CC BY
38УДК 330.45+519.872.2
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ
Фадеев Сергей Николаевич
Санкт-Петербургский имени В.Б. Бобкова филиал Российской таможенной академии, доцент кафедры информатики и информационных таможенных технологий, канд. физ.-мат. наук, e-mail: [email protected]
В статье выполнен сравнительный анализ систем массового обслуживания с неограниченной очередью, с бесконечным и конечным временем ожидания - система с «нетерпеливыми» заявками. Определены условия, при которых система с бесконечным временем ожидания является хорошим приближением для более реалистической системы - системы с «нетерпеливыми» заявками
Ключевые слова: исследование операций в экономике; теория массового обслуживания; системы с неограниченной очередью; «нетерпеливые» заявки
Сравнительный анализ систем массового .
COMPARATIVE ANALYSIS OF QUEUE MANAGMENT SYSTEMS WITH UNRESTRAINED QUEUE
Fadeev Sergey N.
Russian Customs Academy St.-Petersburg branch named after Vladimir Bobkov, Associate Professor of Department of Computer Science and Digital Customs Technologies, PhD, e-mail: [email protected]
Comparative analysis of queue management systems with unrestrained queue, with infinite and finite waiting time - queue management system with "impatient" customers - has been made. The conditions are defined under which the system with infinite waiting time seems to be good approximation for more realistic system -system with "impatient" customers
Keywords: operations research in the economy; queue-ing theory; unlimited waiting systems; "impatient" customers
Для цитирования: Фадеев С.Н. Сравнительный анализ систем массового обслуживания с неограниченной очередью // Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии. 2018. № 2 (66) С. 75-77.
> «
H
А
>
сг X
Е
hi
Я ^
О
БЛЕ Е
п о
Cd
РЕ М
hi X X
о
S« Э
Н
X ОМИ
s «
s
В настоящее время методы исследования операций широко применяются в экономической теории [1]. Данный раздел математики является неотъемлемой частью курса «Математические методы в экономике», который входит в подготовку студентов экономических направлений [2]. В свою очередь, теория массового обслуживания является составной частью дисциплины «Исследование операций».
Теория массового обслуживания (ТМО) - область математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых отдельные события повторяются многократно. Примерами таких событий могут быть: обращение покупателя к кассиру в магазине, поступление вызова на АТС, выход из строя станка в линии, когда требуется его обслуживание (ремонт) специальным персоналом и так далее. Такого рода системы называются системами массового обслуживания (СМО).
В данной работе рассматриваются многоканальные СМО с неограниченной очередью в стационарном режиме. В случае, когда время ожидания заявки ограничено только длиной очереди, существуют замкнутые формулы для основных характеристик системы. Для заданного числа каналов все характеристики системы выражаются только через интенсивность потока заявок и потока обслуживания, которые напрямую связаны со средним промежутком времени t между поступлениями заявок и средним временем обслуживания t соответственно. Однако более реалистичной СМО следует считать систему,
когда в очереди имеются «нетерпеливые» заявки, которые покидают систему, не дождавшись обслуживания. Иными словами, время пребывания заявки в очереди ограничено некоторой случайной величиной со средним значением tq. В этом случае не существует замкнутых выражений для основных параметров системы (они выражаются через знакоположительный ряд), и расчеты могут быть выполнены только численно. Кроме того, если величины ta и t несложно определить путем элементарных статистических наблюдений, то сколь-нибудь точное практическое определение величины ^ проблематично. В связи с этим актуальной является задача количественного сравнения двух систем и определения условий, при которых СМО с неограниченным временем ожидания является хорошим приближением для системы с «нетерпеливыми» заявками.
Следует рассмотреть основные положения ТМО для систем с неограниченной очередью. В этом случае можно дать выражения для основных величин, характеризирующих СМО с п-обслуживающими каналами и с неограниченной очередью. Подробное рассмотрение может быть найдено, например, в работе Е.С. Вентцель [3].
СМО с неограниченной очередью (бесконечным или конечным случайным временем ожидания) представляет собой систему с бесконечным числом состояний. Состояние Б0 означает - в системе нет заявок, все каналы свободны, очередь пуста; состояния Б1 , Б2,..., Бп - заняты один, два, ... п каналов, в очереди нет заявок; Бп+к - все каналы заняты, в очереди к заявок, к = 1,2,3,. . В результате
Фадеев С.Н.
поступления и обслуживания заявок система переходит в случайные моменты времени, из состояния в состояние.
Вероятности состояний являются функциями времени, но при определенных условиях, с течением времени, t ^ СМО неограниченно приближается к стационарному режиму: вероятности состояний перестают зависеть от времени.
Основными характеристиками системы в стационарном режиме являются:
р0 - вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны;
А - абсолютная пропускная способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q - относительная пропускная способность или отношение среднего числа заявок, обслуженных за некоторое время, к среднему числу заявок поступивших в систему за это время;
К - среднее число занятых каналов;
Ьд - среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).
Обозначим как Я - интенсивность потока заявок, то есть среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени, Я=1/Ь. Со средним временем обслуживания заявки Ь связана величина р=1/Ь, которую можно интерпретировать как интенсивность потока обслуживаний. Величины А и Q для любой СМО связаны соотношением Q=A/X.
Далее удобно ввести величину р= Я/ц. Для системы с неограниченным временем ожидания стационарный режим существует только в случае, если р/п<1. В противном же случае, стационарный режим не существует, и не могут быть определены предельные вероятности состояний. Фактически это означает, что система просто не справляется с потоком заявок. С течением времени длина очереди будет неограниченно расти.
Все основные характеристики системы определяются через величины Я, ^ и р0 (которая в свою очередь выражается через Я, Приводим здесь выражения для величин р0, Ь^ (1), (2):
,, рг ръ р" pn+i " 2 3! п! п!(п - р)
(1)
(2)
Относительная пропускная способность Q для системы в стационарном режиме равна единице (это означает, что любая заявка будет обслужена, если система справляется с потоком заявок), а абсолютная пропускная способность А равна X.
Как отмечалось выше, более реалистичной является система, в которой время пребывания заявки в очереди ограничено некоторой случайной величиной, математическое ожидание которой
обозначим как Ь. Такая система часто называет-
ч
ся системой с «нетерпеливыми» заявками: всегда
найдутся покупатели, клиенты и так далее, не желающие стоять в длинной очереди. Со временем Ь^ свяжем величину v=1/tч, которую естественно назвать интенсивностью потока уходов.
Вероятность р0 определяется через знакоположительный ряд (3):
/ " пк п° 00 1
ро- + —
Так как ,
(3)
то ряд в формуле (3) мажорируется рядом ех для и, следовательно, сходится при любых значениях Я, Это означает, что для данной системы, в отличие от СМО с неограниченным временем ожидания, стационарный режим существует всегда.
Абсолютная и относительная пропускные способности даются формулами (4):
Л = >.-\1;. £3 = 1-^ (4)
л
Несмотря на то, что для величины Ьд может быть получено замкнутое выражение [3], ее следует вычислить по стандартной формуле для математического ожидания, что дает лучшую точность для больших значений Ь (5):
Lqm к •
к-1
(5)
Говоря о результатах сравнительного анализа, следует иметь в виду, что для сравнения двух СМО авторами были выбраны величины s=(pg-pg°°) и 8=L™-Lq , где pg", L™ - вероятность состояния Sg и средняя длина очереди для системы с неограниченным временем ожидания, pg, Lq - соответствующие величины для системы с «нетерпеливыми» заявками. В таблице приведены значения данных величин в зависимости от времени ожидания tq, отнесенного к среднему промежутку времени ta между заявками и от величины р=X/^.=t/t . В первой строке каждой ячейки содержится величина (pg-pg°°)/pg, в нижней - величина L™-Lq. Расчеты параметров систем были выполнены на Фортране в среде Microsoft Visual Studio.
Выполненные расчеты показывают, что расхождение между двумя системами уменьшается при увеличении среднего времени ожидания заявки в очереди и при уменьшении величины р. Качественно этот результат естественен и предсказуем. При увеличении времени ожидания характеристики системы с «нетерпеливыми» заявками, очевидно, должны приближаться к соответствующим характеристикам системы с бесконечным временем
76
Ученые записки СПб филиала РТА № 2 (66) 2018
Сравнительный анализ систем массового
Таблица
Результаты вычислений параметров СМО (таблица авторская)
Число каналов: n=1
ts/ta 0.5 2 10 100 1000
0.2 0.144-10-1 0.209-10-1 0.519-10-2 0.825-10-2 0.120-10-2 0.20010-2 0.124-10-3 0.211-10-3 0.125Ю-4 0.21210-4
0.5 0.176 0.393-10-1 0.104 0.268 0.372-10-1 0.113 0.48110-2 0.165-10-1 0.498Ю-3 0.174Ю-2
0.9 0.775 7.909 0.713 7.548 0.575 6.594 0.275 3.877 0.595Ю-1 1.06
n=2
t/t 0.5 2 10 100 1000
1.0 0.117 0.267 0.69410-1 0.184 0.248-10-1 0.78910-1 0.321-10-2 0.11510-1 0.332-10-3 0.12110-2
1.5 0.424 1.81 0.338 1.59 0.198 1.10 0.45810-1 0.328 0.562Ю-2 0.44810-1
1.9 0.861 17.4 0.827 17.1 0.743 16.1 0.499 12.3 0.183 5.75
n=3
t/t q a t /t s a ^ 0.5 2 5 10 1000
1.0 0.16210-1 0.28910-1 0.74610-2 0.154-10-1 0.371-10-2 0.826-10-2 0.203-10-2 0.47L10-2 0.227Ю-4 0.55710-4
2.0 0.245 0.808 0.179 0.671 0.126 0.528 0.883Ю-1 0.405 0.175-10-2 0.10610-1
2.9 0.894 27.0 0.870 26.7 0.842 26.3 0.810 25.7 0.296 12.7
получить, выполнив предельный переход в формуле (3). При уменьшении р все большее количество заявок покидает систему в результате обслуживания, и, следовательно, СМО с «нетерпеливыми» заявками будет приближаться к системе с неограниченным ожиданием.
Если же иметь в виду количественную сторону данного процесса, неожиданным результатом является значительное расхождение величин £, 5 между двумя системами при значениях р/n, близких к критическому значению - единица (для СМО с неограниченным временем ожидания) и больших значениях t. Значениям близким к критическим в таблице соответствует строка, t/t =0.9 при n = 1, tq/ta=104, при n = 2, ts/ta=2.9 при n = 3. Дополнительно к данным таблицы следует привести результат вычислений для трехканальной системы при ts/ta=2.9, tq/ta=104, : £ = 0.0643, 5 = 3.50. Однако если учесть, что расхождение пропускных способностей A, Q уменьшается с ростом tq как (формулы (4)), то разность величин A и Q для двух систем становится несущественной при больших значениях t. Исходя
из вышесказанного, можно сделать следующим вывод: система с неограниченным временем ожидания является хорошим приближением системы с нетерпеливыми заявками при и . В данной области параметров СМО с неограниченной очередью хорошо аппроксимирует СМО с «нетерпеливыми» заявками, что позволяет упростить анализ и избежать введения дополнительного параметра - среднего времени ожидания «нетерпеливой» заявки.
Библиографический список:
1. Соколов Е.В., Измайлов Р.Н. Моделирование торгового процесса с использованием теории массового обслуживания // Экономика и управление: проблемы, решения. 2012. № 7. С. 54-63.
2. Афонин П.Н., Нестеренко Г.Н. Системный анализ в таможенном деле: учебное пособие. СПб: РИО Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии. 2012. 154 с.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М: Советское радио. 1972. 552 с.
