Стабилизация решения уравнения теплопроводности во внешности сферы с управлением на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.956.45

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВО ВНЕШНОСТИ СФЕРЫ С УПРАВЛЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ

А. В. Горшков1

Исследуется задача стабилизации решения уравнения теплопроводности во внешности сферы за счет управления на его границе. В работе для любого к > 0 построено граничное управление, стабилизирующее решение к нулю со скоростью í/tk.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, внешняя задача Дирихле, стабилизация, функции Бесселя, интеграл Бесселя-Фурье, сферические функции.

The problem of boundary control stabilization of the solution to the heat equation defined in the exterior of a sphere is studied in the paper. The boundary control function stabilizing the solution to zero with the rate l/tk is constructed for any к > 0.

Key words: heat equation, exterior Dirichlet problem, stabilizability, Bessel functions, Bessel-Fourier integral, spherical functions.

1. Введение. В настоящей работе изучается задача стабилизации при t —> оо решения внешней задачи Дирихле для уравнения теплопроводности, заданного во внешности сферы с управлением на его границе. Постановка задачи в данной области естественным образом возникает при исследовании уравнений динамики жидкости в случае обтекания сферы внешним потоком. Так, например, к исследуемому уравнению теплопроводности сводится трехмерная система Стокса, если к последней применить оператор ротора. Но мы ограничимся исследованием уравнения теплопроводности, хотя полученные результаты применимы и к системе Стокса.

Основным методом исследования является сведение параболической задачи к эллиптическому уравнению с параметром. Данный метод решения был подробно исследован в совместной работе М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1]. После преобразования Лапласа решение становилось анали-тичным в правой полуплоскости. При этом для внешних областей решение допускает аналитическое продолжение с полуплоскости на плоскость с разрезом R_. Уменьшение разрыва решения на R_ при помощи выбора соответствующего граничного управления влечет степенную стабилизацию решения вида к > 0.

Данный подход к задаче стабилизации был использован автором для одномерного уравнения теплопроводности [2]. В настоящей работе получено дальнейшее обобщение на трехмерную область. Подобная задача для системы уравнений Навье-Стокса во внешности двумерной ограниченной области с управлением на границе была исследована автором в [3]. Главной особенностью предлагаемой работы является явный вид граничного управления, выражаемого через интегралы Бесселя-Фурье и сферические функции.

2. Постановка задачи. В области Q = R+ х Вго, где Bro = {х € R3, \х\ > Го}, Го > 0, (t, х) € Q, рассматривается уравнение теплопроводности

= 0 (1)

с заданным начальным условием

v(0,x) = v0(x). (2)

Для произвольного фиксированного к > 0 требуется найти такое заданное на сфере Sro = {х € R3, M = го} граничное управление

v(t, х') = u(t, х'), х' € Sro, (3)

чтобы решение стабилизировалось к нулю:

IKMIll (4)

где константа С зависит от k,ro,Vo(-).

1 Горшков Алексей Вячеславович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. оптимального управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexey.gorshkov.msu®gmaïl.com.

В работе будут задействованы следующие пространства: Ь2(ВГ0) — пространство суммируемых с квадратом функций во внешности круга; L2>N(Bro) = {/(ж) : Н/(') 11|2,лг(бГ0) = /вг i/wi'a +

\x\2)Ndx < оо}; L2,rdr(ro,oo) = {/ : ||/||£2 гЛ.(г0, оо) = \f(r)\2rdr < оо}; L2tT2dr(r0, оо) = {/ :

11/11|2^>,оо) = \f(r)\2r2dr < оо}; L2)W;r2dr(ro,oo) = {/ : \\ñl2Nr2dr = /0°° \f(r)\2(l+r2)N r2dr <

оо}; пространства Соболева Hl(Bro), Hï(Sro).

Сформулируем основную теорему о стабилизации.

Теорема 1. Для произвольно заданного к > 0 и начальной функции Vo(-) € L2^k+3/2(Bro) существует управление и € C(R+; H 2 (Sro)); такое, что решение v(t,x) € L2(Q) П C(R+; Hl(Broj) задачи (1)-(3) удовлетворяет условию стабилизации (4).

Для отыскания неизвестной граничной функции u(t, х') мы будем решать недоопределенную задачу (1), (2) и среди всех ее решений найдем функцию v(t,x), удовлетворяющую условию стабилизации (4). Граничное управление будет находиться как ограничение решения v(t,x) на окружность Sr 0.

Преобразование Лапласа

roo

w(t,x) = / e~Ttv(t,x)dx Jo

сводит недоопределенную задачу (1), (2) к уравнению Пуассона с параметром т

Aw — tw = —vq(x), (5)

решение которого частично может быть выражено через интеграл Бесселя-Фурье.

В п. 3 исследуются существование и свойства решений уравнения (5). Также дается краткий обзор основных фактов из теории функций Бесселя, в котором сформулированы только те свойства данных функций, которые найдут свое применение в задаче стабилизации. Наиболее полное описание свойств этих функций может быть найдено в книге Г. Бейтмена, А. Эрдейи [4].

В п. 4 исследуется внешняя задача Дирихле для уравнения теплопроводности и доказывается теорема 1.

3. Уравнение Пуассона с параметром. Решение задачи (5) будем искать в сферических координатах r,íp,9 в виде ряда

оо I

w(T,r,<p,d) wlm(t,r)yim(<p,d),

1=0 m=—l

где Yim — сферические функции, удовлетворяющие уравнению

1 d ( . dYlm\ 1 d2Ylm

sin о—— + —2- + 1(1 + 1 )Yïm = 0.

sin в dd \ dd J sin в dtp

Сферические функции образуют полную ортонормированную систему собственных функций оператора Лапласа на единичной сфере 5*1 и имеют вид

где Р[а(х) являются присоединенными многочленами Лежандра:

РГ(Х) = (_1Г (1 _ х2)т/2 {р1{х)) . (7) Здесь Р[(х) — многочлены Лежандра:

р'{х) = шш И - ^ • (8)

Так как сферические функции являются ортонормированными на единичной сфере, то

2(БГО)=Е Е N^'OIlL^Cro.oo)•

1 = 0 171= —

Разложим начальное условие г>о в ряд Фурье по сферическим функциям:

оо I 1=0 т=—1

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид

л , 1 9 / од/\ 1 д ( . 1 д2/

г2 дг \ дг J г2 sin в дв \ дв J г2 sin2 0 cfy?2

Тогда коэффициенты Фурье Wim(r, г) будут удовлетворять дифференциальному уравнению с параметром т:

(r2drwlmyr - (1(1 + 1) + rr2)wlm = -r2vl0m(r). (9)

Найдем решение этого уравнения в классе ограниченных при г —> оо функций. Пространство решений однородного уравнения с v(jIй(г) = 0 задается двумя специальными функциями 1/2?

-^Ki+i/2(\/tt), где I¡+1/2) Ki+i/2 — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно:

/Z \ 2fc+í+l/2

= -

fc=0 7Г

/с!Г(А; + I + 1/2 + 1)'

^W*) " 2sin((/ + l/2)vr

¡1+1/2 (Z) ~ I-1-1/2ÍZ)

Определитель Вронского для базисных решений дается формулой

W

Отсюда методом вариации постоянных можно найти частное решение (9):

■) го V ^ г

Функция 1а(х) экспоненциально растет при г —>■ оо. Тогда решение (9) в классе ограниченных по г функций задается формулой с произвольной функцией Л-гт(т):

+J|+1/2'^r) Г„•¿"т^^фУ^. (Ш)

Преобразование Лапласа компоненты граничной функции и)1т(т, г о) будет связано с Л.гт(т) следующим образом:

, , , ОГ(^+1/2(^ф3/2^ ^1т(т,Г0)

Щт{Т) =--—- !---Ь

^+1/2(^0) ^+1/2(^0)^+1/2(^0) '

Поскольку граничное условие внешней задачи является управлением, то его поиск мы будем проводить в терминах функций {Л-гт(т)}, которые в совокупности также являются управляющим воздействием для нашей задачи. Определим формальный ряд

оо I

h{r,<р,9) = Е Е him(r)Yim((p,e)

1=0 т=—1

и докажем теорему об априорной оценке решения эллиптического уравнения. 3 ВМУ, математика, механика, №5

Теорема 2. Решение (5), коэффициенты которого задаются формулой (10), при больших т € Гч = {т € С, 11ет = г]} удовлетворяет неравенству

i кт, oiiWo) < с (и^. -)\\Usro)/w + \ы-)\\12{Вго)/\т

где С = C(rj) > 0;

Доказательство данной теоремы предварим рядом лемм.

Лемма 1. Для фиксированных s,r, 0 < s < г, а € М+ справедлива оценка

ехр ( — л/ а2 + тг2 + a arsh —%- + л/а2 + ts2 — a arsh —%- ] ^ ехр ( — Rел/т(г — s)). V у тт s/tsJ 4 у

Доказательство. Определим функцию fT,s,r(c() при фиксированных т, s,r, 0 < s < г:

ÍtsAol) = Re ( — л/а2 + тг2 + a arsh —%- + л/а2 + ts2 — a arsh —%- ]. ' ' V у/тг s/tsj

Ее производная по а имеет вид = Re(arsh — arsh -ф-^)- Функция Re arsh убывает по г,

с) f

и поэтому <0, 0 < s < г. Тогда fTíS,r(o) убывает по а и достигает минимума при а = 0. □

Лемма 2. Для т € |arg т| > тт — 5, 0 < 6 < тт, модифицированные функции Бесселя, Ка,1а удовлетворяют неравенству

(je-Re^r(r-s)

\KJJti

'ts) <

\J\a2 + тг2\\а2 + ts2|'

где С = С(5) не зависит, от, а, т, г, 8.

Доказательство. Используем асимптотическое представление функций Бесселя больших порядков с т| > тт — 5 (см. [4]):

KJJTr) =

1

\J Ма2 + тт2

—л/а2-\-тг2-\-aarsh % / /— , ^ / 1 :в v^r | tJk O

/ TV

IniVrr

TV

Vа2 +тг2—a arsh -Sí- ( ¡— , ^ / 1

=e v^ ( V7r + O

/ TV

где не зависит от а. Тогда утверждение леммы становится прямым следствием леммы 1. □

Возьмем г>(-) € ¿2(^0, оо, г2с1г), определим функции

/1 (т, г, а) =

fr^Jcy2 + тт2 Jr0 \/а2 + ts2

v(s)s3/2ds,

/2 (т, г, а) =

/г\/аг + тгг

Уа*Т

zv(s)s3/2ds

и докажем следующую лемму.

Лемма 3. Для достаточно больших т € Гч = {т € С, Reт = г?} справедливы, оценки

iiTi •> а)1||2(го,оо,г2йг)

<

^Н^С ) W L2(ro,oo,r2dr)

,¿ = 1,2,

где С = С(г?) > 0.

Доказательство. Докажем лемму для г = 1. Для г = 2 оценки проводятся аналогично. Функции вида = ^х(з), где х(в) — характеристическая функция подмножества [го,оо), плотны в ¿2(^0, оо,r2dr). Поэтому требуемую оценку достаточно доказать для функций

, ч Га/Г\ < 8 < Г2,

,>Г2, Г0<Г1<Г2"

Тогда

П 2

1К')11!2(го,СО,гЧг) =аЧ = - Гг).

■У Г1

Функция /1 (т,г,а) допускает оценку при больших т:

Л/ Т \Т .1 Гп

откуда следует неравенство

С\а\

(1 < Га;

1 ^ 1 ' ' л I _2И_Ср-^ Г-Г2 _ р-^ г-П ) Г > Го

Окончательно получаем

11/1 {г, ,а)\\Ыго^г2(1г) ^ |т||Ке^|2 УР1 и е ) аг+ |г||Ке^|2 УГ2 ^

(~<2п2 ОП2п2 Г2п2

_е-Ке^-п))2(гг = ^ а (Г2 _ п) + ^^^(е-Ке^-п) _ 1} + ^ а

|г||Кел/г|2 7 |г||Кел/г|3/2 2|г||Ке^|3/2

-п) _ Л , С2а2 (_Л \2 ^ С2а2(Г2 - п) СЛУ{-)\?Ыго^,Чг)

{ 2|т||11еу/т|3/2 ; ^ |т||Пел/г|2 ^ |г|2

Лемма доказана. □

Доказательство теоремы 2. Для т € Гч справедлива оценка С\л/т\ ^ |11е-у/т| ^ \у/т\: где С зависит от г]. Из формулы (10) и леммы 2 с некоторыми константами Ci > 0 следует неравенство

\Щт(т,г)\ ^ С1-. „ +

у/гЕгШ + 1/2)2 + тг2||(г + 1/2)2 + тг2|

р-Кеу/тг ¡-г \„.1тп( „\\pKeyZTS „^/2

+с2—, 6 / 7 8=(18+

фЩ{1 + 1/2)2+тг2\ Ло Щ{1 + 1/2)2 +Т52|

+ +1/2)2 + тг2| л +1/2)2+Т52!

Согласно равенству Парсеваля и лемме 3 имеет место требуемая оценка решения эллиптического уравнения с параметром т € Гч:

Ит,.)|||2(Бго) = / Ит,ж)|2^ = Е Е Гк(г,г)|2Лг^ Е С4Н77^Г+

Вго 1=0 т=—1 г° 1=0 т=—1 ' * '

+^1ко|||2(Бго)/|г|2 < С6 (||Л(Г, -)\\12{8го)/\т^\ + \М-)\\12{Вго)/\т\2) . Теорема 2 доказана.

Полученные оценки являются схожими с аналогичными оценками для эллиптических уравнений с параметром в ограниченных областях, полученными М.С. Аграновичем и М.И. Вишиком[1]. Несмотря на использование различных свойств конкретной сферической геометрии, данные неравенства можно обобщить на случай внешности произвольной области с гладкой границей, применяя общую теорию эллиптических задач.

4. Стабилизация решения внешней задачи. Решение внешней задачи (1), (2) находится с помощью обратного преобразования Лапласа

г, <р, в) = ^ ет*и}(т, г, <р, в)йт,

где Гч = {т € С, 11ет = г?}, г? > 0 — фиксированное число.

Преобразование Лапласа ъи(т,г,<р,9) является аналитической функцией в правой полуплоскости 11ет > 0. Однако из явного вида формулы (10) следует, что как компоненты и)1т(т,г), так и сама функция ъи(т,г,<р,9) являются аналитическими в комплексной плоскости С с разрезом М_, если дополнительно предположить, что и Л,гт(т) аналитичны в Поскольку функции Л,гт(т)

являются управлением, то мы будем выбирать их исходя из предположения об их аналитичности на плоскости с разрезом. Более того, будем предполагать, что Л-гт(т) являются аналитическими функцими в полуплоскости 11ет > — 1.

Зафиксируем г? : 0 < г? < 1. Согласно формуле Коши интегрирование по Гч можно свести к интегрированию по контуру Г1 , е > 0, обходящему разрез в М_:

Г1Ч;£ = (—г] — гоо, —г] — ге\ и [—г] — ге, —ге] и \—ге, ге\ и [ге, —г] + ге\ и [—г] + ге, —г] + гоо).

При е —> +0 предельный контур интегрирования +0 будет состоять из прямой (—г?—гоо, — г?+ гоо) и двух ориентированных отрезков [—г], 0] и [0, —г/], функция у/т является ветвящейся и поэтому при интегрировании выражения (10) вдоль отрезка [—г], 0] значение многозначной функции у/т для т = —Л2 € [—т], 0] будет равно — гЛ, а при интегрировании у/т в обратном направлении т = —Л2 € [0, —г}] ее значение будет равно у/т = —Л2 = гА.

Зафиксируем N € N и обозначим 7± = [—г], 0] и [0, —г]]. Тогда

<•—77+гоо 1 г р—^' С°°

\ г-г/+го° \ г е-4

v(t,r,<p,e) = — / ertw(T,r,ip)d,T+ — ertw(T, г, Lp)d,T = —— / elîtw{-r] + г£, r, ip)dÇ+

J —TJ—zoo <J ""у-ь J —oo

j NI ç ^ oo l ç

+ e yim{f,0) / ertwlm(T,r)dT + — ^ eTtwlm(T,r)dT :=

11 1=0 m=-l 7± Ж l=N+lm=-l

:= h(t, r, <p, в) + r, <p, в) + r, <p, 9), (11)

где

g-771 roo

h(t,r,<p,e) = — / e^tw(-r] + iC,r,f)dC,

I?(t, ^.^¿¿E / r)dT,

11 1=0 m=—l -, oo /

I?(t,r,<p,e) = — eTtwlm(r,r)dT,

11 l=N+lm=-l

a wïm{T, r) дается формулой (10).

Схема доказательства теоремы 1 такова. Мы представили решение v(t, r, (р, в) в виде суммы интегралов ii, I2 , I3 . В следующей лемме будет доказано, что 1\ экспоненцально убывает по t. Далее будет установлено, что условию стабилизации (4) удовлетворяет (t,r,ip,6) при достаточно большом N. В завершении доказательства будет найдено управление, которое стабилизирует оставшийся интеграл .

Лемма 4. Зафиксируем г] : 0 < г] < 1. Пусть управление к(т,х) является аналитической функцией в области Rer > —1 и ||Л,(т, •)Ц^^ j ^ С, т £ (—г? — гоо,—г? + гоо). Тогда функция

I\(t,r,(p,e) удовлетворяет условию

e*h(t,r,<p,e) GL2(Q).

Доказательство. Из теоремы 2 и равенства Парсеваля следует неравенство

1

2тт

\\e*h(t,r,<p,e)\\UQ) = è- Г / M-4 + iÇ,x)\2dÇdx <

/ oo ||/,(_i? + ie).)||2 oo \

* c [L 1-, + iei* + L TÏTW) <

Лемма доказана. □

Для дальнейшего изложения необходимо дать определение функций Бесселя первого рода:

з (х) т__(*)2т+а (12)

т=0

Обозначим через ^1т(—Х2,г), А2,г) функции, определяемые выражением (10), если под-

ставить V—А2 = — Лг и V—А2 = А г соответственно.

Лемма 5. Функции А2, г), А2, г) удовлетворяют соотношению

V) = ^^т(-Л2)7г+1/2(Аг)^+1/2(Аго)-^^+1/2(Аг) Г .11+1/2(\8)у10т(з)83/2с18.

Данная лемма является прямым следствием формулы (10) и следующей леммы. Лемма 6. Для А, г, в > 0, а € М справедливо следующее соотношение для модифицированных функций Бесселя, 1а,Ка:

1а{-г\г)Ка{-1\8) - 1а(гХг)Ка(1\8) = 7п7„(Аг)7„(Аз).

Доказательство. Воспользуемся функциями Ганкеля, которые определяются следующими равенствами:

Я«(Аг) = За(Хг) + ¿Г„(Аг), Н^(Хг) = За(Хг) - ЭДАг).

Тогда значения модифицированных функций Бесселя 1а, Ка на мнимой прямой находятся из формул аналитического продолжения (см. [4, 5]):

1а(-гХг) = (-¿)%(А г), /«(¿Аг) = г%(А г),

^а(-гАг) = ^Я^Аг), К«(гАг) = -^(-¿)«я(2)(Аг). Из вышеуказанных тождеств и определений находим

1а(-1\г)Ка(-1\8) = у7„(Аг)Я«(Аг), 1а{г\г)Ка{1\8) = -у За(\г)Н^(\г),

что завершает доказательство леммы. □

Лемма 7. Для I ^ N + 1, г;о(з) € ¿2)лг+з,г2<&-(го, сю); А € М+ справедлива оценка

'г о

Доказательство. Применяя неравенство Коши-Буняковского, нетрудно показать, что

/•оо

/ |v0(s)|sads < \/7¡72||u0||L2ar2(¡r(ro,oo),a ^ 1- (13)

Ir О

Воспользуемся следующим неравенством для функций Бесселя (см. [4]):

1 fS\l+1/2

\JI+1/2ÍS)\ < г(г + 3/2) У •

Функции Бесселя {^+i/2(s)равномерно ограничены (например, |Ja(s)| ^ 2 Vs ^ 0,Va 0). Это следует из интегрального представления Шлефли для функций Бесселя (см. [4]):

Ja{x) = - Г eos(от - ж sin г) dr - sm(a7r) Г e~xsinb^-at dt. к Jo f io

Тогда если А < 1/ro, то, применяя (13), получим

/•ОО Г1/А /"ОО

/ Ji+i/2(Xs)v0(s)s3/2ds ^ \Jl+l/2{Xs)v0{s)\s3/2ds + \Jl+1/2(Xs)v0(s)\s3/2ds < /го ./го Jl/X

5 ВМУ, математика, механика, №5

<Хо Г(ДТ + 5/2)2^+3/2 * + Л/л \Ы-)\\ь2^г2аг(г0,оо),

где С > 0 — абсолютная постоянная. И соответственно для Л > 1/го имеем

Ji+i/2(Xs)v0(s)s3/2ds

ir о

roo

J го

Лемма доказана. □

Дальнейшие оценки норм решений в Ь2 будут проводиться при помощи преобразования Ганкеля, которое дается формулой

roo

Fa{r)= f{\)Ja{r\)M\ Jo

и которое при этом изометрично в ¿2)гйГ(М+) (см. [5]):

roo roo

/ |/(A)|2AdA = / \Fa(r)\2rdr. (14)

Jo Jo

Лемма 8. Предположим, что Ыт(т) = 0 при I > N, \m\ ^ 1, N + 5/2 ^ к. Тогда (t,r,<p,0) удовлетворяет условию стабилизации (4).

Доказательство. Пользуясь леммой 5, будем иметь

оо I

I ^ г l£{(t,r,V,e) = — Y, eTtwlm(r,r)dr =

II l=N+lm=-l

1 °° l / ,0 r—r¡ \

2^7 E ¿rtwrm(T,r)dT+ e^wUr,r)dr) =

É E =

l=N+1 m=-l J0

°° 1 rVñ J (Xr) í°° 00 1

£ E YU<P,<>) / г е"А2*Л / ^+i/2(ASKm(S>3/2dSdA = £ lU^K^O,

Л Г i 1____7 V ^ irn 7 Л Г i 1____7

¡=W+lm=-¡ "" v ¡=W+lm=-¡

где r) есть интеграл Бесселя-Фурье:

4m(t,r)= Í^^^e-^X Г Jl+l/2{Xs)v^{s)s3'2dsdX. Jo Vr iro

Из (14) и леммы 7 следует оценка

ll^(í,0lll2r2dr(,0)oo)= I Ji+1/2(ASK™(S)S3/2dS

•r r Jro

c\Km(-)\\i

oo 2

<

11 U V Л|^2,ЛГ+3,г2(гг J0 fN+5/2

В итоге

ОО I Г11171 f II2

\\i-(t,r,v,e)\\l2iBro)= E E Il4"(*,r)ll|ara^>00)<

l=N+lm=-l

Лемма доказана. □

Оценим оставшийся интеграл 12 , даваемый равенством

N I

г,ч>,о) = — Yimв) / eTWr>=

^ 1=0 m=-Z 7±

= ¿Е Е ( f eT4n(r>r)dr+ [ " Л+(r.rjdr) =

1=0 m=—l \J-V J0 /

= ^E E / -<m(-AV))Ae"^dA =

1=0 m=-Z 1/0

1 ^ ' f\/v 1 / f00 \

^-EE^™^'0)/ ^+i/2(Ar)e"A2iA / ^m(S)Ji+1/2(AS)S3/2dS-Ji+1/2(Ar0)^m(-A2) dA =

7 •'О У7" \Ло /

г=от=-г v 4 77,0

N

¿ЕЕ ya^o)iT(t,r),

2m

1=0 m=—

где

1 Гл/'? / Г00 \

Il2m(t,r) = -= / Jl+l/2{\r)e-x4\( / ^m(S)Ji+1/2(AS)S3/2dS - Ji+1/2(Ar0)^m(-A2))dA. Vr JO y Jr0 '

Лемма 9. Зафиксируем г] < 1. Для произвольного N € N существуют полиномы Р^{т) степени не больше М1 = [^у^], I = 0,..., N, \т\ ^ I, константа С > 0, зависящая от И, такие, что 12 (¿,г, <£>, 0) с Ь,1т{т) = -Р^г(т)/(т + 1)Мг+1 удовлетворяют условию стабилизации

НШ -)11ь2(БГ0) <-¿щ^-• ( 5)

Доказательство. Условие г? < 1 обеспечивает аналитичность функции /г(т) в полуплоскости 11ет > —г]. Из определения функций Бесселя (12), учитывая, что </г+1/2(з)/\/5 разлагается в степенной ряд, и применяя формулу Тейлора, будем иметь

fn =g yr^;,V3/2) (l) +

+ (ТТЛ]! Г ,'»m(s)s"+s/2 'N+" (ШФ3^, о < «л, < 1. (16)

Возьмем him{r) = Р^(т)/(т + l)Mi+1, где коэффициенты полинома определяются из

совпадения разложений выражений f^ vl™{s) J|+1/2(As)s3/2ds и Ji+\/2{\ro)him{—А2) по полуцелым степеням А до порядка Aw+1/2 включительно.

Обозначим коэффициенты разложений Ри

1/(т + 1)Мг+1 через и Ь1^ соответственно:

(-А2) = E^oaimA2fc, 1/(—А2+1)Мг+1 = Efclo bl™\2k. Также введем обозначение wld = dl Г((^3/2) • Тогда

= £ (£) «-А2) - 0(Л«+«/2) =

/ Am \ 1+1/2 /Ат\ 1+1/2+2

= ^ ^а^"1 + ( ^г ) (Ца^"1 + wl0a[mbl0m + г^а^ГН

/ Am \ 1+1/2+4

+ И? (wl2al0mbl0m + + wl0al^bl0m + Ца^Ь'Г + гиХтЬгГ) + • • •

2 /

/л \ I+1/2+2M;

+ П ^im + 0(Aw+3/2). (17)

i,j,k£Z+,i+j+k=Mi

Сравнивая (16) и (17) и используя определения многочленов Лежандра (7), (8), найдем представление чеРез voТЧ-з) с некоторыми коэффициентами с^™:

^ /*00 ^ /*27Г /*7Г /*00

4m = Е / = Е / / / 0>o(s> У, Sintfdsdydtf =

7=0 "''"о о—п -/о

i=0

/0 Jro

(-1Г l2l + l(l-m)\" 1т f2* Г Г

2тг у 2 (Z + ш)! — - jo JO Jr0

Применяя формулу Муавра с m > 0

[(m—1)/2]

[(m~1)/2] í m \ lm/2] ím\

sin (mip) = h i) cosm~2fc~y sin2fc+V, cos (my) = ^^ (—l)fc ( ^ )

/i—n V ^ / /i—П V /

cosm 2fc y sin2fc (f,

k=0 4 / k=0 получим следующее выражение а1™ с новыми коэффициентами elJ£pb,

km „ jm

ак ~ 'У ^ ^ ^ djkp

*]kpj V0{X)XlX2 \x\ \x\ j=0p=0 J±¡ro v '

-Pi( eos 9)dx =

\i-. к m [ 2

о» (I (/ L Z J /» />

J=0 p=0 6=0 ^o |a|síí+2fc ^Бго

Здесь а = (ai,«2,екз) € Z+ — мультииндекс с |а| = а\ + а2 + аз, = ж"1^2^3, Yim(íp,e) — сферические функции, P¡(cos 0) — многочлены Лежандра, P™(cos 0) — присоединенные многочлены Лежандра (см. определения (6)-(8)).

Так как I + 2к ^ N, то с константой С > 0 будет выполнена оценка

I4m| < С / I^WKl + \x\)N+ldx < ClboCOII^^+aC^)-

J Br0

Тогда, учитывая 0 < A < у7?? < 1, с некоторой константой С > 0 имеем При этом функции him{r) с коэффициентами с^ будут иметь вид

(18)

hir,

1 Щ [

(r) = ( , 1)Мг+1 Е Ec«™rfc / Mx)xadx.

\ ' J I__I ^ATl—П J Brn

(19)

|a|síJV к=0

Поскольку коэффициенты разложения по полуцелым степеням А выражений "^о (,§)^+1/2х (Аs)s3/2ds и ^+1/2(Аг0)/ггт(-А2) совпадают вплоть до члена Ам+1/2, то с некоторыми ^ < 1, о < А < у/г] < 1, будут выполнены следующие оценки:

>г о

<

vl0m(s)Jl+1/2(\s)s3/2ds - Jl+l/2(\ro)hlm(-\2

sN+3ds+

\N+3/2 roo

+

дЛГ+3/2

(ЛГ + 1)!

Учитывая, что и ^ равномерно ограничены по 0 < s < оо,

0 < Л < Jr¡ < 1, 1 ^ N, к = 0,..., N + 1, получаем

{hlm{-\2)){k\e'x\r0) <CN\\v0(-)\\L2tN+3(Bro), k = 0,...,N + l,

где См > 0. Тогда из леммы 7, соотношений (13), (18) и последнего неравенства с С > 0 будем иметь

roo

< vl0m(s)Jl+1/2(Xs)s3/2ds - Jl+l/2{\r0)hlm{-\2

XN+3/2

^ C\N + l)^Vo^L2>N+3{Br°)'

И, учитывая вышеописанные свойства преобразования Ганкеля, с некоторыми новыми константами С1, С2 окончательно получим

roo / roo \

/ \Il2m(t,r)\2r2dr ^ е-хЧ( / v¡r(s)Jl+y2(Xs)s3/2ds-Jl+1/2(Xro)hlm(-^))

Jr0 V Jro /

2

L2(\d\,0,^rj)

ívV

^CAM-)\\l2:N+ÁBro) l \2N+4e~2x2td\ ^

¿JV+5/2

Суммируя последние неравенства по l ^ N, m, \т\ ^ I, мы приходим к (15). Лемма доказана. □ Функция v(t, •) является суммой слагаемых Ii(t,r,(p,6), I2 (t,r,(p,6), (t,r,(p,6). Более того, из (19) следует выполнение условия леммы 4, а именно \\1г(т, •)lli2(s' ) ^ С, т € (—г] — гоо, —г] + гоо). Итак, с помощью лемм 4, 8, 9 нами доказана следующая

Теорема 3. Для произвольного N € N существуют такие полиномы Р^ (г) степени не больше Мг = ,l = 0,...,N, |m| < I :

Mi

pZl(r)= £ £^Ы-),ха)ывГ0)Тк,

|a|si|W| fc=0

г^е — коэффициенты, зО/висл'щиб oui ex G кj 1 j т, константа С > 0, что с управлением, определяемым формулой

h (т) = f Р1ш(т)/(т + 1)M<+1, 0 < Z < JV, |m| < Z;

lm Т \ 0, I > N, \m\ ^ I,

решение v(t, г, (р,0) задачи (1), (2), описываемое формулами (11), (Ю), удовлетворяет неравенству

\\v(t-)\\2

IPlb )WL2(Bro) ^ fN+5/2

В завершение докажем основную теорему.

Доказательство теоремы 1. Возьмем произвольный параметр стабилизации к > 5/2 и положим N = [к — 5/2], где округление производится в пользу ближайшего целого, превосходящего к — 5/2. Пусть v(t,x) — решение задачи (1), (2), даваемое формулами (11), (10), (19). Тогда по теореме 3 решение v(t, •) удовлетворяет условию стабилизации

,wt л,,» <

IRVJIIь2(вГ0) ^ tk

Обозначим через jsrQ непрерывный оператор, который сужает функции, заданные в Вго, на сферу Sro:

1Sro :ЬСО(М+,Я1(БГО)) -^¿со(М+,Я^(5Го)),7<?го^^,Ж) = v(t,x'),x' £ Sro.

7 ВМУ, математика, механика, №5

Тогда (y(t,x),u(t,x')^ будет искомым решением задачи стабилизации (1)-(4), где управление и находится по формуле u(t,xr) = 7srQv(t,x) . Теорема 1 полностью доказана. □

Исследование выполнено при поддержке гранта РФФИ № 15-01-03576.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. 19, № 3. 53-161.

2. Горшков A.B. Стабилизация одномерного уравнения теплопроводности на полуограниченном стержне // Успехи матем. наук. 2001. 56, № 2. 213-214.

3. Горшков A.B. Стабилизация решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса во внешности ограниченной области посредством управления с границы // Матем. сб. 2012. 203, № 9. 15-40.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

5. Ватсон Дж. Теория бесселевых функций. Т. 1. М.: ИЛ, 1949.

Поступила в редакцию 23.12.2013 После доработки 23.08.2015

УДК 514.853, 514.762.27

ОСОБЕННОСТИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДИНАКОВЫМ СЛОЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ.

БЕСКОНЕЧНАЯ СЕРИЯ

М. А. Тужилин1

В статье рассматриваются 4-мерные особенности отображения момента интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Приводится построение бесконечной серии пар 4-особенностей типа седло-седло, таких, что в каждой паре 4-особенности лиувиллево не эквивалентны, а 2-слоения на их 3-границах лиувиллево эквивалентны.

Ключевые слова: лиувиллева эквивалентность, почти прямое произведение атомов, круговые молекулы, особенности отображения момента типа седло-седло.

Four-dimensional momentum map singularities of integrable Hamiltonian systems of two degrees of freedom are considered. A construction of an infinite series of pairs of 4-dimensional saddle-saddle singularities is provided so that 4-singularities are not Liouville equivalent in each pair and the 2-foliations on their 3-boundaries are Liouville equivalent.

Key words: Liouville equivalence, almost direct product of atoms, circular molecules, saddle-saddle singularities of the momentum map.

1. Введение. Один из вопросов, возникающих в теории интегрируемых гамильтоновых систем, — это вопрос о связи слоения 2п- мерной окрестности особого слоя L слоения Лиувилля со слоением на п-мерные торы Лиувилля на границе dU(L) окрестности U(L), а именно: могут ли различные слоения Лиувилля на U (L) совпадать на границе? До нынешнего времени был известен только один пример различных 4-мерных особенностей с совпадающими слоениями на границе. Этот пример построен в дипломной работе А. В. Грабежного, выполненной в 2002 г. на механико-математическом факультете МГУ: приведены три различные 4-мерные особенности с одинаковыми слоениями Лиувилля на их границах. В настоящей работе будет построена бесконечная серия пар различных четырехмерных особенностей U(L) с совпадающими 2-слоениями на трехмерной границе.

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, с гамильтонианом II и дополнительным независимым интегралом / на компактном симплектическом многообразии М4. Они задают отображение из М4 в R2, называемое отображением момента. Рассмотрим неособую изоэнергетическую поверхность = {ж € М4\Н(х) = h]. Прообразом регулярного

1 Тужилин Михаил Алексеевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mtul993Qmail.ru.