CC BY
25Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. №3. С. 45-60.
Б01:10.24108/шаШш.0318.0000122
Представлена в редакцию: 29.05.2018
© НП «нэикон» >ДК 536.3
Двусторонние оценки коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела
Зарубин В. С.1, Новожилова О. В.1, Сергеева Е. С.1'* * [email protected]
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Использование полого шара в качестве представительного элемента структуры пористого твердого тела при математическом моделировании кондуктивного теплопереноса в каркасе такого тела приводит к неинформативной (тождественно равной нулю) нижней оценке эффективного значения коэффициента теплопроводности каркаса. Модификация представительного элемента структуры этого тела и применение двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности, содержащей альтернативные функционалы (минимизируемый и максимизируемый) с совпадающими экстремальными значениями на истинном распределении температуры, позволяют построить двусторонние оценки возможного значения этого коэффициента и сравнить их с неулучшаемой верхней оценкой его значения.
Ключевые слова: каркас пористого тела; кондуктивный теплоперенос; коэффициент теплопроводности; представительный элемент структуры пористого тела; двойственная вариационная формулировка; двусторонние оценки
Введение
Пористые твердые тела в современной технике широко применяют в качестве конструкционных [1, 2] и теплоизоляционных (в том числе строительных) материалов [3, 4, 5]. К таким телам принадлежит большая группа композиционных материалов (композитов), в которых возникновение пористости обусловлено как технологическими процессами подготовки и смешения компонентов композита и последующей полимеризации связующего [6], так и эксплуатационными условиями, в том числе при знакопеременных нагрузках [7]. Поры возникают в процессах самораспространяющегося высокотемпературного синтеза материалов и спекания порошков [8, 9], а также в различных технологических операциях получения керамики [10]. Возникновение пор в материале возможно в процессе работы технического устройства (например, при выработке ядерного горючего в тепловыделяющих элементах ядерного реактора [11]).
В различных областях техники к свойствам пористых материалов предъявляются разные требования, но в большинстве случаев одним из важных факторов, определяющих возмож-
Математика h Математическое
моделирование
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
ную сферу применения таких материалов, является комплекс их теплофизических характеристик, среди которых ведущую роль играет коэффициент теплопроводности. Значение этого коэффициента для конкретный пористык материалов обычно находят экспериментальным путем [12, 13, 14], но по мере совершенствования технологии получения таких материалов и расширения сферы их применения возникает необходимость в прогнозе возможных значений коэффициента теплопроводности и установлении его зависимости от состава и пористости материала.
Теоретической оценке коэффициента теплопроводности пористык материалов посвящено достаточно много работ, в которых использованы различные варианты описания структуры каркаса таких материалов и подходы к учету влияния газа или жидкости в порах. Один из наиболее полных обзоров подобный работ содержит монография [15]. В силу влияния на теплоперенос в пористом твердом теле значительного количества факторов [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22], вызывающих существенный разброс количественный оценок, остается актуальной задача построения надежных двусторонних границ области возможных значений коэффициента теплопроводности каркаса такого тела [23]. Значение этого коэффициента существенным образом влияет на определяемую процессом теплопроводности в каркасе интенсивность кондуктивного теплопереноса. В случае пористого тела, каркас которого состоит из однородного материала, возникают трудности при построении нижней границы указанной области. В данной работе в сочетании с двойственной вариационной формулировкой стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле применена модификация структурной модели пористого тела, позволившая преодолеть эти трудности.
1. Структурная модель пористого тела
В пористом твердом теле можно выделить две структурные составляющие — твердый каркас и поры, которые могут быть изолированными или взаимно проникающими. В случае изолированных пор, согласно приведенной в монографии [15] классификации, пористое тело является частным случаем гетерогенной системы с замкнутыми включениями (вкраплениями). Такой тип структуры характерен для многих строительнык, теплоизоляционных и некоторый конструкционнык материалов.
При рассмотрении кондуктивного теплопереноса в каркасе пористого тела с изолированными порами многообразие их возможный конфигураций обычно представляют среднестатистической формой в виде шара. Такое допущение позволяет в качестве представительного элемента структуры пористого тела выбрать полый шар и получить количественные оценки эффективного значения коэффициента теплопроводности каркаса этого тела, располагая лишь значениями пористости и коэффициента теплопроводности материала каркаса [15, 23]. Однако использование такого представительного элемента ограничивает возможности построения двусторонних оценок, поскольку гарантированная нижняя оценка оказывается не-
информативной (тождественно равной нулю). Эти ограничения удается преодолеть путем модификации указанного представительного элемента, основанной на эквивалентной замене полого шарового включения составным сплошным шаром.
Пусть упомянутый выше представительный элемент структуры пористого твердого тела в виде полого шарового включения имеет внешний радиус R, который может изменяться от некоторого конечного значения до бесконечно малого. Такое допущение позволяет рассматривать пористое тело как совокупность представительных элементов переменного размера, заполняющих весь объем этого тела. Радиус R0 шаровой полости в представительном элементе примем удовлетворяющим равенству (Ro/R)3 = C0, где C0 — известное значение пористости твердого тела. Также считаем известным коэффициент теплопроводности А0 шарового слоя в представительном элементе. Этот коэффициент совпадает с коэффициентом теплопроводности материала каркаса пористого тела.
Представительный элемент структуры поместим в неограниченный объем однородного материала, коэффициент теплопроводности А которого подлежит определению в качестве эффективной характеристики каркаса рассматриваемого пористого твердого тела. Примем внутреннюю поверхность полого шара идеально теплоизолированной, а тепловое взаимодействие полого шара с окружающим однородным материалом соответствующим условиям идеального теплового контакта.
Начало сферической системы координат выберем в центре полого шара. Пусть на большом расстоянии r от начала координат в однородном материале задан с модулем G вектор градиента температурного поля, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты §. В плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через начало сферической системы координат, примем температуру равной нулю. Тогда при r ^ то установившееся распределение температуры в однородном материале будет описывать функция T^(r, $) = Gr cos удовлетворяющая уравнению Лапласа, которое в сферических координатах имеет вид
В силу параллельности заданного вектора градиента температурного поля оси отсчета угловой координаты § распределение температуры не зависит от угловой координаты т.е.
Установившееся температурное поле в однородном материале по мере приближения к полой шаровой частице претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым AT(r, $) = (B/r2) cos где B — подлежащий определению постоянный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном
2. Теплоперенос в полом шаровом включении
(1)
32t/v = о.
материале, удовлетворяющее упомянутому выше условию при r ^ ж и уравнению (1), описывает функция
T(r,§) = T^(r,§) + AT(r,§) = ^Gr + B2) cos §. (2)
Аналогичная зависимость
To(r,§) = ^Aqr + Bo) cos § (3)
описывает установившееся распределение температуры в шаровом слое полой шаровой частицы.
В равенства (2) и (3) входят 3 неизвестных коэффициента B, A0 и B0, которые необходимо найти из граничных условий на сферических поверхностях с радиусами Rq и R. При r = Rq из условия идеальной теплоизоляции с учетом равенства (3) получим
dTo
dr
или
r=Ro
2Bq
R3
A0 - ) cos § = 0,
А = Ж • (4)
При г = Я из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры следует
, dTo Aq
dr
- ддТ
r=R = dr
Tq(R,§) = T (R, §).
т=Я
Отсюда с использованием равенств (2) и (3) находим
А» - 2В» = 50 - §) и А» + Я = с + В (5)
Последовательным исключением из соотношений (4) и (5) коэффициентов А0 и В» с учетом равенства (Я0/Я)3 = С0 получим
о г<г?з Л - Ло + (Л/2 + Ло)со
В = СЯ 2Л + Ло + (Л - Ао)Со • (6)
Замена полой шаровой частицы равновеликим сплошным шаром радиусом Я с искомым коэффициентом теплопроводности Л вызовет исчезновение возмущения температурного поля в окружающем ее однородном материале. Тогда в равенстве (2) следует положить ДТ(г, -$) = 0, что равносильно условию В = 0, приводящему с учетом формулы (6) к соотношению
Л = А = 2Х - Со = ! 3Со . (7)
Ло 2 + Со 2 + С»
Аналогичный результат можно получить из известной формулы Максвелла [24, 25], выведенной с использованием более простого представительного элемента. к виду (7) можно привести также формулы, полученные применительно к композитам с дисперсными включениями в работе [26] для магнитной проницаемости. Необходимо отметить, что, согласно вариационному принципу, изложенному в работе [26], соотношение (7) дает неулучшаемую верхнюю оценку эффективного коэффициента теплопроводности твердого тела с заданной пористостью и произвольной формой изолированных пор.
3. Модификация структурной модели пористого тела
В использованном выше представительном элементе структуры пористого тела проведем замену полой шаровой частицы сплошным шаром с прежним внешним радиусом R. Этот шар представим составным, состоящим из внутреннего шара радиусом R* ^ R0 из некоторого условного материала с подлежащим определению эквивалентным коэффициентом теплопроводности А* и внешнего шарового слоя из материала каркаса рассматриваемого пористого тела с коэффициентом теплопроводности А0. В таком модифицированном варианте представительного элемента объемная концентрация C* сплошных шаровых частиц радиусом R* будет не меньше значения пористости C данного пористого тела, т. е. C* ^ C0. В частном случае беспористого твердого тела и C* и C0 должны принимать нулевое значения, а при увеличении пористости стремиться к единице.
Модифицированный представительный элемент структуры пористого тела также поместим в неограниченный объем однородного материала с пока неизвестным значением А эффективного коэффициента теплопроводности этого тела. Наряду с соотношениями (2) и (3), описывающими распределения температуры в неограниченном объеме однородного материала и в шаровом слое представительного элемента с коэффициентом теплопроводности А0, используем формулу
T*(r,tf) = A*r cos tf, (8)
задающую распределение температуры во внутреннем сплошном шаре радиусом R* с искомым эквивалентным коэффициентом теплопроводности А*.
Теперь в соотношения (2), (3) и (8) входят четыре неизвестных коэффициента B, A0, B0 и A*, которые найдем из условий непрерывности плотности теплового потока и распределения температуры на сферических поверхностях с радиусами R* и R. При r = R* получим
Л dT* А*
dr
АдТ0
r=R dr
, T*(R* ,tf) = T)(R*,tf),
r=Rt
что, согласно соотношениям (3) и (8), приводит к равенствам
A* = I*- - 1) Л ■ A* = * + §, (9)
где Л* = Л*/Л0. Граничные условия при г = Я не изменились. Поэтому сохраняют силу формулы (5). Последовательным исключением из формул (5) и (9) коэффициентов А*, А0 и В0 с учетом равенства (Я*/Я)3 = С* можно получить [27]
в = гЯз 2(1 - С*) + (1 + 2С*)Л* - (2 + С*)Л - (1 - С*)Л*Л
2(1 - С*) + (1 + 2С*)Л* + 2(2 + С*)Л + 2(1 - С*)Л*Л' ( )
Замена модифицированного представительного элемента равновеликим сплошным шаром радиусом Я с коэффициентом теплопроводности Л окружающего этот элемент однородного материала вызовет исчезновение возмущения температурного поля, определяемого
слагаемым ДТ(г, в соотношении (2). Это равносильно условию В = 0, которое, согласно формуле (10), приводит к равенству
Л 2 + Л* - 2(1 - Л*) С*
2 + Л* + (1 - Л*)С* "
Из равенства правых частей полученной формулы и соотношения (7) находим
Л = 2 С* - Со (11)
Л* = 22С* + Со • (11)
4. Построение двусторонних оценок
Рассмотренный выше модифицированный вариант представительного элемента позволяет использовать двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности в неоднородном твердом теле [27, 28] для получения гарантированных двусторонних оценок эффективного значения коэффициента теплопроводности Л каркаса пористого тела. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), достигающие на истинном распределении температуры в таком теле совпадающих экстремальных значений. Использование для минимизируемого функционала допустимого распределений температуры дает возможность найти гарантированную верхнюю оценку для значения Л, а построение распределений температуры и плотности теплового потока, допустимых для максимизируемого функционала приводит к гарантированной нижней оценке этого значения.
Если неоднородное твердое тело занимает произвольную область V, то минимизируемый функционал можно представить в виде [28]
3[Т] = 1 / Л(М) (УТ(М)) 2 ¿V(М), (12)
где Л(М) — коэффициент теплопроводности материала тела в окрестности точки М € V с температурой Т(М), а V — дифференциальный оператор Гамильтона. Этот функционал допустимо рассматривать на распределениях Т(М) температуры, удовлетворяющих на участках Бт С Б поверхности Б области V заданным граничным условиям Т(Р) = /т (Р) (Р € Бт) и непрерывных в замкнутой области V = V и Б, а в открытой области V имеющих кусочно непрерывные производные. Максимизируемый функционал
I[Т] = -1 / ^М)" ^(М) - / /т(Р) Я(Р) ■ п(Р) ¿Б(Р), (13)
V
где п(Р) — единичный вектор внешней нормали к поверхности Бт в точке Р € Бт, допустимо рассматривать на непрерывных распределениях вектора я плотности теплового потока, удовлетворяющих дополнительным условиям V ■ я(М) = 0 (М € V) и я(Р) ■ п(Р) = 0
(Р € Б \ Бт).
Из экстремальных свойств функционалов (8) и (9) следует неравенство [28]
3[Т] ^ 3[Т*] ^ 3[я], (14)
где Т*(М) (М € V) — истинное распределение температуры в области V, на котором функционал (12) достигает своего минимального значения, равного [27]
J[Т*] = ^ J fT(P)А(Р)VT(P) ■ n(P) dS(P). (15)
St
Область V, содержащую половину модифицированного варианта представительного элемента радиусом R, выберем в виде прямого цилиндра с достаточно большой площадью S0 параллельных оснований, одно из которых соответствует в сферических координатах значению tf = п/2, а для точек второй выполнено равенство r cos tf = H, т. е. высота цилиндра равна H, причем H ^ R. Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру основания при tf = п/2 положим равной нулю, а на втором основании зададим температуру GH. Однородный материал в части области вне полушара, соответствующего половине представительного элемента, имеет коэффициент теплопроводности А', совпадающий с оцениваемым эффективным значением коэффициента теплопроводности модифицированного варианта представительного элемента пористого тела. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом V0 = HS0, ограниченной поверхностью S, распределение температуры Т(M) и коэффициент теплопроводности Л(М) являются функциями координат точки M G V, причем функция Л(М) кусочнопостоянная и принимает значения А* при r < R*, А0 при R* < r < R и А' при r > R.
Примем в качестве допустимого для минимизируемого функционала (12) линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей градиента G. Тогда из формулы (12) получим
Ji[T] = А'HS0 - 2n3R3 + А0 + 2пR*А*). (16)
Для максимизируемого функционала (13) допустимым является распределения вектора плотности теплового потока с постоянным значением q = —АС единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. В этом случае формула (13) примет вид
ад = — ( HS0 — а2 nR3/3 + 2nRl—^ + 2п f) + А'G2HSo. (17)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения J1 [Т] и I1 [q] не будут совпадать, причем J1 [Т] > I1 [q]. При замене половины представительного элемента однородным полушаром с коэффициентом теплопроводности А' принятое выше линейное распределение температуры в рассматриваемой области V будет истинным, на котором
функционал (12) примет значение = (Л'/2)С2ЯБ0, определяемое формулой (15). Тогда при (Д*/Д)3 = С* и Л*/Л0 = Л* с учетом неравенства (14) и формул (16), (17) из условия
Л [Т] > > II [д] получим
Л' Л' 1 Л'
Л+ = ^ = 1 - С* + Л*С* > Л' = - > 1 С + С/Л = ^ = Л'_, (18)
Л0 Л0 1 — С* + С*/Л* Л0
где Л+ и Л_ — гарантированные верхняя и нижняя оценки коэффициента теплопроводности модифицированного варианта представительного элемента рассматриваемого пористого тела. Применение соотношения (18) для вычисления этих оценок требует предварительного определения значений С* и Л*.
Аналогичная процедура вывода двусторонних оценок применительно к исходному (не модифицированному) представительному элементу структуры пористого тела приведет к соотношению вида (18), но при условии Л* = 0 и замене в этом соотношении величины С* на С0. Тогда гарантированная верхняя оценка примет значение Л+ = Л+/Л0 = 1 — С0, а гарантированная нижняя оценка станет неинформативной, поскольку будет тождественно равна нулю.
5. Анализ двусторонних оценок
Используем оценки Л, Л', и Л+ для установления связи между значениями С* и С0, которую представим в виде равенства
С* = С' + (1 — С')С0. (19)
Здесь С' — параметр, значение которого должно быть связано со значением Л'. Это значение, согласно отмеченному выше результату работы [26], ограничено снизу неравенством Л' ^ Л, а в качестве верхней границы можно принять равенство Л' = Л+. При Л' = Л+ с учетом соотношений (11), (18) и (19) получим
3 С' + (1 — С')С0 2С'(1 — С0) + ЗС0 .
Отсюда следует равенство С' = 0, что приводит, согласно формуле (19), к равенству С* = С0, т. е. к совпадению модифицированного и исходного представительных элементов структуры пористого тела и, как следствие, к нулевой гарантированной нижней оценке для эффективного коэффициента теплопроводности каркаса этого тела. Если же принять Л' = Л, то, использовав соотношения (7), (11), (18) и (19), запишем
С' + (1 — С')Ср = 1 2С'(1 — С0) + ЗС0 = 2 + С0.
Из этого равенства находим С' =1 и с учетом формулы (19) получаем тождество С* = 1, т. е. модифицированный представительный элемент вырождается в условный сплошной шар, которому не удается поставить в соответствие полый шар с конкретным значением пористости С0.
Таким образом, для модифицированного представительного элемента значения параметра С' следует рассматривать в интервале (0; 1). При малых значениях С' > 0 будет выполнено неравенство Л, < Л+, а для близких к единице значениях С' < 1 справедливо неравенство Л, > Л. В итоге для двусторонних оценок коэффициента теплопроводности Л' каркаса пористого тела с учетом соотношений (11), (18) и (19) можно записать
Л' _ (1 С )2С' + 3(1 - С')С> > Л' > 2С'(1 - Со) _Л' (20)
Л+ _(1 - Со)2С'(1 - Со) + 3Со " Л " (2 + Со)С' + 3(1 - С')С2 _ Л- (20)
На рис. 1 представлены результаты расчетов с использованием равенства (7) и соотношения (20). При выборе значения параметра С' в интервале (0; 1) графики зависимости от пористости С> верхней оценки безразмерного коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела не выходят за пределы области, ограниченной снизу кривой 1, соответствующей неулучшаемой верхней оценке, определяемой равенством (7), и сверху прямой 2 с уравнением Л, _ 1 - С0, которая совпадает с графиком зависимости Л+ от С0 гарантированной верхней оценки для исходного варианта представительного элемента структуры такого тела. Зависимость нижней оценки Л'_ от С0 более чувствительна к выбору значения параметра С' в интервале (0; 1). Графики этой зависимости располагаются в области, ограниченной осями координат и кривой 1, причем по мере уменьшения значения параметра С' график такой зависимости приближается к этим осям и в пределе при С' ^ 0 совпадает с ними.
л, л;, л:, с:, а*
1,0
0,8 0,6 0,4 0,2
к
•
•, Л.
6 \ 7 '• . 8' Чч 2
У 5ч ч \ 3 , /
**.в ч 4 /
• \ ч ч ч чЧЧ, 5 /
Л 10 11 %
* . в к
Со
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 1. Зависимости оценок безразмерного коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела от пористости: 1 — Л; 2 — Л, при С' = 0; 3 — Л, при С' = 0,1; 4 — Л, при С' = 0,5; 5 — Л, при С' = 0,8; 6 — Л- при С' = 0,01; 7 — Л- при С' = 0,1; 8 — Л- при С' = 0,5; 9 — Л- при С' = 0,8; 10 — С' в зависимости от Со; 11 — Л^ в зависимости от Со
Для определенности выбора значения параметра С' можно при известном значении С0
пористости рассматриваемого твердого тела приравнять верхнюю оценку Л, полусумме
д Л + (1 - Со) „ _
Л + _ --- неулучшаемой и гарантированной верхних оценок. Отсюда с учетом
равенства (7) и соотношения (20) для параметра С' следует зависимость от С0, определяемая
функцией С'(С0) . . Подстановка этой функции в формулу для нижней оценки Л'_
2 + 4С0 приводит к зависимости
2(1 — С0)
Л1 (Со)
2 + 5Со — CQ
Графики функций С£ (С0) и Л1 (С0) представлены на рис. 1 кривыми 10 и 11 соответственно.
Заключение
Модификация часто используемого при оценке коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела представительного элемента структуры этого тела в виде полого шара дала возможность при математическом моделировании кондуктивного теплопереноса в каркасе такого тела получить двусторонние оценки возможного значения этого коэффициента и сравнить их с его неулучшаемой верхней оценкой. Модифицированный вариант представительного элемента является составным шаром, внешний слой которого имеет коэффициент теплопроводности материала каркаса пористого тела, а эквивалентный коэффициент теплопроводности сплошного внутреннего шара определен путем сопоставления решений стационарной задачи теплопроводности в неограниченной области, содержащей в одном случае полый шар, а в другом — указанный модифицированный представительный элемент структуры. При построении двусторонних оценок использована двойственная вариационная формулировка стационарной задачи теплопроводности, включающая два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый) с совпадающими экстремальными значениями на истинном распределении температуры.
Работа выполнена в рамках реализации базовой части государственного задания Ми-нобрнаукиРФ (проект 9.7784.2017/БЧ).
Список литературы
1. Reglero J.A., Rodriguez-Perez M.A., Solorzano E., de Saia J.A. Aluminium foams as a filler for leading edges: Improvements in the mechanical behavior under bird strike impact tests // Materials and design. 2011. Vol. 32. Pp. 907-910. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.08.035
2. Pavlenko A., Koshlak H. Production of porous material with projected thermophysical characteristics // Metallurgical and Mining Industry. 2015. No. 1. Pp. 123-127.
3. Румянцев Б.М., Жуков А.Д., Смирнова Т.Ю. Теплопроводность высокопористых материалов // Вестник МГСУ 2012. № 3. С. 108-114. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.3.108-114
4. Ortona A., Badini C., Liedtke V., Wilhelmi C., D'Angelo C., GaiaD., Fischer W. Hetoroporous heterogeneous ceramics for reusable thermal protection systems // Journal of Materials Research. 2013. Vol. 28. Pp. 2273-2280. DOI: 10.1557/jmr.2013.70
5. Bourret J., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Pennec F., Alzina A., Peyratout C.S., Smith D.S. Effect of pore volume fraction on the thermal conductivity and mechanical properties of kaolin-based foams // Journal of the European Ceramic Society. 2013. Vol. 33. Pp. 1487-1495. DOI: 10.1016/jjeurceramsoc.2012.10.022
6. Комков М.А., Тарасов В.А. Влияние вязкости связующего в пропиточной ванне на пористость композита при мокром способе намотки // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 192-199. DOI: 10.7463/1214.0745284
7. Nazarenko L.V. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials // International Applied Mechanics. 1997. Vol. 33, no. 2. Pp. 114-122.
8. Амосов А.П., Самборук А.Р., Самборук А.А., Ермошкин А.А., Закамов Д.В., Криволуц-кий К.С. Самораспространяющийся высокотемпературный синтез нанопорошка карбида титана из гранулированной шихты // Известия вузов. Порошковая металлургия и функциональные покрытия. 2013. №4. С. 31-38. DOI: 10.17073/1997-308X-2013-4-31-38
9. Федосова Н.А., Кольцова Э.М., Попова Н.А., Жариков Е.В. Керамоматричные композиты, модифицированные углеродными нанотрубками: искровое плазменное спекание, моделирование, оптимизация//Новые огнеупоры. 2015. № 12. С. 13-17.
10. Погожев Ю.С., Потанин А.Ю., Левашов Е.А., Ковалев Д.Ю. Особенности горения и структурообразования керамических материалов в системе Cr-Al-Si-B // Известия вузов. Порошковая металлургия и функциональные покрытия. 2014. №4. С. 19-29. DOI: 10.17073/1997-308X-2014-4-19-29
11. Yun D., Stan M. Impact of high porosity on thermal transport in UO2 nuclear fuel // Journal of Materials Research. 2013. Vol. 28, no. 17. Pp. 2308-2315. DOI: 10.1557/jmr.2013.142
12. Zivcova Z., Gregorova E., Pabst W., Smith D.S., Michot A., Poulier C. Thermal conductivity of porous alumina ceramics prepared using starch as a pore-forming agent // Journal of the European Ceramic Society. 2009. Vol.29. Pp. 347-353. DOI: 10.1016/ j.jeurceramsoc.2008.06.018
13. Падерин Л.Я., Прусов Б.В., Токарев О.Д. Исследование теплопроводности пористых теплоизоляционных материалов при высоких температурах // Ученые записки ЦАГИ.
2011. Т. 42, №4. С. 77-83.
14. Каталевич А.М., Абросименкова А.С., Спиркин С.А., Лебедев А.Е., Бусыгин В.В. Влияние структурных характеристик на теплопроводность пористых материалов на основе диоксида кремния // Успехи в химии и химической технологии. 2013. Т. 27, № 1. С. 27-32.
15. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
16. Tang H.P., Wang J.Z., Zhu J.L., Ao Q.B., Wang J.Y., Yang B.J., Li Y.N. Fractal dimension of pore-structure of porous metal materials made by stainless steel powder // Powder Technology.
2012. Vol. 217. Pp. 383-387. DOI: 10.1016/j.powtec.2011.10.053
17. Bicer Y., Yilmaz S., Devecioglu A., Ozdamar G. A theoretical model for determining thermal conductivity of porous solid materials // 9th Int. Conf. on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics (Malta, 16-18 July 2012): proceedings of the conference. Malta, 2012. Pp. 877-881.
18. SmithD.S., Alzina A., Bourret J.,Nait-AliB., PennecF., Tessier-DoyenN., OtsuK., Matsubara H., Elser P., Gonzenbach U.T. Thermal conductivity of porous materials // Journal of Materials Research. 2013. Vol. 28, no. 17. Pp. 2260-2272. DOI: 10.1557/jmr.2013.179
19. Pennec F., Alzina A., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Mati-Baouche N., de Baynast H., Smith D.S. A combined finite-discrete element method for calculating the effective thermal conductivity of bio-aggregates based materials // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2013. Vol. 60. Pp. 274-283. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.01.002
20. Asakuma Y., Yamamoto T. Effective thermal conductivity of porous materials and composites as a function of fundamental structural parameters // Computer Assisted Methods in Engineering and Science. 2013. Vol. 20, no. 2. Pp. 89-98. Режим доступа: http://cames.ippt. gov.pl/index.php/cames/article/view/70 (дата обращения: 03.05.2018).
21. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Радиационно-кондуктивный теплопере-нос в шаровой полости//Теплофизика высоких температур. 2015. Т. 53. №2. С. 243-249. DOI: 10.7868/S0040364415020246
22. Pavlenko A.M., Koshlak H.V., Cheilytko A.O., Nosov M.A., Syzonenko A.V. Research of effective thermal conductivity and its parts in porous metallic materials with different parameters of porosity // Metallurgical and Mining Industry. 2016. No. 12. Pp. 66-75.
23. Зарубин B.C., Зарубин C.B., Сергеева E.C. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности каркаса пористого твердого тела // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №7. С. 5-30. DOI: 10.7463/0717.0001241
24. Maxwell J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. 3rd ed. Oxford: Clarendon Press, 1904. 440 p.
25. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с. (English version: Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxford: Clarendon Press, 1959. 510 p.)
26. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // Journal of Applied Physics. 1962. Vol.33, no. 10. Pp. 3125-3130. DOI: 10.1063/1.1728579
27. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композитов с шаровыми включениями: вывод, оценка достоверности и параметрический анализ расчетных формул. Saarbrücken (Deutschland): LAMBERT Academic Publishing, 2013. 77 c.
28. ЗарубинВ.С., КувыркинГ.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Серия Естественные науки. 2012. №3. С. 76-85.
Mathematics i Mathematical Modelling
http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Two-sided Thermal Conductivity Coefficient Estimates in the Porous Body Skeleton
Zarubin W. S.1, Novoszilova O. V.1, Sergeeva E. S.1'* * [email protected]
1Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: skeleton of porous body, conductive heat transfer, coefficient of thermal conductivity, representative element of the structure of the porous body, dual variational formulation, two-sided estimates
Porous composite materials are widely used in engineering as structural and heat-insulating materials. Pores available in such materials are due to both their manufacturing technology and the operating conditions.
One of the most important factors in the process of designing products from a porous composite is a set of thermo-physical characteristics of the material. This characteristic determines the application area of the material.
Among the thermo-physical properties a thermal conductivity coefficient plays a key role. For some porous materials this coefficient can be determined experimentally, however, to reduce time and resources needed, a theoretical study of this characteristic is more relevant.
Theoretical investigation of the thermal conductivity coefficient of a porous composite allows us to predict its possible values depending on the composition of the material and its porosity. Such information about the composite is necessary at various processing stages of the material from its preparation to its using for the structure fabrication.
There are many papers on the approaches to the theoretical estimate of the thermal conductivity coefficient of a porous material. However, due to a significant spread of its values, a relevant task is to have the guaranteed two-sided estimates of the possible values of this material characteristic.
As is well known, there are some difficulties in making lower estimates of the properties of a porous material. To overcome this difficulty, the paper proposes to use a modification of the structural model of the porous body in conjunction with the dual formulation of the stationary thermal conductivity problem in an inhomogeneous solid.
In the paper the structural model modification of a porous body is as follows: a solid sphere with an equal external radius replaces a hollow spherical particle. The solid sphere, in turn, is represented by a composite ball consisting of an inner ball of some conventional material and
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 3, pp. 45-60.
DOI: 10.24108/mathm.0318.0000122
Received: 29.05.2018
© NEICON
an outer spherical layer of the skeleton material of the porous body. The equivalent thermal conductivity of the material of the inner ball is to be determined.
The structural model modification of the porous body proposed in the paper allowed us to obtain the two-sided estimates of the possible value of this coefficient. Also, the obtained estimates were compared with the improvable upper bound for this characteristic.
The obtained results will allow us to predict two-sided estimates of the thermal conductivity coefficient of advanced heat-insulating and structural porous materials.
References
1. Reglero J.A., Rodriguez-Perez M.A., Solorzano E., de Saia J.A. Aluminium foams as a filler for leading edges: Improvements in the mechanical behavior under bird strike impact tests. Materials and design, 2011, vol. 32, pp. 907-910. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.08.035
2. Pavlenko A., Koshlak H. Production of porous material with projected thermophysical characteristics. Metallurgical and Mining Industry, 2015, no. 1, pp. 123-127.
3. Rumyantsev B.M., Zhukov A.D., Smirnova T.Yu. Thermal Conductivity of Highly Porous Materials. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 3, pp. 108-114. DOI: 10.22227/1997-0935.2012.3.108-114 (in Russian)
4. Ortona A., Badini C., Liedtke V., Wilhelmi C., D'Angelo C., Gaia D., Fischer W. Hetoro-porous heterogeneous ceramics for reusable thermal protection systems. Journal of Materials Research, 2013, vol. 28, pp. 2273-2280. DOI: 10.1557/jmr.2013.70
5. Bourret J., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Pennec F., Alzina A., Peyratout C.S., Smith D.S. Effect of pore volume fraction on the thermal conductivity and mechanical properties of kaolin-based foams. Journal of the European Ceramic Society, 2013, vol. 33, pp. 1487-1495. DOI: 10.1016/jjeurceramsoc.2012.10.022
6. Komkov M.A., Tarasov V.A. A Binder Viscosity Effect on the Wet-Wounded Composite Porosity in the Impregnating Bath. Science and Education of Bauman MSTU, 2014, no. 12. pp. 192-199. DOI: 10.7463/1214.0745284 (in Russian)
7. Nazarenko L.V. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials. International Applied Mechanics, 1997, vol. 33, no. 2, pp. 114-122.
8. Amosov A.P., Samboruk A.R., Samboruk A.A., Yermoshkin A.A., Zakamov D.V., Krivolutsky K.S. Self-propagating high-temperature synthesis of titanium carbide nanopowder from the granulated charge. Russian Journal of Non-Ferrous Metals, 2015, vol. 56, no. 1, pp. 79-85. DOI: 10.3103/S1067821215010034
9. Fedosova N.A., Kol'tcova E.M., Popova N.A., Zharikov E.V. Keramomatous composites modified with carbon nanotubes: spark plasma sintering, modeling, optimization. Novye ogneupory [New refractories], 2015, no 12, pp. 13-17. (in Russian)
10. Pogozhev Yu.S., Potanin A.Y., Levashov E.A., Kovalev D.Y. Peculiarities of Burning and Structurization of Ceramic Materials in the System Cr-Al-Si-B. Izvestiya Vuzov. Poroshko-vayaMetallurgiya i Funktsional'nye Pokrytiya [Universities' Proceedings. Powder Metallurgy and Functional Coatings], 2014, no. 4, pp. 19-29. DOI: 10.17073/1997-308X-2014-4-19-29 (in Russian)
11. Yun D., Stan M. Impact of high porosity on thermal transport in UO2 nuclear fuel. Journal of Materials Research, 2013, vol. 28, no. 17, pp. 2308-2315. DOI: 10.1557/jmr.2013.142
12. Zivcova Z., Gregorova E., Pabst W., Smith D.S., Michot A., Poulier C. Thermal conductivity of porous alumina ceramics prepared using starch as a pore-forming agent. Journal of the European Ceramic Society, 2009, vol. 29, pp. 347-353. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2008.06.018
13. Paderin L.Ya., Prusov B.V., Tokarev O.D. Investigation of Heat Conductivity of Porous Thermal Insulation Materials at High Temperatures. TsAGIScience Journal, vol. 42, no. 4, pp. 533542. DOI: 10.1615/TsAGISciJ.2011004152
14. Katalevich A.M., Abrosimenkova A.S., Spirkin S.A., Lebedev A.E., Busygin V.V. The effect of structural characteristics on the thermal conductivity of porous materials based on silicon dioxide. Uspehi v himii i himicheskoj tehnologii [Successes in chemistry and chemical technology], 2013, vol. 27, no. 1, pp. 27-32. (in Russian)
15. Dul'nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Teploprovodnost' smesei i kompozitsionnykh materialov [Thermal conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad, EnergiyaPubl., 1974. 264 p. (in Russian)
16. Tang H.P., Wang J.Z., Zhu J.L., Ao Q.B., Wang J.Y., Yang B.J., Li Y.N. Fractal dimension of pore-structure of porous metal materials made by stainless steel powder. Powder Technology,
2012, vol. 217, pp. 383-387. DOI: 10.1016/j.powtec.2011.10.053
17. Bicer Y., Yilmaz S., Devecioglu A., Ozdamar G. A theoretical model for determining thermal conductivity of porous solid materials // 9th Int. Conf. on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics (Malta, 16-18 July 2012): proceedings of the conference. Malta, 2012. Pp. 877-881.
18. SmithD.S., Alzina A., Bourret J.,Nait-AliB., PennecF., Tessier-DoyenN., OtsuK., Matsubara H., Elser P., Gonzenbach U.T. Thermal conductivity of porous materials, Journal of Materials Research, 2013, vol. 28, no. 17. Pp. 2260-2272. DOI: 10.1557/jmr.2013.179
19. Pennec F., Alzina A., Tessier-Doyen N., Nait-Ali B., Mati-Baouche N., de Baynast H., Smith D.S. A combined finite-discrete element method for calculating the effective thermal conductivity of bio-aggregates based materials. International Journal of Heat and Mass Transfer,
2013, vol. 60, pp. 274-283. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.01.002
20. Asakuma Y., Yamamoto T. Effective thermal conductivity of porous materials and composites as a function of fundamental structural parameters. Computer Assisted Methods in
Engineering and Science, 2013, vol.20, no. 2. Pp. 89-98. Available at: http://cames.ippt., gov.pl/index.php/cames/article/view/70, accessed 03.05.2018.
21. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. The radiation-conductive heat transfer in a spherical cavity. High Temperature, 2015, vol.53, no. 2, pp. 234-239. DOI: 10.1134/ S0018151X15020248
22. Pavlenko A.M., Koshlak H.V., Cheilytko A.O., Nosov M.A., Syzonenko A.V. Research of effective thermal conductivity and its parts in porous metallic materials with different parameters of porosity. Metallurgical and Mining Industry, 2016, no. 12, pp. 66-75.
23. Zarubin V.S., Zarubin S.V., Sergeeva E.S. Comparative Analysis to Estimate a Thermal Conductivity Coefficient of the Porous Solid Skeleton. Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 7, pp. 5-30. DOI: 10.7463/0717.0001241 (in Russian)
24. Maxwell J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. 3rd ed. Oxford: Clarendon Press, 1904. 440 p.
25. CarslawH.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxford: Clarendon Press, 1959. 510 p.
26. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials. Journal of Applied Physics, 1962, vol. 33, no. 10, pp. 31253130. DOI: 10.1063/1.1728579
27. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. Teploprovodnost' kompozitov s sharovymi vkljuchenijami: vyvod, otsenka dostovernosti i parametricheskij analiz raschetnyh formul [Thermal conductivity of composites with spherical inclusions: inference, estimation of reliability and parametric analysis of computational formulas]. Saarbrücken: LAMBERT Academic Publishing, 2013. 77 c.
28. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences], 2012, no. 3, pp. 76-85.
