Средняя длина очереди в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс, К. Н. Галямова

СРЕДНЯЯ ДЛИНА ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе и вычислено среднее число требований, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the system is presented. The average number of requests simultaneously queued waiting for the first service is calculated.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-7] и посвященного разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в этой системе. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием), действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у_1/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X

Граф системы массового обслуживания такого рода изображён рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Х/ ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [2] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы

Ро =i e

(1)

и вероятностей стационарных состоянии системы

Рь =Рт Ро при k * m; k!

Pk -

m (m p +1)

при k > m.

k-m

~ X X где p = —

P

f f + v 1 + p

~ v v

f f+V

p

1+p

ет(р) - неполная экспонента [1,2]. При этом Р = у/ц - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из системы - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях (г)к = г(г + 1)(а + 2) ... (а + к-1); (я)0 = 1 - символ

Похгаммера [8], при этом (1)к =к!.

Рис. 1 - Граф системы массового обслуживания

-1

k -m

Величина a=p /р = Х/у

очевидно, показывает, ка-

кое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в системе одной «нетерпеливой» заявки. В формуле (1) ^1(а;Ь^) - так

называемая вырожденная гипергеометрическая функцию Э. Куммера, определяемая соотношением [2, 3]

(a)k

k

1 U ^ Гп bk k!

(2)

k = п

Для упрощения записи в дальнейших расчётах мы будем пока опускать знак тильды в указанных выше обозначениях.

В работах [5, 6] была найдена вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдёт все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет), которая имеет вид

пт-\ п г и

Рожид (т-1)! ^1 ^ тР;«)-! \=

Рожид (0)^ [ 1 Fi (1; ml р; a)-1 ]

Р

где

рожид(п):

m „

Р Рп

(m-1)! (m-p)

(3)

(4)

- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [9, 10]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметра Р, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе По =По (Р) согласно формуле (1).

В работе [7] было впервые получено выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов), которое имеет вид

т = р-(т - р)УПожид(0)-Пожид \ (5) Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа

к3 = т-(1-т)[Рожид(о)-Пожид \,

m

m

есть выражение для дисперсии числа занятых каналов, которое имеет вид

=p-p Рожид-(m-m)p-m).

При р=П m=p и a'm =р-ррожид(о) в соответствии с результатами [9, 10].

В настоящей работе мы покажем, как рассчитывается такая ключевая для понимания процессов, происходящих в СМО, величина, как среднее количество заявок, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, говоря другими словами, средняя длина очереди. Заметим, что именно эта величина является основной характеристикой широкого класса систем массового обслуживания различных типов и именно эта величина дала название, принятого для подобного рода систем в англоязычной научной литературе - Queueing Systems.

Согласно общей формуле, среднее число требований в очереди (средняя длина очереди)

м pm м ^к-т

l = У (k - m)pk =- У (k - т)-.—--т-

k=m+1 m! k=m+1 (т/Р+1)ь

"Рп =

k

m „ м k m+1 _ j м

_p_р у k а =p_—d У

' m! k=1 (mP+1)k m\fi day (m/p + 1)k

~m+1 „ 7 м __k _m+1 ,„ 7

p Ро d ^ a _p Р0 d т!р dak~0 (mjP + 1)k m\p da

1F1(1; m/ p+1;a)

в силу соотношения (2). С другой стороны, из этой же формулы следует

7 м k м k-1 1 м

1 F1(1; b; z)=d у ^=У k * =1 у (k - ъ+ъ)^=

dz k=0 (b)k k=0 (ъ)

'k ^ k=0

м k м k

УЬ + k)b"У z

(b)k

k=0

zk м zk

У b+k-1+0w-У (b)k

У b + k- 1)(b-1)

zk м zk м zk

(b+k-1)(b-1)k k (b)* (b)*

м м k

=1 b-1)[ 1F1(1;b-1;z)- 1F(1bz)].

соответственно коэффициент простоя

= |[1 + Рожид(п)"Рожид ].

Заметим, что к. 3.< к. з.(о) , соответственно к. п >к . п(о) . В работе [7] также было получено выражение для второго момента этой величины, то

Отсюда

т п г ■,

'={т- %Р ^ 1 ^ (1; т р; «)-1F1 (1; т Р+1; «) \.

Но согласно рекуррентному соотношению для вырожденных гипергеометрических функций Э. Куммера, полученному в работе [2], имеем

k=1

2 РРожид -(т-р)1 -.2 7 / =--I .

7 Р

и тогда, очевидно,

-трр^Мт/ р)-т^Мт! р)-1 ]}=

„—-1 -Р Ро

(т-1)! Р

т-1 ^ Р Ро

(т-1)! Р

[(Р- т) ^(а\—р)+т]=

[т-(т-р) ^(а-т!р)]=

= трРР[Рожид{°)-Рожид ]. (6)

При малых значениях параметра Р в соответствии с приближённым решением [5, 6] отсюда имеем

Ь

РРожид (0)

т - р

1- т + 2 р р

(т -рУ

= 1(о)

1- т + 2 р р (т-рр

Дисперсия числа требований в очереди

Используя асимптотическую зависимость для вероятности ожидания заявкой обслуживания, полученную в работах [5, 6], легко проверить, что соотношения (6) и (7) при стремлении параметра Р к нулю после ряда простых преобразований), как и следовало ожидать, перейдут в соответствующие соотношения многоканальной модели без ограничений [9, 10]

7(0) = р Рожид20 ; 7-2(0)= (т + р) 110 - 7^(0) (т-р)2 7 т-р

(модель М/М/т.

Далее, как мы знаем, на каждую из заявок, стоящих в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью, а это, в свою очередь, означает, что из среднего числа I заявок в очереди в среднем будет уходить , не дождавшись обслуживания, V так называемых нетерпеливых заявок в единицу времени. Тем самым всего в единицу времени система обслужит

--Т2

((= у (к -1)2 рк - т2=рр0 у (к - т)\ а ч

к=т+1 т! к=т+1 (т/ Р + 1)

Найдем сначала осредненный квадрат величины к - т :

А= X-vТ

заявок. В этом случае относительная пропускная способность такой СМО, то есть доля обслуженных заявок среди всех поступивших в систему, будет, очевидно,

(( =У(к - т)2 рк =^ У (к - т)

\2 а

т!

_^р_р0 А

т! (т/ Р + 1)к т!Р йа

(т/ Р+1)к

_ртР0^,.2 ак

У

У

(т/Р + 1)к

т+1 ^ л _р Р0 d

— !р dа

а— ^(1;—/р + 1;а) dа

_т+1 7

р Р0 й (т -1)!Р2 йа

[ ^(1;т/Р;а)- ^(1;т/Р + 1;а)]=

т+1 г. л

р Р0 —

— !р —'а

а-^(1;—/Р + 1;а)

А X-vI , V т q=—=-=1--I

XX X

или

9=1-7/а.

Среднее же число занятых каналов т, как обычно, можно получить путем деления абсолютной пропускной способности А на скорость обслуживания одной заявки откуда вытекает связь

- А Х^7 -

т=—=-=р-Р7,

ц ц

с помощью которой легко проверить полученные ранее авторами соотношения для среднего числа занятых каналов [7]

— = р-(т-р\ Рожид (0) - Рожид ]

1,(т - р)2

рР

т - р

Р

рРожид

Р

1,(—-р)2

рР )2

р- Р0 (—-р) __ — - 1)!Р2

р д ( -2 ^ \_Рожид(0) Рожид]~~

Р

рРожид -(—-р)7 р

и тогда

и соотношение (6) для средней длины очереди. Заметим, что полученную в работе [7] формулу для

7т

>=р-рРожид-(—- — )(р-—)

можно в этом случае переписать ещё и как

— = р-рРожид-р(—- т)7.

Литература

1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вестник Казанского технологического университета, Т. 14,№ 22, С. 155-161, (2011);

к=т+1

к=т+1

к

а

а

и

2. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вестник Казанского технологического университета, Т. 17, № 24,С. 242-245, (2014);

3. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Л.Р. Валеева // Theoretical & Applied Science. 2015. № 5 (25). С. 44-49.

4. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Л.Р. Валеева // Фэн-наука. 2015. № 6 (45). С. 5-9.

5. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Вестник технологического университета, . 19, № 11, С. 122-126, (2016).

6. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Успехи современной науки. 2016. Т. 4. № 8. С. 176-178.

7. А.П. Кирпичников, ,Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Вестник технологического университета. 2о16. Т. 19. № 22. С. 123-125.

8. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 8оо с.

9. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2оо8. 112 с.

10. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2о11. 2оо с.

© А. П. Кирпичников - д-р ф.-м. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Д. Б. Флакс - ст. препод. каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: [email protected]; К. Н. Галямова - магистр каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: [email protected].

© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Prof, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; D. B. Flax - Senior Lecturer of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: [email protected]; K. N. Galyamova - Master of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: [email protected].