Постановка и метод исследования некоторых краевых задач для одного класса уравнений четвертого порядка параболо-гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ПОСТАНОВКА И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

М. Мамажонов, С.М. Мамажонов

Кокандский государственный педагогический университет им. Мукини,

113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37 E-mail: [email protected]

Настоящая работа посвящена изучению методики исследования некоторых краевых задач для одного класса параболо-гиперболических уравнений четвертого порядка в вогнутой шестиугольной области, которые воспользуется при изучении задач математической физики в магистратуре.

Ключевые слова: краевые условия, условие склеивания, интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(с) Мамажонов М., Мамажонов С.М., 2014

MSC 35M13

STATEMENT AND RESEARCH METHOD SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A CLASS OF FOURTH ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE

M. Mamajonov, S.M. Mamajonov

Kokand State Pedagogical Institute by Mukini, 113000, Uzbekistan, Kokand, Amira

Temura st. 37

E-mail: [email protected]

This paper studies the methods of investigation of some boundary value problems for a class of parabolic-hyperbolic equations of the third order in the hexagonal concave areas that take advantage of the study of problems of mathematical physics in the magistracy.

Key words:operator boundary conditions, the condition of bonding, Volterra integral equation of the second kind

(c) Mamajonov M., Mamajonov S.M., 2014

Введение

Развитие уравнений в частных производных обусловлено широких кругом прикладных задач в физике, экономике, биологии и в других науках. В рамках теории уравнений математической физики как дисциплины, читаемой в магистратуре, большой интерес представляют уравнения смешанного типа. Такие уравнения могут быть использованы при описании различных физических процессов от пространственных околозвуковых течений идеального политропного газа, гидродинамических течений с переходом через скорость звука до бесконечно малых изгибаний поверхностей.

Постановка задачи

Рассмотрим на плоскости xOy обдасть О, где

О = О и О2 и О3 и АВ и АА0, О = {(х, у) е Я2 : 0 < х < 1,0 < у < 1} ,

О = {(х, у) е Я2 :-1 < у < 0,0 < х < у + 1} ,АВ = {(х, у) е Я2 : у = 0,0 < х < 1} ,

О3 = {(х, у) е Я2 : — 1 < х < 0,0 < у < 1} ,АА0 = {(х, у) е Я2 : х = 0,0 < у < 1} ,

т.е. О - есть шестиугольная область с вершинами в точках А (0, 0), С(0, —1), В (1, 0),

В0 (1, 1), О0 (—1, 1), О(—1, 0). Точка А0 имеет координаты А0 (0, 1).

Область О2 разделим на две части с помощью отрезка

АЕ = |(х, у) е Я2: 0 < х < 2, у = —х|.

Тогда область О можно записать в виде

О2 = О21 и О22 и Оз и АЕ,

О21 = |(х, у) е Я2 : —1 < у < 0, —у < х < у + 11,

О22 = |(х, у) е Я2 : 0 < х < 1, х — 1 < у < —х |,

, а Е (2, — 2).

В области О рассмотрим уравнение

01дх+61 ду)(а21х+62 ду) м=0, (1)

_ I ¿1И = Ихх Иу О1 ,

где а1, 61, 02, 62 е Я, ¿И =л _ ъГ-ПЪЛ

Ихх Иу °г 2 3) .

Перед тем, как приступить к постановке задачи запишем все краевые условия и условия склеивания на линиях изменения типа, которые воспользуются при постановке краевой задачи.

Краевые условия:

и (1, у) = Ф1 (у), 0 < у < 1, (2)

мх (1, у) = ^2 (у), 0 < у < 1, (3)

Uxx (l, y) = фз (y),0 < y < l, (4)

U (-l, y) = ф4 (y), 0 < y < l, (5)

Ux (-l, y) = ф5 (y),0 < y < l, (6)

Uxx (-l, y) = фб (y), 0 < y < l, (7)

u(0, y) = (y),-l < y < О, (В)

Ux (0, y) = ф8 (y), -l < y < 0 (9)

Uxx (0, y) = Ф9 (y),-l < y < 0, (10)

Uxx (0, y) = ф9 (y), - — < y < 0, (11)

a2

Uxxx (0, y) = фіо (y), -l < y < 0, (12)

b

Uxxx (0, y) = Ф9 (y), —1 < y < 0, (13)

au (x, 0) = /1 (x), -1 < x < 0, (14)

uy (x, 0) = /2 (x),-1 < x < 0, (15)

uyy (x, 0) = /з (x), -1 < x < 0, (16)

Uyyy (x, 0) = /4 (x), -1 < x < 0, (17)

u|BC = ¥1 (x), 0 < x < 1, (1В)

u|BE = ^1 (x) , 2 < x < 1 (19)

d u d n

d 2u

= ^2 (x), 0 < x < 1 (20)

BC

d n2

Условия склеивания на линиях изменения типа:

= уз (x), 0 < x < 1, (21)

BC

u (x, -0) = u (x, +0), 0 < x < 1, (22)

uy (x, —0) = uy (x, +0), 0 < x < 1, (23)

uyy (x, —0) = uyy (x, +0), 0 < x < 1, (24)

uyyy (x, 0) --- uyyy (x, +0) , 0 < x < 1 (25)

u (—0, y) — u (+0, y), 0 < y < 1, (26)

ux (—0, y) — ux (+0, y), 0 < y < 1, (27)

uxx (—0, y) — uxx (+0, y), 0 < y < 1, (28)

uxxx (—0, y) — uxxx (+0, y), 0 < y < 1. (29)

Здесь щ (г — 1, 10), Yj (j — 1, 3), fk (k — 1, 4) - заданные достаточно гладкие функции, n — внутренняя нормаль к прямой x — y — 1. В зависимости от коэффициентов

11 1 1 д , д

a1,b1,a2,b2 характеристик b1x — a1y — const и b2x — a2y — const операторов a1 — + b1 —

dx dy

дд

и a2д—+ b2^ уравнения (1) получается очень много случаев, основными которых

являются 22 случая, для которых ставятся различные краевые задачи.

Приступим к постановке краевой задачи для уравнения (1).

ЗадачаНайти функцию u (x, y), которая 1) непрерывна в замкнутой области

D; 2) удовлетворяет уравнению (1) в каждой из областей D;- (i — 1, 2, 3); 3) удовлетворяет краевым условиям и условиям склеивания на линиях изменения типа из таблицы.

В настоящей статье укажем идею решения поставленной задачи лишь в случае 1o. В этом случае уравнение (1) имеет вид:

д2

dx2 (Lu) — °.

Это уравнение можно переписать в виде

Lui — о»;! (y) ■ x + ate (y), г — 1, 2, 3,

где введено обозначение u (x, y) — u; (x, y), (x, y) e D;, а a;j (y) (i — 1, 2, 3; j — 1, 2) -

произвольные достаточно гладкие функции, подлежащие определению. Последнее уравнение можно записать в виде

u1xx — u1y — О11 (y) ■ x + 012 (y), (x, y) e Db (30)

u;xx — uiyy — 0;1 (y) ■ x + 0;2 (y) , (x, y) e D; (i — 2, 3) . (31)

В уравнении (31) (i — 2) введем обозначения u2 (x, y) — u2k (x, y), a2j (y) — a2kj (y) при

(x, y) e D2k (j — 1, 2; k — 1, 2). Тогда уравнение (31) (i — 2) имеет вид

u2kxx — u2kyy — 02k1 (y) ■ x + 02k2 (y) , (x, y) e D2k (k — 1, 2) . (32)

Таблица

Классификация краевых задач

Случаи Краевые условия Условия склеивания

О b <N a 0. (2), (5)-(7), (14), (15), (18), (20), (21) (22),(2З), (26)-(29)

2°. a1 = 1, b1 = О; a! = О, ^ = 1 (2), (5), (6), (14)-(16), (18), (20), (21) (22)-(24),(26)-(28)

З0. a1 = a! = О; b1 = ^ = 1 (2), (5), (14)-(18), (20), (21) 7) (2 - 2) (2

40. a1 = 1,b1 = О;О < Y! < 1, Y- = % (2), (5)-(10), (12), (14)- (16) или (2), (5)-(9), (11), (12), (14)-(16) (22)-(24),(26)-(29)

О; 0. 5 (2), (5) - (10), (12), (14) - (16) (22)-(24),(26)-(29)

60. a1 = 1, b1 = О; 1 < Y! < +» (2), (5)-(10), (12), (14)-(16), (20) (22)-(24),(26)-(29)

70. a1 = 1, b1 = О; — » < Y! < О (2)-(5), (14)-(16), (18), (20), (21) (22)-(24),(26)-(29)

80. a1 = О, b1 = 1; О < Y! < 1 (2), (5), (6), (8), (11), (14)-(17), (19), (20), (21) 8) (2 - 2) (2

О, ö 0. 9 (2), (5), (6), (8)-(10), (14)-(17), (20) 8) (2 - 2) (2

100. a1 = О, b1 = 1; 1 < Y! < +» (2), (5), (6), (8)-(10), (14)-(17), (20), (21) 8) (2 - 2) (2

110. a1 = О, b1 = 1; —» < Y! < О (2), (3), (5), (14)-(17), (18), (20), (21) 8) (2 - 2) (2

120. О < Yl < 1; О < Y! < 1 (yi = al, a) Yl = Y!;b) Yl = Y!) (2), (5)-(9), (11), (13), (14)-(17), (19), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

1З0. Yl = 1; О < Y! < 1 (2), (5)-(9), (11), (12), (19), (20) 9) (2 - 2) (2

140. 1 < Yl < +»; О < Y! < 1 (2), (5)-(9), (11), (14)- (17), (19), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

150. —1 < Yl < О; О < Y! < 1 (2), (3), (5), (6), (8), (9), (11),(14)-(17),(19),(20),(21) 9) (2 - 2) (2

160. Yl = —1; О < Y! < 1 (2), (3), (5), (6), (8), (11), (14)-(17), (19), (20) 9) (2 - 2) (2

170. —» < Yl < —1; О < Y! < 1 (2), (3), (5), (6), (14)-(18), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

£ 0. 8 (2), (5) - (10),(12),(14) - (17) 9) (2 1 2) (2

190. Yl = 1; Y! = —1 (2), (3), (5), (6), (8)- (10), (12), (14)-(17) 9) (2 - 2) (2

200. 1 < Yl < +»; 1 < Y! < +», ( a) Yl = Y!; b) Yl = Y!) (2), (5)-(10), (12), (14)-(17), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

210. 1 < Yl < +»; —» < Y! < О (2), (3), (5), (6), (8), (10), (14)-(17), (19), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

220. —» < y1 < —1; —» < Y! < О, ( a) Yl = Y!; b) Yl = Y!) (2)-(5), (14)-(18), (20), (21) 9) (2 - 2) (2

Записывая решение уравнения (32) (к = 1), удовлетворяющее условиям м21 (х, 0) = Т1 (х), и21у (х, 0) = У1 (х), где ^ (х) и у1 (х) - неизвестные пока достаточно гладкие функции, и удовлетворяя условиям (20), (21), получим систему уравнений относительно ©211 (у) и ©212(у), из которой находим эти функции.

Затем записывая решение уравнения (32) (к = 2), удовлетворяющее условиям и22 (0, у) = хз (у), и22х(0, у) = Уз (у), где хз (у) и Уз (у) - неизвестные пока достаточно гладкие функции, и удовлетворяя условиям (20), (21), получим систему уравнений относительно ©221 (у) и ©222 (у) при —1 < у < — 2, из которой находим эти функции

Затем из гиперболической части и параболической части переходя к пределу, когда у ^ 0 получим две соотношения относительно Т1 (х) и У1 (х), из которых находим эти функции и тем самым - функции и21 (х, у), Т3 (у), У3 (у), и22 (х, у).

Переходим в область Бз. Воспользуясь методом продолжения и условиям склеивания из гиперболической части Бз области Б мы получим три соотношения для определения шести неизвестных функций, когда х ^ 0. А также, из параболической части Б1 области Б получим еще три соотношения для определения этих функций, когда х ^ 0. Таким образом, мы получим систему шести уравнений относитьельно шести неизвестных функций. Исключаем из полученной системы пять из шести неизвестных функций, тогда мы приходим к интеральному уравнению Вольтерра второго рода относительно х2' (у), ядро которого имеет слабую особенность, а правая часть непрерывна. Решая это уравнение, мы единственным образом находим эту функцию и тем самым - функции и (х, у), из (х, у). Таким образом, мы доказали однозначную разрешимость поставленной задачи в случае 10.

В работах [1]-[2] были рассмотрены ряд краевых задач для уравнения (1).

Библиографический список

1. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

2. Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №1. С. 37-50.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 07.04.2014

при —1 < у <— 1. Для определения этих функций при — 1 < у < 0 воспользуемся из условий

д 2И22 + 2 д 2И22 + д 2И22

dx2 dxdy dy2

С помощью этих условий находим функции ©221 (у) и ©222 (у) в промежутке — 1 <

y < О.