CC BY
23
Ссылка на статью:
// Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №7. С. 15-30.
Б01: 10.7463/0717.0001241
Представлена в редакцию: 29.06.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
ХДК 536.2
Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности каркаса пористого твердого тела
Зарубин В. С.1, Зарубин С. В.1, Сергеева Е. С.1'* * fn2@bmstu.ru
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Значительное число различных конструкционных и теплоизоляционных материалов являются пористыми. Для таких материалов величина пористости существенно влияет не только на их механические, но и на теплофизические свойства, в том числе на теплопроводность, величина которой играет существенную роль для многих областей применения этих материалов. С целью увеличения числа вариантов подхода к оценке эффективного коэффициента теплопроводности пористого твердого тела введен эквивалентный коэффициент теплопроводности условного сплошного шарового включения, заменяющего пору вместе с некоторой окружающей ее оболочкой из материала каркаса этого тела. Введение такого включения позволяет построить двусторонние оценки истинного значения эффективного коэффициента теплопроводности каркаса с использованием двойственной вариационной формулировки задачи установившейся теплопроводности в твердом теле, а также корректно применить метод самосогласования. Проведен сравнительный количественный анализ различных вариантов построения указанных оценок в широком интервале изменения пористости от долей процента, характерной для конструкционных материалов, получаемых методами прессования и порошковой металлургии, до десятков процентов, типичной для большинства легких теплоизоляционных материалов.
Ключевые слова: каркас пористого твердого тела; эквивалентный коэффициент теплопроводности; двойственная вариационная формулировка задачи; двусторонние оценки; метод самосогласования
Введение
В современной технике находят широкое применение теплоизоляционные (в частности, строительные) пористые материалы [1, 2, 3] и конструкционные материалы [4, 5], в том числе получаемые методами прессования и порошковой металлургии, структура которых также является пористой [6]. Поры в материале могут возникать в процессе работы технического устройства (например, при выработке ядерного горючего в тепловыделяющих элементах ядерного реактора [7]). Одной из важных теплофизических характеристик пористых материалов является коэффициент теплопроводности, влияющий на выбор конкретных областей их применения. Наряду с экспериментальным определением коэффициента теплопроводности пористых материалов [8, 9, 10] существуют различные подходы к расчетной оценке
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0408
этого коэффициента [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Большинство таких подходов носит эмпирический характер и опирается на различные модели структуры пористого каркаса твердого тела, позволяющие получить приближенные оценки вклада этого каркаса в величину эффективной теплопроводности всего пористого тела.
Достоверная оценка теплопроводности пористого твердого каркаса возможна на основе модификации его структурной модели путем условной замены пор с окружающими их оболочками материала сплошными частицами с эквивалентным коэффициентом теплопроводности. Такая замена позволяет расширить возможности построения расчетных зависимостей прежде всего для получения гарантированных двусторонних оценок эффективного коэффициента теплопроводности пористого твердого тела, в том числе с использованием двойственной вариационной формулировки задачи установившейся теплопроводности в неоднородном твердом теле [17, 18]. Особенность этой формулировки состоит в том, что она включает два альтернативных функционала (минимизирумый и максимизируемый), достигающих на истинном распределении температуры в неоднородном теле равных экстремальных значений. Такое свойство альтернативных функционалов дает возможность по их значениям, вычисленным на приближенных распределениях температуры в этом теле, получить соответственно верхнюю и нижнюю оценки его эффективного коэффициента теплопроводности.
Однако применение исходной структурной модели пористого каркаса твердого тела при условии отсутствия переноса тепловой энергии через поры обеспечивает сохранение физического смысла лишь у верхней оценки эффективного коэффициента теплопроводности этого каркаса, а нижняя оценка является либо некорректной, либо соответствует нулевому значению. Введение эквивалентного коэффициента теплопроводности условной сплошной частицы, заменяющей пору, окруженную слоем материала каркаса твердого тела, позволяет на основе вариационного подхода найти корректные двустронние оценки эффективного коэффициента теплопроводности и одновременно оценить возможную наибольшую погрешность, которая может возникнуть при использовании расчетных зависимостей, основанных на различных структурных моделях и допущениях.
1. Эквивалентный коэффициент теплопроводности шарового включения
Пусть поры в твердом теле с пористостью С > 0 имеют среднестатистическую форму в виде шара. В качестве представительного элемента структуры пористого твердого тела используем шаровую пору с произвольным радиусом Ко, окруженную шаровым слоем материала этого тела. Коэффициент теплопроводности Л° этого материала примем известным. Внешний радиус шарового слоя выберем равным К = Я0/С1/3, т.е. пористость каждой полой шаровой частицы одинакова и равна С. Радиус К может изменять свое значение от некоторого конечного до бесконечно малого, что обеспечивает возможность рассмотрения пористого твердого тела как совокупности полых шаровых частиц.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой полой шаровой частицы и окружающего ее неограниченного объема однородного материала, коэффициент теплопроводности Л которого подлежит определению в качестве эффективной характеристики данного пористого твердого тела. Центр полого шара поместим в начале сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии r от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородном материале, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты в. Если в плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через начало сферической системы координат, принять температуру равной нулю, то при r ^ то установившееся распределение температуры в однородном материале будет описывать функция T^(r, ев) = Gr cos в, где G — модуль вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид
1 д ( 2 dT \ 1 д ( ВТ \ 1 д2 T
--r2 - +---S1T1 в - +--.--
r2 dr V Or) + r2 sin 9 д9\Sin 9 d9 / + r2 sin2 9 дц>2 (1)
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора градиента температурного
поля оси отсчета угловой координаты 9 распределение температуры симметрично относи-
д2Т _ п
тельно этой оси и не зависит от угловой координаты т.е. —^ = 0.
По мере приближения к полой шаровой частице установившееся температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым AT(r,e9) = (B/r2)cos 9, где B — подлежащий определению постоянный коэффициент. В итоге температурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при r ^ то и уравнению (1), описывает функция
T(r, е9) = T»(r, е9) + AT(r, е9) = (ür + B¿) cos 9. (2)
Аналогичная зависимость
To(r, е9) = (Ло r + f) cos 9 (3)
описывает установившееся распределение температуры в шаровом слое полой шаровой частицы.
В равенства (2) и (3) входят 3 неизвестных коэффициента B, A0 и B0, которые необходимо найти из граничных условий на сферических поверхностях с радиусами R0 и R. При r = R0 из условия отсутствия теплообмена в полости шаровой частицы с учетом равенства (3) получим
дТ0
dr
или
2B
= i A0--B ) cos 9 = 0,
r=R0 V R0
A0 = Ж- (4)
При г = Я из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры следует
дТ дТ
Л° ^Т0 = А дт и ТО(Я,0) = Т(Я,0).
дг
- л—
r=R = dr
r=R
Отсюда с использованием равенств (2) и (3) находим
A - 2B = F (« - I) и A + R = G + §• (5)
Последовательным исключением из соотношений (4) и (5) коэффициентов A0 и B0 с учетом равенства (R0/R)3 = C получим
B = GR3А - Л° + (Л/2 + A°)C (6)
B = 2Л + Л° + (Л - A°)C • (6)
Замена полой шаровой частицы равновеликим сплошным шаром радиусом R с искомым коэффициентом теплопроводности Л приведет к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее однородном материале. Тогда в равенстве (2) следует положить AT(r, £0) = 0, что равносильно условию B = 0, которое с учетом формулы (6) позволяет записать
Л = Л =2Х - C (7) Л = Л°-22TC (7)
Проведем замену полой шаровой частицы сплошным составным шаром с прежним внешним радуисом R. Представим этот шар составным, включающим внутренний шар радиусом R* < R из условного материала с подлежащим определению эквивалентным коэффициентом теплопроводности Л* и внешний шаровой слой из материала рассматриваемого твердого тела с коэффициентом теплопроводности Л°. В этом случае объемная концентрация C* введенных таким образом сплошных шаровых частиц будет превышать заданное значение пористости C данного твердого тела. Поскольку C* ^ C, причем в случае беспористого твердого тела C* и C должны принимать нулевое значения, а при увеличении пористости стремиться к единице, выберем связь между этими параметрами в виде C* = \[C. Тогда получим
R ) з
R*J = c* = vc. (8)
Эквивалентный коэффициент теплопроводности Л* сплошного шара радиусом R* найдем также из условия исчезновения возмущения температурного поля в окружающем составной шар радиусом R однородном материале с эффективным коэффициентом теплопроводности Л при замене этого составного шара однородным равновеликим шаром с таким же значением Л коэффициента теплопроводности. Для этого наряду с соотношениями (2) и (3), описывающими распределения температуры в неограниченном объеме однородного материала и в шаровом слое материала твердого тела, используем формулу
T*(r,£0) = A*r cos 0, (9)
задающую распределение температуры во внутреннем сплошном шаре радиусом Я* с искомым эквивалентным коэффициентом теплопроводности Л*.
Теперь в соотношения (2), (3) и (9) входят 4 неизвестных коэффициента В, А0, В0 и А*, которые найдем из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры на сферических поверхностях с радиусами Я* и Я. При г = Я* получим
дТо
Л дТ*
Л* —
Л
г=Я. дГ
Т* (Я*,0) = То (Я*
дг
что, согласно соотношениям (3) и (9), приводит к равенствам
А* = £ (а -, А' = Ао + Вз. 0°)
Граничные условия при г = Я не изменились. Поэтому сохраняют силу формулы (5). Последовательным исключением из формул (5) и (10) коэффициентов А*, А0 и В0 с учетом равенства (8) находим
= з 2Л°(1 - С*) + Л*(1 + 2С*) - Л(2 + С*) - ЛЛ*(1 - С*) (11)
2Л°(1 - С*) + Л*(1 + 2С*) + 2Л(2 + С*) + 2ЛЛ*(1 - С*)' ( )
Замена составной сплошной шаровой частицы равновеликим сплошным шаром радиусом Я с коэффициентом теплопроводности Л окружающего эту частицу однородного материала вызовет исчезновение возмущения температурного поля, определяемого слагаемым ДТ(г, в соотношении (2). Это равносильно условию В = 0, которое, согласно формуле (11), приводит к равенству
2(1 + С*) - Л*(1 + 2С*)
Л — -—-,
2 + С* + Л*(1 - С*)
где Л * = Л*/Л°. Из равенства правых частей полученной формулы и соотношения (7) с учетом формулы (8) находим
Л = Л* =21 - С* =21 (12)
Л* = Л° = 22ТС* = 22+7С' (12)
2. Двусторонние оценки
Введение эквивалентного коэффициента теплопроводности Л* сплошного шарового включения, заменяющего полую шаровую частицу, позволяет применить для двусторонней оценки эффективного коэффициента теплопроводности пористого твердого тела двойственную вариационную формулировку задачи установившейся теплопроводности в неоднородном теле, в котором полые шаровый частицы заменены такими включениями. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизирумый и максимизируемый), достигающих на истинном распределении температуры в неоднородном теле равных экстремальных значений. Такое свойство альтернативных функционалов позволяет
по их значениям, вычисленным на приближенных распределениях температуры в этом теле, получить соответственно верхнюю и нижнюю оценки его эффективного коэффициента теплопроводности.
Пусть рассматриваемое неоднородное тело занимает область V в форме цилиндра высотой Н с идеально теплоизолированной боковой поверхностью, ограниченную двумя перпендикулярными образующей цилиндра основаниями каждое площадью Т. Температуру одного из оснований примем за нуль отсчета, а в точках Р Е Б другого основания зададим постоянное значение температуры Тн > 0. Тогда минимизируемый функционал примет вид [19]
з [т] = 1/ Л(м )(ут (м ))2 ^ (М )> (13)
где Л(М) — значение коэффициента теплопроводности, зависящее от положения точки М € V в области V, а V — векторный дифференциальный оператор Гамильтона, действие которого на распределение температуры Т (М) определяет локальный градиент температурного поля в окрестности точки М. Если эта точка принадлежит сплошному шаровому включению, то Л(М) = Л*, а в противном случае Л(М) = Л°.
Функционал (13) допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно дифференцируемых в области V распределениях температуры, принимающих на основаниях цилиндра заданные значения температуры. В данном случае простейшим допустимым распределением температуры является линейно изменяющееся вдоль образующей цилиндра. Градиент соответствующего температурного поля будет иметь единственную составляющую, параллельную образующей и равную Тн/Н. На таком распределении температуры функционал (13) примет значение
3, = Т2 ТЛ*С* + (1 - О,). (14)
Н
Для максимизируемого функционала [19]
IМ = -2 / (Я ^(М) - Тн I п(Р) ■ Я(Р) ^Б(Р) (15)
допустимыми в данном случае являются распределения вектора я(М) плотности теплового потока, удовлетворяющие условию V ■ я(М) = 0 во внутренних точках М € V области V и имеющих нулевую составляющую в направлении вектора п внешней нормали к идеально теплоизолированной боковой поверхности цилиндра. Используем в качестве допустимого распределение вектора плотности теплового потока, имеющего единственную постоянную составляющую д, параллельную образующей цилиндра. Тогда функционал (15) примет вид
, д2НТ (О, , 1 - О, \ Т „
71 = (л, + —] -Тн
Из условия стационарности = 0 этого функционала находим
Тн (О, . 1 - ОЛ „ « = -я л, + —) <0'
поскольку направление вектора плотности теплового потока противоположно внешней нормали к основанию S цилиндра. В итоге получим
I.=^ (C ^у. (16)
Принятое выше линейное распределение температуры для цилиндра из макроскопически однородного материала с коэффициентом теплопроводности Л будет истинным. При этом минимизируемый функционал (13) будет равен J = ТЛ'/H. В силу свойств альтернативных функционалов справедливо неравенство J. ^ J ^ Д, из которого с учетом формул (14) и (16) следуют двусторонние оценки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого пористого твердого тела в виде соотношения
Л+ = Л*С* + Л°(1 - C) ^ Л ^ ^ + = Л-е- (17)
Необходимо отметить, что представленные равенства для Л+ и Л- можно получить из теории смесей, но в отличие от вариационного подхода из этой теории не следует, что полученные оценки являются двусторонними по отношению к искомому эффективному коэффициенту теплопроводности.
При изменении пористости C разность АЛ = (Л+ — Л-)/Л° определяет изменение ширины области, в которой должны быть расположены истинные значения отношения Л/Л°, а отношение е = (Л+ — Л-) /(Л+ + Л-) характеризует зависимость от C наибольшей возможной погрешности по отношению к среднеарифметическому значению (Л+ + Л-)/2 двусторонних оценок. Использовав соотношение (17) с учетом формул (8) и (12) получим
1 — VC
А Л = 18^
3VC3 + 4(1 + C) — 2^C'
На рис. 1 сплошной линией представлен график зависимости А Л от C, наибольшая ордината которого при C ~ 0,454 достигает значения emax ^ 0,335. Штрихпунктирная линия соответствует графику функции e(C), причем е ^ 0,429 при C ^ 1, но е(1) = 0.
Двусторонние оценки можно сблизить, испльзовав вариационный подход, предложенный в работе [20] и приводящий в данном случае к соотношению
w = А _ (А° - A*)2(1 - C*)C* ^ ^ . _ (Л° - A^)2(1 - е Л+ А+ А*(1 - C,) + А°(2 + C*) " А " А+ А,(3 - C,) + A°C, е (18)
При использовании этих оценок изменение ширины области, в которой должны быть расположены истинные значения отношения А/А°, определяет соотношение
л+ — л- i — vc
АЛ' = —- = 6C
Л° (С2 - 4)л/С + 4(2 + С)'
График зависимости ДЛ' от пористости С представлен на рис. 1 штриховой линией. Наибольшая ордината этого графика при С ~ 0,611 имеет значение £тах ^^ 0,064, т. е. примерно
АЛ, £, АX, £'
0,4 0,3 0,2 ОД
О 0,2 0,4 0,6 0,8 С
Рис. 1. Зависимости от пористости ширины области расположения истинных значений отношения А/А° и наибольшей возможной относительной погрешности
в 5 раз меньше по сравнению с наибольшим значением АЛ. Пунктирная линия на рис. 1 соответствует графику функции е'(О), равной отношению (Л+ - Л_)/(Л+ + Л'_), причем е'(1) = 0, но е' ^ 0,333 при О ^ 1.
3. Метод самосогласования
Особенность метода самосогласования состоит в построении математической модели и решении соответствующей задачи взаимодействия элементов структуры неоднородного материала с однородной средой, имеющей искомые эффективные характеристики. Результатом решения этой задачи в зависимости от ее конкретного содержания являются возмущения в отдельных элементах структуры температурного, электрического, магнитного полей или распределений механических напряжений и деформации по отношению к невозмущенным полям или распределениям соответствующих параметров в однородной среде. Последующее приравнивание нулю осредненых по объему материала возмущений позволяет получить расчетные зависимости для искомых эффективных характеристик рассматриваемого неоднородного материала.
Применительно к пористому твердому телу, в котором шаровые полые частицы заменены сплошными шаровыми включениями с эквивалентным коэффициентом теплопроводности Л,, метод самосогласования приводит к расчетной зависимости [21]
Лз = Л° (2 - Л, - 3(1 - Л,)С, + 7(2 - Л, - 3(1 - Л,)С,)2 + 8Л,). (19)
4. Результаты расчетов
На рис. 2 сплошная кривая с темными кружками построена по формуле (8) и определяет связь объемной концентрации О, условных шаровых частиц радиусом Я, и пористости О рассматриваемого твердого тела, а сплошная кривая со светлыми кружками построена
Рис. 2. Результаты расчетов
по формуле (12) и представляет зависимость от О отношения Л, = Л,/Л°, в которое входит эквивалентный коэффициент теплопроводности такой шаровой частицы. Сплошной и штрихпунктирной линиями на этом рисунке приведены построенные с использованием соотношений (12) и (17) графики зависимостей от пористости О отношений соответственно Л+ = Л+/Л° и Л_ = Л_/Л°, а штриховая и пунктирная линии отвечают зависимостям от О отношениям соответственно Л + = Л+/Л° и Л'_ = Л'_/Л°, определяемым формулой (12) и соотношением (18). По формуле (19) сплошной линией с ромбами построен график зависимости отношения Лз = /Л° от пористости О. Из этого рисунка следует, что значения Л3, рассчитанные по формуле (19), не выходят за пределы области, определяемой двусторонними оценками (18), причем по мере возрастания пористости значения Лз перемещаются от верхней границы этой области к ее нижней границе. Необходимо отметить, что верхняя граница этой области, полностью расположеной в пределах области, ограниченной двусторонними оценками (17), совпадает с кривой, которую описывает формула (7).
Оценку эффективного коэффициента теплопроводности пористого твердого тела можно получить путем численного решения методом конечных элементов трехмерной стационарной задачи теплопроводности для представительного элемента структуры каркаса этого тела в виде куба с шаровой полостью, центр которой совпадает с центром куба [19]. При этом предельное значение пористости твердого тела, соответствующее выбранному представительному элементу будет равно п/6 ~ 0,5236. Поскольку полученные при численном решении значения Лп расположены в пределах достаточно узкой области, определяемой двусторонними оценками (18), и близки к результатам, вычисленным по формуле (19), масштаб рис. 2 не позволяет в полной мере выявить различие между найденными оценками значения эффективного коэффициента теплопроводности. Поэтому вместо графического представления результатов целесообразно провести сравнение в табличной форме (табл. 1).
В представленной таблице значение ^ соответствует отношению диаметра шаровой полости к длине ребра куба и определяет значение пористости О = п^3/6. Из сравнения
Таблица 1
d C Л_ As Л^ Л+
0,3 0,0141 0,9788 0,9789 0,9789 0,9789
0,4 0,0335 0,9498 0,9504 0,9506 0,9506
0,5 0,0654 0,9023 0,9043 0,9049 0,9049
0,55 0,0871 0,8703 0,8736 0,8748 0,8748
0,6 0,1131 0,8323 0,8373 0,8394 0,8395
0,65 0,1438 0,7879 0,7952 0,7986 0,7988
0,7 0,1796 0,7370 0,7471 0,7525 0,7528
0,75 0,2209 0,6795 0,6927 0,7008 0,7016
0,8 0,2681 0,6159 0,6323 0,6435 0,6454
0,825 0,2940 0,5819 0,5997 0,6127 0,6155
0,85 0,3216 0,5465 0,5658 0,5805 0,5845
0,875 0,3508 0,5100 0,5304 0,5466 0,5524
0,9 0,3817 0,4724 0,4936 0,5110 0,5192
0,925 0,4144 0,4341 0,4556 0,4736 0,4851
0,95 0,4489 0,3950 0,4165 0,4340 0,4501
0,975 0,4853 0,3556 0,3765 0,3914 0,4142
0,99 0,5080 0,3319 0,3521 0,3638 0,3923
0,995 0,5158 0,3240 0,3439 0,3541 0,3849
0,999 0,5220 0,3177 0,3374 0,3459 0,3790
между собой отношений Л□ = Ап/А° и ЛS видно, что при d > 0, 3, т. е. практически во всем выбранном интервале изменения пористости справедливо неравенство Л□ > ЛS.
Заключение
Использование при построении модели структуры пористого твердого тела условного сплошного шарового включения, заменяющего пору, покрытую слоем материала каркаса этого тела, дало возможность получить двусторонние оценки эффективного значения коэффициента теплопроводности каркаса, основанные на двойственной вариационной формулировке стационарной задачи теплопроводности, а также корректно применить метод самосогласования, позволяющий учесть возмущение температурного поля в окрестности поры. Проведенный сравнительный анализ результатов расчетов показал, что значения, полученные методом самосогласования и численным решением с применением метода конечных элементов, не выходят за пределы достаточно узкой полосы, ограниченной двусторонними оценками.
Работа выполнена в рамках реализации базовой части государственного задания Ми-нобрнауки РФ (проект 9.7784.2017/БЧ).
Список литературы
1. Ortona A., Badini C., Liedtke V., Wilhelmi C., D'Angelo C., GaiaD., Fischer W. Hetoroporous
heterogeneous ceramics for reusable thermal protection systems // J. of Materials Research.
2013. Vol. 28, iss. 17. Pp. 2273-2280. DOI: 10.1557/jmr.2013.70
2. Bourret J., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Pennec F., Alzina A., Peyratout C.S., Smith D.S. Effect of pore volume fraction on the thermal conductivity and mechanical properties of kaolin based foams // J. of the European Ceramic Society. 2013. Vol. 33, iss. 9. Pp. 1487-1495. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2012.10.022
3. Румянцев Б.М., Жуков А.Д., Смирнова T.B. Теплопроводность высокопористых материалов // Вестник Моск. гос. строительного ун-та. 2012. №3. С. 108-114. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.3.108-114
4. Reglero J.A., Rodriguez-Perez M.A., Solorzano E., de Saia J.A. Aluminum foams as a filler for leading edges: Improvements in the mechanical behavior under bird strike impact tests // Materials and design. 2011. Vol. 32, no. 2. Pp. 907-910. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.08.035
5. Pavlenko A., Koshlak H. Production of porous material with projected thermophysical characteristics//Metallurgical and Mining Industry. 2015. no. 1. Pp. 123-127.
6. Tang H.P., Wang J.Z., Zhu J.L., Ao Q.B., Wang J.Y., Yang B.J., Li Y.N. Fractal dimension of pore-structure of porous metal materials made by stainless steel powder // Powder Technology. 2012. Vol. 217. Pp. 383-387. DOI: 10.1016/j.powtec.2011.10.053
7. Yun D., Stan M. Impact of high porosity on thermal transport in UO2 nuclear fuel // J. of Materials Research. 2013. Vol. 28, no. 17. Pp. 2308-2315. DOI: 10.1557/jmr.2013.142
8. Падерин Л.Я., Прусов Б.В., Токарев О.Д. Исследование теплопроводности пористых теплоизоляционных материалов при высоких температурых // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. 42, №4. С. 77-83.
9. Каталевич А.М., Абросименкова А.С., Спиркин С.А., Лебедев А.Е., Бусыгин В.В. Влияние структурных характеристик на теплопроводность пористых материалов на основе диоксида кремния//Успехи в химии и химической технологии. 2013. Т. 27, № 1. С. 27-32.
10. Zivcova Z., Gregorova E., Pabst W., Smith D.S., Michot A., Poulier C. Thermal conductivity of porous alumina ceramics prepared using starch as a pore-forming agent // J. of the European Ceramic Society. 2009. Vol. 29, no. 3. Pp. 347-353. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2008.06.018
11. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
12. Smith D.S., Alzina A., Bourret J., Nait-Ali B., PennecF., Tessier-Doyen N., OtsuK., Matsubara H., Elser P., Gonzenbach U.T. Thermal conductivity of porous materials // J. of Materials Research. 2013. Vol. 28, iss. 17. Pp. 2260-2272. DOI: 10.1557/jmr.2013.179
13. Pennec F., Alzina A., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Mati-Baouche N., De Baynast H., Smith D.S. A combined finite-discrete element method for calculating the effective thermal conductivity of bio-aggregates based materials // Intern. J. of Heat and Mass Transfer. 2013. Vol. 60. Pp. 274-283. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.01.002
14. Bicer Y., Yilmaz S., Devecioglu A., Ozdamar G. A Theoretical model for determining thermal conductivity of porous solid materials // 9th Intern. conf. on heat transfer, fluid mechanics and thermodynamics: HEFAT 2012 (Malta, July 16-18, 2012): Papers. 2012. Pp. 877-881.
15. Asakuma Y., Yamamoto T. Effective thermal conductivity of porous materials and composites as a function of fundamental structural parameters // Computer Assisted Methods in Engineering and Science. 2013. Vol. 20, no. 2. Pp. 89-98.
16. Pavlenko A.M., Koshlak H.V., Cheilytko A.O., Nosov M.A., Syzonenko A.V. Research of effective thermal conductivity and its parts in porous metallic materials with different parameters of porosity // Metallurgical and Mining Industry. 2016. No. 12. Pp. 66-75.
17. Зарубин B.C., Селиванов B.B. Вариационные и численные методы механики сплошной среды: учеб. пособие. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993. 360 с.
18. Зарубин B.C. Моделирование: учеб. пособие. М.: Академия, 2013. 337 с.
19. Зарубин B.C., Зарубин С.В., Шишкина С.И. Сравнительный анализ подходов к описанию теплопереноса в композите с дисперсными включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №2. С. 182-195. DOI: 10.7463/0216.0833954
20. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. of Applied Physics. 1962. Vol. 33, no. 10. Pp. 31253131. DOI: 10.1063/1.1728579
21. Зарубин B.C, Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №9. С. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512
Science ^Education
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 7, pp. 15-30.
DOI: 10.7463/0717.0001241
of the Bauman MSTU Received: 29.06.2017
Electronic journal ® Bauman Moscow State Technical University
ISSN 1994-0408
Comparative Analysis to Estimate a Thermal Conductivity Coefficient of the Porous Solid Skeleton
Zarubin V. S.1, Zarubin S. V.1, Sergeeva E. S.1'* * fn2@bmstu.ru
1 Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: skeleton of a porous solid, equivalent coefficient of thermal conductivity, dual variational formulation of the problem, two-sided estimates, self-consistency method
Heat-insulating porous materials and structural ones having also a porous structure, which are produced by pressing and powder metallurgy methods, are widely used in engineering. One of the important thermophysical characteristics of such materials is a coefficient of thermal conductivity, which affects the choice of specific areas of their application. Along with the experimentally determined coefficient of thermal conductivity of porous materials, there are various approaches to estimate this coefficient. Most of these approaches have an empirical character and are based on various models of the structure of porous solid skeleton, which enable us to approximately estimate contribution of this skeleton to the value of effective thermal conductivity of the entire porous body.
A reliable estimate of the thermal conductivity of a porous solid skeleton can be based on a modification of its structural model through conditional replacement of pores with their surrounding shells of the material by solid particles with an equivalent coefficient of the thermal conductivity.
Such a replacement allows us to extend constructibility of computational dependencies, primarily, to obtain the guaranteed two-sided estimates of the effective thermal conductivity of a porous solid, including using the dual variational formulation of the problem of a steady-state heat conductivity in an inhomogeneous solid. The peculiarity of this formulation is that it includes two alternative functionals (minimized and maximized) that reach equal extremal values at the true temperature distribution in an inhomogeneous body. This property of alternative functionals makes it possible, according to their values, calculated at the approximate temperature distributions in this body, to obtain, respectively, the upper and lower bounds of its effective thermal conductivity.
However, the use of the initial structural model of the porous solid skeleton, provided that there is no thermal energy transfer through the pores, ensures the preservation of the physical sense only
for the upper estimate of the effective thermal conductivity of this skeleton, and the lower estimate is either incorrect or corresponds to the zero value. The introduction of an equivalent thermal conductivity coefficient for a conditional solid particle replacing a pore surrounded by a layer of the solid skeleton material allows using the variational approach to find correct two-sided estimates of the effective thermal conductivity and simultaneously to estimate the possible greatest error that can arise when using the computational dependencies based on different structural models and assumptions.
References
1. Ortona A., Badini C., Liedtke V., Wilhelmi C., D'Angelo C., GaiaD., Fischer W. Hetoroporous heterogeneous ceramics for reusable thermal protection systems. J. of Materials Research, 2013, vol. 28, iss. 17, pp. 2273-2280. DOI: 10.1557/jmr.2013.70
2. Bourret J., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Pennec F., Alzina A., Peyratout C.S., Smith D.S. Effect of pore volume fraction on the thermal conductivity and mechanical properties of kaolin based foams. J. of the European Ceramic Society, 2013, vol. 33, iss. 9, pp. 1487-1495. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2012.10.022
3. Rumyantsev B.M., Zhukov A.D., Smirnova T.V. Thermal conductivity of highly porous materials. VestnikMGSU [Scientific and Engineering J. for Construction and Architecture], 2012, no. 3, pp. 108-114. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.3.108-114 (in Russian)
4. Reglero J.A., Rodriguez-Perez M.A., Solorzano E., de Saia J.A. Aluminum foams as a filler for leading edges: Improvements in the mechanical behavior under bird strike impact tests. Materials and design, 2011, vol. 32, no. 2, pp. 907-910. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.08.035
5. Pavlenko A., Koshlak H. Production of porous material with projected thermophysical characteristics. Metallurgical and Mining Industry, 2015, no. 1, pp. 123-127.
6. Tang H.P., Wang J.Z., Zhu J.L., Ao Q.B., Wang J.Y., Yang B.J., Li Y.N. Fractal dimension of pore-structure of porous metal materials made by stainless steel powder. Powder Technology, 2012, vol. 217, pp. 383-387. DOI: 10.1016/j.powtec.2011.10.053
7. Yun D., Stan M. Impact of high porosity on thermal transport in UO2 nuclear fuel. J. of Materials Research, 2013, vol. 28, no. 17, pp. 2308-2315. DOI: 10.1557/jmr.2013.142
8. Paderin L.Ya., Prusov B.V., Tokarev O.D. Investigation of the thermal conductivity of porous heat-insulating materials at high temperatures. Uchenye zapiski TsAGI [TsAGI Science J.], 2011, vol. 42, no. 4, pp. 77-83. (in Russian).
9. Katalevich A.M., Abrosimenkova A.S., Spirkin S.A., Lebedev A.E., Busygin V.V. The effect of structural characteristics on the thermal conductivity of porous materials based on silicon
dioxide. Uspekhi v khimii i khimicheskoj tekhnologii [Advances in Chemistry and Chemical Technology], 2013, vol. 27, no. 1, pp. 27-32. (in Russian).
10. Zivcova Z., Gregorova E., Pabst W., Smith D.S., Michot A., Poulier C. Thermal conductivity of porous alumina ceramics prepared using starch as a pore-forming agent. J. of the European Ceramic Society, 2009, vol. 29, no. 3, pp. 347-353. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2008.06.018
11. Dubnev G.N., Zarichniak Yu.P. Teploprovodnost'smesej i kompozitsionnykh materialov [Thermal conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad: EnergiaPubl., 1974. 264 p. (in Russian).
12. Smith D.S., Alzina A., Bourret J., Nait-Ali B., Pennec F., Tessier-DoyenN., OtsuK., Matsubara H., Elser P., Gonzenbach U.T. Thermal conductivity of porous materials. J. of Materials Research, 2013, vol. 28, iss. 17, pp. 2260-2272. DOI: 10.1557/jmr.2013.179
13. Pennec F., Alzina A., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Mati-Baouche N., De Baynast H., Smith D.S. A combined finite-discrete element method for calculating the effective thermal conductivity of bio-aggregates based materials. Intern. J. of Heat and Mass Transfer, 2013, vol. 60, pp. 274-283. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.01.002
14. Bicer Y., Yilmaz S., Devecioglu A., Ozdamar G. A theoretical model for determining thermal conductivity of porous solid materials. 9th Intern. conf. on heat transfer, fluid mechanics and thermodynamics: HEFAT 2012 (Malta, July 16-18, 2012): Papers. 2012. Pp. 877-881.
15. Asakuma Y., Yamamoto T. Effective thermal conductivity of porous materials and composites as a function of fundamental structural parameters. Computer Assisted Methods in Engineering and Science, 2013, vol. 20, no. 2, pp. 89-98.
16. Pavlenko A.M., Koshlak H.V., Cheilytko A.O., Nosov M.A., Syzonenko A.V. Research of effective thermal conductivity and its parts in porous metallic materials with different parameters of porosity. Metallurgical and Mining Industry, 2016, no. 12, pp. 66-75.
17. Zarubin V.S., Selivanov V.V. Variatsionnye i chislennyye metody mekhaniki sploshnoo sredy [Variational and numerical methods of continuum mechanics]: a textbook. Moscow: Bauman MSTUPubl., 1993. 360 p. (in Russian).
18. Zarubin V.S. Modelirovanie [Modeling]: a textbook. Moscow: Akademiia Publ., 2013. 337 p. (in Russian).
19. Zarubin V.S., Zarubin S.V., Shishkina S.I. A comparative analysis of approaches to heat transfer description in a disperse inclusions composite. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2016, no. 2, pp. 182-195. DOI: 10.7463/0216.0833954 (in Russian).
20. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials. J. of Applied Physics, 1962, vol. 33, no. 10, pp. 3125-3131. DOI: 10.1063/1.1728579
21. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelieva I.Yu. Evaluation of effective thermal conductivity of composites with ball inclusions by the method of self-consistency. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2013, no. 9, pp. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).
