CC BY
35О разделении каналов в системе .
УДК 330.45+519.872.2
О РАЗДЕЛЕНИИ КАНАЛОВ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ
Фадеев Сергей Николаевич
Санкт-Петербургский имени В.Б. Бобкова филиал Российской таможенной академии, доцент кафедры информатики и информационных таможенных технологий, канд. физ.-мат. наук, e-mail: [email protected]
Автором в данной статье выполнен анализ разделения (специализации) каналов в системах массового обслуживания с неограниченной очередью с неограниченным и конечным случайным временем ожидания (система с «нетерпеливыми» заявками). Показано, что при одинаковой интенсивности потока обслуживания разделение каналов ухудшает показатели эффективности системы
Ключевые слова: Марковские процессы; теория массового обслуживания; простейший поток; «нетерпеливые» заявки
ON THE EFFECT OF CHANNELS
SEPARATION IN QUEUING SYSTEMS WITH INFINITE QUEUE
Fadeev Sergey N.
Russian Customs Academy St.-Petersburg branch named after Vladimir Bobkov, Associate Professor of Department of Computer Science and IT-supported Information Customs Technologies, PhD, e-mail: [email protected]
The author analyzed separation (specialization) of service channels was analyzed for queueing systems with unlimited waiting time and finite random waiting time that's for system with impatient customers. It is shown that separation of channels degrades performance of the system if service flow rate remains the same
Keywords: Markovian processes; queueing theory; simplest flow; unlimited waiting systems; impatient customers
Для цитирования: Фадеев С.Н. О разделении каналов в системе массового обслуживания с неограниченной очередью // Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии. 2019. № 3 (71). С. 37-40.
Автором в данной работе рассматриваются п-канальные системы массового обслуживания (СМО) с неограниченной очередью в стационарном режиме. Системы с неограниченной очередью можно разделить на системы, в которых на время пребывания заявки в очереди не наложено никаких ограничений (далее - система с неограниченным временем ожидания) и системы, когда время ожидания заявки в системе является случайной величиной с заданным средним значением. Вторую из систем называют еще системой с «нетерпеливыми» заявками. Автором ранее был выполнен сравнительный анализ таких СМО и определены условия, при которых система с неограниченным временем ожидания является хорошим приближением для системы с «нетерпеливыми» заявками [1].
Проанализируем влияние разделения каналов на основные показатели эффективности системы в стационарном режиме. Пусть имеется п-канальная СМО (условно - билетная касса с п кассирами). Предположим, что поток заявок разделяется по некоторым признакам и, соответственно, разделяются каналы обслуживания (например, часть кассиров будет обслуживать только пассажиров, следующих по направлению Б1, часть - по направлению Б2 и т.д.). Как изменятся показатели эффективности системы при таком разделении, иначе, при специализации каналов?
Анализ сравнительно несложно выполнить для стационарного режима в системе с неограниченным временем ожидания, т.к. в этом случае существуют замкнутые выражения для основных показателей эффективности. Однако более общей
системой следует считать СМО с «нетерпеливыми» заявками; СМО с неограниченным ожиданием, фактически, является предельным случаем такой системы. В связи с этим мы выполним анализ для двух типов СМО.
В замкнутой форме с аналитическими выражениями для основных характеристик СМО теория массового обслуживания построена для так называемых марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем [2]. СМО с неограниченной очередью представляет собой систему с бесконечным, но счетным множеством состояний («дискретные состояния»). Пусть имеется п обслуживающих каналов. Состояние Б0 означает - в системе нет заявок, все каналы свободны, очередь пуста. Состояния Б1 , Б2,..., Бп - заняты один, два, ... п каналов, в очереди нет заявок. Бп+к - все каналы заняты, в очереди к заявок, к=1,2,3,... Поступающие в систему заявки образуют поток событий, под влиянием которых система в произвольные моменты времени («непрерывное время») переходит из состояния в состояние. Обслуженная заявка покидает систему, что можно рассматривать как событие, в результате которого система также меняет свое состояние. Последовательность таких событий образует поток обслуживаний, рассматриваются так называемые простейшие или пуассоновские стационарные потоки. Для таких потоков процесс, протекающий в системе, будет марковским* [2].
О ъ
А Н
И ЗА
ц И Я И
у
п
РА
оз Л
hi Н
И
hi тА
Е
hi Н
Н О
й
Д
hi Я
Н
hi Л
Сг Н
О
П Н
Сг ю
* Процесс может быть марковским не только для простейшего потока; простейший поток - достаточное, но не необходимое условие марковского процесса.
Предполагается, что известны следующие величины: Ьа - средний промежуток времени между поступающими заявками, £ - среднее время обслуживания одной заявки. Интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени, определяется очевидным образом, как \=1/ Аналогично вводится интенсивность потока обслуживания: Ц=1/£. Для системы с «нетерпеливыми» заявками считаем известным математическое ожидание случайной величины - времени, которое заявка «согласна» находиться в очереди. Обозначим математическое ожидание данной величины как ^ и свяжем с ним величину v=1/fq, которую естественно назвать интенсивностью потока уходов.
Вероятности состояний являются функциями времени, но если интенсивности потоков постоянны и система справляется с потоком заявок (см. ниже), то с течением времени, £ ^ «>, СМО неограниченно приближается к стационарному режиму: вероятности состояний и все характеристики перестают зависеть от времени.
Здесь мы вычисляем следующие показатели эффективности системы в стационарном режиме:
р0 - вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны, то есть вероятность состояния Б0;
А - абсолютная пропускная способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Ь - средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди;
Т - среднее время пребывания заявки в очереди;
РпЛ - вероятность отсутствия задержки, т.е. вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно принята к обслуживанию.
Все показатели эффективности, кроме Т, выражаются через безразмерные величины р=\/^ и
Для системы с неограниченным временем ожидания стационарный режим существует только в случае, если р/п<1. В противном случае, стационарный режим не существует, и не могут быть определены предельные вероятности состояний. Фактически это означает, что система просто не справляется с потоком заявок. С течением времени длина очереди будет неограниченно расти.
Для системы с неограниченным временем ожидания существуют замкнутые выражения для всех рассматриваемых показателей, которые могут быть найдены практически в любом руководстве по ТМО, например, в работе Е.С. Вентцель [2]. Заметим только, что величины Ь и Т связаны простым соотношением:
Tq ~ Lq'a ' ^ ■
(1)
Для системы с «нетерпеливыми» заявками ве-
роятность рО определяется как:
ч-1
Ро'
¿То к\ Л! &
>[](« + ja)
j-1
(2)
Несложно показать, что ряд в скобках сходится при любых значениях р, а и, следовательно, стационарный режим существует всегда. В работе А.П. Кирпичникова, Д.Б. Флакса и Л.Р. Валеевой [3] для р0 получено выражение через вырожденную гипергеометрическую функцию.
Величины Ь и Т могут быть вычислены по стан-
1 1 '
дартным формулам для математического ожидания (3), (4):
(3)
(4)
где
рк - вероятности состояний Бк, к=1,2,...,п, рп+к- вероятности состояний Бп+к, к=1,2,...,п [2]. Вероятность РпЛ для любой системы, очевидно, равна (5):
(5)
Некоторые детали вычислений были ранее описаны автором [1].
Все вычисления были выполнены посредством программного кода, созданного на кафедре информатики и информационных таможенных технологий Санкт-Петербургского филиала Российской таможенной академии. Данная программа написана на языке программирования JavaScript, таким образом, для работы с ней требуется только браузер, а сами расчеты могут быть выполнены практически на любом компьютере. В программный код заложены вычисления для следующих СМО в стационарном режиме:
- системы с отказами;
- системы с неограниченной очередью;
- системы с ограниченной очередью;
- систем с «нетерпеливыми» заявками.
Рассмотрим вычисления, выполненные для
двухканальной и одноканальной (после разделения каналов) систем, где число обслуживающих каналов обозначено как п. Представлены два случая: р/и = 0.5 и р¡п -100/101. В первом случае система с неограниченным ожиданием далека от критического режима, во втором - состояние системы близко к критическому, но стационарный режим еще существует.
Предполагалось, что:
- среднее время обслуживания заявки каналом одно и то же в двухканальной и одноканальной системах, т.е. не меняется при разделении каналов;
- интенсивность потока заявок уменьшается вдвое при разделении каналов.
Таким образом, при разделении каналов получим две одинаковых одноканальных системы. Все
О разделении каналов в системе
показатели будут вычисляться для одноканальной системы, но абсолютная пропускная способность А системы двух независимых каналов будет равна удвоенной пропускной способности одного канала, что и отражено в приведенных ниже таблицах.
Результаты вычислений даны в табл. 1 для некритического режима и в табл. 2 для режима близкого к критическому.
Как отмечалось выше, все характеристики систем, кроме Т, зависят только от безразмерных параметров р, а. Необходимые для вычисления Т' значения величины Ьа в условных единицах времени приведены непосредственно в таблицах. Для среднего время обслуживания заявки £ и среднего времени ожидания tq выбиралось следующие значения: £=2 усл. ед. времени, £^=60 усл. ед. времени.
Прежде всего, отметим, что показатели эффективности для рассмотренных типов СМО довольно близки, если режим работы далек от критического [1]. Разделение каналов незначительно ухудшает основные показатели эффективности, сильнее всего меняется (возрастает) время ожидания в очереди. Однако, абсолютное значение этой величины невелико (близко к среднему времени обслуживания) и ее увеличение не критично. Заметим, что абсолютная пропускная способность для СМО с неограниченным временем ожидания остается неизменной в силу тривиального соотношения А = К.
Для системы с неограниченным ожиданием показатели эффективности ухудшаются и для режима близкого к критическому, причем существенно увеличивается время пребывания заявки в очереди.
Причина таких изменений показателей эффективности заключается в следующем. Расчеты
показывают, что после разделения каналов увеличивается вероятность р , то есть время простоя канала. В исходной многоканальной системе имеет место неявная «взаимопомощь» каналов: если свободен хотя бы один из каналов, поступившая заявка немедленно принимается к обслуживанию свободным каналом. В системе с разделением каналов, если в данной подсистеме все каналы заняты, заявка становится в очередь, безотносительно к тому есть ли свободные каналы в другой подсистеме.
Что касается системы с «нетерпеливыми» заявками, то при р/л «=» 1 разделение каналов снижает такие показатели как Г, А, РпЛ, однако средняя длина очереди незначительно сокращается.
Проанализировав результаты разделения каналов в системах массового обслуживания, мы показали, что такое разделение не улучшает, а несколько ухудшает основные показатели эффективности системы с неограниченной очередью. Причем в системе с неограниченным ожиданием, в режиме близком к критическому, пребывание заявки в очереди значительно возрастает. Следует отметить, что среднее время обслуживания заявки - основного показателя эффективности обслуживающего канала - предполагалось неизменным после разделения. Зачастую разделение каналов связано с их специализацией, что как раз и ставит целью сокращение времени обслуживания. В связи с этим в дальнейшем представляется перспективным определение аналитической зависимости показателей эффективности от числа каналов, среднего времени обслуживания и интенсивности потока заявок для СМО с неограниченной очередью.
Таблица1
Результаты вычислений р/п=0.5
Система с неограниченным временем ожидания Система с нетерпеливыми заявками
п=2,1а=2 п=1, ta=4 п=2, ta=2 п=1, ta=4
р0 0.333 0.500 0.337 0.514
^ 0.333 0.500 0.299 0.415
1<5 0.667 2.000 0.607 1.702
А 0.500 0.250-2=0.500 0.495 0.243-2=0.486
Рпа 0.667 0.500 0.673 0.514
Результаты вычислений р/п=100/101
Система с неограниченным временем ожидания Система с нетерпеливыми заявками
п=2, ta=1.01 п=1, ta=2.02 п=2, ta=1.01 п=1, ta=2.02
р0 0.00498 0.00990 0.0463 0.127
Lq 98.52 99.01 4.939 3.519
Tq 99.50 200.0 5.328 7.756
А 0.990 0.495-2=0.990 0.908 0.436-2=0.872
Рпа 0.0148 0.00990 0.138 0.127
Таблица 2
Библиографический список:
1. Фадеев С.Н. Сравнительный анализ систем массового обслуживания с неограниченной очередью // Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Боб-кова филиала Российской таможенной академии. 2018. № 2 (66). С. 75-77.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. М: Советское радио. 1972. 552 с.
3. Кирпичников А.П., Флакс Д.Б., Валеева Л.Р. Системы массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 6-1. С. 68-73.
