Постановка и метод решения некоторых краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

М. Мамажонов1, Х.М. Шерматова2, Х. Мукадасов1

1 Кокандский государственный педагогический университет им. Мукини,

113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37

2 Ферганский государственный университет, 150100, Узбекистан, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19

E-mail: fizmat@fdu.com

Настоящая работа посвящена изучению методики исследования некоторых краевых задач для одного класса параболо-гиперболических уравнений третьего порядка в вогнутой шестиугольной области, которые воспользуется при изучении задач математической физики в магистратуре.

Ключевые слова: краевые условия, условие склеивания, интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(с) Мамажонов М., Шерматова Х.М., Мукадасов Х., 2014

MATHEMATICS

MSC 35M13

FORMULATION AND METHOD OF SOLVING CERTAIN BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A CLASS OF EQUATIONS THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE

M. Mamajonov1, H.M. Shermatova2, H. Mukadasov1

1 Kokand State Pedagogical Institute by Mukini, 113000, Uzbekistan, Kokand, Amira Temura st. 37

2 Fergana State University, 150100, Uzbekistan, Fergana c., Murabbiylar st., 19 E-mail: fizmat@fdu.com

This paper studies the methods of investigation of some boundary value problems for a class of parabolic-hyperbolic equations of the third order in the hexagonal concave areas that take advantage of the study of problems of mathematical physics in the magistracy.

Key words:operator boundary conditions, the condition of bonding, Volterra integral equation of the second kind

(c) Mamajonov M., Shermatova H.M., Mukadasov H., 2014

Введение

Развитие уравнений в частных производных обусловлено широких кругом прикладных задач в физике, экономике, биологии и в других науках. В рамках теории уравнений математической физики как дисциплины, читаемой в магистратуре, большой интерес представляют уравнения смешанного типа. Такие уравнения могут быть использованы при описании различных физических процессов от пространственных околозвуковых течений идеального политропного газа, гидродинамических течений с переходом через скорость звука до бесконечно малых изгибаний поверхностей.

Уравнения смешанного типа рассматриваются в разных областях с границей (линией вырождения). На этой границе задаются условия сопряжения или склеивания.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [1]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [2], Я.С. Уфлянд [3], Л.А. Золина [4] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки.

Математический аппарат уравнений параболо-гиперболического типа описан в работах [5]-[6]. В настоящей работе предложена методика изучения краевых задач для уравнения параболо-гиперболического типа.

Постановка задачи

Рассмотрим в области О уравнение

О = О и О2 и О3 и / и /2, О = {(х, у) € В2 : 0 < х < 1, 0 < у < 1} ,

О2 = {(х, у) € В2 : 0 < х < 1, х- 1 < у < 0} ,АВ = {(х, у) € В2 : у = 0, 0 < х < 1} ,

О3 = {(х, у) € В2 : 0 < у < 1, у — 1 < х < 0} , АА0 = {(х, у) € В2 : х = 0, 0 < у < 1} , то есть О— вогнутая шестиугольная область с вершинами в точках

дд

а— + о— + с

(1)

A (О, О),C (О,-1),B (1, О),Во (1,1),Ao (0,1),D (-1, О).

Области О2 и Оз разделим по две части каждой с помощью отрезка

Тогда эти области можно записать в виде

В

D2 = D21 UD22 UAEl,Dз = Dзl UDз2 UAE2

где

D21 = <{ (x, у) Є R : - 2 < у < 0, -у < x < у + 1 [>,

D22 = <{ (x, у) Є R : 0 < x < 2, x - 1 < у < -x [>,

Dзl = <J (x, у) Є R : 0 < у < ^, у - 1 < x < -y [>, AE1 = <J (x, у) Є R2 : 0 < x < 1, у = -x }>,

2

1

D^ = ї (x, у) Є R2 : - 2 < x < 0, -x < у < x + 1 }>, AE2 = <J (x, у) є R2 : 0 < у < 1, x = -y !>,

, а Е (2, 2) , Е2 ( 2, 2) .

Теперь переходим к постановке краевой задачи для уравнения (1). Перед тем, как

приступить к постановке задачи запишем все краевые условия и условия склеивания

на линиях изменения типа, которые воспользуются при постановке задачи.

Краевые условия:

и (1, у) = ф1 (у), 0 < у < 1, (2)

Ux (1, у) = ф2 (у) , 0 < у < 1,

u|BC = Щ1 (x), 0 < x < 1,

u|BE1 = Щ1 (x) , 1 < x < 1,

2

u (x, 0) = f1 (x), -1 < x < 0,

uy (x, 0) = f2 (x), -1 < x < 0,

uyy (x, 0) = /з (x), -1 < x < 0,

д u д n

д u д n

д u д n

= щ2 (x), 0 < x < 1,

BC

= Щ4 (y), 0 < у < 1,

AoD

= Щ4 (y), 0 < у < 1,

(3)

(4)

(5)

(6) (7) (В)

(9)

(10)

(11)

E2D

и (0, у) = фз (у), -1 < У < 0, (12)

Ux (0, у) = ф4 (у) , -1 < У < 0, (13)

b

Uxx (0, у) = ф5 (у), - a < у < 0, (14)

Uxx (0, у) = ф5 (у),-1 < у < 0. (15)

Условия склеивания на линиях изменения типа:

и (x, -0) = и (x, + 0), 0 < x < 1, (16)

иу (x, -0) = иу (x, +0), 0 < x < 1, (17)

иуу (x, -0) = иуу (x, +0), 0 < x < 1, (18)

и (-0, у) = и (+0, у), 0 < у < 1, (19)

Ux (-0, у) = Ux (+0, у), 0 < у < 1, (20)

Uxx (-0, у) = Uxx (+0, у) , 0 < у < 1, (21)

где <рг- (г = 1, 5) , tyj (j = 1,2, 4), f (k = 1,2, 3) - заданные достаточно гладкие функции, n - внутренняя нормаль к прямым x - у = 1 и x - у = -1.

b

В зависимости от коэффициентов a и b, т.е. от углового коэффициента у = -

, д д характеристик bx - ay = const оператора a+ bуравнения (1) ставятся различные

краевые задачи. Приступим к постановке краевой задачи для уравнения (1).

Задача Требуется найти функцию и (x, у), удовлетворяющую следующим условиям:

Таблица

Классификация краевых задач

Случаи Краевые условия Условия склеивания

1o. a = 0, b = 0 (у = ~) (2), (4), (6), (7), (9), (10) 0) (2 - 16)

2o. a = 0, b = 0 (y = 0) (2), (4), (6), (7), (9), (10) (16), (17), (19) - 18)

3o. 0 < Y < І (2), (5), (6) - (10), (12), (14) (16) - (21)

4o. y = І (2), (6) - (8), (12), (13), (15) (16) - (21)

5o. І < y < (2), (5), (6) - (9), (12), (15) (16) - (21)

6o. -~ < y< -І (2) - (4), (6), (7), (9), (10) или (2) - (4), (6), (7), (9), (11) (16) - (20) или (16) - (21)

7o. -І < y< 0 (2) - (4), (6), (7), (9), (10) 0) (2 - 16)

1) непрерывна в замкнутой области D;

2) удовлетворяет уравнению (1) в каждой из областей D; (г = 1, 2, 3);

3) удовлетворяет следующим краевым условиям и непрерывным условиям склеивания на линии изменения типа:

Мы здесь будем указать идею решения поставленной задачи лишь в случае 1o. В этом случае уравнение (1) имеет вид:

b— + с ) (Lu) = 0. ду

Это уравнение можно привести к уравнению второго порядка с неизвестной правой частью следующим образом: введя обозначение Lu = v, получим уравнение b-г—+

- у

cv = 0. Общее решение последнего уравнения имеет вид: v = о (x) exp (-Су^. Тогда получим Lu, = (x) exp (-Су^, где введено обозначение:

и (x, у) = Ui (x, у), (x, у) е Di (г = 1, 2, 3). (22)

Последнее уравнение можно записать в виде:

U1xx - и1у = «1 (x) exp (- , (23)

Uixx - игуу = «■ (x) exp (-(г = 2, 3), (24)

где a (x) (г = 1, 2, 3) - произвольные достаточно гладкие функции, подлежащие

определению.

В уравнении (24) (г = 2) введем обозначения:

U2 (x, у) = U2k (x, у) , «2 (x) = «2k (x) (x, у) G D2k (k = 1, 2) .

Тогда уравнение (24) имеет вид:

U2kxx - U2kyy = «2k (x) exp (- Су) (k = 1, 2) . (25)

После обозначения (22) условия склеивания (16) - (21) переходят к виду

и2 (x, 0) = и1 (x, +0) = т1 (x), 0 < x < 1, (26)

u2y (x, 0) = u1y (x, 0) = v1 (x), 0 < x < І, (27)

U2yy (x, 0) = U!yy (x, 0) = Ді (x), 0 < x < І, (28)

Uз (0, y) = U1 (0, y) = T2 (y), 0 < y < 1, (29)

U3x (0, y) = Uix (0, y) = V2 (y), 0 < y < 1, (30)

И3хх (0, У) = Мзхх (0, у) = Д2 (у), 0 < у < 1, (31)

Здесь т1, У1, т2, У2, д1, д2 - неизвестные пока достаточно гладкие функции, подлежащие определению, кроме того выполняются следующие условия согласования: Т1 (0) = Т2 (0) = /1 (0), У1 (0) = т2 (0) = /2 (0), Т1 (1) = ф1 (0).

Сначала поставленную задачу будем исследовать в области ^2.

Записывая решение уравнения (25) (к = 1), удовлетворяющее условиям (26), (27) и подставляя это решение в (9), находим неизвестную функцию ©21 (х) в промежутке

1 < х < 1.

2 “ “

Затем введя обозначения:

^22 (0, У) = Тз (у) , М22х (0, у) = Уз (у) (-1 < У < 0) ,

где Тз (у), Уз (у) - неизвестные пока функции, подлежащие определению и записывая решение уравнения (25) (к = 2), удовлетворяющее этим условиям и подставляя

это решение в условие (9), находим неизвестную функцию ©22 (х) при 0 < х <-. Используем условие:

f дU22 , д U22^\

AE1

AE1

находим неизвестную функцию ©21 (х) в промежутке 0 < х < 2.

Подставляя решение уравнения (25) при к = 1 в (4) после некоторых выкладок, получим первое соотношение между неизвестными функциями Т1 (х) и У1 (х):

т( (х) + у1 (х) = а (х), 0 < х < 1, (32)

где а (х) — известная функция.

После этого записывая уравнение (1) в области ^1 в виде

Ьи1хху + си1хх Ьи1уу си1у = 0

и переходя в этом уравнении к пределу, при у ^ 0 с учетом условий (26)-(28), имеем второе соотношение между неизвестными функциями Т1 (х), У[ (х) и Д1 (х):

Ьу^ (х) + ст1 (х) — Ьд1 (х) — су1 (х) = 0. (33)

Теперь переходя в уравнении (25) (к = 1) к пределу в промежутке у ^ 0, получим третье соотношение между этими неизвестными функциями:

т1 (х) — Д1 (х) = ©21 (х). (34)

Исключая из системы (32), (33), (34) функции у1 (х) и д1 (х) после некоторых выкладок, мы приходим к дифференциальному уравнению относительно Т1 (х). Решая это уравнение при условиях т1 (0) = /1 (0), т( (0) = / (0), Т1 (1) = ^1 (1), мы находим

неизвестную функцию ^ (х) и тем самым - функции у1 (х), м21 (х, у) в _021.

Воспользуясь условиям М22 (х, —х) = М21 (х, —х) и (4), мы получим две соотношения между неизвестными функциями Тз (х) и Уз (х), из которых находим эти функции.

Тем самым - и функцию М22 (х, у) в ^2. Таким образом, мы нашли функцию м2(х, у) в области ^2 единственным образом.

Переходим в область ^з. Аналогично, как и в области ^2, определяются неизвестные функции ©з1 (х) и ©з2(х).

В области £з из формулы решения при х ^ 0 мы получим первое соотношение между неизвестными функциями Т2 (у) и У2 (у).

Переходим в область ^1. Запишем решение уравнения (23), удовлетворяющее условиям (2), (26), (29). Дифференцируем это решение по х. Затем в полученном равенстве полагаем х ^ 0, тогда в силу условия (30), получим второе соотношение между функциями Т2 (у) и У2 (у). Исключаем из полученных двух соотношений функцию У2(у), тогда мы приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции т2(у). Ядро этого уравнения имеет слабую особенность, а правая часть непрерывна. Поэтому это уравнение допускает единственное решение из класса непрерывных функций. Решая это уравнение, находим функцию т2 (у) и тем самым - функции т2(у), У2(у), м1 (х,у) и м2(х,у).

Заключение

Таким образом, мы нашли единственное решение поставленной задачи 1 в случае

1 0. Аналогично исследуются остальные случаи. При решении поставленной задачи

1 применяются методы дифференциальных и интегральных уравнений.

В работах [5]-[6] рассмотрен ряд краевых задач для таких уравнений.

Библиографический список

1. Гелъфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // УМН. 1959. Т. XIV. Вып. 3 (87). С. 3-19.

2. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженер.-физ. журн. 1961. Т. 4. № 11.

С. 99-104.

3. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженер.-физ. журн. 1964. Т. 7. № 1. С. 89-92.

4. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т.6. № 6. С. 991-1001.

5. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

6. Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №1. С. 37-50.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 07.04.2014