Среднее время до разрыва цепочки из n=2,3,4 осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кроме того, для всех п ^ 1 справедливо — = п) = —(А + 1) + 0(пА 1), значит, по лемме 2

найдется константа Ь > 0, такая, что

П1+А

ГПп,о < ^-рд + ь,

откуда, используя формулу (1), имеем

Л А

т0,п ~ ап ехр ^ _ ), где константа й> 0. Окончательно получаем

то ,п Л а -— ~ —п .

тп,п с

Данные примеры показывают, что оценка для то,х в теореме не может быть улучшена без дополнительных предположений о цепи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov М. V. Topics in the constructive theory of countable Markov chains. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

2. Чжун Кай-Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Мир, 1964.

3. Menshikov M. V., Popov S.Yu. Exact power estimates for countable Markov chains // Markov Processes and Related Fields. 1997. 2. 57-78.

Поступила в редакцию 16.01.2012

УДК 511

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДО РАЗРЫВА ЦЕПОЧКИ ИЗ N = 2, 3, 4 ОСЦИЛЛЯТОРОВ

С. А. Музычка1

В статье приводится формула для асимптотического поведения среднего времени до разрыва возмущенной цепочки гармонических осцилляторов, состоящей из N = 2, 3,4 частиц, с взаимодействием ближайших соседей и случайной внешней силы.

Ключевые слова: система гармонических осцилляторов, большие уклонения, марковский процесс, среднее время выхода.

An asymptotic formula is obtained for an average time of rupture for a chain of harmonic oscillators consisted of N = 2,3,4 particles with nearest-neighbor interaction and random external force.

Key words: system of harmonic oscillators, large deviations, Markov process, mean exit

time.

Рассмотрим N точечных частиц ¿о < ¿1 < ••• < -1 на прямой, каждая из которых имеет массу т = 1. Координату г-й частицы в момент времени Ь € М обозначим через г^Ь). Энергия взаимодействия между частицами задается формулой

U = y - Zi-i - а)

i= 1

N-1

2

Музычка Степан Андреевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stepan.muzychkaQgmail.com.

Будем считать, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии равновесия:

zi(0) = га, zi(0) = 0.

Предположим также, что на частицу с номером 0 действует случайна я сила /£(t) = ew(t), где w(t) стандартный белый гауссовский шум. Тогда динамика системы определяется уравнениями

'¿0 = -Ц + feit) = U2{ZI -zo-a) + /e(i);

ъ = -Ш = - + Zi+i)> i = l,...,N-2]

dzi

zn-1 = -a&— = u2{zn-2 - zN-1 + a).

Отметим, что эти уравнения, как и все последующие, будут пониматься в смысле теории гауссовских возмущений динамических систем (см. [1, гл. 4]). В частности, хг(Ь) € С1([0, то)). Сделав замену координат Жг(£) = ¿¿(¿) — га, мы получим уравнения для отклонений частиц от их начального положения:

'жо = Ш2(Ж1 — Жо) + /е (*);

Хг = ш2(ж^-1 — 2X1 + Жг+1), г = 1,...,Ж — 2; (1)

-1 = Ш2(жм-2 — Хм-1).

Будем предполагать, что, как только отклонение от начального расстояния между двумя соседними шариками Д| = Хг+1 — Хг — а = Жг+1 — Жг превышает некоторый критический уровень Н, между ними происходит разрыв — цепочка рвется. Задача состоит в оценке асимптотики (при е — 0) среднего времени, за которое между частицами с номерами гиг + 1 произойдет разрыв. Положим

т! = 1п! {г ^ 0: |ДЦ >Н)} , г = 0,...,Ж — 2.

Совсем нетрудно доказать, что в случае N = 2

со,2 (Н)

et

г\ -

0 £2 '

где с0,2(Н) = сН2,с > 0 (см., например, [2, гл. 4, 5]). Также имеется гораздо более общий результат в [3], утверждающий, что в случае отсутствия трения под действием возмущения, задаваемым белым гауссовским шумом, энергия линейной гамильтоновой системы линейно растет с течением времени. Мы доказываем следующую теорему. Теорема. 1. В случае N = 3 при е — 0

^1 % о ) 1 ")-'-)

е2

причем Со,з(Н) = С1,з(Н) = с'Н2, где с1 > 0 — некоторая константа. 2. В случае N = 4 при е — 0

е Сг,4 (Н) .

Етг£--г = 0,1,2,

е2

причем с0,4(Н) = с2,4(Н) = с''Н2, с1;4(Н) = с'''Н2, где с'', с''' > 0 — некоторые константы.

Теорема утверждает, что в случае N = 3 средние времена разрыва в каждом из двух мест асимптотически совпадают, а при N = 4 имеется совпадение только для двух крайних мест. При доказательстве теоремы мы будем использовать следующее техническое утверждение.

Лемма 1. Пусть ает(Ь), т = 1,..., N — 1, являются решениями дифференциальных уравнении

с начальными условиями где шт = 2ш sin (nm/2N), тогда

где Ym,i = sin (nm/N) sin (im (г + 1) /N)

am+^m «m =ew t (2)

am(0) = am(0) = 0, (3)

2 N — 1

m=1

Доказательство. Рассмотрим систему из 2N уравнений на окружности (т.е. сложение и вычитание индексов у функций ведется по модулю 2N):

Ук(t) = W2(yfc_ 1 - 2yk + yk+1) + Ö0,k fe(t), к = -N,..., N - 1; Ук (0) = 0, Ук(0) = 0.

Отметим, что эту систему очень просто решить, используя дискретное преобразование Фурье, а именно

N _1

± \—> _irikm

m=_N

Ук = Ш ^ атв N

где am удовлетворяют уравнениям (2), (3). Прямая подстановка показывает, что уравнения (1) имеют следующее решение:

Xk (t) = Ук (t) + y-l-fc(í).

Остается заметить, что, поскольку yk = y-k для k = 1,..., N — 1, для всех n = 0,..., N — 2 выполнено

An = Xn+l — Xn = Уп+l + У-n-2 — Уп — У-n-l = Уп+2 — Уп =

1 N-1 1 N-1 / с I ГЛ \

X V—> _ 7rinm ( 27г im \ 1 „ / n(n + 2)m nnm \

= —— > с£,е JV e jv -1 =— > al, eos ———---eos —— =

2N ^ m V У N ^ m V N N

m=-N m=1 4 /

2 N—1 F . nm . nm(n +1) =--— > «mSin-— Sin-—-.

N ^ m N N

m=1

Всюду далее мы будем рассматривать все процессы как меры на пространстве C([0, ж), Rd). При этом мы будем писать, что последовательность процессов Пк —> П, если Для всех T > 0 ограничение Пк на

w

[0,T] : Пк|[о,т] слабо сходится к ограничению nl[0,T] в смысле определения работы [4, с. 478, 479].

Для системы возмущенных гармонических осцилляторов, задаваемой уравнениями (2), определим следующие вспомогательные случайные величины:

= z^&mi.t) определено, поскольку ot£m(t) € С1([0, оо), как оговаривалось выше). Нетрудно

проверить, что траектории движения невозмущенной системы (®m, em) (т-е- пРи е = 0) представляют собой вращение в двумерной плоскости с равномерной скоростью по окружностям Hm = (®m)2 + (@m)2 = const;

^m(^) = V(am)2 + (Pm)2 ~ амплитуда СИСТвМЫ {(У.£т,

4>m(t) = Arctg (am(t)/em(t)) — ^mt, t > 0 (мы предполагаем, что ветвь арктангенса в каждый момент времени выбирается таким образом, чтобы траектории ^m(t) были непрерывны). Лемма 2. При е — 0

г£ (^з) := (-^"l! • • • > Yjy-i) (^2

:= V2(u)iAl cos (pf, wiAf sinifl,... ,uN-iA%_l(X)sif%_l,ujN-iAeN_lsmLpeN_l) (J^j -> И^-1),

где W2(N-1) 2(N — 1)

Доказательство. Заметим, что

Am COS P£m\ = /CoS Wmt — Sin WmA í m = 1 1

A£m sin ^£m) V Sin Umt cos Umt J J ' '"''

Прямая выкладка показывает, что

dt V Am sin <Pm) V COS Шmt ) * Sin (fem ) U)m J0 \ COS U)mt

откуда немедленно следуют утверждения:

't,

1) т£ — процесс с независимыми приращениями и нулевым математическим ожиданием;

2) для всех т и п при е — 0

cov ( ( 1 J ,Хеп ( 1 ) ) = tsm,n + 0(е2),

cov (V^ (Js) , Y' (¿)) = i5m>ra + 0(е2),

Здесь мы воспользовались свойствами стохастических интегралов (см. [5; 6, га. 8]);

3) для всех e > 0 и 11, t2 ^ 0 существует такое число H > 0, что E|r£ (^e-2) — r£ (t2e-2) |4 ^ H-|ii —t2|2. Таким образом, доказываемое утверждение является следствием теоремы 2 работы [4, с. 485]. Доказательство теоремы вытекает из следующего утверждения.

Лемма 3. Пусть тd(D, Wd) — момент выхода стандартного d-мерного броуновского движения Wd из области D, и пусть N удовлетворяет условию: для всех k = l, к = 1,..., N — 1, l = 1,..., N — 1

sin

7Г к

2 N

sin

71-I

2 N

(4)

где ^ ^ ^^^^^^^^ чисел, тогда для, всех 0 ^ г ^ N — 2

е2т/ - т-1) (А,^, ^-1^) при е - 0,

где — множество всех 2(N — 1)-^ерныж векторов г= (ж, у) = (х1,у1,..., ж^-1,У^-1), удовлетво-

ряющих неравенству

V2

N -1

= ^ £

m=1

nm nm(i + 1)

cos —— sin-—-

2X X

• < h.

Доказательство. Заметим, что

e2rf = e2 min lt ^ 0 : —

= e min < t ^ 0 : max —

se[i-£-1,i+£-1] N

N -1

m=1 N-1

E Ym,i ■ am(s)

m=1

^ fcj =

^ /г i + к(г) =

= min {t ^ 0 : v£,N (t) ^ fr} + к(е), где через vf n(t) мы обозначили следующий вспомогательный процесс:

viN(t) = TF max

N -1

E Ym,i ■ «m (te 2+s)

m=1

, i = 0, ...,N — 2.

В силу того что

£ (te-2 + s) = Am (te-2 + s) cos (<pm (te-2 + s) + wm(te-2 + s) ) =

( te

V^I

-X!^ {te 2 + s) cos wm (te 2 + s)---=—Y^ (te 2 + s) sin wm (te 2 + s)

\/2i

1

имеем

vf n(í) = TT max

N -1

V • (te 2) cos (wms) - Y^ (te 2) sin (wms))

m=1 V 2wm

+ Kl(t),

где

l«1(t)l <

V2

N-1

N ^

m=1

Ym,i

max (|xm (te-2 + s) - Xm (te-2) | + | Ym (te-2 + s) - Y^ (te-2) |) • se[-£-1,£-1]

Нетрудно проверить, что к|(£) —^ 0 при е — 0 (доказательство последнего аналогично доказательству

1'

леммы 2). Кроме того, из (4) следует, что для любого е' > 0 при достаточно малых е независимо от £ существует такое в € [£е-2 — е-1,£е-2 + е-1], что для всех т = 1,..., N — 1

(1 - + (te"2) < sign(7m;t) • (te"2) cos (coms) - Y^ (te"2) sin (wms)) <

< V№)2 + (Yá)2 (te-2) ,

и потому

N

N-1

£ ' iXm (t£ 2) COS (W™S) ~ Yrn (t£ 2) sin (W™S))

V 2W m

=1

<

N

< - J^v (te-2)) .

Как следствие

<n(í) = (1 - K2(í)) Ji,N(r£(te-2)) + к1 (t)

где k2(í) равномерно по t сходится к нулю при e ^ 0. Из теоремы 2 работы [4, с. 485] следует, что J N(r£(te-2)) —> Jj N(W2(N-1)(t)) при e ^ 0, и потому

' w '

<N(t) Ji,N(W2(N-1)(t))

w

при e ^ 0. Пусть y > 0 — произвольное действительное число. Существует такое T > 0, что

P (т2(N-1)(A,N,h+7) > T) < 1 - Y.

e

построить такой винеровский процесс W2(N-1), что с вероятностью не меньше 1 - y для всех t € [0, T]

Kn(t) - Jj,N(W2(N-1)(t))| < Y, откуда следует, что с вероятностью не меньше 1 - 2y выполнено

т2(N-1)(A,n,h-7) < min {t ^ 0 : <,n(t) ^ h} < т2(N-1) (A,n,h+7)•

Поскольку на границе А^,. нет сингулярных точек (см. [8, гл. 13]), для любого y' > 0 при достаточно маленьких y > 0 с вероятностью не меньше 1 - y' выполнено

|т2(N-1)(A,n,h+7) - т2(N-1)(A,n,h-7)| < y'.

Как следствие с вероятностью не меньше 1 - 2y - y'

|т2(N-1)(A,n,h) - min {t ^ 0 : <,n(t) ^ h} | < y',

откуда в силу произвольности 7 и Y следует, что min 11 ^ 0 : vfN(t) ^ h j —> т2(N n,h) при e — 0.

В результате имеем требуемое утверждение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

2. Gitterman М. The noisy oscillator. Singapore: World Scientific Publishing Co. Re. Ltd., 2005.

3. Лыков А.А., Малышев В.А., Музычка С.А. Линейные гамильтоновы системы с микроскопическим случайным воздействием // Теория вероятн. и ее примен. 2012. 57, № 4. 794-799.

4. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука, 1971.

5. Ширяев А.Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением // Современные проблемы математики. Вып. 8. М.: МИЛИ. 2007. 3-78.

6. Булинекий А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2004.

7. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes, characterization and convergence. Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 1986.

8. Вентцелъ А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука: Физматлит, 1996.

Поступила в редакцию 13.02.2012

УДК 519.95

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ а-ФОРМУЛ

Jl. Н. Сысоева1

Рассматривается задача о реализации булевых функций обобщенными а-формулами. Вводится понятие универсального множества обобщенных а-формул для заданного множества булевых функций. Для множества булевых функций, сохраняющих константы 0 и 1, строятся универсальные множества.

Ключевые слова: булева функция, формула, реализация функций формулами.

а

а

а

functions.

Key words: Boolean function, formula, realization of functions by formulas.

Множество всех функций k-значной логики обозначается через Pk, k ^ 2. Следуя [1], определим индуктивно понятие а-формулы над системой A, A С Pk. Символ переменной является а-формулой над A; такие формулы называются тривиальными. Выражение вида и(Ф), где Ф — а-формула над A, a u — символ одноместной функции из A, является а-формулой. Выражение вида д(Ф,х^,... ,Xim), где Ф — а-формула над A, a Xi2,... ,Xim — символы перемеиных, m ^ 2, и д — символ m-местной функции из A, также является а-формулой. Предполагается при этом, что других а-формул над A нет. Множество всех функций, реализуемых нетривиальными а-формулами над A называет ся а-пополнением сис темы A и обозначается через [А]а. Система A С Pk называет ся а-полной, если Pk = [A]Известно, чт о в P2 не существует конечных а-полных систем; при этом в P& при всex k ^ 3 конечные а-полные системы

а

Введем необходимые определения. Положим Е2 = {0,1}. Обозначим через ЕП множество всех наборов длины и, компоненты которых принадлежат Е2. Наборы (0, 0,..., 0) и (1,1,... , 1) длины n обозначим

через 0 и 1 соответственно. Пусть 7,7 € ЕП Будем говорить, что набор 7 больше или равен набору 7

(обозначение в ^ 7), если для каждого i, такого, что 1 ^ i ^ и, выполнено неравенство Д ^ Yij на~

бор 3 строго больше набора 7 (обозначение 3 > 7), если 3 ^ 7 й 3 = 7- Функция f (x1,x2,..., xn) € P2

1 Сысоева Любовь Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s-lubaQmail.ru.