Космологическая проблема в пятимерном пространстве Римана - Вейля с идеальной жидкостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.1

А.С. Киселев, В.Г. Кречет

Космологическая проблема в пятимерном пространстве Римана - Вейля

с идеальной жидкостью

В данной работе получен ряд космологических решений в рамках обобщенной теории Калуцы - Клейна для случая пятимерного пространства Римана - Вейля. Материя представлялась в виде идеальной жидкости, индуцирующей неметрич-ность пространства - времени. Показано, что такая теория дает вполне адекватное описание современного этапа эволюции Метагалактики.

Ключевые слова: пятимерная космология, эволюция Вселенной, теория Калуцы - Клейна, пространства с неметрич-ностью.

Â.S. Kiseliov, V.G. Krechet

A Cosmological Problem in Five- Dimensional Space of Riemann - Weyl

with Perfect Liquid

In the framework of Kalutsy - Klein theory which generalized to the case of the five-dimensional space a number of cosmological solutions have been obtained. The matter is in the form of the perfect fluid, which induces nonmetricity space-time. It is shown that such a theory gives a realistic description of the present stage of evolution of the meta-galaxy.

Key words: five- dimensional cosmology, evolution of the Universe, the Theory of Kalutsy-Klein, nonmetric space . Теория Калуцы - Клейна обобщается путем ее рассмотрения в пятимерном пространстве - времени Римана - Вейля с неметричностью Ошибка! Закладка не определена. VAgBC = 2WAgBC

( A, B, C = 0,1,2,3,4) . Гравитационный лагранжиан теории принимает вид:

Lg = - £(Я(Г) + aWAWA + aa ), (1)

где (без учета дивергентных членов):

Я(Г) = R({}) -12 WaWa ,

ОaB есть сегментарная кривизна, определяемая

О = RC = 10W

^ CAB lKJУУ[A,B^ где RacD - тензор Римана, а вектор Вейля примет вид:

Wa = 12 kpUAx.

Здесь X - эйнштейновская гравитационная постоянная, k - лагранжев множитель, обеспечивающий выполнение закона сохранения массы, р - плотность массы, U - скорость, так что pU - плотность потока массы.

4

Также учитывается условие цилиндричности по пятой координате X .

© Киселев А.С., Кречет В.Г., 2011

В данной работе рассматриваются приложения такого обобщения теории Калуцы - Клейна к космологическим проблемам. Исследуется пятимерная однородная изотропная модель, описываемая плоской метрикой:

Жз2 = -Ж2 + а($ )(<х2 + <у2 + dz2) + Ъ(г )(<х4 )2 (2)

Здесь масштабный фактор Ъ(/) при дополнительной координате X определяет наличие геометрического безмассового скалярного поля. Кроме того, если вектор Вейля считать градиентным

= Ц/ , где Ц - потенциал для Wi, то в данной задаче получается уже два геометрических скалярных поля: Ъ(/) и ). Материю, заполняющую Вселенную, представим в виде идеальной жидкости.

Уравнения, определяющие эволюцию данной модели, следующие:

за2 заЪ 12-а .2

+— =-Ц/2 + х£ + Л,

2а а — +

а а'

2 а

2 b 2ab

+ — + ■

ab

12

2

b ab

за 3a2

—

2 12

2

а . 2 -V

а

а

а

2

XP + A:

V 2-XP + л,

(3)

^за Ьл —+-

a b

5X

12-а

(p + )).

Ц + Ц

К" " J

Здесь р - давление, В - плотность энергии, а - константа.

Видно, что при уравнении состояния вакуума (р + В = 0) правая часть последнего уравнения

системы (3) обращается в нуль, то есть вакуумная материя не обладает скалярным зарядом и не может являться источником неметричности.

Из системы (3), дифференцируя первое уравнение и исключая с помощью других вторые производные, можно получить локальный закон сохранения энергии, который в нашем случае примет вид:

+ (p + в)

за b _.

- + - + 5ц/ a b

= 0

(4)

^ ^ J

Далее из второго и третьего уравнений системы легко вывести соотношение:

Г • /Л з

а/ а

b

а

= const

"У

Если положить в этом соотношении константу интегрирования равной нулю, то получим, что а(/) = Ъ(/) , то есть пространство - время изотропно по всем четырем пространственным измерениям.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в данной модели, кроме геометрических скалярных полей Ъ (^) и щ( ?), присутствует лишь космологический член Л , описывающий «темную энергию» и соответствующий идеальной жидкости с вакуумным уравнением состояния р + в = 0 . Тогда уравнение (4) выполняется тождественно. Общее решение системы (3) в этом случае примет вид:

4 kt_ - kt 4 к^ ^2

a =

2kc2

где

k = — Л, c, c = const

3

1' 2

(5)

Более конкретный вид решений будет зависеть от константы интегрирования С, :

a) c2 = 0 ^ a(t)

kt_

= е 4

\Î2k

b) c2 > 0 и пусть c2 = ci4 ^ a(t)

4

c

- sh(kt ) (6)

c) c2 < 0 и пусть c2 = -c1 ^ a(t) =

h-

c

k ch(kt )

Видно, что в случаях (6a) и (6c) получаются решения, в которых отсутствует сингулярность в начальный момент времени.

Далее будем рассматривать космологическую модель (2) уже при наличии идеальной жидкости с

баротропным уравнением состояния p = ks (к = const ,0 < к < 1).

Здесь так же положим, что a(t) = b(t) , кроме того, для удобства сделаем замену переменной

= 1 ■ = Р •• =Р_Р

Щ = In р, так что Щ = и у = 2 , переобозначим xs —^ s и зададим константу

р ( (

= _ 27

а = . Окончательно получим единственное уравнение, описывающее данную космологиче-

16

скую модель:

f ЛЛ*

2

в ß

в2 К 8 .

+ ^ =—^т +—Л

ß2 3ßk+1 3

k+1

J

.4 „5

(7)

Здесь в = ар , а So = const - соответствует плотности энергии в начальный момент времени.

Далее рассмотрим полученные результаты применительно к конкретным уравнениям состояния материи.

В случае предельно жесткого уравнения состояния (p = s) имеем следующее общее решение:

Г

a(t )

8к

\

1

V 3m j

sh ~4(Ät )

p(t ) =

m ^

я

J

V

ch(Ät ) sh(Ät )

1

(8)

8

Здесь и далее m = const, Я = J 3 Л .

2

2

Как можно видеть, в этом решении присутствует начальная сингулярность, а первоначальный

Г \_\

4 сменяется на более поздних этапах экспоненциаль-

фридмановский режим эволюции

a(t) ~ t1

v

j

ным

(а(/) е ), соответствующим современной инфляции, то есть полученная модель вполне

реалистична и согласуется с существующей принятой моделью.

f

Далее рассмотрим уравнение состояния излучения

192^

Р =

v

л

. В этом случае имеем:

j

Лгг»_зЛ16 1

a(t) =

v m Л j

sh 4(At )ch 8(At)

(9)

(p(t) =

^3m2 > ( ch(At) ^5

v 8Л j v

sh(At)

j

Тут, как и в предыдущем случае, имеется сингулярность в начальный момент времени, и на современном этапе расширение идет экспоненциально.

Теперь рассмотрим пылевидное уравнение состояния материи (р = 0) . В этом случае уравнение (7) не интегрируется в элементарных функциях, поэтому рассмотрим асимптотические решения: 1)

Р(г) << 1 и 2) Р(г) >> 1.

В первом случае (при ¡3() << 1) получаем:

a (t) =

v

l - 3 Г t + ci4l~

2m

8 r

3 C0

>4

m

((t) =

m —t + ■

mc

1

V

(10)

2 V1 3^0 j

где l = Const , причем l — 3 Г0 ^ 0 .

( 1 ^

Из этого решения видно, что расширение на данном этапе идет замедленно a(t) ~ t

v J

Во втором случае, когда ^(t) >> 1, общие решения запишутся следующим образом:

v

' 8с1ЛЛ v 3m j

a(t) =

e

(11)

f О___2 Л

((t) =

v

3m 8Л

10

J

1

8

1

Здесь видно, что расширение идет экспоненциально, что соответствует инфляционной фазе эволюции Вселенной, а геометрическое скалярное поле ( на этом этапе является постоянным во времени, то есть обобщение теории Калуцы - Клейна на пространства с неметричностью Вейля дает, применительно к космологии, вполне реалистичные результаты, согласующиеся с современными данными наблюдений принятыми моделями.

Библиографический список

1. Владимиров, Ю.С. Пространство - время - явные и скрытые размерности [Текст] / Ю.С. Владимиров. -М. : УРСС, 2009. - 191 с.

2. Krechet V.G. Geometrization of physical interaction, 5-dimensional theories and the many world problem. // Gravitation and Cosmology, 1995. v.1.