/(х) = 0;

f (x) А2

2А

(9)

f (x) = eI-/ =

1

—Г при

x

a

cos2 ax

a2 sh2 ax

к = 0;

при к = -4a2 < 0;

(10)

при к = 4a2 > 0,

Пятимерная геометрическая скалярно-электро-вакуумная задача

35

из которых в случае, когда C1 = C2 = C3 = 0, получаем решения системы (8): 1) при к = 0

1 л Ь м Ь

ev =-—г = const, e=—, вц =—, a = P = v. (11)

bW2 x4 x2

Когда b2 = s¡2 и х = —

Ъ2

в пространственно-временном сечении получаем плоскую метрику r

(Кфф = ) в сферических координатах:

ds2 = - dt2 + dr2 + r2 (dO2 + sin2 в dp2).

2) при к = -4a2 < 0 уравнение (9) сводится к соотношению у'2 = -2a2 , что невозможно, то есть в данном случае решений нет;

3) при к = -4a2 > 0 имеем решение:

4 -2 a-Jlx 2 -2 a\/2x

eV = b , Я » ■ V" > e"= ^J' V"> a = P = v, (,2)

2b sh ax 2b sh ax

где b2 = const.

Полагая a = b 2sll , решение (12) приводится к более простому виду

2 -2 a\/2x -2 a^Jlx

eV = aJ2eW2x = a ■e_ = ___(13)

^эфф , tí u4 ' 1,2 ' (13)

sh ax sh ax

где —ГО < X < 0 .

В решении (13) удобнее произвести преобразование отражения: X ^—х . Тогда решение (13) приведется к виду

^2 2 а\/2х ^2 аЛх

е,, = а^ 2е , е" =-:-, е;

V = aV2e" ^ ex = _ ец = -__(i4)

'эфф ' ^ , 4 ' ^ 1 2 ' (14)

sh ax sh ax

где 0 < x < +ГО .

Из (14) видно, что коэффициент e^ метрики (1), стоящий при квадрате угловой координаты, нигде в области определения 0 < x < +ГО не обращается в нуль, а на границах области (x —> +ГО и

x — 0 ) неограниченно возрастает. Такое поведение этого метрического коэффициента соответствует пространству-времени «кротовой норы» [2].

V Я

Однако при этом отсутствует плоская асимптотика, так как метрические коэффициенты e и e на границах области определения сингулярны.

Библиографический список

1. Владимиров, Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации [Текст] / Ю. С. Владимиров. - М. : Энергоиздат, 1982.

2. Bronnikov K. A. Acta Phys. Pol. B4 (1973), 251.