CC BY
22УДК 524.8
В. Г. Кречет, Д. В. Садовников, М. В. Левкоева
Пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема с геометризированным скалярным полем
Рассматривается пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема с геометризированным скалярным полем в рамках пятимерной теории гравитации и электромагнетизма. Получены соответствующие точные сферически-симметричные решения пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна, определяющих физические поля в данной задаче. Среди них есть решения, описывающие геометрию «кротовых нор».
Ключевые слова: гравитация, пятимерная теория, Райсснер-Нордстрем, электромагнетизм, «кротовые норы».
V. G. Krechet, D. V. Sadovnikov, M. V. Levkoeva
The Five-Dimensional Geometric Reisner-Nordstrem Problem with the Geometrized Scalar Field
We consider a five-dimensional geometric Reisner-Nordstrem problem with the geometrized scalar field in the five-dimensional theory of gravity and electromagnetism. The corresponding exact spherically symmetric solutions of the five-dimensional vacuum Einstein's equations, which define physical fields in the given problem, have been found. Among them there are the solutions describing geometry of «wormholes».
Keywords: gravitation, a five-dimensional theory, Reisner-Nordstrem, electromagnetism, «wormholes».
В рамках пятимерной геометрической теории гравитации электромагнетизма Калуцы [1] рассматривается задача Райсснера-Нордстрема при учете геометрического скалярного поля G44 (x) в пространстве со сферической симметрией, описываемом пятимерной метрикой вида
dI2 = -evdt2 + exdx2 + eM (d02 + sin2 0dp2) + ea (dx4)2 + 2eB dt dx4, (1)
где все метрические коэффициенты: ev, ex, e^ , ea , eB - зависят только от x, при этом коэффициент G44 (x) = ea имеет смысл геометризированного скалярного поля, eB пропорционален электромагнитному потенциалу срг.
В качестве гравитационного лагранжиана L в единой теории гравитации и электромагнетизма Ка-луцы-Клейна выбирается, как и в ОТО, скаляр кривизны 5R{GAB), но уже пятимерного пространства:
Lg =5 RGab )V-G, (2) где G - определитель матрицы метрических коэффициентов GAB общей пятимерной метрики (1), для которой
f А " 1'А' 'А' А '2 о II a+v . о'2 2 В \
'R(Gab) = -*--+ -3М'2 +MT + a v e +Р e В u +2e-ab { д 2 д д 2д2 2 2д )
Здесь д = ea+v + e2В.
В рассматриваемом случае пятимерный гравитационный лагранжиан (2) данной вакуумной модели с метрикой (1) за вычетом дивергентного члена принимает вид
г д>' ¿и'2 а' у' ea+v+ß' 2e2ß . и L = —!— + — +---+ 2eÄ и
л/д . (3)
Д 2 2 Д
V У
Варьированием лагранжиана (3) по независимым переменным V (х), Л(х), /и(х), а(х), Р(х) получается совместная система уравнений для гравитационного, взаимодействующих электромагнитного и скалярного полей геометрического происхождения. В данной задаче эта система уравнений получается эквивалентной системе первых интегралов:
© Кречет В. Г., Садовников Д. В., Левкоева М. В., 2013
дУ ju'2 а'v e + ß 2e2ß . u n
—?— + — +----2e* u = 0;
д 2 2д
д + у'|л/д e Д
= 2>/д e *;
(4)
(a'-v')ea+v = С-у/д e1-M;
r-— л-
a-P')ea+P = С24Дe> (y'-p)ev+P= С^л/д e1 где С, С, С — постоянные интегрирования.
В гармонических координатах: G"V-G = const, которые в данной задаче записываются как д = e1-2M, - система (4) приобретает вид:
а) з2^ayea^:^ - ^,,
г _2д
б) (Л-ц)' = w 4вЛ-ц + k, где k = const;
в) (a'-v' )ea+y = С Д;
г) (a'-p )ea+: = С2 д;
д) УУ-:' )ey+: = С2 д.
где s = +2 - знаковая функция.
Поскольку метрические коэффициенты Ge = ey и G44 = e: зависят только от x и не зависят ни от t, ни от x4 соответственно, то в интеграле (5в) константу С можно положить равной нулю. Откуда получим при соответствующей калибровке масштабов координат t и x4: ea = ey, а значит и С2 = С = С . Из системы (5) следует:
(5)
ff 2(*) Д '21 а' V' ea+V+ß' 2e2ß
f 2( x)
e*-u = f (x) =
ea-ß = tg Cx,
2 д
при
- 2f (x) = 0;
k = 0;
cos ax
a2
sh2 ax
при k = -4a2 < 0; при k = 4a2 > 0,
(6)
откуда получаем: eV = ea = Aemx sin Cx, eß = Aemx cos Cx
где A,m = const, при этом m2 (С2 + k)/3 и 0 < x .
В зависимости от постоянной k другие коэффициенты метрики (1) выглядят: 1) при k = 0
A2 x2
A2 x4
2) при к = 4a2 > 0
3) при к = -4a2 < 0
A sh ax
2 -2 mx
a e
A cos ax
e* = -
A sh ax
2 -2mx
a e
A cos ax
(7)
(8)
(9) (10) (11)
ж ж
Представляет интерес последнее решение (11). Здесь при--< х <— поведение метрического
2а 2а
коэффициента вм соответствует пространству-времени «кротовой норы», т. к. он нигде не обращается в нуль, а на границах области (х ^ -ж /2а и х ^ ж /2а) неограниченно возрастает. Кроме того, чтобы
Пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема 79
с геометризированным скалярным полем
1
1
2
x
e
e
*
eu =
e =
e* =
eu =
совместить границы интервалов (8) и (12), необходимо, чтобы C = 2a . При этом постоянная a имеет смысл параметра растяжения масштабов «кротовой норы», поскольку х =±л / 2a возрастают с уменьшением a и убывают с его ростом. Горловина получившейся «кротовой норы» соответствует минимуму функции e^ . В самом деле, максимум функции cos ax равен единице при х = 0 . Отсюда получаем, что радиус горловины «кротовой норы» равен ец (х = 0) = a2 / Л2.
Из (7) следует, что поскольку при х < 0 функции ev и еа становятся отрицательными, то временная координата t становится пространственной, а 4-я пространственная координата х4 - временной координатой, т. е. получается, что координаты t и х4 меняются ролями, но сигнатура метрики при этом не изменяется.
Библиографический список
1. Владимиров, Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации [Текст] / Ю. С. Владимиров. - М. : Энергоиздат, 1982. - 256 с.
2. Bronnikov K. A. Acta Phys. Pol. B4 (1973), 251.
Bibliograficheskij spisok
1. Vladimirov, Ju. S. Sistemy otscheta v teorii gravitacii [Tekst] / Ju. S. Vladimirov. - M. : Jenergoizdat, 1982. - 256 s.
2. Bronnikov K. A. Acta Phys. Pol. B4 (1973), 251.
