Системы массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

1 2 3 ©

Кирпичников А.П. , Флакс Д.Б. , Валеева Л.Р.

1Доктор физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, г.Казань, РФ; Ст. препод. каф. сбора и обработки информации КНИТУ, г.Казань, РФ; 3Магистр каф.сбора и обработки информации КНИТУ,

г.Казань, РФ

3 ©

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ

ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системы. Проведена подробная математическая формализация модели и вычислены вероятностные характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

1. В настоящее время значительный интерес представляет также исследование таких систем массового обслуживания, для которых общее время пребывания одной заявки в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием) ограничено некоторым случайным временем t со средним значением t . С такого рода системами массового обслуживания приходится иметь дело достаточно часто. Например, при противовоздушной обороне воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы (зоны действия обслуживающего устройства) лишь некоторое ограниченное время и покидает её независимо от того, была ли она обслужена (то есть, кончился обстрел или нет). Другим примером таких систем являются приборы (например, счётчика элементарных частиц), область действия которых ограничено некоторой зоной действия, вне которой прибор не работает. При этом каждое требование, проходящее через эту зону, может быть обслужено прибором, если он не занят, но за пределами зоны обслуживания прибор уже лишён возможности обслуживать требования. В данной работе предложен вариант комплексного описания систем массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявок в системе на основе того математического аппарата, который был ранее представлен и развит авторами в работе [1]. Напомним, что в этой работе была подробно изучена одноканальная система массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем ожидания заявок в очереди. Математической основой при этом является введение в рассмотрение функции Миттаг-Леффлера первого порядка £ (z; m) [2, 3], определяемой формулой

где Г - гамма-функция, позволяющей значительно упростить большинство промежуточных расчётов. Полученная на этой основе единая, внутренне связанная, система сравнительно компактных формул позволила адекватно описать все основные характеристики стационарных режимов такого рода одноканальной СМО - вероятность простоя системы р0,

коэффициента загрузки m и среднюю длину очереди l, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины. Для изучения многоканальной системы

© Кирпичников А.П., Флакс Д.Б., Валеева Л.Р., 2015 г.

Аннотация

массового обслуживания такого типа, однако, использованный в работе [1] математический аппарат следует скорректировать с учётом тех задач, которые ставит перед исследователем изучение системы массового обслуживания с числом каналов большим, чем единица.

2. Предположим, что мы имеем многоканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна 1, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть m. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью m).

Предположим далее, что общее время пребывания одной заявки в системе ограничено теперь некоторым случайным временем t со средним значением t. Тем самым, на каждую заявку, находящуюся в системе, действует поток уходов с интенсивностью

1

v =-. t

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится S заявок, то при этом суммарная интенсивность уходов заявок из системы равна s v, и тогда граф состояний такого рода системы массового обслуживания имеет вид, изображённый на рис. 1:

Как видно из графа, перед нами классическая схема процесса гибели и размножения. Применив общие выражения (например, [4, 5]) для вероятностей предельных (стационарных) состояний в этой схеме, получим

Р1 =-

1

m+v

pо; р2 =

12

2 (m+v)2

-Ро;

Р3 =

13

3i(m+v):

Ро

pm =

1

m

m!(m+v)m

Ро;

pm+1

1

m+1

Р 0

m!(m+v)m [m(m+v)+v ] будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится S заявок, то при этом суммарная интенсивность будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний. Если в системе находится S заявок, то при этом

pm + 2 =

суммарная интенсивность

\m + 2 p 1 Ро

m!(m+v)m [m(m+v)+v ][m(m+v)+2v ]

Pm+3

\m+3 1 p0

m (m+v)m [ m(m+v) +v ] [ m(m+v)+2v ][ m(m+v)+3 v ] Введём далее обозначение p = m + v , тогда, очевидно, имеем

1 12 13 1m

i3

Pi = pPo; P2 =—2Po; P3 =—3 m 2 p2 3!p3

P0 — Pm ='

m!p

m

Po;

Pm + i =

im+1

m!pm (mp+v)

P0; P m + 2 =

im + 2

Pm + 3

m!pm (mp+v)(mp+2 v)

\m + 3 1 P0

Po;

m!mm (m m+v)(m~ + 2v)(m~ + 3v)

или

~ p2 p3 pm

Pi =P P0; P2 = — P0; P3 = —P0; - Pm =—P0; Pm+1 2 3! m!

m +i

: P_____

m!(m + b)

P0;

-m+2

-m+3

Pm +2 =

где p

~ m+v 1+b

m!(m + P)(m + 2 ~)

, и p = P

P0; Pm+3

m!(m + P)(m + 2 b)(m + 3 ~)

P0 - •

1 _ 1 _ p p v v

b 1

p —• При этом p=— - приведённая

~ m+v 1+b m

v

интенсивность потока заявок в систему, а b = — - приведённая интенсивность ухода

m

«нетерпеливых» заявок из системы. Напомним, что параметры p и b показывают соответственно, сколько в среднем заявок поступает в систему и покидает её необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В общем виде, очевидно, имеем следующие формулы для Pk :

p к

Pk =тт P0 при к < m; к!

p к

Pk

1P0 при к > m.

m!(m + b)(m + 2b)-[m + (k-m)~ ]1 Запись формул (1) для Pk можно упростить следующим образом. Разделим числитель и

знаменатель второго из этих соотношений на рк m. Тогда получим

рк pm ак-m

Pk =-ТТ P0 при к <m; Pk =— I p Л---

к! m! (m/b+4 - m

P0 при к > m.

В этом соотношении

(а)к = a (a + 1)(a + 2) ... (a + к -1); (a)0 = 1 - символ Похгаммера [например, 6], при этом (1)к = к !. Величина a = p /b = Vv, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. В этом случае из условия нормировки имеем

P0 1 em-1

-1 (p)+-

m

m!

а

1 +-rp---+

m/ b +1

-Л-1

a

a

(m b+i)(m~+2) (m~+i)(m~+2)(m~+з)

pm e .WiP a a2 e3

em-1L pJ 1 , m 4. _ (m M1 (m ~+1)2 (m ~+1)з J

-1

-|-1

em-i (r)+m, x

m — a *

m кт0

(i)

В этом соотношении

(r) = p p2 pm

my ’ 1, 2, m,

- неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом eg (р) — 1, а при

m < 0 полагаем em (р) — 0 . Ясно, что em (~)®ep при m ® ¥ .

Рассмотрим более внимательно сумму в формуле (1). Ясно, что в отличие от соответствующего соотношения классической модели M/M/m, в котором сумма бесконечного числа слагаемых в знаменателе этой формулы сводились к сумме бесконечной геометрической прогрессии, в формуле (1) содержится сумма S бесконечного ряда, не являющегося такого рода прогрессией. Поэтому будем действовать следующим образом.

Введём в рассмотрение вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера 1 F1(a; b; z), определяемую формулой [7]

1F1(a;b;z)— X

к — 0

(akii

(b)k к Г

(2)

в этом случае, очевидно, имеем

S

—X

к—0

a

('" р + 4

— 1F1 (1; m/ ~ + 1; a)

поскольку (1)* — к ,. Отсюда получаем более компактную формулу для вероятности полного

простоя системы pg :

-1-1

” III . .

Р0 — em-1 (р)+^Г 1F1 (1; ml~ +1; a) m,

(3)

Последнее выражение, в свою очередь, можно еще больше упростить следующим образом. Замечая, что per definitio

(a )k —

r(a + к) G(a)

где Г - гамма-функция, перепишем выражение для вырожденной гипергеометрической функции как

1F1(a;b;z)

r(b) G(a + к) z*

G(a) X0 r(b + к) к,

а интересующую нас сумму как

S--

°° k

1F, (1, X+l; z )=rg+1) £ —^

k = 0 ^

+ k)

,(4)

поскольку r(k +1)=k!. Далее для упрощения последнего выражения используем следующую цепочку формул:

I

к=0

¥ 7_ 1 ¥

Zzk = 1 z"

k=1 G(X+к)=ijL r(X+k)1

I

k=0

1

r(X+k) r(X)

Таким образом, получаем

S = iFi(l, X+1;z)=G(X+l)

z

k =0

G(X+k) Г(Х)

откуда с учетом известного рекуррентного соотношения для гамма-функции [7, 8] Г(Х+l)=X Г(Х) следует

S = -F - (1, X+l; z )=

Г© I

a___

=0 r(X+k)

k=0

¥ k

— яk

§ (x)k

или

(5)

S = 1F1 (1;X+1,z)=X[F1(1;X; z)-1]

z

- рекуррентная формула для 1 F1(1;X, z).

В данном случае, очевидно, имеем X = m/b , z = о = р/b, в этом случае XIz = m/р и тогда, применяя формулу (5) к соотношению (3), получаем следующую компактную формулу для вероятности полного простоя системы р0 :

1 -1-1

Р0:

em-2 (Р)+(Р 1F11 m/о)

(m -1)!

(напомним, что ез(р)=1 и em (р)=0 для всех m < 0). Для одноканальной СМО (m=1) последнее выражение имеет особенно простой вид

Р0 = . /, 1 ~\. (6)

1F1 (1;V~; о)'

Легко также показать, что при р ® 0

lim 1F1 (1;V~; о)

р®0 1-р’

и тогда в пределе b ® 0, который соответствует случаю классической СМО (по классификации Кендалла - модель М/М/1) формула (6) переходит в известное соотношение Р0 = 1 - р классической модели.

Литература

1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Вестник Казан. технол. ун-та, 5, 22, С. 155-161

(2011).

k

z

k

z

z

1

1

2. М.М. Джрбашян Интегральные преобразования и представления функций. М., Наука, 1966. 672 с.

3. А.А. Гольдберг, И.В. Островский. Распределение значений мероморфных функций. М., Наука, 1970. 591 с.

4. Е.С.Вентцель, Исследование операций. М., Советское радио, 1972. 552 с.

5. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 800 с.

8. М. Абрамовиц, И. Стиган (ред.), Справочник по специальным функциям. Наука, Москва, 1977. 832 с.