Стабилизация движения упругого спутника при формировании широтно импульсного управления с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.51: 629.78

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО СПУТНИКА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ШИРОТНО -ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© 2010 С.Е. Сомов

НИИ проблем надежности механических систем Самарского государственного технического университета

Поступила в редакцию 21.04 2010

Рассматривается задача стабилизации углового движения упругого спутника при неполном дискретном измерении и широтно-импульсном управлении реактивными двигателями с запаздыванием. Приводятся некоторые результаты имитационного моделирования. Ключевые слова: космический аппарат, широтно-импульсное управление, запаздывание

ВВЕДЕНИЕ

Методы пространства состояний стационарных линейных непрерывно-дискретных систем [1] с многократной фильтрация дискретных измерений доступных координат и дискретным идентификатором состояния [2] применяются к анализу устойчивости движения упругого космического аппаратов (КА) при формировании широтно-импульсного управления реактивными двигателями с физическим запаздыванием.

МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОЙ МНОГОКРАТНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассматривается линейный стационарный объект с кусочно-постоянным управлением

x (t) = Ax(t) + B u (t), U k (t) = 0; y (t) = Cx(t - Ty ); x(0 = i0,

, (1)

где t e T0 - [t0,+ да), t0 = 0, вектор-функция управления uk(t) = {ujk(t)}e Rr с определением

Uk (tk) = Uk = Vk-1 и Uk (tk + Tzu) = Uk+1 = Vk

формируется в дискретные моменты времени tk + Tzu и далее при широтно-импульсной модуляции (ШИМ) управления с физическим запаздыванием Tuz, причем 0 < Tzu < Tu, формируется как

ujt (t) = Um PWM(t-Tzu,tk, vjk); Um = const > 0, f sign vjk t e [tk,tk + тjk)

PWM(t,tk,vk)-f g0 Jk te[Ч+т j;

T,k = Sat(Tu,|vJ) -

vjk| |vjk| < Tu

Tu | vjk| > Tu

(2)

где tk = k Tu, k e N0 - {0,1,2,3,...} . Вектор x(t) e Rn описывает состояние объекта, а век-Сомов Сергей Евгеньевич, научный сотрудник. E-mail: s [email protected]

тор Vк = е Яг представляет дискретную текущую команду - выход дискретного алгоритма управления, формируемый БЦВМ только в дискретные моменты времени ^.

Измерение у(0 = Сх(1 - Т^) состояния объекта (1) является неполным и выполняется только в моменты времени = вТч, б е N с периодом Тч < Ти , кратным периоду управления Ти , что при произвольном фиксированном запаздывании Т^ при измерении описывается так:

УБ =У(0 = СхЮ; ^ = ^ - Т2у;

8 е N0; у8 е Я1,/ < п. (3)

Для учета запаздывания Ту при измерении, кратного периоду Т, формально вводится дискретная система с вектором состояния п размерности /г = /(1 +Е[пу ]) :

П+1= А 8 + в л Сх8; п8е Я^; У8 = Слп8,

где п^ = Т^ / Тч, а матрицы

(4)

A п =

I,

0 1

0

0

ы

I "/х(/2-/)

Бл= {0,0,...1/} ;

Сл = [1/ !0!0 !...! 0].

При реализации алгоритма управления имеется также постоянное запаздывание Т— ( 0 < Тг_ < Ти), обусловленное затратами времени БЦВМ. Для Тч < Ти при вычислении вектора V к+1 = v(tk+1), могут использоваться измерения, не более поздние, чем

y(tk ) = у((к + 1)Ти - пгсГч) . у(кТи + )

= Сх((к + 1)Ти - (Пу + Пс )ТЧ), (5)

где пч = Ти / Тч; Тчс = Ти - Тс ; пж = Е[ТУС / Тч ];

пс = пд - п^с; к = / пд ], Б[-] - символ целой части, причем в общем случае Тж ^ Тж = пжТч. Будем считать, что при вычислении вектора дискретной команды управления Vк применяется дискретный фильтр рекуррентного типа

х8+1 = Ахк + Ву„ х5 е Ят; ~ = С~ + Йу8; у8,у8 е Я', б е N0

(6)

с периодом квантования Тд и выходным сигналом уОО = у£ = у5 |8=П(~~к* при~ = к*Ти , где к = Е[(^ + пс)/пч], а а , В , С, Й - матрицы соответствующей размерности;

Сигналы у £ фильтра (6) поступают в дискретный динамический регулятор с идентификатором состояния Луенбергера полного порядка с периодом дискретизации Ти:

ч+1

= Аоа хк + Воа v к + Ооа у ^

х к е Яр

V

к+1

= К и( Гк+1 -Х иС0Хк+1)

(7)

сигнал внешней команды,

г

где гк = Сохк

гк е Я , гк = {г1к}; хк - вектор эталонных переменных состояния системы; % и - диагональная матрица с элементами, равными 1 либо 0 при замыкании либо размыкании системы по отдельным каналам, соответственно, а Ам, Вм, , С0 и К и - постоянные матрицы соответствующей размерности.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ С ШИМ УПРАВЛЕНИЯ

ца Ва = АаВё1а§{и"т} . Данной модели формально можно придать форму эквивалентной дискретной системы с постоянным значением эквивалентного управления на основном цикле дискретности. При обозначениях В а = В аТи и и к = V к/Ти имеем тождество В а V к = В а и к , а линеаризованная дискретная модель объекта управления представляется в виде х к+1 = А а х к + В а и к с эквивалентным управлением и к, постоянным на всем полуинтервале Тк = [¿к, 1к+1) времени. Используя это понятие, нетрудно убедиться, что линеаризованная дискретная модель объекта (1) с ШИМ управления (2) и учетом запаздывания имеет явный вид

хк+1 = А а х к + V В/ ик + В/ V к;

ик+1 = к,к е ^

где Т = Т - Т • в = Т /Т •

уи и ги > "и ги' и ■>

Vи = Tvu/Tu = 1 - ви ;

Аа = ехр(Ти А) = Ааи АГи;

А/ = ехР(Т2иА); Ааи = exР(TvuА);

(8)

В в

В V

ги

| ехр(т А)ёт- В;

0

Т„

| ехр(т А)ёт- В.

При ШИМ управления (2) с запаздыванием возможно лишь приближенное представление управляемого объекта (1) в виде линейной дискретной модели. При отсутствии запаздывания (при Т2и = 0 ) и обозначениях хк = х(1;к) ; и к = и к (1;к) нелинейное разностное уравнение с периодом Ти получается в виде

хк+1 = Аахк + ЭД^к) Ь ит ^п vJk ,

где тJk = Б^ОГи,1^ |); АЛ = ехр(ТиА);

т

Q (т) = ехр((Ти - т)А) | ехр(1А) .

0

С использованием известных свойств матричной экспоненты и интеграла от нее имеем 0(т) = Аа(1 -(Ат)/2! + (Ат)2/3! -•••)т , поэтому предполагая выполнение условий т^ << Ти; Ти << 2п/| X{ |, где X{- собственные значения матрицы а в (1), выделяется линейная часть матриц 0(т 1к) по отношению к т^ = | и выполняется линеаризация ШИМ управления, т.е. приближенное представление векторного разностного уравнения движения объекта в виде хк+1 = Аахк + ВаVк , где матри-

АГРЕГИРОВАНИЕ ИАНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

При векторе команды гк = 0 определение устойчивости нулевого решения

х(1) = 0, 1 е То; ~ = 0; хк = 0 , б, к е N0, (9)

непрерывно-дискретной системы управления (1) - (7) понимается как прямая композиция понятий устойчивости ее непрерывной и дискретной частей. Для получения линеаризованной модели замкнутой непрерывно-дискретной системы многократного типа, в общем случае с запаздыванием трех типов (при измерении Т^ , при вычислении команды Т2С и при физическом формировании управления Т2и ), используются методы пространства состояний линейных систем управления [1,2]. Здесь основная задача состоит в построении эквивалентной дискретной модели системы с главным периодом Ти , как наибольшему из имеющихся периодов квантования. Решение этой задачи подробно представлено в [2], в результате получаются дискретные модели как замкнутой системы, так разомкнутой по любого из компонентов выходного вектора относитель-

и

но любого компонента входного вектора гк системы. Далее для исследования устойчивости и получения гарантированных оценок качества замкнутой системы применяются классические частотные (критерий Найквиста в логарифмическом масштабе псевдочастоты) и спектральные методы линейной теории дискретных систем в векторно-матричном представлении.

МОДЕЛИРОВАНИЕ КА С УПРУГОЙ КОНСТРУКЦИЕЙ

При получении приближенных моделей движения упругих КА наиболее распространен метод Релея-Ритца-Галеркина в форме метода конечных элементов (МКЭ). Особенность применяемого подхода заключается в представлении упругих колебаний элементов конструкции в виде конечного числа тонов. Здесь расчет форм колебаний выполняется на основе МКЭ с конденсацией (редукцией) по тонам колебаний, на ЭВМ вычисляются также матрицы коэффициентов взаимовлияния движений всех подконструкций как абсолютно твердых, включая корпус КА, так и деформируемых тел. Модель углового движения КА с упругими крупногабаритными панелями солнечных батарей (СБ), составленная при упрощающих предположениях [3-6], имеет вид

Л° = -2(А° о © -V0o Л°);

-ох О + М do + М0 -(5 /п) П ( -П2 я

А

о

_(_

(10)

с матрицей А( =

I

(Бч)т

Б4 I

2п

Здесь © - вектор угловой скорости КА в связанной с КА системе координат (ССК) Ох>2, Я - вектор-столбец обобщенных координат упругих колебаний двух панелей СБ, I - тензор инерции КА при произвольном фиксированном положении панелей СБ, прямоугольная матрица Бч отражает инерционное взаимовлияние движений панелей СБ и корпуса КА, О = Iо + Бч - вектор кинетического момента упругого КА, диагональная матрица П = 5} составлена из парциальных час-

тот , 5 = 1 ^ п9, 5 - логарифмический декремент колебаний панелей СБ, М о = М ^ + М ( - суммарный вектор возмущающих моментов относительно центра масс О КА, где М ^ - вектор гравитационного момента и М( - вектор момента возмущающих сил солнечного давления; Мdo = М - {Мх,Му,М2} - вектор-столбец моментов двигательной установки ориента-

ции (ДУО) с ШИМ длительности тяги двигателей. Ориентация ССК Оху2 относительно орбитальной системы координат (ОСК) Ох°у° 1° определяется кватернионом Л0 и вектором-столбцом ф = {ф1,ф2,ф3} из углов рыскания, крена и тангажа соответственно, вектор-столбец V°° = {0,0,'V0} представляет вектор угловой скорости V 0 орбитального движения центра масс КА в проекциях на оси ОСК и уо (^) - истинная аномалия. В инерциальном базисе I кинематика пространственного углового движения КА описывается кватернионным соотношением Л = -2Л о © . Орбита КА считается известной, при этом вектор возмущающих моментов М 0 представляется аналитической зависимостью только от кватерниона Л0 ориентации КА в ОСК. Динамические свойства упругой модели (10) КА существенно зависят от положения панелей СБ, которое определяется углом у е [0,2п]. В качестве примера на рис. 1 представлены логарифмические амплитудные характеристики (ЛАХ) непрерывной модели упругого спутника по каналам управления его ориентацией для различных фиксированных положений панелей СБ с шагом 45°.

ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ

В начальных режимах ориентации КА в системе управления применяются ДУО на основе шести термокаталитических реактивных двигателей с ШИМ тяги, три одноосных гироскопических датчика угловой скорости, аппаратура спутниковой навигации (АСН) по сигналам спутниковых навигационных систем ГЛО-НАСС^РЗ, редукторный шаговый привода и датчик углового положения двух панелей СБ относительно корпуса КА, а также БЦВМ, реализующая алгоритмы цифрового управления. Непрерывно-дискретные модели этих компонентов контура управления представлены в [3-7]. Допустимые конструктивные базы установки навигационных антенн на корпусе КА обычно не превышают 1м, поэтому достигаемая точность определения ориентации КА с помощью АСН оценивается значением 3а ^ 0.5 град. Такой точности вполне достаточно как для одновременного наведения панелей СБ на Солнце, а полезной нагрузки (антенны спутника связи, телескоп спутника наблюдения) - на Землю, так и последующей угловой стабилизации КА в ОСК.

Применяемый дискретный фильтр измерений с периодом дискретизации Тч имеет передаточную функции ^^ч) = (1 + Ь^/О + Ь^1), 2ч - ехр(вТч) с условием ^^.(1) = 1, где Ь1 - -ехр(-Тч/Тг) и

Рис. 1. ЛАХ упругого КА по каналам для различных положений панелей СБ

Т~ - постоянная времени. Частотная функция Wf (] X) в зависимости от абсолютной псевдочастоты фильтрации Xq = (2/^^(0^/2) имеет вид q) - Wf (д) = КХ • (а - qqx)/(аq - р£) , где КХ= (1 + Ъ1)/(1 - Ъ,) < 1, а qq = -(2/Т;) и pq =-Кг(2/Т<1) являются ее нулем и полюсом. Псевдочастота фильтрации Xq = (2/1^(0^/2) связана с абсолютной псевдочастотой управления Х = (2/Ти^(оТи/2) нелинейным соотношением X(1 = пД2/Ти^(аг^(ХТи/2)/^) . При постоянной времени Т = 2 с такого рекуррентного фильтра с периодом дискретности фильтрации измерений 1 = Ти / ^ = 1 с и периодом управления Ти = 4 с ЛАХ фильтра вносит амплитудное подавление с выходом на постоянный уровень —11 Db, при этом вносимые им отрицательные значения ЛФХ являются вполне приемлемыми в отношении получаемых запасов устойчивости по фазе.

Без учета запаздывания и дискретной фильтрации упрощенная нелинейная дискретная модель любого канала при векторе состояния хк = (5ф к, 5о к } имеет вид [5]

= А , Хк + (Ь , +5Ь, (Тк )^а^Ти,у к),

где Ук = КЛ; К, = [кф к0]; т^ = Sat(Ti|уt|). Асимптотическая устойчивость положения рав-

новесия хк = 0 такой нелинейной дискретной модели доказывается с помощью дискретной функции Ляпунова \к - у(хк) = (хкУхк)1/2; V = (ТТТ)-1, где матрица т составлена из собственных векторов матрицы А0 - А, + Ь,К, замкнутой линейной дискретной системы для ее собственных значений Д = ,i = 1,2 внутри единичного круга, | |< 1. Первая разность такой функции Ляпунова удовлетворяет неравенству ук+1 < (д2 + а\к + Ьу2)1/2 Ук, где постоянные положительные параметры а и Ь появляются в процессе мажорирования. Используя данный результат, рассчитываются значения коэффициентов в законах управления ДУО с ШИМ и учетом физического запаздывания, при которых будет обеспечена не только асимптотическая устойчивость каждого канала в соответствующем режиме, но и как приемлемые показатели переходного процесса, так и точностные характеристики.

Дискретные законы формирования управления ДУО по каналам угловой стабилизации КА описаны в [3-6]. При пространственном поворотном маневре (ПМ) КА на заданном временном интервале с известными краевыми условиями общего вида необходимо согласованно учитывать ограниченность широтно-импульсного уп-

равления по отдельным каналам. С этой целью сначала вычисляется вектор v k = {vik }, соответствующий вектору потребного управляющего момента Mk (t) для каждого полуинтервала времени t е [tk, tk + Tu) . Затем вектор широтно-им-пульсного управления v = {vik } формируется по следующему простому алгоритму:

qk = max| vft |,i = 1 *3; ifqk > 0 foenvik = /qk.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ

Параметрический синтез дискретных алгоритмов фильтрации и широтно-импульсного управления слабо демпфированным спутником (декремент колебаний конструкции КА 5 = 0.005 ) выполнен на основе тщательной имитации движения его полной непрерывно-дискретной модели в среде Matlab. На рис. 2 представлены компоненты вектора программной угловой скорости КА при выполнении поворотного маневра с одновременным наведением панелей СБ на Солнце и полезной нагрузки - на Землю для интервала времени t е [ti5 tf ] = [0,1200] с при следующих краевых условиях:

Л (ti) = (0.31654115192627, 0.68415660285153,

- 0.43738057165327, - 0.49033629016431); Л (tf) = ((0.04035668828809, 0.19121562479099,

- 0.95957861048741; -0.20252607941019); ю (ti) = { -0.00283, -0.0028, -0.00107} град/с;

ю (tf) = { 0. , 0. , 0.00417} град/с;

е (ti) = { 0., 0., 0.} град/с2;

е (tf) = { 0., 0., 0.} град/с2.

Погрешности реализации такого поворотного маневра КА по угловой скорости с физическим запаздыванием Т = 0.7 с при формировании

широтно-импульсного управления тягой РД в составе ДУО приведены на рис. 3. Погрешности угловой стабилизации КА в ОСК при применении разработанных дискретных алгоритмов фильтрации и управления представлены на рис. 4 и рис. 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены результаты анализа качества стабилизации упругих слабо демпфированных спутников при неполном дискретном измерении состояния, многократной фильтрации и широт-но-импульсном управлении реактивными двигателями с физическим запаздыванием. Установлено, что даже при логарифмическом декременте 5 = 0.005 упругих колебаний панелей СБ синтезированные алгоритмы многократной фильтрации и управления обеспечивают устойчивость и приемлемое качество переходных процессов в начальных режимах ориентации таких КА.

Работа поддержана РФФИ (проект 08-08-00512) и Отделением энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН (программа 15)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории линейных дискретных систем управления. М.: Наука, 1985.

2. Сомов Е.И. Робастная стабилизация упругих космических аппаратов при неполном дискретном измерении и запаздывании в управлении // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 124-143.

3. Сомов С.Е. Нелинейная динамика упругого спутника при начальном успокоении // Известия Самарского научного центра РАН. 2005. Т. 7. № 1. С. 107-117.

4. Сомов С.Е. Динамика успокоения упругого спутника при широтно-импульсной модуляции управления двигателями // Известия ВУЗ. Авиационная техника. 2005. № 4. С. 17-23.

5. Сомов С.Е. Анализ колебаний конструкции спутника при наведении на Солнце и Землю с широтно-им-пульсной модуляцией управления двигателями // Известия Самарского научного центра РАН. 2007. Т. 9. № 3. С. 813-823.

6. Сомов С.Е. Моделирование движения упругого спутника // Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем. Казань: КГТУ-КАИ. 2007. Т. 12. № 3 (25). С. 75-84.

Рис. 2. Изменение программной угловой скорости при ПМ КА

Рис. 3. Погрешности реализации ПМ КА по угловой скорости

О 11-1-1-1-1-1-1-1—

О 10U ЖЮ ÖÜO 400 5Q0 $00 7т

ts

Рис. 4. Погрешности угловой стабилизации КА в ОСК

I i i i i i i

0 100 £00 300 400 500 ООО 700

19

Рис. 5. Погрешности стабилизации КА в ОСК по угловой скорости

7. SomovS.Ye. Pulse -width control of a flexible spacecraft Samara: SSC of RAS. 2009. IPACS P. 1-6. URL: http://

// Proceedings of the IFAC Workshop "Aerospace lib.physcon.ru/?item=1839 (дата обращения

Guidance, Navigation and Flight Control Systems". 26.03.2010).

STABILIZATION OF A FLEXIBLE SPASCECRAFT MOTION AT FORMING A PULSE-WIDTH CONTROL WITH A TIME DELAY

© 2010 S.Ye. Somov

Research Institute of Mechanical Systems Reliability, Samara State Technical University

Problem on stabilization of a flexible spacecraft attitude motion at incomplete discrete measurement and pulse-width control of the j et engines with a time delay, is considered. Some results on numeric simulation are presented. Key words: spacecraft, pulse-width control, time delay

Sergey Somov, Research Fellow. E-mail: [email protected]