Исследование систем массового обслуживания с ожиданием в AnyLogic Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ/ TECHNICAL SCIENCES

УДК 519.872.8: 656.6

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ В ANYLOGIC

THE STUDY OF QUEUING SYSTEMS WITH WAITING IN ANYLOGIC

©Осипов Г. С.

д-р техн. наук, Сахалинский государственный университет г. Южно-Сахалинск, Россия, [email protected]

©Osipov G.

Dr. habil., Sakhalin State University Yuzhno-Sakhalinsk, Russia, [email protected]

Аннотация. В работе рассмотрены формально-теоретические основы аналитического, имитационного и оптимизационного моделирования многоканальных систем массового обслуживания с ожиданием (с неограниченной и ограниченной очередью).

Исследование базируется на использовании в качестве аналитической платформы среды имитационного моделирования AnyLogic, которая позволяет проводить имитационные и оптимизационные эксперименты, а также производить параметрический анализ решений и исследования на чувствительность.

Практическая апробация моделей базируется на решении и исследовании широкого круга задач по моделированию СМО с ожиданием из различных предметных областей. Основой используемой методологии моделирования и оптимизации является положение об использовании в качестве критерия оптимизации (целевой функции) суммарных приведенных затрат как в каналах обслуживания, так и потерь в очереди.

Исследования направлены на рассмотрение и анализ систем массового обслуживания с различными потоками событий в среде имитационного моделирования AnyLogic.

Abstract. The paper discusses the formal theoretical basis of analytical, simulation and optimization modeling and analysis of multichannel queueing systems with waiting (with the unlimited and limited queue).

The study based on the use as an analytical platform, a simulation environment AnyLogic, which allows simulation and optimization experiments as well as to make a parametric analysis of the solutions and study the sensitivity.

Practical testing of models based on the study of a wide range of tasks on modeling QS with the expectation from different subject areas. The basis of the methodology of modeling and optimization is the provision on the use as the optimization criterion (objective function) of the total reduced costs in servicing channels, and the loss in the queue.

The research focused on the review and analysis of queuing systems with a different flow of events in the simulation environment AnyLogic simulation.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, имитационное моделирование, оптимизация систем, морской порт, грузовые терминалы.

Keywords: queuing systems, simulation modeling, optimization of systems, seaport cargo terminals.

научный журнал (scientific journal)

http://www. bulletennauki. com

№10 (октябрь) 2016 г.

Введение

Система массового обслуживания (СМО) может быть представлена в виде двух основных (под)систем:

источник заявок (ИЗ) на обслуживание (требований, судов, информационных и материальных потоков и т.д.);

система облуживания (СО) — исполнения заявок (технических средств, пунктов обслуживания, терминалов, вычислительных мощностей и т. д.).

Методы теории массового обслуживания (ТМО) позволяют решать задачи, по оптимизации СМО в целом.

Однако, оптимизация отдельных (под)систем может вступать во взаимные противоречия. Так минимальные расходы по заявкам обеспечиваются при больших резервах пропускной способности систем обслуживания, когда задержки заявок в очереди и на обслуживании минимизируются. Но создание резервов пропускной способности технических средств и систем обслуживания связано с большими затратами на их создание и содержание. Минимизация расходов по системам обслуживания наступает в случае наиболее полного их использования, т.е. отсутствия свободных резервов, а это ведет к возрастанию времени нахождения заявок в очереди.

Поэтому нужна глобальная оптимизация с точки зрения всей (системообразующей) СМО. Следовательно, во взаимодействии системы обслуживания и обслуживаемых ею заявок должно быть рациональное соотношение интенсивности поступления заявок с числом технических средств обслуживания и их пропускной способностью. Оптимальное значение указанных параметров целесообразно определять по критерию минимума совокупных приведенных затрат.

Необходимые сведения и формулы На Рисунке 1 представлен граф состояний для одноканальной системы, где для удобства состояния системы 80,81,...,8к,... нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО.

СМО

ИЗ СО

V-

-V-

очереди нет

Рисунок 1. Граф состояний для одноканальной СМО с неограниченной очередью.

Система может находиться в одном из состояний: £0 — канал свободен;

^ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; £2 — канал занят, одна заявка стоит в очереди;

^ — канал занят, (к -1) заявок стоит в очереди;

По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью Л переводит систему слева направо, а справа налево — поток обслуживания с интенсивность / .

Рассмотрим n -канальную (многоканальную) систему с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность Л, а поток обслуживаний — интенсивность / . На рисунке 2 представлен граф состояний системы

2/и^' -V 'кц А ,„/<---- -И- «п<----

So Si St s„ ^»1+1 с ^п+г

V И

"V" очереди нет

Рисунок 2. Граф состояний для многоканальной СМО с неограниченной очередью.

Система может находиться в одном из состояний: £0 — в СМО заявок нет (все каналы свободны); ^ — один канал занят, остальные свободны; £2 — заняты два канала, остальные свободны;

^ — занято к каналов, остальные свободны;

£и — заняты все п каналов, (очереди нет);

£и+1 — заняты все п каналов, одна заявка стоит в очереди;

£и+г — заняты все п каналов, г заявок стоит в очереди;

Можно показать, что при —> 1 очередь будет расти до бесконечности, иначе

п

справедливы формулы (например, [1]), представленные в Таблице 1.

Таблица 1.

ПОКАЗАТЕЛИ РАБОТЫ СМО С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

№ Наименование Формула

1 2 3 4

1 Po Вероятность того, что система находится в состоянии £0 (« p pn+1 У Po = Е , + и \ ^ г=0 1! n!(n-p)J

2 P Вероятность того, что заявка окажется в очереди n+l P = p p q n!(n - p)

3 Lq Среднее число заявок в очереди (длина очереди) „n+l „ T p Po Lq = r v n-n(l-P J

4 L Среднее число заявок в системе L = Lq +p

5 Tq Среднее время пребывания заявки в очереди J Lq q Л

6 Ts Среднее время пребывания заявки в системе 1 ^ II

Продолжение Таблицы 1.

1 2 3 4

7 У Отношение времени ожидания в очереди к времени обслуживания У= Lq L - L s q

8 Q Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена Q = 1

9 A Абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени). A = ÄQ = Л

10 k Среднее число занятых каналов т Л k = — = р

При наличии ограничения на очередь (ее длина не может превосходить числа m), то если заявка поступает в момент времени, когда все каналы заняты — она покидает очередь. На Рисунке 3 представлен граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. Причем по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний интенсивность которого равна /, умноженному на число занятых каналов.

2 /г ^ кц ^ я

So S1 Sk (Ä+1)// * S„ 1 с ,1+Г С n+m

И

очереди нет

Рисунок 3. Граф состояний при ограниченной длине очереди.

В Таблице 2 приведены основные показатели работы СМО с ограниченной по длине очередью.

Таблица 2.

ПОКАЗАТЕЛИ РАБОТЫ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СМО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

№

Наименование

Формула

(

Вероятность того, что система находится в состоянии S

Ро =

(

р

n р 1 i!

1 -

п

ЛЛ

n ■ n !| 1 -

р

п

L„

f

и+1 _

р Ро

Среднее число заявок в очереди

1 — m +1 - m

Lq =

n Л n .

n ■ n !| 1 -

р

n

k

Среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)

k = р

f pn+m \

1 -—-Р

v nm■n! J

L.

Среднее число заявок в системе

Ls = Lq + k

Q

Относительная пропускная способность

Q = 1 -

p

n n!

A

Абсолютная пропускная способность системы

A = ÄQ

1

о

2

2

3

4

5

6

Практическая реализация

1. В порт планируется поступление нового грузопотока с интенсивностью О (т/сутки) для обработки которого требуется построить специализированный терминал. Предполагается, что будет задействован один причал — т. е. в данном случае исследуется задача моделирования одноканальной СМО с неограниченной очередью [2].

Необходимо определить оптимальную пропускную способность терминала П (т/сутки) по критерию минимальных совокупных (по судам и терминалу) приведенных (на одну тонну грузооборота) затрат [3, 4].

Очевидно, занятость терминала определяется его коэффициентом загрузки —, тогда затраты по терминалу найдутся следующим образом:

f = kpZр ( П) + (1 - kp) Z? ( П)

(1)

где k — технологический коэффициент по терминалу;

2р, 2П — затраты по терминалу за время работы и простоя в сутки, соответственно;

П — пропускная способность терминала. Затраты по судам могут быть найдены так:

fs =Л(

= л\г +1 + tT

1 гр ож Т

) Z =Л(

= Л( tiр + tOЖ^

k^t ) z

Т гр J s

где 7 , ^, ^ — соответственно длительность грузовых операций, их ожидания и технических операций;

2,, — затраты по судну в сутки;

кт — технологический коэффициент.

Тогда оптимизационная задачи будет формулироваться следующим образом:

(1 + y{p) + kT ) Zs + kZ?(U) + (1/ p - k) zn (П) ^mm.p_n = G

П

(2)

Очевидно, повышение пропускной способности терминала (П > G) приведет

к увеличению затрат по терминалу и, соответственно, уменьшению судовой составляющей затрат.

На Рисунке 4 представлена расчетная схема определения затрат в системе.

Рисунок 4. Расчетная схема моделирования.

В соответствии с представленными на рисунке исходными данными при пропускной способности терминала 5000 (т/сутки) и коэффициенте загрузки 0,8, совокупные приведенные затраты составляют 1,612 (у.е./т).

Проведя оптимизационный эксперимент, получим решение, в соответствии с которым минимальное значение целевой функции составит f = 0,738 (у.е./т) при р = 0,445. На рисунке 5 приведен фрагмент процесса поиска оптимального решения в среде AnyLogic.

Текущее Лучшее

Итерация: 102 69

Функционал: 4- 0.738 0.738

Параметры

Rü П

0.405 10,000

.......L___.il

1 1 . 1 :; • W -U 1 1 I 1 т 1 1 1 1 1 _1. 1 Iй-1— -11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ——1— -------L-------

20 40 60 80 100 120

Текущее — Лучшее допустимое

Рисунок 5. Результаты поиска оптимального решения.

Очевидно, сокращение совокупных приведенных затрат будет обеспечено за счет снижения судовой составляющей / до 2472 (у.е./сутки) при росте затрат по терминалу /

до 4171 (у.е./сутки). Сравнительные характеристики для исходного (рисунок 4) и оптимального решений (Рисунок 5) представлены в Таблице 3.

ХАРАКТЕРИС

ИКИ ТЕКУЩЕГО И ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИИ

Таблица 3.

Решение П po Lq Ls fs fT f

Исходное 5000 0,2 3,2 4 6630 1430 1,612

Оптимальное 9000 0,555 0,357 0,802 2472 4171 0,738

Таким образом решением задачи будет ввод в эксплуатацию терминала с пропускной способностью П* = 9000 (т/сутки). На Рисунке 6 представлены зависимости fs = fs (р) ,

/г = ут (р) и у = у (р).

научный журнал (scientific journal)

http://www. bulletennauki. com

№10 (октябрь) 2016 г.

14000 -

12000 \

\

\

10000

\

8000 -

6000 4000

Затраты

2000 0

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0,25

0,50

0,75

- ■ - • Судно---Терминал

-f

Рисунок 6. Зависимость затрат от загрузки терминала.

2. Требуется определить оптимальное число причалов на специализированном терминале при известных интенсивностях входного потока Л и потока обслуживания л .

Пусть затраты в системе определяются выражением

/ = с1 Lq(n, р) + с2 п,

где с, с2 — известные константы.

Очевидно первое слагаемое в формуле определяет затраты, связанные с пребыванием судов в очереди, а второе — задает терминальную составляющую.

Пусть для конкретности Л = 1,35 и л = 0,5 . Тогда р = 2,7 и минимальное число причалов п = 3, т.к. в этом случае выполнено условие р/п < 1 и очередь конечна.

В Таблице 4 представлены результаты расчета показателей функционирования системы при различных (в диапазоне от 3 до 7) значениях количества задействованных причалов.

Таблица 4.

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗ АТЕЛИ РАБОТЫ СМО

Характеристики обслуживания Число причалов n

3 4 5 6 7

Вероятность простоя причалов р0 0,025 0,057 0,065 0,067 0,067

Средняя длина очереди £ 7,354 0,811 0,198 0,053 0,014

Относительные затраты f 25,061 6,434 5,593 6,16 7,043

На Рисунке 7 приведен результат проведения оптимизационного эксперимента в среде AnyLogic.

Рисунок 7. Решение задачи оптимизации.

В данном случае параметром оптимизации являлось число причалов, аналогично может осуществляться оптимизация по любому другому параметру или их сочетанию.

3. Исследуем задачу оптимальной загрузки контейнерного терминала [5] с целевой функцией:

f = с{)фп - сЬч (ф, п) ^ тах ,

где с, с2 — константы;

п — количество причалов; р

ф =--интенсивность нагрузки причала.

п

Очевидно, первая составляющая целевой функции определяет средний доход от обработки одного судна, а вторая — потери, связанные с простоем судна. Здесь не учитываются постоянные затраты, не зависящие от интенсивности прихода судов в порт — затраты на содержание причалов, а также всех технических средств и сооружений, обеспечивающих функционирование терминала.

В Таблице 5 приведены результаты оптимизационного эксперимента при варьировании параметров с0/с и числа причалов п. В Таблице верхний показатель равен максимальному значению целевой функции при соответствующей интенсивности нагрузки причалов, приведенных ниже.

научный журнал (scientific journal)

http://www. bulletennauki. com

№10 (октябрь) 2016 г.

Таблица 5.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

Со/ С1 Число причалов

3 4 5 6 7

0,5 0,523 0,83 1,159 1,505 1,863

0,46 0,52 0,57 0,6 0,63

1 1,292 1,971 2,688 3,433 4,198

0,56 0,61 0,65 0,68 0,7

2 3,118 4,6 6,145 7,735 9,357

0,65 0,69 0,73 0,75 0,77

3 5,151 7,478 9,884 12,348 14,856

0,7 0,74 0,77 0,79 0,8

4 7,308 10,5 13,787 17,145 20,551

0,74 0,77 0,79 0,81 0,82

5 9,553 13,624 17,805 22,067 26,338

0,76 0,78 0,81 0,83 0,84

6 11,86 16,82 21,905 27,08 32,317

0,78 0,81 0,83 0,84 0,85

7 14,216 20,077 26,073 32,164 38,328

0,79 0,82 0,84 0,85 0,86

Очевидно в данном случае увеличение указанных параметров приводит к монотонному росту оптимального значения интенсивности нагрузки причалов и значения целевой функции — дохода от функционирования системы.

4. В порту имеется один специализированный причал. Сравнить показатели функционирования причала в случае неограниченной очереди и при наличии ограничения на ее длину (не может превосходить т судов). Использованы формулы, представленные в Таблице 2.

ВЛИЯНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ДЛИНУ ОЧЕРЕДИ

m po Q A Lq Tq Ls Ts

1 0,41 0,738 0,295 0,262 0,656 0,852 2,131

3 0,297 0,878 0,351 0,861 2,151 1,563 3,908

5 0,253 0,934 0,373 1,396 3,489 2,142 5,356

10 0,215 0,982 0,393 2,329 5,823 3,115 7,786

да 0,2 1 0,4 3,2 8 4 10

Таблица 6.

Результаты сравнения основных показателей функционирования СМО для различных вариантов ограничений на длину очереди представлены в Таблице 6 (расчеты выполнены при Р = 0,8 ).

5. Произведем оптимизацию многоканальной системы с неограниченной очередью по критерию минимальных совокупных приведенных затрат в зависимости от количества причалов и интенсивности их нагрузки.

На Рисунке 8 приведена принципиальная схема моделируемой системы с элементами управления — интенсивностью входного потока, количеством причалов и средним временем обслуживания одного судна.

научный журнал (scientific journal)

http://www. bulletennauki. com

№10 (октябрь) 2016 г.

Рисунок 8. Принципиальная схема СМО.

Заготовка для простейшей 2-0 анимационной схемы приведена на Рисунке 9.

Рисунок 9. 2-0 схема системы.

А. При известном соотношении интенсивности потока судов и интенсивности их обслуживания (т.е. при заданной приведенной интенсивности потока судов, или

интенсивности нагрузки терминала) р = — задача сводится к определению оптимального

М

числа задействованных причалов для обеспечения минимума целевой функции — совокупных приведенных затрат.

Формула расчета затрат по терминалу (1) преобразуется к виду:

(

f = nI kpz;(n)+I i-kpl z;;p(n)

Соответственно изменится и вид целевой функции (2):

(\ + у(р) + кТ) Zs + kZp (П) + (1/р - k) z;p (П)

f=

П

^ min

Р

где р =--интенсивность нагрузки причалов.

n

Пусть П=5000, р = 1,8, тогда минимальное количество задействованных причалов будет

п = 2, при этом интенсивность их нагрузки составит (р = Р = 0,9 .

п

В Таблице 7 представлены результаты расчета показателей функционирования системы при различных (в диапазоне от 2 до 5) значениях количества задействованных причалов.

Таблица 7.

ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАБОТЫ СМО

Характеристики обслуживания Число причалов n

2 3 4 5

Вероятность простоя причалов р0 0,05 0,15 0,16 0,17

Средняя длина очереди £ 7,67 0,53 0,11 0,02

Затраты по судам f 6972 1814 1506 1446

Затраты по причалам f 1289 1839 2389 2939

Относительные затраты f 1,65 0,73 0,78 0,88

Из данных, приведенных в Таблице 7 следует, что необходимо задействовать 3 причала, при этом интенсивность нагрузки причалов составит (р = Р = 0,6 .

На Рисунках 10 и 11 представлены основные характеристики работы системы, полученные во время моделирования в среде AnyLogic и соответствующие предельные значения, рассчитанные по формулам, приведенным в Таблице 1.

Рисунок 10. Данные о длине очереди и загрузки причала.

Б. Процедура оптимизации в AnyLogic позволяет решать многопараметрические задачи. Так можно определить при каких сочетаниях приведенной интенсивности потока судов и числом задействованных причалов будет обеспечен минимум совокупных приведенных расходов. На Рисунке 12 представлен фрагмент поиска оптимума по двум параметрам — р и п.

Аналогично может выполняться оптимизация по любым другим параметрам и их комбинации.

научный журнал (scientific journal)

http://www. bulletennauki. com

№10 (октябрь) 2016 г.

Рисунок 11. Показатели времени в очереди, обслуживания и в системе.

Текущее Лучшее

Итерация: 23 не допуст. 1S

Функционал: 4- 0.074 0.664

Параметры го

3.455 с 3.82

П 4 к 6

4 3 2 1 О -1

---"Г-т. 1---1 1 "Т--.. 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -----------\-----------\------------ \ , ; X _ j 1

l ! __jr-_ 1.. . _______

О 5

Текущее

— Лучшее допустимое

10 15 20

— Лучшее недопустимое

Рисунок 12. Поиск оптимума по двум параметрам.

Заключение

Представленная работа сочетает в себе набор минимально необходимого (и достаточного) теоретического материала и практических апробаций для исследования многоканальных систем массового обслуживания с ожиданием в среде пакета имитационного моделирования AnyLogic. Практическая реализация охватывает широкий круг примеров, демонстрирующих разработку оптимизационных проектов в среде моделирования и соответствующих оценок функционирования СМО, а также их параметров оптимизации.

Исследованы различные варианты и составляющие целевых функций задач оптимизации по различным критериям. Проведенное исследование доведено до практических реализаций в виде совокупности формальных знаний и их приложений в различных предметных и проблемных областях.

Список литературы:

1. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1980. 208 с.

2. Осипов Г. С. Одноканальные системы массового обслуживания с неограниченной очередью в AnyLogic // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №8 (9). С. 92-95. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov (дата обращения 15.09.2016). DOI: 10.5281/zenodo.60245.

3. Осипов Г. С. Оптимизация пропускной способности грузовых терминалов // Символ науки. 2015. №12. С. 73-76.

4. Осипов Г. С. Оптимизация одноканальных систем массового обслуживания с неограниченной очередью // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2016. №9 (10). C. 63-71. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/osipov-gs (дата обращения: 15.09.2016). DOI: 10.5281/zenodo.154304.

5. Русинов И. А. Планирование оптимальной загрузки контейнерного терминала // Эксплуатация морского транспорта. 2010. №2. С. 9-11.

References:

1. Ventzel E. S. Operations research: tasks, principles, methodology. Moscow, Nauka, 1980.

208 p.

2. Osipov G. Single-channel queuing system with unlimited queue in AnyLogic. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 8 (9), pp. 92-95. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov, accessed 15.09.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.60245.

3. Osipov G. S. Bandwidth optimization of a cargo terminal. The symbol of science, 2015, no. 12, pp. 73-76.

4. Osipov G. Optimization of single-channel queuing system with unlimited queue. Bulletin of Science and Practice. Electronic Journal, 2016, no. 9 (10), pp. 63-71. Available at: http://www.bulletennauki.com/osipov-gs, accessed 15.09.2016. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.154304.

5. Rusinov I. A. Planning optimal utilization of the container terminal. Operation of Maritime transport. 2010, no. 2, pp. 9-11.

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 19.09.2016 г. 21.09.2016 г.