CC BY
16
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс, К. Н. Галямова
ОБЩЕЕ ЧИСЛО ТРЕБОВАНИЙ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе и вычислено среднее число требований, одновременно находящихся в системе.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the system is presented. The average number of requests, that are simultaneously presents in the system. is calculated.
Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-8] и посвященного разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в этой системе. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием), действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у = 1/ ?. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X.
Граф системы массового обслуживания такого рода изображён рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р=Х/ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.
В работе [2] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы Ро
_ m—1
po =i
—1 (P)+Tim—Л, [1 Fi 1mlP; a
(m — 1)!
)—i Г
(1)
и вероятностей стационарных состоянии системы
pk k!
, k — m
Pk =|-po при k<m
Pk =-
^ m k
p a
при k > m.,
m! \m
4 P+1)
Po
k—m
где
P = ~ =-
Ц Ц + V
P ;
1+ P
~ V V ~ = - = —
Ц Ц +V
P ; 1+P
(2)
ет (р) - неполная экспонента [1,2]. При этом р=у/ц
- приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из системы - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания
системой одной заявки. В этих соотношениях (а)к = а (а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)0 = 1 - символ Похгаммера [9], при этом (¡)к = к!. Величина
Рис. 1 - Граф системы массового обслуживания
очевидно, показывает, какое сред-
а = р / ~~ = ХУ,
нее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в системе одной «нетерпеливой» заявки. В формуле (1) ^ р (а-2) - так называемая,
e
m
вырожденная гипергеометрическая функция Э. Куммера, определяемая соотношением [2, 3]
\ Fi (a;b; z
k-0
(a )k z (b)k
k k!
(3)
Для упрощения записи в дальнейших расчётах мы будем пока опускать знак тильды в указанных выше обозначениях.
В работах [5, 6] была найдена вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдёт все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет), которая имеет вид
Рожид =т—1)0 [ iFi(1; m Р;«)-1 ]=
(m -1)!
=Рожид (0)—[ iF (1; m Р; а)-1 ]' р
где
Рожид (0) -
„m
Р Р0
(4)
(5)
(m - i)!(m - р)
- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [9, 10]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметра р, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе р0 = р0 (р) согласно
формуле (1).
В работе [7] было впервые получено выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов), которое имеет вид
т - р -(m - р)[ р0ЖИд(0) - р0ЖИд ]
Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа
(6)
к 3-Р-| 1-Р |[ Рожид (0)-m
Рожид
соответственно коэффициент простоя
к.п. = \-к.з. = ^1--т)[1 + Рожид(0)—Рожид ].
Заметим, что к. з. <К. з.(0) , соответственно
к. п. > к. п.(0). В работе [7] также было получено
выражение для второго момента этой величины, то есть выражение для дисперсии числа занятых каналов, которое имеет вид
>-Р-РРожид -(m-m)(p-m).
При Р-о т-р и a 1 -р-рРожид(0) в соответствии с результатами [9, 10].
В работе [8] рассчитана такая ключевая для понимания процессов, происходящих в СМО, величина, как среднее количество заявок, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, говоря другими словами, средняя длина очереди. Заметим, что именно эта величина является основной характеристикой широкого класса систем массового обслуживания различных типов и именно эта величина дала название, принятого для подобного рода систем в англоязычной научной литературе - Queueing Systems:
l-
(m -р) " Р
[ Рожид (0) Рожид ]
(7)
При малых значениях параметра в в соответствии с приближённым решением [5, 6] отсюда имеем
U
р Рожид (0) m -р
1- m + 2 р2 Р
(m-Р)
-1(0)
1- m + 2 р2 Р (m -р)
В свою очередь дисперсия числа требований в очереди
a 2 р Рожид -(m -р) 1
al --
Р
- Г
(8)
Используя асимптотическую зависимость для вероятности ожидания заявкой обслуживания, полученную в работах [5, 6], легко проверить, что соотношения (7) и (8) при стремлении параметра в к нулю после ряда простых преобразований), как и следовало ожидать, перейдут в соответствующие соотношения многоканальной модели без ограничений [10, 11]
l (0)-р Рожид^ 20); a2(0)-(m
(m -р)
±р)М -12(0)
m -р
(модель М/М/т).
В данной, завершающей работе этого цикла публикаций, мы найдём статистические характеристики общего числа требований, одновременно циркулирующих в системе массового обслуживания данного типа. То есть найдём, во-первых, среднее число требований, одновременно находящихся в системе в целом, и во-вторых, дисперсию общего числа заявок системе.
Как мы знаем, на каждую из заявок, стоящих в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью, а это, в свою очередь, означает, что из среднего числа I заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, у так называемых нетерпеливых заявок в единицу времени. Тем самым всего в единицу времени система обслужит
А=Л-уI
заявок. В этом случае относительная пропускная способность такой СМО, то есть доля обслуженных
<У
заявок среди всех поступивших в систему, будет, очевидно,
A X—v l
q=v=
XX
= 1—V J или q = 1 — ~lja.
X
Среднее же число занятых каналов т, как обычно, можно получить путем деления абсолютной пропускной способности а = Х-У У на скорость обслуживания одной заявки р, откуда вытекает связь
т А Х-У I у ,
т =—=-= р-р 1
ц ц
которую легко проверить представленными выше соотношениями (6) и (7). Заметим, что формулу для о-т можно в этом случае переписать еще и как
° m=p—p Рожид—P(m—m)
p(m — m) l •
В этом случае среднее число требований в системе в целом, очевидно
к = т +I = р + 1-рР(т -р)[ Рожид (0)-Рожид ] = Р + (1 -р)1'
Ковариация числа требований, находящихся в очереди и под обслуживанием, как известно, определяется соотношением
Kml =
^ m (k — m)Pk
m)pk—m l
k =m+1
[например, 12] и тогда в данном случае имеем
Kml = ml — ml =(m — p + P l) l •
(9)
В этом случае второй центральный момент общего числа заявок в системе имеет вид
о 2 =о т +°2 + 2 Кт1 =
= P + 2 (m — P)j — P Рожид —p(m — m — 2l) l +
■l2
P Рожид — (m — P) l 2.
Используя асимптотику [2], несложно образом можно показать, что при значении параметра р = 0
все вышеуказанные характеристики переходят в соответствующие соотношения модели без «нетерпеливых» заявок (по классификации Дж. Кендалла -модель М/М/т);
к = т +1 = р +1; Кт1 = (т-р) I =рРожид ;
(m + p) l
2.
2 =ст m +ст 2 + 2 Kml =P + P Рожид + V" ' — l
m — p
Литература
1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вестник Казанского технологического университета. 2011. Т. 14. № 22. С. 155-161.
2. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 24. С. 242-245.
3. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Л.Р. Валеева // Theoretical & Applied Science. 2015. № 5 (25). С. 44-49.
4. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Л.Р. Валеева // ФЭн-наука. 2015. № 6 (45). С. 5-9.
5. А.П. Кирпичников, ,Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 11. С. 122-126.
6. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Успехи современной науки. 2016. Т. 4. № 8. С. 176-178.
7. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 22. С. 123-125.
8. А.П. Кирпичников, ,Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова // Вестник технологического университета. 2017. Т. 20. № 2. С. 8184.
9. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев // Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 800 с.
10. А.П. Кирпичников // Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.
11. А.П. Кирпичников // Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
12. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский // Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., Наука, 1969. 512 с.
P
© А. П. Кирпичников - д-р ф.-м. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Д. Б. Флакс - ст. препод. каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: flaxdm@gmail.com; К. Н. Галямова - магистр каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: galyamovakn@gmail.com.
© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Prof, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, email: kirpichnikov@kstu.ru; D. B. Flax - Senior Lecturer of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: flaxdm@gmail.com; K. N. Galyamova - Master of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: galyamovakn@gmail.com.
