CC BY
14
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 1(12). C. 32-40. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-12-1-32-40
УДК 517.956.6
ПОСТАНОВКА И ИЗУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВИДА ddx С1") = 0 В ПЯТИУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
М. Мамажонов, Х. Б. Мамадалиева
Кокандский государственный педагогический институт им. Мукимий, 113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37 E-mail: bek84-08@mail.ru
В настоящей работе ставятся две краевые задачи, и исследуется одна из этих задач для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа вида jX (L") = 0 в пятиугольной области. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи.
Ключевые слова: дифференциальные и интегральные уравнения,краевые задачи, параболо-гиперболический тип
(с) Мамажонов М., Мамадалиева Х. Б., 2016
MSC 35M13
STATEMENT AND STUDY OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THIRD ORDER EQUATION OF PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE TYPE ddx (Lu) = 0 IN A PENTAGONAL AREA
M. Mamazhonov, Kh. B. Mamadalieva
Kokand State Pedagogical Institute. Muqimiy, 113000, Uzbekistan, Kokand, st. Amir Temur, 37
E-mail: bek84-08@mail.ru
In this paper we put two boundary value problems, and examines one of these problems for the equation of the third order parabolic-hyperbolic type dX (Lu) = 0 in a pentagonal area. We prove the unique solvability of the problem
Key words: differential and integral equations, boundary problems, parabolic-hyperbolic type
© Mamazhonov M., Mamadalieva Kh. B., 2016
Введение
При решении краевых задач математической физики применяются методы дифференциальных и интегральных уравнений. Настоящая статья является примером применения этих методов к решению одной краевой задачи для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа в пятиугольной области.
Постановка задачи
Рассмотрим область В на плоскости хОу, где В = В1 иВ2 и В3 и В4и иАВ иА£2 и А£ иАА0 и{(0, 0)}, а В1 - прямоугольник с вершинами в точках А (0, 0), В(1, 0), В0 (1, 1), А0 (0, 1), В2 - треугольник с вершинами в точках А (0, 0), В (1, 0), Е1 (0, —1), В3 - треугольник с вершинами в точках А(0, 0), Е1 (0, —1), £2(—1, 0), В4 - треугольник с вершинами в точках А (0, 0), А0 (0, 1), £2 (—1, 0), АВ - открытый отрезок с вершинами в точках А (0, 0) и В (1, 0), А£2 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0, 0) и £2 (—1, 0), А£ - открытый отрезок с вершинами в точках А (0, 0) и £1 (0, — 1), АА0 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0, 0) и А0 (0, 1). Рассмотрим в области В уравнение
I =(Ц
где
т I ихх (х, у) е В1,
\ ихх — Муу, (х, у) е Вг-, г = 2, 3, 4.
Введем следующее обозначение: и (х, у) = иг (х, у), (х, у) е Вг(г = 1, 2.3, 4). Рассмотрим следующую задачу для уравнения (1): Задача 1. Найти функцию и (х, у), которая
1) непрерывна в замкнутой области В;
2) удовлетворяет уравнению (1) в области В при х = 0 и у = 0;
3) удовлетворяет следующим краевым условиям:
и1 (1, у) = Ф1 (у), 0 < у < 1, (2)
и2|В£1 = (х) , 0 < х < 1, (3)
и4|А0С3 = 2 (х) , — 2 < х < 0 (4)
д м2
д n
д Щ4
= (x), 0 < x < 1, (5)
BE1
= (x), -1 < x < 0, (6)
A0E2
д n
4) удовлетворяет следующим непрерывным условиям склеивания:
щ (x, 0) = щ2 (x, 0) = т1 (x), 0 < x < 1, (7)
w1y (x, -0) = w2y (x, +0) = Vi (x), 0 < x < 1, (8)
M3 (x, 0) = w4 (x, 0) = т2 (x), -1 < x < 0, (9)
u3y (x, 0) = w4y (x, 0) = V2 (x), -1 < x < 0 (10)
U (0, y) = w4 (0, y) = T4 (y), 0 < y < 1, (11)
uix (0, y) = U4x (0, y) = V4 (y), 0 < y < 1, (12)
"1xx (0, y) = W4xx (0, y) = Д4 (y) , 0 < y < 1, (13)
U2 (0, y) = U3 (0, y) = T3 (y), -1 < y < 0, (14)
U2x (0, y) = U3x (0, y) = V3 (y), -1 < y < 0, (15)
U2xx (0, y)= M3xx (0, y)= M3 (y) , -1 < y < 0. (16)
Здесь n - внутренняя нормаль к прямым BE1 или E1E2, ф1, Щ1, щ2, щ4, щ -заданные достаточно гладкие функции, а Tj, Vj (j = 1, 2, 3, 4), д1, д2 - неизвестные пока достаточно гладкие функции, подлежащие определению, причем выполняются следующие условия согласования: Щ (0) = - Щ (0), т1 (1) = щ1 (1) = ф (0), Ti (1) = ф (0) - /2щ (1), < (1) = Ф" (0) - /Щ (1).
Задача 2. Эта задача отличается от Задачи 1 тем, что вместо условия (4) берется условие:
U3 IE2C2 = Щ3 (x), -1 < x < - ^.
Остальные условия остаются без изменений.
В этой работе рассмотрим только Задачу 1. Для решения поставленной уравнение (1) запишем в виде:
"1xx - «1y = ®1 (y), (x, y) e D1, (17)
ихх - = « (у), (х, у) е а- (г = 2, 3,4), (18)
где введено обозначение: и (х, у) = и (х, у), (х, у) е Аг (г = 1, 4), а (у) (г = 1, 4) -неизвестные пока непрерывные функции.
Области Аг (г = 2, 3, 4) запишем в следующем виде: Аг = Аг1 и Аг2 и АСг—ь где А21 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), В (1; 0), С1 (2, — 1), А22 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), £1 (0; —1), С1 (1, — 1), А31 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), £1 (0; —1), С2 (—^, — 2), А32 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), £2(—1;0), С2 (—1, — 2), А41 - треугольник с вершинами в точках А (0;0), А0 (0; 1), С3 (—2,1), А42 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), £2 (—1; 0), С3 (—1, 2), АС1 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0; 0),
С1 (2, — 2), АС2— открытый отрезок с вершинами в точках А(0;0), С2 (—2, — 2), АС3— открытый отрезок с вершинами в точках А(0;0), С3 (—2, 2), то есть АС1 = {(х, у) е Я2 : 0 < х < 2, у = — х^ В21 = {(х,у) еЯ2: — 2 < у < 0, —у < х < у + 1Ь, В22 = {(х, у) е Я2 : 0 < х < 2, х — 1 < у < —х}, АС2 = {(х, у) е Я2 : — 2 < х < 0, у = х}, В31 = {(х, у) е Я2 : — 2 < х < 0, —х — 1 < у < ь}, В32 = {(х, у) е Я2 : — 1 < у < 0, —у — 1 < х < у}, АС3 = {(х, у) е Я2 : — 2 < х < 0, у = —х} ,В41 = {(х, у) е Я2 : — 1 < х < 0, —х < у < х + 1}, В42 = {(х, у) е Я2: 0 < у < 1, у — 1 < х < — у^
Тогда уравнение (18) (г = 2, 3, 4) примет следующий вид:
игъх — игкуу = ©к (у), (х, у) е В& (г = 2, 3, 4; к = 1, 2), (19)
где введены обозначения иг (х, у) = игк (х, у), юг- (у) = югк (у), (х, у) е Вгк (г = 2, 3, 4; к = 1, 2).
Сначала Задачу 1 будем исследовать в области В2. Запишем решение уравнения (19) (г = 2; к = 1), удовлетворяющее условиям (7), (8):
U21 (x, y) = T1 (x + y) + T1 (x y) + 2/ V1 (t) dt -J (y - n) Ю21 (n) dn. (20)
x-y 0
Условие (5) можно записать в следующем виде:
дщ21 д Щ21
дx ду
= —л/2^4 (x). (21)
y=x—1
Дифференцируя уравнение (20) по х и у, и подставляя их в (21), после некоторых преобразований находим
©21 (у) = —^2^4 (у + 1), — 1 < у < 0. (22)
Теперь подставляя (20) в (3) и дифференцируя полученное соотношение и затем в полученном соотношении заменяя 2х — 1 на х, приходим к уравнению
у1 (х) = — ^ (х) + а1 (х), 0 < х < 1, (23)
где а1 (х) - известная функция.
Далее, переходя в уравнении (17) к пределу при у ^ 0, получим:
т1 (х) — у1 (х) = ©1 (0), 0 < х < 1,
где ©1 (0) неизвестное пока постоянное число. Подставляя (23) в последнее равенство, получим уравнение
< (х) + (х) = а1 (х) + © (0), 0 < х < 1.
Интегрируя это уравнение от 1 до х, имеем
х
^ (х) + Т1 (х) ^ У «1 (?) Л + ©1 (0) (х — 1) + Ь, 0 < х < 1, 1
y
где Ь неизвестное пока постоянное число. Решая это уравнение при условиях Т1 (1) = ^ (1) = ф (0), т1 (1) = ф1 (0) - (1), < (1) = ф11 (0) - (1), получим:
х
т1 (х) = ^ (1 - ехр (? - х)) а1 (?) Л + ю1 (0) (х - 2 + ехр (1 - х)) + (24)
1
+Ь (1 - ехр (1 - х)) + с ехр (1 - х)
где
с = ф (0),Ь = ф1 (0) + ф (0) - ^2^4 (1), «1 (0) = ф'1 (0) - ^2^4 (1) + ф' (0) - ^2^4 (1) - У1 (1).
Таким образом, мы нашли функцию Т1 (х), а следовательно и функции У1 (х), "21 (х, у).
Теперь переходим в область ^2. Запишем решение уравнения (19) (г = 2; к = 2), удовлетворяющее условиям (14), (15):
у+х х у+х-п
"22 (х, у)= Т3 (У + х) + Т3 (У - х) + 2/ V3 (0 ^ + 1/dп I «22 (<§ ) ^^. (25)
у-х 0 у-х+п
Дифференцируя (25) по х и у и подставляя их в (21), после некоторых преобразований находим:
«22 (у) = -^2^4 (у + 1), -1 < у <-1 (26)
~ л (д"22 , д "22 \ [д "21 , д"21 \ Теперь будем пользоваться из условия —--1—-— = —--1—-—
V дх ду У у^-х V дх ду У
x
х -х
т3 (0) + Уз (0) + | «22 (-П) dn = т1 (0) + У1 (0)«21 (п) dn. 00
Дифференцируя это равенство и в полученном равенстве заменяя -х на у и учитывая (22), получим «22(у) = -л/2^4 (у + 1), -1 < у < 0. Из этого равенства и (26) видно, что
«22 (у) = -^2^4 (у + 1), -1 < у < 0. Далее, подставляя (25) в (3) и дифференцируя полученное равенство, имеем
т3 (у) + У3 (у) = 51 (у), -1 < у < 0, (27)
где 51 (у) - известная функция.
Теперь используем условие "22 (х, -х) = "21 (х, -х), где "21 (х, -х) - известная функция.
Подставляя (25) в это условие и дифференцируя полученное равенство, затем в продифференцированном равенстве заменяя -2х на у, получим следующее соотношение:
т3 (у) - У3 (у) = 52 (у), -1 < у < 0, (28)
здесь ¿2 (у) - известная функция. Из (27) и (28) находим:
Интегрируя
V3 (у) = 1 [Si (у) - 52 (у)], -1 < у < 0. (29)
(у) = 2 [¿1 (у) + ¿2 (у)], -1 < у < 0.
последнее равенство от —1 до у, получим:
у
2
у
Тз (у) = 1/ [5i (п) + 52 (n)] dn + Ti (0), -1 < у < 0 (30)
-1
где положено т3 (0) = т1 (0).
Таким образом, мы нашли функцию "22(х,у), а следовательно - и функцию "2 (х, у) полностью.
Теперь переходим в область Вз. Если в уравнениях (19) (г = 2; к = 2) и (19) (г = 3; к = 1) перейти к пределу при х ^ 0, то мы получим уравнения д3 (у) — т3' (у) = «22 (у), Д3 (у) — (у) = «31 (у). Из этих соотношений видно, что
«31 (у) = «22 (у) = (у + 1), —1 < у < 0.
Следовательно, функция "31 (х, у) уже станет известной. Она определяется по формуле:
у+х х у+х—п
"31 (х, у) = Т3 (у + х) + Т3 (у — х) + 2/Vз (О Л +1/¿п / «31 (<§) ^. (31)
у—х 0 у—х+п
(д "32 д "32 \ (д "31 д "31 \ Далее, будем пользоваться условиями: —----— = —----—
V дх ду У у=х V дх ду /
у=х
Запишем решение уравнения (19) (г = 3; к = 2), удовлетворяющее условиям (9),( 10):
х+у у
"32 (х, у) = Т2 (х + у) + Т2 (х — у) + 21 у2 (,) Д — | (у — п ) «32 (п) ¿П. (32)
х—у 0
Дифференцируя (31) и (32) по х и у и подставляя их в условие ^"Ц32 — "Ц32)
д "31 д "31 \
дх ду )
у=х
, получим:
у=х
л л
т2(0) — У2(0) + |«32(п)¿п = —т3 (0) + У3 (0) + У «31 (п)¿п. 00
Дифференцируя это уравнение и в полученном равенстве заменяя х на у, находим: «32 (у) = «31 (у) = —^2^4 (у + 1), —1 < у < 0.
Теперь учитывая условие "32 (х, х) = "31 (х, х), имеем:
2х х
Т2 (2х) + Т2 (0) 1 Г _ Г, , ,, Т3 (2х) + Т3 (0)
+ ^2 (?) dí -у (х - п) «32 (п) dn = 3 „ +
2 2 2
00
2х х 2х-п
+^уУ3(?)dí + ^УУ «31 (<§).
0 0 п
Дифференцируя это равенство и в полученном уравнении заменяя 2х на х, получим:
У2 (х) = -т2 (х) + а2 (х), -1 < х < 0, (33)
где а2 (х) - известная функция.
Теперь переходим в область ^42. Запишем решение уравнения (19) (г = 4; к = 2), удовлетворяющее условиям (9), (10):
х+ х
"42 (х, у) = Т2 (х + у) + Т2 (х - у) + 2 у У2 (?) df-I (у - п) «42 (п) dп. (34)
х-у 0
Дифференцируя (34) по х и у и подставляя их в (6), получим
хх+1
т2(-1) - У2(-1)+ У «42(п)dп = (х), -1 < х <-2. 0
Дифференцируя это равенство и в полученном уравнении заменяя х + 1 на у, находим:
«42 (у) = ^2^6 (у - 1), 0 < у < 2. (35)
Подставляя (33) в (34), после некоторых упрощений получим
хх+у ху
"42 (х, у) = Т2 (х - у) + 2 У «2 (?) dí -1 (у - п) «42 (п) dп (36)
х-у 0
Теперь переходим в область £41. Запишем решение уравнения (19) (г = 4; к = 1), удовлетворяющее условиям (11), (12):
у+х х у+х-п
"41 (х, у) = Т4 (у + х) + Т4 (у - х) + Ц У4 (?) d? + 2у dп У «41 (<§) (37)
у-х 0 у-х+п
Дифференцируя (36) и (37) по х и у и подставляя их в условие ^д"41 + дд"41 ^
/ д "42 + д "42 \
+"дГ у
y=—x
, получим:
y= — x
x —x
т4 (0) + V4 (0) + y «41 (—n) dn = (0) + v2 (0) — J «42 (n) dn, — ^ < x < 0.
Дифференцируя это равенство и в полученном уравнении заменяя — х на у и учитывая (35), находим
«41 (у) = «42 (у) = (у — 1) , 0 < у < 1. (38)
Подставляя (37) в (6), имеем
х
—т4 (1) + У4 (1) + У «41 (1 + П) Ап = ^2^6 (х) , —11 < х < 0.
0
Дифференцируя это равенство и в полученном уравнении заменяя 1 + х на у, находим:
«41 (у) = (у — 1), 1 < у < 1. Из последнего равенства и (38) видно, что
«41 (у) = (у — 1), 0 < у < 1. (39)
Теперь подставляя (37) в (4) и дифференцируя полученное равенство, затем в полученном уравнении заменяя 2х + 1 на у, получим:
т4 (у) + У4 (у) = аз (у), 0 < у < 1, (40)
где аз (у -известная функция.
Затем учитывая условие и41 (х, —х) = и42 (х, —х), дифференцируя полученное уравнение и заменяя —2х на у, получим:
т4 (у) — У4 (у) = —2т2 (—у) + а4 (у), 0 < у < 1, (41)
где а4 (у) - известная функция.
Из (40) и (41) находим функции т4(у) и у4(у):
т4 (у) = —т2 (—у) + 1 [аз (у) + а4 (у)], 0 < у < 1, (42)
У4 (у) = т2 (—у) + 2 [аз (у) — а4 (у)], 0 < у < 1. (43)
Интегрируя (42) от 1 до у, находим Т4(у):
1 у
Т4 (у) = Т2 (—у) + 2 у [аз (?) + а4 (?)] А? + у2 (0) — т2 (—1), 0 < у < 1. 1
Теперь переходим в область В1. В уравнения (17) и (19) (г = 4; к = 1) переходя к пределу при х ^ 0, получим соотношения: д4 (у) — т4 (у) = «1 (у), Д4 (у) — т4' (у) = «41 (у).
Исключая из этих соотношений функцию Д4(у), получим: «1 (у) = т4'(у) — т4(у) + «41 (у).
Дифференцируя (42), имеем: т4' (у) = (— у) +1 [а'з (у) + а'4(у)].
Тогда учитывая последнее равенство и (42), функцию «1 (у) можно записать в виде:
«1 (у) = Т2 (-у) + (-у) + п (у), (44)
где 71 (у) - известная функция.
Далее, запишем решение уравнения (17), удовлетворяющее условиям (2), (7), (11):
ui (x, y) = 1
У У
J Т4 (n ) G (x, y; 0, п ) dП -J Çi (n ) (x, y; 1, n) dn + (45)
+ j Ti (£ ) G (x, y; £, 0) d£ -J «1 (n ) dnj G (x, y; £, n ) d £
.0 0 1 у 1.
О (
0 0 0
Дифференцируя (45) по х ив полученном равенстве переходя к пределу при
у
х ^ 0, в силу (42) и (43) учитывая равенство т2 (—у) = т' (0) — / т''2 (—п) (п, получим
0
уравнение типа Абеля относительно т2' (—у). Применяя в это уравнение обращение
Абеля, после некоторых вычислений получим уравнение
у
Т2 (—у) + / К (у, п) т''2 (—п) (п = В (у), (46)
0
где К (у, п), В (у) - известные функции.
Уравнение (46) является интегральным уравнением типа Вольтерра второго рода, ядро К (у, п) имеет слабую особенность, а правая часть в (у) непрерывна в промежутке 0 < у < 1. Решая уравнение (46) в классе непрерывных функций в промежутке 0 < у < 1, находим функцию т2'(—у), а следовательно и функции т2 (—у), т2 (—у), Т4 (у), У4 (у), «1 (у), "41 (х, у), "42 (х, у) и "1 (х, у). Таким образом, Задача 1 решена полностью.
Заключение
В работе [1] рассмотрен ряд краевых задач для более общих уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа в области с одной характеристической линией изменения типа. В работе [2] рассмотрены краевые задачи для одного класса параболо-гиперболических уравнений третьего порядка в вогнутой шестиугольной области.
Список литературы
[1] Джураев Т.Д., Мамажонов М., "О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа", Дифференциальные уравнения, 19:1 (1983), 37-50.
[2] Мамажонов М., Шерматова Х. М., Мукадасов Х., "Постановка и метод решения некоторых краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2014, №1(8), 7-13.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.03.2016
