CC BY
82научный журнал (scientific journal)
http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
УДК 519.872.8; 656.6
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ОЖИДАНИЯ
QUEUING SYSTEMS WITH LIMITED WAITING TIMES
©Осипов Г. С.
SPIN-код: 7749-0840 д-р техн. наук, Сахалинский государственный университет г. Южно-Сахалинск, Россия, [email protected]
©Osipov G.
SPIN-code: 7749-0840 Dr. habil., Sakhalin State University Yuzhno-Sakhalinsk, Russia, [email protected]
Аннотация. В работе проводится аналитическое и имитационное исследование систем массового обслуживания смешанного типа — с ограниченной длительностью ожидания. Целью исследования является разработка методологических основ моделирования и анализа результатов имитации и оптимизации функционирования рассматриваемых систем обслуживания. Представлен граф состояний системы, описывающий процессы в терминах модели гибели и размножения, приведены формальные зависимости, позволяющие определить показатели деятельности и эффективности систем.
В основу исследования положена методика выявления закономерностей моделирования и сравнения систем с неограниченной очередью с системами, в которых возможен уход заявок из очереди при превышении критического времени ожидания. Рассматриваемые системы не являются простейшими, характеризуются последействием, поэтому в работе приведена и исследована оценка погрешности приближенных формул, используемых для расчета показателей функционирования систем с не пуассоновскими потоками.
Основные теоретические и методологические положения, сформулированные в работе, апробированы и исследованы на аналитической платформе AnyLogic. Практическая значимость полученных результатов заключается в возможности априорного анализа эффективности функционирования систем обслуживания при их проектировании, а также оптимизации действующих. Приведена апостериорная оценка погрешности расчетов показателей функционирования системы в зависимости от числа заявок в ней. Исследована прикладная система, представляющая собой морской грузовой терминал с несколькими причалами в условиях, когда суда могут досрочно покидать очередь без обслуживания при превышении предельно допустимого времени ожидания.
Abstract. The paper deals with analytical and simulation study of queueing systems of mixed type — with reduced waiting times. The aim of the study is to develop a methodological framework for the modeling and analysis of the results of the simulation and optimization of functioning of the considered queueing systems. Presents the state graph of the system that describes processes in terms of the patterns of death and reproduction, the formal dependence to determine the performance and efficiency of systems.
In the study based on the methodology of identifying patterns of modeling and comparison of systems with unlimited queue systems in which a possible withdrawal requests from the queue when exceeding a critical timeout. The considered systems are not the simplest, are characterized by the aftereffect, so in the article and studied the error estimate of the approximate formulas used to calculate the performance of systems with non-Poisson flows.
Basic theoretical and methodological principles formulated in the work tested and researched on analytical platform AnyLogic. The practical significance of the obtained results lies in the possibility of a priori analysis of the effectiveness of service systems in their design and the optimization of existing ones. Given the a posteriori error estimate calculations of the performance of the system depending on the number of applications in it. Studied applied system, which is a marine cargo terminal with several quays in the conditions when a court can prematurely leave the place without maintenance in excess of the maximum permissible waiting time.
Ключевые слова: системы массового обслуживания, имитационное моделирование, морской грузовой терминал.
Keywords: queuing systems, simulation, marine cargo terminal.
Системы массового обслуживания (СМО) с ограниченной длительностью ожидания (пребывания заявок в очереди) занимают особое положение в иерархии семейства систем обслуживания. Связано это с тем, что такие системы используются в предметных областях, связанных с обеспечением безопасности жизнедеятельности человека, техносферной безопасности и оперативного реагирования на внешние и внутренние изменения.
В подобных системах недопустима задержка ожидания обслуживания заявки в очереди, что может привести к непоправимым последствиям, потере человеческих жизней, снижению качества, ценности и актуальности продукции как материальной, так и информационной.
Такие системы относятся к классу СМО смешанного типа, в которых в отличие от СМО с отказами [1] или ожиданием (неограниченной очередью) [2, 3] существуют заявки, которые могут уйти из очереди, если время ожидания превысит некоторую критическую величину.
В качестве инструментального средства для исследования используется аналитическая платформы AnyLogic [4], которая поддерживает все известные парадигмы имитационного моделирования, обеспечивает проведение оптимизационных экспериментов и параметрический анализ [2-4].
Материал и методика
Основными характеристиками многоканальных систем массового обслуживания
(СМО) с ожиданием [5] является вероятность ро простоя системы и средняя длина Lq очереди:
Po =
^ рк pn+1 у1
к=0
к! n\(n-р)
(1)
n+1 .
L„ =
Р Po
Я ( \2
п ■ п !| 1 -Р
I. п
где п — число каналов обслуживания;
р-_ — коэффициент загрузки системы — отношение интенсивности входящего Ц
потока заявок к интенсивности их обслуживания в СМО.
научный журнал (scientific journal)
http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
Для формализации описания функционирования систем с ограниченным временем ожидания их удобно представлять в виде графа состояний, который в простейшем варианте является схемой гибели и размножения (Рисунок 1.)
V -И X V V- •V X
So S, st s. e un+r
2/i^ kfi ^ ПЦ+ V ^ пц+2v ^ ^ 1Ц1+П' п„+(г+1)v ^
м
V очереди нет
Рисунок 1. Граф состояний СМО с ограниченным временем ожидания.
В этом случае предельные вероятности определяются по следующим формулам:
' V1
Ро =
n к п ш
I—+— 1С
1 к! п!1
к=0
1 П( п + i-р)
¿=1
2)
к _
Рк=ъ Ро 0к=1 п); Рп+^=^"1
P
П!
0
1 П( п + i-Р)
где Р - -; ^
- — интенсивность уходящего (из очереди, не дождавшись обслуживания) потока заявок;
г — число заявок, находящихся в очереди;
k — число занятых каналов.
Исследуем формулу (2) вероятности того, что система находится в состоянии £0 (все каналы свободны). Здесь в отличие от формулы (1) второе слагаемое в скобках есть бесконечный ряд, который не является прогрессией, но его элементы быстро убывают с ростом их номера.
Представим бесконечную сумму в виде двух слагаемых, в первом учитывается конечное число (Ц _ 1) ее элементов, а второе (бесконечная сумма) — остаток.
I-
■I-
_рТ_ £_Р!
=■ П(n+i-Р) I!(«+i-р) П("+i-Р)
i=1 i =1 i=1
Оценим остаток R, очевидно
да ^т
r=z
3)
<
r=q
П(п + i-Р) r=q П-Р
r=q
(P/P)r
r!
i=1
¿=1
Можно показать, что
R <
(P/РГ q!
,p/P
Действительно
r
P
¿=1
научный журнал (scientific journal)
http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
(P/Pf i , p/ß , Ш
q!
V
q +1 (q + l)(q + 2)
' (Pß)q/, Pß (Pß)2 '
q\ 1! 2!
и, соответственно
рмГр:
n! r! n! q!
Длину очереди можно найти по формуле:
L =P-k,
q ß ,
_ n—1 f n—1 Л
гДе k = Z % + n 1 — Z P
k=1 V г=0 У
среднее число занятых каналов
Результаты и их обсуждение
Применим методику исследования СМО с ограничением на время ожидания заявок в очереди для решения практической задачи. Для моделирования используем специализированную аналитическую платформу по имитационному моделированию AnyLogic.
Морской грузовой терминал состоит из п = 3 специализированных причалов для грузообработки (разгрузки/погрузки/обработки) судов. Интенсивность входящего потока судов Я = 4 (судов в сутки). Интенсивность разгрузки судов на каждом причале ц = 2 (судна в сутки).
Проведем сравнение показателей функционирования терминала для трех вариантов работы:
ограничений на очередь нет — СМО функционирует как многоканальная система с ожиданием;
суда покидают очередь (уходят по таймауту) если длительность ожидания превышает некоторую величину;
известна интенсивность уходящего из очереди потока судов.
1. Если ограничений на очередь нет, то имеем многоканальную систему с ожиданием. Принципиальная схема такой системы в среде AnyLogic представлена на Рисунке 2.
Рисунок 2. Схема СМО с ожиданием.
По представленной схеме к терминалу всего подошло 23 судна, два из них ожидают в очереди, три находятся у причалов на обработке и 18 покинули терминал после обработки.
Для рассматриваемой системы р = _ = 2 .
Определяем вероятность простоя причалов по формуле (1):
научный журнал (scientific journal) http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
Po =
( 2 22 23 1 + — + — + — + -
,4 Л
—1
V
1! 2! 3! 3!(3 — 2)
1
9
Среднее число судов в очереди:
24.1
h =
3 ■ 6
8
f 2 V 9
V1 3,
На Рисунке 3 представлены диаграммы, характеризующие длину очереди по результату имитационного моделирования и рассчитанную по аналитическому выражению.
Рисунок 3. Модельное и предельное значение длины очереди. Среднее время ожидания в очереди на обслуживание:
Т = ^ = 89 = 2 и 0,22 9 Я 4 9
Данные о текущем количестве судов в очереди, времени пребывания в очереди и его предельному значению представлены на Рисунке 4.
Рисунок 4. Данные размера очереди и времени пребывания в ней.
Рисунок 5 характеризует соотношение времени, проведенного в очереди к эффективному времени грузообработки (разгрузки).
Рисунок 5. Соотношение времени в очереди и обработки.
Отметим, что в данном режиме максимальное время пребывания в очереди превышает 3 суток.
Среднее время пребывания судна в системе:
Т = Т +1« 0,22 + 0,5 = 0,72
2. Известно, что суда покидают очередь, если время нахождения в ней превышает 1 сутки.
Принципиальная схема такой системы с уходом из очереди по таймауту представлена на Рисунке 6.
Рисунок 6. Схема СМО с «нетерпеливыми» заявками.
По текущему состоянию системы можно констатировать, что из 183 пришедших судов, 172 покинули систему после грузообработки, 3 находятся на обработке, 6 — в очереди и 2 покинули терминал, не дождавшись обработки из-за превышения допустимого времени пребывания в очереди.
На Рисунке 7 представлены результаты моделирования по времени, проведенном судами в очереди и длине очереди. Понятно, что максимальное время в очереди ограничено 1 сутками (ранее 3,259), а среднее время уменьшилось до 0,139 (0,226) за счет того, что часть судов уходит по таймаут. Очевидно, средняя длина очереди также стала меньше, чем была в режиме ожидания без ограничений.
Рисунок 7. Время в очереди и ее длина с учетом таймаута.
3. На основании статистических данных известна интенсивность досрочного ухода судов из очереди V = 0,15. Исследуем, как изменятся основные показатели функционирования СМО при различных значениях 9 количества элементов, учитываемых в разложении (3) для вероятности простоя системы.
Пусть 9 = 6 . Зависимости р0 = /(г) и Я = f (г) представлены на Рисунке 8.
научный журнал (scientific journal) http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
Рисунок 8. Влияние числа заявок в очереди на показатели СМО.
—
Очевидно, в данном случае:
р-_-0,075; р -0119. р
Тогда среднее число занятых каналов:
_ п—1 ( п—1 Л
к+ п 1 — ^р -1,931,
к-1 V '-0 У
длина очереди:
I,- 0,915 . Ц Р
На Рисунке 9 представлена информация о модельном значении длины очереди и ее предельном значении ( 0,915 ). Отличия в значениях объясняются погрешностью, которая вносится за счет учета только 5 элементов в разложении по формуле (3).
Рисунок 9. Длина очереди и ее предельное значение.
Рисунок 10 содержит информацию о модельном значении времени, проводимом
т _ q
судами в очереди и его предельном значении Tq ■ —
К
Lq 0,915
4
0,229
Рисунок 10. Сравнение времени в очереди и его предельного значения.
Очевидно, при 9 = 6 остаток Я ^ 0,12 (Рисунок 7). Таким образом, оценка (4) завышена.
На основании графиков, представленных на рисунке 7 можно сделать вывод о том, что при г > 15 показатели функционирования СМО остаются практически неизменными. Тогда:
р0 = 0,117;
_ п—1 ( п—1 Л
к = £ крк + п 1 — ^ рг = 1,951;
к=1 V г=0 У
к =Р—к = 0,65 . 9 р
В этом случае показатели (расчетные и предельные) длины очереди становятся практически одинаковыми (Рисунок 1 1).
Рисунок 11. Информация о длине очереди.
На Рисунке 1 2 приведена информация о среднем времени, проведенным судами в очереди. Расчетное 0,139 и предельное:
Т = к=065 „ 0,163 9 Я 4
Рисунок 12. Значения времени ожидания в очереди.
Выводы
Результаты выполненного исследования позволяют проводить как априорный анализ и выбор наиболее приемлемого варианта синтеза СМО с ограниченным временем ожидания на этапе проектирования, так и являются необходимым и достаточным инструментарием для повышения эффективности эксплуатации и оптимизации уже действующих СМО при различных вариациях интенсивности их загрузки.
В работе приведены и формальные зависимости для расчета показателей функционирования СМО с оценкой погрешности вычисления предельных величин, и результаты реального имитационного эксперимента, позволяющие сопоставить аналитические и модельные параметры.
научный журнал (scientific journal)
http://www. bulletennauki. com
№12 (декабрь) 2016 г.
Список литературы:
1. Осипов Г. С. Моделирование систем массового обслуживания с отказами // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №11 (12). С. 154-165. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov-g (дата обращения 15.11.2016). DOI: 10.5281/zenodo.166801.
2. Осипов Г. С. Исследование систем массового обслуживания с ожиданием в AnyLogic // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №10 (11). С. 139-151. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov-g-s (дата обращения 15.10.2016). DOI: 10.5281/zenodo.161072.
3. Осипов Г. С. Оптимизация одноканальных систем массового обслуживания с неограниченной очередью // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №9 (10). C. 63-71. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov-gs (дата обращения: 15.09.2016). DOI: 10.5281/zenodo.154304.
4. Осипов Г. С. Одноканальные системы массового обслуживания с неограниченной очередью в AnyLogic // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №8 (9). С. 92-95. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov (дата обращения 15.08.2016). DOI: 10.5281/zenodo.60245.
5. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1980. 208 с.
References:
1. Osipov G. Simulation of queuing system with refusals. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 11 (12), pр. 154-165. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov-g, accessed 15.11.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.166801.
2. Osipov G. The study of queuing systems with waiting in AnyLogic. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 10 (11), pр. 139-151. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov-g-s, accessed 15.10.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.161072.
3. Osipov G. Optimization of single-channel queuing system with unlimited queue. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 9 (10), pp. 63-71. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov-gs, accessed 15.09.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.154304.
4. Osipov G. Single-channel queuing system with unlimited queue in AnyLogic. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 8(9), pp. 92-95. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov, accessed 15.08.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.60245.
5. Ventzel E. S. Operations research: tasks, principles, methodology. Moscow, Nauka, 1980.
208 p.
Работа поступила Принята к публикации
в редакцию 10.11.2016 г. 14.11.2016 г.
