Об одной динамической модели диффузии с неслучайной скоростью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

УДК 519.21

ОБ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ С НЕСЛУЧАЙНОЙ СКОРОСТЬЮ В. А. Дубко

Аннотация. Классические диффузионные уравнения основаны на предположении, что скорости броуновской частицы могут принимать сколь угодно большие значения. В статье показано, что для решения уравнения Ланжевена, когда случайные влияния ортогональны скорости частицы, может существовать притягивающая поверхность для скорости, несмотря на то, что процесс Винера — это процесс, который принимает сколь угодно большие значения. В отличие от наших предыдущих статей и статей других исследователей, в этой статье построено уравнение для определения вероятности распределения частиц в координатном пространстве с учетом зависимости от начального направления скорости. Показано, что при определенном согласовании коэффициентов в исходном стохастическом уравнении небольшие случайные влияния приводят к описанию плотности вероятности положения частицы на основе волновых уравнений. Отмечено, что рассмотренные уравнения не исчерпывают класс моделей, когда возмущения ортогональны компоненте решения. Расширенный класс стохастических уравнений с ортогональными возмущениями рассматривался в предыдущих работах автора, в том числе для п-мерных процессов, в связи с развитием теории первых интегралов для стохастических систем.

Б01: 10.255877SVFU.2019.31.78.003

Ключевые слова: уравнение Ланжевена, ортогональные возмущения, диффузионное приближение, волновое уравнение, первый интеграл.

Введение

В уравнение Ланжевена [1], моделирующее изменение скорости броуновской частицы, входят два слагаемых. Относительно коэффициентов этого уравнения можно сделать определенные заключения, исходя из физических соображений.

Первое слагаемое — это торможение, вызванное осредненным действием, разницы между импульсами молекул, «набегающих» и «догоняющих» частицу. Второе моделирует стохастичность отклонений от осредненного влияния на скорость частицы. С возрастанием скорости частицы частота воздействий по направлению скорости ее движения увеличивается и, как следствие, дисперсия отклонения от осредненного значения силы торможения должна уменьшаться. В то же время при движении в пространстве размерности выше двух интенсивность воздействий, перпендикулярных к направлению движения частицы, не зависит от ее скорости [2, с. 46,47] (аналогия — «перемещение под дождем»).

© 2019 Дубко В. А.

Это мотивирует рассмотрение моделей с разделением случайных воздействий на скорость движения броуновской частицы: по направлению движения и перпендикулярных ему.

Рассмотрим модель, в которой присутствуют только ортогональные к скорости частицы случайные воздействия:

¿у(г) = -а(г)у(г) ¿г + е (г) ¿г + ь(г)р (у(г)) ад) (1)

¿ж(г) = у(г) ¿г, (2)

где а(г) и Ь(г) — скалярные функции, Е(г) — вектор внешних детерминированных воздействий, ж(г),у(г) - текущее положение частицы и ее вектор скорости, £(г) векторный случайный процесс, Р(у4) — оператор ортогонализации:

(у(г),рК) ад)) = о Уг > о

где (,) — обозначение скалярного произведения. Например, для двумерных процессов, когда £(г) = £(г)(в1 + е2), где £(г) — скаляр и е1, е2 — ортогональные единичные векторы в выбранной системе координат, можно воспользоваться представлением

или, когда у £(г) отличающиеся выражения для компонент, таким представлением:

эд*))ад = -^т, ад) - ад. |у(г)|

Деление на |у(г) |, |у(г) |2 обеспечивает зависимость воздействия только от направления у(г).

Класс таких уравнений будем называть моделями с ортогональными воздействиями. Модели (1), обладают рядом особенностей, отличающих их как от моделей со случайным, скачкообразным изменением направления [3-12], так и от моделей непрерывных случайных перемещений, с изначально детерминированной по величине скоростью [13].

Цель данной работы: продемонстрировать на примере уравнения Ланже-вена особенности решений стохастических уравнений при ортогональных случайных воздействиях (1), (2). Будут построены и уравнения, решения которых аппроксимируют распределение положения частицы с учетом физической трактовки коэффициентов исходного стохастического уравнения.

Замечание. Исследование стохастических уравнений с ортогональными случайными влияниями — результат развития теории первых интегралов стохастических систем [14,15]. Более высокая размерность пространства не является ограничением при построении таких моделей [15].

1. Особенности решения уравнения Ито с ортогональными воздействиями

Рассмотрим вариант модели (1) изменения скорости в трехмерном пространстве:

dv(t) = —a(t)v(t) dt + iv(t)) x H] dt + v(t)) x dw(t)) 1, (3)

|v(i))|

Предполагаем, что:

(I) a(i) > 0 Vi > 0, a(i), b(i) — непрерывные и ограниченные при i > 0 скалярные функции; v(t) = v(i; v(0)), v(0) G R3, v(0) = 0;

(II) w(i) G R3 — винеровский процесс с независимыми компонентами; [• х •] — обозначение векторного произведения.

При ограничениях (I), (II) решение уравнения (3) существует и единственно

[16].

Замечание. В общем случае не обязательно требование независимости компонент w(i) [15].

Исследуем свойства |v(i)|2. Воспользовавшись (3) и формулой Ито, находим

d|v(i)|2 = [—2a(i)|v(i)|2 - 2b2(i)] di. (4)

Таким образом, модуль скорости — не случайная величина. Решение (4) имеет вид

|v(i)|2 =2 J d0b2(0) exp I-2 J a(r) dr | + exp |-2 J a(r) dr | |v(0)|2. (5) Если

b2(i) b2(0) b2 w n —= —rT- = — = const Vi > 0, a(i) a(0) a

применяя интегрирование первого слагаемого в (5) по частям, находим

|v(i)|2 = ^ ^1-exp j-2 J o(r)dr|j +|-2 J o(r)dr| |v(0)|2. (6)

Из (6) следует, что для любого v(0) = 0

lim |v(i)|2 = -. t^œ a

Когда a(i) = a, b(i) = b для любого i > 0 суть постоянные, (6) приобретает более простой вид:

b2

lv(i)|2 = —(1 " ехр{—2ai}) + ехр{—2ai}|v(0)|2. (7)

a

Как видим, уравнение (3) демонстрирует явление релаксации модуля решения (скорости) стохастического уравнения с ортогональными случайными воздействиями (уравнения (6), (7)), к постоянной величине. Следовательно, сфера радиуса b(a)-0'5 — притягивающее многообразие [14,15].

Перейдем к построению характеристической функции для процесса x(i), зависящего от начальных значений {x(0);v(0)}.

2. Уравнение для характеристической функции

Для упрощения выкладок в уравнении (3) положим Н = 0 и рассмотрим уравнение для составного процесса |ж(£); у(4)} (в предположении независимости х(0), у(0)):

(1у(г) = -аШу(£) М + т^тттНЛ х ¿гиШ,

} (8) = ж(0)+/у(т) втг, у(4) е М3.

о

Ограничения (I), (II) уравнения (3) обеспечивают существование и единственность решения (8).

При построении уравнения для характеристической функции

Ф4 = М[ехр{г(Л,ж(г))}/у(0),ж(0)], Фо = ехр{^(Л, х(0))}, (9)

потребуется ряд вспомогательных утверждений, связанных с уравнениями для составного процесса {(Л, ж(£)); (Л, у(4))}.

Как следует из (8), с учетом свойства смешанного скалярно-векторного произведения

(10)

¿(Л, у(4)) = -а(4)(Л; у(4)) М + [Л х у(4)]),

¿(Л,ж(£)) = (Л, у(4)) М

где 6(4) = Ь(4)/|у(4)|.

Лемма 1. Имеет место равенство

¿(Л, у(4))2 = -[2а(4) + 62(4)](Л, у(4))2 М + 62(4)|Л|2К^|2 М

+ 2(Л, у(*))ОД(^), [Л х у(4)]) (11)

Доказательство. Воспользовавшись (10) и формулой Ито, находим

¿(Л, у(4))2 = -2а(4)(Л, у(4))2 М + 62(4)[(Л2уз(4) - Лзу2(4))2

+ (Лхуз(4) - Лзух(4))2 + (Л1 у2(4) - Л2ух(4))2] ¿¿+26(4)(Л, у(^)(^), [Л х у(4)])

(12)

Раскроем и преобразуем в (12) выражение в квадратных скобках при М:

[(Л2уЗ(4) - ЛЗу2(4))2 + (Л1уЗ(4) - ЛЗу^))2 + (Л1 у2^) - Л2у1^))2] = Л2у2(4) - 2Л2ЛЗу2(^З(4) + Л2у2(4) + Л2у2(4) -2Л1ЛЗу1(4)«З(4) + Л|у(«)1 + Л2у2(4) - 2Л1Л2у1(Ф2(*) + Л2у2(4) = Л2 |у(4)|2 + Л2|у(^|2 + Л3|у(4)|2 -(Л?у2(4) + Л2 у2(4) + Л2 у2(4) + 2Л2ЛЗу2(4)^З(4)

+2Л1ЛЗу1(4)«З(4) + 2Л1Л2у1(^2(4))= |Л|2|у(4)|2 - (Л^ф + Л2у(^2

+Лзуз(4))(Л1 у^) + Л2у2(4) + ЛзузФ) = |Л|2|у(4)|2 - (Л,у(4))2.

Учитывая это преобразование, возвратимся к уравнению (12): d(A, v(t))2 = —2a(t)(A, v(t))2 dt

+b2(t)[|A|2|v(t)|2 — (A, v(t))2] dt + 2b(t)(A, v(t))(dw(t), [A x v(t)]). (13) После перегруппировки слагаемых в (13) приходим к уравнению (11). Лемма 2. Имеет место равенство дФ д 2ф

~дГ + = М|(Л'v(i))2 ехр{г(Л' ^W)}/v(0)o;(0)]. (14)

Доказательство. Воспользовавшись определением (9) и последовательно дважды применяя формулу Ито, находим

= М[г(А, v(t)) ехр{г(А, x(i))}/v(0); Ж(0)[, (15)

-g^dt= d= M[id[(A, v(t)) ехр{г(А, a:(t))}]/v(0)a:(0)]

= dtM[[—(A, v(t))2 dt + ¿(A, dv(t))] exp{i(A, x(t))}/v(0)x(0)] = dtM[—([A, v(t))2 dt — ¿a(t)(A, v(t)) dt]exp{i(A, x(t))}/v(0)x(0)]

= — diM[(A, v(i))2 ехр{г(А, x(i))}/v(0)x(0)] - a(t)^ dt. (16)

C учетом (15) и уравнения для второй производной (16) приходим к равенству (14).

Лемма 3. Имеет место равенство

— M[(A, v(t))2 exp{ï(A, x(t))/v(0)x(0)] = M[exp{i(A, x(t))}/v(0); x(0)]

t ( t \2 i I^l\|2

-(A, v(0))2 - J b2(r)|A|2 |v(r )|2 expj-j [2a + dr

Доказательство. Представим решение уравнения (17) в таком виде: (A, v(T - t; v(t)))2 = exp J - i[2a(0) + b2(0)] d0(A, v(t))2

. (17)

t

T

+ J exp i - J[2a(0) + 62(0)[ d062(r)|A|2 |v(r)|2 dr

t ( t \

+ J exp J-^[2a(0) + 62(0)[ dtfl 2(A, v(r))b(r)(dw(r), [A x v(r)[). (18)

Из условий существования и единственности решения (8) следует, что

v(T - t;v(t))=v(T).

Учтем это и перейдем от равенства (18) к такому: (А, у(£))2 = ехр | - £[2а(0) + Ь2(0)] ¿0

(А, у(Т))2 ехр |£ [2а(0) + Ь2(0)] ¿01 -- ^хр 11[2а(0) + Ь2(0)] Ь2(т)|А|2|и(т)|2 ¿т - У ехр |^[2а(0) + Ь2(0)] 2(А, у(т)) Ь(т)(^ш(т), [А х у(т)])

+ ^Ь2(т)|А|2|у(т)|2 ехр |-^[2а(0)+ Ь2(0)]^| ¿т. (19)

Опираясь на (19), преобразуем М[(А, у(4))2 ехр{г(А, ж(£))}/ж(0), у(0)] с учетом детерминированности |г>(т)| (см. (4)):

-М[(А, у(4))2 ехр{г(А, ж(£))}/ж(0);у(0)] = - ехр |£[2а(0) + Ь2(6>)] йв

т

I [ \о„/0\ I ь2/

хМ

ехр{г(А, ж(£))}

(А, у(4))2 ехр | У [2а(0) + Ь2(0)] ¿0

/у(0); х(0))]

ехр{г(А,ж(г))}У ехр^ ^[2а(0) + Ь2(0)] ¿0

4 I т

х 2(А, у(т))Ь(т)(^ш(т), [А х у(т)])/у(0); х(0))

- I ехр | У[2а(0) + Ь 2(0)] ¿0Ь2(т)|А|2|у(т)|2 ¿т о I о

М

. (20)

Выражение в (20) слева не зависит от Т. Поэтому для первого слагаемого справа в (20) при любом 4 € (Т, 0], Т > 0, должно выполняться равенство

(А, у(Т))2 ехр |^[2а(0) + Ь2(0)] М

-М[ехр{г(А,ж(4))}

- I ехр ¡1 [2а(0) +Ь2(0)] ¿0Ь2(т)|А|2|и(т)|2 ¿т

оо

/у(0); х(0)

-М[ехр{г(А,ж(4))}/у(0); х(0)](А, у(0))2. (21)

Поскольку ад(т) — процесс с независимыми приращениями, т. е. для любого 6 > 0 приращения [ад(т+5)-ад(т)] не зависят от ж(т), у(т), и М[ад(6+т)-ад(6)]=0, приходим к такому равенству для второго слагаемого в (20):

М

т | 4

ехр{г(А,ж(г))} / ехр ¡- /[2а(0 + Ь2(0)] ¿0

х 2(А,у(т))Ь(т)(^ш(т), [А х у(т)])/х(0);у(0))

= 0. (22)

Проверить это равенство можно и непосредственно, взяв производную по Т и воспользовавшись формулой Ито и уравнением (10).

С учетом (21) и (22) уравнение (20) переходит в уравнение (17).

Теорема. Характеристическая функция

Ф4 = М[ехр{г(А, ж(£))}/у(0);ж(0)] Уу(0) = 0

для процесса ж(£), А € М3, подчиненного системе (8), является решением уравнения

Я2ф Яф

(23а)

Ф0 = ехр{г(А, ж(0))},

д% дЬ

= ¿(А, у(0))Фо,

4=0

где

/(4) =1 Ь2(т)|у(т)|2 ехр | -I[2а(0) + Ь2(0)] ¿0 1 ¿т]

(23Ь)

Ь2(т)

|у(г)|2

Дт)|2 ехр { - / [2а(0) + Ь2(0)] ¿0¿т

У Ь2(т) ехр |-У 2а(0)[1 + (2а(0))-11V (0) |-2Ь2 (0)] ¿0¿т > 0.

Доказательство теоремы проводится заменой выражения справа в (14) (лемма 2) выражением (17) (лемма 3), определения (9) и равенства (15):

д% дЬ

= М[г(А, у(4)) ехр{г(А; ж(4))}/у(0);ж(0)]|4=о = ¿(А, у(0)) ехр{г(А; х(0))}.

4=0

4

4

4

4

3. Уравнение для плотности вероятности координаты

С учетом связи между характеристическими функциями и отвечающими им распределениями перейдем от уравнения (23) к уравнению в исходных переменных по ж:

д2р(4; ж/ж(0); у(0)) ж/ж(0); у(0))

+ а^у^-»"'-^»-^» = /(¿)У2/^; х/х(0)-, у(0))

д2р(4; ж/ж(0);у(0))

зз

3 дх1дх:1

1=1 ¿=1 ■>

Уравнение для плотности распределения

сю

ж/у(0)) = У ж/ж(0); у(0))р(ж(0))^ж1 (0)^2(0)^жз(0)

— с

соответственно будет таким:

д2р{Цх/у(0)) др(г;х/;у( 0)) 2 --+ ^ ^-^-=

Рассмотрим случай, когда а, 6, |у(4) |2 = а—162 = |у|2 — постоянные. Тогда t

Г 62

/(£) = / Ь2 ехр{—За(£ — г)} ¿г = —[1 -ехр{-3а4}] = 3—11V|[ 1 -ехр{-3а4}],

3а

о

(26)

поскольку, как следует из (7), а—162 = |у|2 — равновесное значение. В этом случае (25) приобретает вид

д2Р(цх/у(о)) др^х/ущ

д¿2 + а т

= 3 11v|2[ 1 - ехр{-3д*}]У2/^; Ж/у(0)) + ]Г ]Г у,(0)у,(0) */у(0)), (27)

1=1 ¿=1 Ж Ж

Решение (27) в соответствии с (23Ь) ищем при начальных условиях

ж/у(0))

р(4;ж/у(0))|<=0 = р(х);

= (у(0), Ухр(ж)). (28)

¿=о

4. Уравнения для аппроксимирующих решений

Рассмотрим варианты уравнения (27), имеющие физическую трактовку, и построим уравнения, решения которых можно рассматривать как аппроксимирующие решения (27).

4.1. Диффузионное приближение. Положим в уравнении (8)

a = ve-1, b = be-1, (29)

где а и b — ограниченные величины. В данном случае

Ь2е-2/е-1а = е-1Ь2/а = е-1|а|2.

При условии (29) уравнение (27) приобретает вид

^;*МО))+-9муо))= 3-|;f u _exp{_3s-Ia}|v^((;,/v(0)) +ЕХ><о„,„,^№».„,„^=.,0,. (зо)

г=1j=1 1 j v

Замечание. Выбор коэффициентов в таком виде связан с тем, что, как показано, например, в [17,18], при устремлении е к нулю, приходим к правильным уравнениям для диффузионного приближения положения броуновской частицы.

Другим моментом является то, что при переходе к безразмерным величинам в уравнении Ланжевена, для комнатных температур, коэффициенты приобрели вид (29) с е~10-12 [15]. Последующий переход от этого уравнения к диффузионному приближению по координате привел к уравнению для плотности частиц, совпадающему со вторым законом Фика (уравнением диффузии для однородных и неоднородных сред) [15]. Это дает нам основание исследовать уравнение (30) с коэффициентами (29) и для модели с ортогональными воздействиями.

Если мы заменим в (27) и (30) v(0) на —v(0), то вид этих уравнений останется прежним, т. е. при таком изменении направления вектора скорости v(0) получаем

pe(t; x/v(0)) = pe(í; x/ — v(0)). (31)

В соответствии с выводами работ [14,15] направления случайного вектора v(ro) равномерно распределены на сфере.

Выбирая в качестве начального условия это требование равномерного распределение на сфере, приходим к равенствам

|v(t)|2 = |v(0)|2=M[Mí)|2/v(0)] + M[|v2(t)|2/v(0)] + M[|v3(t)|2/v(0)] Vt > 0.

Следовательно, в силу равноправности всех проекций и с учетом того, что |v(t) |2 = |v|2 = const, должно выполняться равенство

M[|v1(t)|2/v(0)] = M[|v2(t)|2/v(0)] = M[|v3(t)|2/v(0) = |v|23-1.

Поэтому в сферической системе координат необходимо выбрать представление для проекции в исходном распределении в таком виде:

vz(0) = 3 0'5|v| cos в, vx(0) = 3 0,51v| sin в cos vy (0) = 3 0'5|v| sin в sin

Рассмотрим выражение

п п

J de J

— п —п

п п

М2 Г Í 2

d0 / d^((sin 0) (sin ^ cos

(2п)2

х pe(í; x/|v| sin 0sin^;|v| sin0 cos|v| cos 0) = 0 Vj = l (32)

)2

пп

в силу свойства (31).

Рассмотрим теперь выражение

п п

1

[v?(0)/x; t]= J de J v2(0Жв)Ре(1\ x/m) d<P ф 0, I = 1,2, 3.

пп

(2n)2pe(i; x)[

Из условия сферической симметрии

[(Vi(0))2/x; t[ = [(V2(0))2/x; t[ = [(V3(0))2/x; t[

и требования

[(vi(0))2/x; t[ + [(V2(0))2/x; t[ + [(Vs(0))2/x; t[ = |V(t)|2 = |V|2 следует, что

[(v;(0))2/x; i] = 7-|v|2 VZ = 1,2,3, Vx, Vi > 0. (33)

3

С учетом равенств (32), (33) после усреднения по начальному распределению v(0), приходим к уравнению

d2pe(i; x) _dpe(i; x)

= 3-1|v|2[1 - exp{-3e-1ai}[VXpe(i; x) + 3-1|v|2VXpe(i; x). (34)

Как доказано в [15, гл. 1,3.2, теорема 3.3[, при е ^ 0 процесс xe(t) для произвольных начальных распределений скорости частиц при ограничениях на четвертые моменты: M|v(0)|4 < е-2К, K = const, слабо сходится к решению стохастического уравнения

dx(t) = — \ — dw(t). a V 3

Уравнение для плотности распределение для этого процесса имеет вид

dp(t;x) 1 2__! 2 —qI—= jjM а Vxp(t;x)

и совпадает с (34), если отбросить в (34) слагаемые с е при устремлении е к 0.

Проведенные преобразования и сопоставления служат основанием того, что при условиях (29) можно использовать в качестве аппроксимирующего для решения (27) решение уравнения

1=1j=1 1 Э

Выберем оси координат таким образом, чтобы направление оси х1 совпадало с направлением ±у(0). В этом случае приходим к такому уравнению для плотности распределения ж/У(0)):

дрЦ-х/У!(0)) |у|2 2 /п\\ , \*\2 Рр^х/ът

-Ш-= + —-щ-' (36)

поскольку У2(0) = 0, У3(0) = 0 ^ |У|2 = |у1|2. После выполнения замены:

/3а /3а /3а

И1 = \/4^ЖЬ И2 = у^Ж2' =

(36) переходит в обыкновенное уравнение диффузии:

= У2ир(¿; и/У1(0)), (37)

dp (t; u/ai(0)) ^

д4

где

о~ \ -0,5 / 0 \ -0,5 / о \ -0,5

3а \ / 3а \ / 3а 4

Решение (37) имеет вид

сю

p(í;w/v(0))= Г 1

2\/тт1

( [(»1 ~ У1? + К ~ №)2 + (ц3 ~ Уз)2 \ , ,

х ехр I--—- 1 р{у/У1{0))(1у1(1у2<1у3.

Возвратившись к исходным переменным, находим решение уравнения (36):

„ 3 За \ 2

p(t-,x/v1(0))= I ( —

с

1 / за (xi - zi)2 за [(x2 - Z2)2 + (жэ - Z3)2]

х —= ехр

4^ V 41V |2 и |У|2 и

Как видим, наблюдается асимметрия расплывания плотности: более медленное по направлению ±а(0).

4.2. Случай малого стоксового трения и малых возмущений. Переход к волновому уравнению. Пусть в уравнении (8) a = eao и b2/eao = |v|2 = const. Для согласования этих требований необходимо положить b2/ao = eao|v|2, т. е. Ъ = Ъ^^/е, bo = \v\^JeaQ. Этому случаю будет соответствовать такой вид уравнения (27):

d2pe{t; x/v(0)) ^ 3 11v|2[1 — ехр{—3ao£i}] V2pe(i; x/v(0))

dt2 dt

d2pe(t;x/v(0)) dxidxj

+EEv'(°)vi(°) S ' (38)

i=i j=i

На временных интервалах, когда I < , 0 < а < 1, ([1 — ехр{—Зеао^}] = 0(е1—а)), в качестве аппроксимирующего выбираем решение уравнения

= (3.,

1=1¿=1 1 3

Уравнение (38) приобретает более простой вид, если одна из осей выбранной системы координат, например ж1, совпадает с положительным или отрицательным направлением скорости у(0). В этом случае уравнение (39) заменяется таким:

д^х/уЩ = У1(0))

д£2 '

поскольку у2(0) = 0, у3(0) = 0 ^ |у|2 = |у1|2.

Это волновое уравнение. Его решение — произвольная функция

р(£; Ж1; Ж2; жз/у1(0)) = 91 ([ж 1 - ^|у 1 (0)|]; Ж2; жз) + 92 ([ж 1 + ^|у 1 (0)|]; Ж2; жз),

(41)

р(0; Ж1; Ж2; ЖЗ/у1(0)) = р(ж^ Ж2; жз).

Из (28) следует, что при t = 0

dp(t; x/vi(0))

= .тдр{х)

t=o dx

dt

Подставив представление для (41) в это равенство, находим

д д

-¿1у1(0)|];ж2;ж3) + —д2({х1 + ^|VI(0)|];ж2;ж3)

дд

= "Н! п—д1(х1; х2; х3) + | ——д2(хг; х2; х3). дж1 дж1

Отсюда следует, что если у1(0) направлено в положительном направлении оси ж1, то д1(ж1; ж2; жз) = 0 и д2(ж1; ж2; жз) = р(ж1; ж2; жз). Если же направление у1(0) противоположно направлению оси ж1, то д2(ж1; ж2; жз) = 0 и д1(ж1; ж2; жз) = р(ж1; ж2; жз).

Заключение

Изменения реальных процессов, реальных сред, в том числе стохастических, всегда связаны с ограничениями на их вариации [19]. Перемещения не происходят с бесконечно большой скоростью. В то же время классические уравнения диффузии основаны явно на предположении, что скорости броуновских частиц могут принимать сколь угодно большие значения. В данной работе на основе уравнений Ланжевена при ортогональных к скорости частицы случайных воздействиях продемонстрировано, что для таких систем могут существовать притягивающие многообразия, несмотря на то, что винеровский процесс — процесс, допускающий сколь угодно большие значения. В отличие от предыдущих работ [14,15] в статье построено уравнение для определения вероятности распределения диффундирующей частицы в пространстве координат, включающее зависимость от вектора начальной скорости. Показано, что малые воздействия при определенном согласовании коэффициентов в исходном стохастическом уравнении приводят к описанию перемещения частиц на основе волнового уравнениям с постоянной скоростью.

Рассмотренные уравнения не исчерпывают класс моделей с ортогональными возмущениями. Более полный класс рассмотрен в [14,15, 20], в том числе и для n-мерных процессов [15], в связи с разработкой теории первых интегралов для стохастических систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ланжевен П. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1960; Наука, 1964.

2. Скороход А. В. Стохастические уравнения системы многих частиц // Математические методы в биологии. Киев: Наук. думка, 1977. C. 33—53.

3. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.

4. Kac M. A stochastic model related to the telegrapher's équation // Rocky Mount. J. Math. 1974. V. 4, N. 3. P. 497-510.

5. Колесник А. Д. Об одной модели марковской случайной эволюции на плоскости // Аналитические методы исследования эволюции стохастических систем. Киев: Ин-т математики АН Укр. ССР, 1989. C. 55-61.

6. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Симметричные марковские случайные эволюции на плоскости. Киев: Ин-т математики АН Укр. ССР, 1990. 39 с. (Препринт 90.12).

7. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Симметричные случайные эволюции в R2 // Докл. АН Укр. ССР. 1990. № 2. C. 10-11.

8. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Инфинитезимальный гиперболический оператор марковских случайных эволюции в R2 // Докл. АН Укр. ССР. 1991. № 1. C. 11-14.

9. Orsingher Е. A planar random motion governed by the two-dimensional telegraph equation // J. Appl. Probab. 1986. V. 23. P. 385-397.

10. Orsingher Е. Probability law, flow function, maximum distribution of wave-governed random motions and their connections with Kirchoff's laws // Stoch. Process. Appl. 1990. V. 34. P. 49-66.

11. Орсингер Э., Колесник А. Точное распределение в модели случайного движения на плоскости, управляемого гиперболическим уравнением четвертого порядка // Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41, вып. 2. C. 451-459.

12. Турбин А. Ф. Одномерный процесс броуновского движения — альтернатива модели А. Эйнштейна — Н. Винера — П. Леви // Фрактальний аналiз та сумiжнi питания. 1998. № 2. C. 47-60.

13. Sevilla F. J., Nava L. A. G. Theory of diffusion of active particles that move at constant speed in two dimensions // Phys. Rev. E 90. 022130. Published 25 August 2014.

14. Дубко В. А. Первый интеграл системы стохастических дифференциальных уравнений. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. 28 с. (Препринт 78.27).

15. Дубко В. А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989.

16. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук. думка, 1968.

17. Скороход А. В. Об усреднении стохастических уравнений математической физики // Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев: Наук. думка, 1977. С. 196-208.

18. Дубко В. А. Понижение порядка системы стохастических дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // Теория случайных процессов. 1980. № 8. C. 35-41.

19. Дубко В. А. Моделирование динамики реальных процессов // Сб. докл. III Между-нар. конф. «Эколого-географические проблемы природопользования нефтегазовых регионов». Нижневартовск: НГГУ, 2006. C. 16-20.

20. Карачанская Е. В., Петрова А. П. Неслучайные функции и решения стохастических дифференциальных уравнений типа Ланжевена // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 3. С. 55-69.

Поступила в редакцию 2 августа 2019 г. После доработки 25 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.

Дубко Валерий Алексеевич

Киевский национальный университет технологий и дизайна, учебно-научный институт современных технологий обучения, кафедра высшей математики,

ул. Немировича-Данченко, 2, корп. 4, Киев 01011, Украина doobko2017aukr.net

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3

UDC 519.21

PECULIARITIES OF THE DYNAMICS OF A BROWNIAN PARTICLE WITH RANDOM DISTURBANCES ORTHOGONAL TO ITS SPEED V. A. Dubko

Abstract. The classical diffusion equations are based on the assumption that the velocities of a Brownian particle can take arbitrarily large values. In this article, it is shown that for solving the Langevin equations when random influences are orthogonal to the particle velocity there might exist an attractive surface for velocity, despite the fact that the Wiener process is a process that takes arbitrarily large values. Unlike the previous articles, here we construct an equation for determining the probability density of the distribution of particles in the coordinate space taking the initial direction of velocity into account. It is shown that small influences with a certain agreement of the coefficients in the initial stochastic equation lead to a description of the moving particle based on the wave equations with constant speed. The considered equations do not exhaust the class of models when the perturbations are orthogonal to the vector component of the solution. An extended class of stochastic equations with orthogonal perturbations was considered in previous works of the author, in particular, for n-dimensional processes, in connection with the development of the theory of first integrals for stochastic systems.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.31.78.003

Keywords: Langevin equation, orthogonal perturbations, diffusion approximation, wave equation, first integral

REFERENCES

1. Langevin P., Selected Works [in Russian], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1960); Nauka, Moscow (1964).

2. Skorokhod A. V., "Stochastic equations of a system of many particles [in Russian]," in: Mathematical Methods in Biology, pp. 33—53, Nauk. Dumka, Kiev (1977).

3. Kac M., Several Probabilistic Problems of Physics and Mathematics [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

4. Kac M., "A stochastic model related to the telegrapher's equation," Rocky Mount. J. Math., 4, No. 3, 497-510 (1974).

5. Kolesnik A. D., "On a model of Markov random evolution on the plane [in Russian]," in: Analytical Methods for Studying the Evolution of Stochastic Systems, Collect. Sci. Works, pp. 55-61, Inst. Mat., Akad. Nauk Ukr. SSR, Kiev (1989).

6. Kolesnik A. D. and Turbin A. F., "Symmetric Markovian random evolution on the plane [in Russian]," preprint 90.12, 39 p., Inst. Mat. Akad. Nauk Ukr. SSR, Kiev (1990),

7. Kolesnik A. D. and Turbin A. F., "Symmetric random evolution in R2 [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, 2, 10-11 (1990).

8. Kolesnik A. D. and Turbin A. F., "Infinitesimal hyperbolic operator of Markov random evolution in R2 [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, 1, 11-14 (1991).

9. Orsingher E., "A planar random motion governed by the two-dimensional telegraph equation," J. Appl. Probab., 23, 385-397 (1986).

© 2019 V. A. Dubko

10. Orsingher E., "Probability law, flow rate, maximum distribution of wave governed by motions and their laws with Kirchoff's laws," Stoch. Process. Appl., 34, 49—66 (1990).

11. Orsingher E. and Kolesnik A., "The exact distribution in the model of random motion on a plane controlled by a fourth-order hyperbolic equation [in Russian]," Theory Probab. Appl., 41, No. 2, 451-459 (1996).

12. Turbin A. F., "The one-dimensional process of Brownian motion is an alternative to the model of A. Einstein-N. Wiener-P. Levy [in Russian]," Fraktal. Anal. Pitan., 2, 47-60 (1998).

13. Sevilla F. J. and Nava L. A. G., "Theory of diffusion of active particles that move at constant speed in two dimensions," Phys. Rev., E 90, 022130, (publ. 25 Aug. 2014).

14. Dubko V. A., "The first integral of the system of stochastic differential equations [in Russian]," preprint 78.27, 28 p., Inst. Mat. Akad. Nauk Ukr. SSR, Kiev (1978).

15. Dubko V. A., Questions of the Theory and Application of Stochastic Differential Equations [in Russian], Dal'nevost. Otd. Akad. Nauk SSSR, Vladivostok (1989).

16. Gikhman I. I. and Skorokhod A. V., Stochastic Differential Equations [in Russian], Nauk. Dumka, Kiev (1968).

17. Skorohod A. V., "On the averaging of stochastic equations of mathematical physics [in Russian]," in: Problems of Asymptotic Theory of Nonlinear Oscillations, pp. 196-208, Nauk. Dumka, Kiev (1977).

18. Dubko V. A., "Lowering the order of a system of stochastic differential equations with a small parameter with the highest derivative [in Russian]," Teor. Sluch. Protsess., 8, 35-41 (1980).

19. Dubko V. A., "Modeling the dynamics of real processes [in Russian]," in: Dokl. III Mezhdunar. Konf. "Ecological and Geographical Problems of Environmental Management in Oil and Gas Regions", pp. 16-20. NGGU, Nizhnevartovsk (2006).

20. Karachanskaya E. V. and Petrova A. P., "Non-random functions and solutions of Langevin-type stochastic differential equations [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 3, 55-69 (2016).

Submitted August 2, 2019 Revised August 25, 2019 Accepted Septrmber 3, 2019

Valerii A. Dubko

Kyiv National University of Technologies and Design,

Education and Scientific Institute of Modern Learning Technologies,

Department of Higher Mathematics,

2, building 4, Nemyrovych-Danchenko Street, Kyiv 01011, Ukraine doobko2017aukr.net