CC BY
19УДК 123.456.789
Сравнение точности методов вычисления разности фаз квазигармонических сигналов
Д. Б. Дамдинова, А. С. Полетаев, А. Г. Ченский1
Выполнен сравнительный анализ пяти методов вычисления разности фаз гармонических сигналов, адаптированных для применения в цифровых информационно-измерительных системах. С помощью разработанного в LabVIEW комплекта программ проведена оценка погрешности вычислений в зависимости от отношения сигнал/шум, длины выборки, диапазона измерений, коэффициента гармоник, количества отсчетов, взятых на один период сигнала. С помощью выбранных методов выполнен расчет нестабильности частоты устройства синхронизации сверхдлинноволнового (СДВ) интерферометра наклонного зондирования ионосферы.
Ключевые слова: разность фаз, гармонический сигнал, измерение фазы, СДВ, ОНЧ, LabVIEW.
1. Введение
Измерение разности фаз является важной задачей радиотехники, радиофизики и радиоастрономии. Например, при решении задач радиолокации и радионавигации, неразрушаю-щем контроле и измерениях свойств материалов, в оптических методах исследования турбулентности и неоднородности атмосферы, фазовые измерения необходимы в современных системах радиосвязи, определения координат объектов (GPS, ГЛОНАСС, GALILEO и др.), телеуправления и слежения за объектами на поверхности Земли и в околоземном пространстве и во многих других прикладных областях [7]. При проведении геофизических исследований нижних слоев ионосферы Земли оценка фазового дрейфа зондирующих сигналов является одним из наиболее чувствительных способов мониторинга ионосферных неоднород-ностей [8, 9].
Для определения разности фаз квазигармонических сигналов существует большое количество различных методов. Для анализа выбраны пять методов, наиболее адаптированных для цифровых измерительных систем.
Первый метод основывается на тригонометрических преобразованиях и подробно рассмотрен в [1]. Разность фаз находится как
Ф\~Ф2 = arcsin
2^ A A2
(1)
где - измеренный сигнал; S2 - эталонный сигнал;
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-35-00476 мол_а.
Aj, A2 - амплитуды сигналов sj и S2 .
Во втором методе [2] находится дополнение Гильберта и вычисляется мгновенная фаза
p(nT) = arctg 1, (2)
L s(mAtk ) _
где s(mAtk ) - дополнение Гильберта сигнала s(mAtk ); m - номер отсчета; Atk - интервал дискретизации, с.
Искомая разность фаз является разностью таких функций двух гармонических сигналов. Также для сравнения выбран параметрический метод измерения разности фаз квазигармонических сигналов, рассмотренный в [3]. В модифицированном методе Прони сигнал представляют в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций, которые определяются методом наименьших квадратов. Параметры сигнала оцениваются по полученной аппроксимирующей функции [4]. Пятый метод основан на применении решетчатых функций Фурье, для расчетов используется встроенная функция LabVIEW "Extract Single Tone" [5].
2. Сравнение погрешности расчетов различных методов
Разработка программы для моделирования производилась в среде графического программирования LabVIEW. Разработанная программа позволяет оценить точность расчета разности фаз выбранными методами в зависимости от отношения сигнал/шум, длины выборки, числа отсчетов на период, диапазона измерений и коэффициента гармоник. Кроме того, имеется возможность чтения экспериментальных данных из двоичных файлов и вычисления фазы измеренных сигналов.
На рис. 1 показана зависимость ошибки измерения разности фаз от отношения сигнал/шум (signal to noise ratio, SNR). Из данных графиков следует, что с увеличением SNR точность определения разности фаз повышается, а степень рассеяния вычисленных значений относительно кривой, усредненной методом скользящего среднего (линия тренда), уменьшается. Среднеквадратичное отклонение (СКО) от линии тренда для метода [1] составляет: о = 0.5832°, для метода [2]: о = 384.1°, для метода [3]: о = 0.9607°, для метода [4]: о = 26.14°, для метода [5]: о = 19.295°. Алгоритм [1] дает стабильную ошибку измерения - 3.5°. Способы [2, 4, 5] характеризуются большой степенью рассеяния вычисленных значений относительно линии тренда. Наилучшую точность вычисления разности фаз показал метод [2], и при SNR = 35 дБ ошибка Дф = 0.0064°, метод [5] дает ошибку -0.024°, метод [4] - 0.09°, метод [3] - 0.246°. Наибольшая погрешность измерений 3.3649° наблюдается у метода [1]. Однако метод [3] показал наименьшую дисперсию значений относительно линии тренда.
Л(р, град. 100
10
1 0,1 0,01 0.001
вТЖ, дБ
20 30 40 50
а)
Л<р, град. 100
10
НКК, дБ
од
0,01
0,001
Разность фаз при = 40 дБ
Д<р,= 3.3649°
Д<р2= 0.0064 °
Д<рз= 0.246°
Дф4= 0.09 °
Дф5= -0.024 °
Л<р, град. 100
10 1 0,1 0,01 0.001
БТчШ, дБ
10
Шт
20 30 40 50
Ш
б)
Шйш
Дф- град. 100
5М, дБ
0,01
0.001
г)
Аф. град. 100 г Г
10
0.1
0,01
0.001
ЛЙ"1''-''
вЖ, дБ
30 40
50
д)
Рис. 1. Зависимость ошибки измерения разности фаз от отношения сигнал/шум: а) метод [1]; б) метод [2]; в) метод [3]; г) метод [4]; д) метод [5]
На рис. 2 показана зависимость ошибки измерения разности фаз от длины выборки. Среднеквадратичное значение шума в этом и в последующих расчетах задано равным 1 мВ, амплитуда сигнала составляет 1 В. С увеличением количества периодов N гармонического сигнала в выборке у методов [1, 2] наблюдается уменьшение погрешности расчетов. Результат метода [4] практически не зависит от количества периодов сигнала в выборке. Метод [5] характеризуется большим уровнем рассеяния относительно линии тренда при N<10, но с ростом N степень рассеяния быстро снижается. Наилучшую точность вычисления разности фаз в зависимости от длины выборки показал метод [3], и при N = 10 ошибка Дф = 1.42^ 10-14 градусов, метод [4] дает ошибку 1.54^ 10-11 градусов, метод [5] - 0.0001°, метод [2] 0.1736°. Наибольшая погрешность измерений 3.3596° наблюдается у метода [1].
20 15 10
5 0
Л(р, град.
—
* * * • N
0,004
А<р, град.
0,003
0,002
0,001
V; .
-
Щ
штж Ч Ха'™
10
20 30
40
50
50
100 б)
150
М 200
Л<р, град.
-100
а) 0=0.5832°
б) о=384.1 °
в) а=0.9607°
г) о=26.14°
д) о=19.295°
А<р, град. 0,015
0,01 0,005 О
-0,005 -0,01 -0,015
Лср, град. 0.01
0.005
*г ^ 1
.л. щщ
-0,005
-0,01
д)
Рис. 2. Зависимость ошибки измерения разности фаз от длины выборки: а) метод [1]; б) метод [2]; в) метод [3]; г) метод [4]; д) метод [5]
Каждый метод определения разности фаз имеет свой диапазон измерений. В случае если измеряемая разность фаз оказывается вне этого диапазона, к результату вычислений необходимо добавлять жп радиан, п = 0, 1, 2,.... Точность измерений на разных участках диапазона измерений оказывается различна. На рис. 3 показана зависимость ошибки измерения разности фаз от абсолютного значения измеряемой разности фаз (от участка диапазона измерений). Из данных графиков следует, что погрешность расчетов методов [1, 3] в большей степени зависит от измеряемого значения разности фаз и возрастает на границах диапазона измерений ДФ. Так, для метода [1] точность вычисления для разности фаз ф = фтах - 0.01-ДФ = 178.2° (т.е. при измерении фазы, составляющей 99 % от диапазона измерений) снижается в к =31 раз по сравнению с результатом вычислений для середины этого диапазона. Для метода [3] коэффициент снижения точности составляет к =100 (т.е. при Дф=88.2°). Погрешность вычислений разности фаз при помощи остальных методов слабо зависит от абсолютного значения измеряемой разности фаз, и снижение точности составляет к=4.5 для метода [2], к=1.5 для способа [4] и к=2.1 для алгоритма [5]. При частоте дискретизации Fs = 100 кГц метод [1] хуже справляется с расчетами: вычисления удалось выполнить лишь для 86 % диапа-
зона измерений. Поэтому при расчетах для данного метода выбрана Fs = 100.1 кГц, в этом случае вычисления удается выполнить для 99 % интервала измерений.
0.8 0,6 0.4 0.2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
а, град.
Г
30
ср, град..
0,06
0,04
.0,02
60
90
120
150
180
-0,02 -0,04 -0,06
'2-70
а) ф
б) ф
в) ф
г) ф
Д) Ф
в)
Е (0;180) е [-90;270) Е [-90;90] Е [0;360] Е [-198;162]
к 31 к=4.5 к=100 к=1.5 к 2.1
0,06 0,04
г)
а, град.
ЛХс-.;. :-;>', ' ■ уу •• Г.*51.,"": ;:-'•>•*%•'.•;. г
Ш"?
д)
Рис. 3. Зависимость ошибки измерения разности фаз от диапазона измерений (от абсолютного значения измеряемой разности фаз): а) метод [1]; б) метод [2]; в) метод [3]; г) метод [4]; д) метод [5]
Также на точность определения фазы оказывает влияние количество отсчетов п, приходящихся на период гармонических сигналов (т.е. отношение частоты дискретизации к частоте гармонического сигнала). На рис. 4 показана зависимость СКО от п. Из данных графиков следует, что метод [3] при п<5 дает неверное значение разности фаз, однако при п>5 результат, как и у метода [4], не зависит от п. У методов [1, 2, 5] заметно уменьшение среднеквадратичного отклонения с увеличением п: их коэффициенты улучшения точности ¥ соответственно равны 1.6, 1.5 и 1.7 раз при увеличении п от 6 до 12.
Рис. 4. Зависимость среднеквадратичного отклонения от количества отсчетов,
взятых на один период сигнала: а) метод [1]; б) метод [2]; в) метод [3]; г) метод [4]; д) метод [5]
Еще одним параметром, от которого зависит погрешность измерений, является коэффициент гармоник - величина для количественной оценки нелинейных искажений, равная отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонентов выходного сигнала, отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме спектральных компонентов входного сигнала. На рис. 5 показана зависимость ошибки измерения разности фаз от коэффициента гармоник. Из данных графиков следует, что ошибка измерения методов [1-5] не превышает величины Д=-0.1° при коэффициенте гармоник ДКг не более 0.5 %, 73.4 %, 1.7 %, 0.4 % и 61.4 % соответственно. Из результатов расчета видно, что наименьшую погрешность показал метод [2], а наибольшую - метод [4].
А<р, град.
-200
-200
в)
л) Л -0.1" ДКг=0.5%
б) Д--0.1" ДКГ=73.4%
в) Д=-0.10 ДКг=1.7%
г) Д=-0.1 ° ДКГ=0.4%
д) Д=-0.1 ° ДКГ=61.4%
200
Д(р. град.
-200
-100
200
-200
-200
-100
-1
100
35 30 25 20 15 10 5
—
100
д)
Рис. 5. Зависимость ошибки измерения от коэффициента гармоник: а) метод [1]; б) метод [2]; в) метод [3]; г) метод [4]; д) метод [5]
кг,% 200
200
К^о/о 200
3. Применение в измерениях
Рассмотренные методы определения разности фаз были использованы при измерении нестабильности частоты устройства синхронизации сверхдлинноволнового (СДВ) интерферометра [6], предназначенного для синхронных измерений амплитуды и фазы разнесенных СДВ-радиоприемников. Данное устройство является источником внешней синхронизации аналого-цифровых преобразователей (АЦП) приемников интерферометра, и от ухода во времени импульсов запуска преобразования в АЦП зависит погрешность измерения фазы сигналов СДВ-радиостанций.
В эксперименте по измерению нестабильности частоты устройства синхронизации синусоидальный сигнал ус = 20 кГц от вторичного задающего генератора ГСС-93/1, синхронизированного с эталонным генератором (водородный стандарт частоты и времени Ч1-75А, нестабильность частоты 0.6-10-15 за сутки), подавался на вход АЦП L-Card Е14-140МЭ. Частота дискретизации составляла ^ = 200 кГц.
Номинальная частота генератора находится как
Л -—,
8 АТ
где П - количество импульсов; АТ - время измерения.
В результате ухода импульсов на тт частота генератора станет равной
Л-
п
АТ + Тт
(4)
Поскольку количество импульсов одинаково, то
Л- л—
8 8 АТ + тт
(5)
Отклонение частоты составит
¥ - ¡8 - ¡8 - ¡8
1 --
АТ
АТ + т
т )
(6)
Нестабильность частоты при этом равна
к-А -1 -
АТ
/8 АТ + Тт
—8
При Тт - 28 нс, АТ -1 с получаем нестабильность к ъ 2.8 -10 - 0.028 ррт. При анало
(7)
го-цифровом преобразовании тонального сигнала с частотами дискретизации /8 и /8 ':
к
) - sin 2п/с —
*8 )
,к - 0,1,2,...# — 1;
(8)
S2(t) -
2п/ск
¡8
■ + Т0
8 ).
к - 0,1,2,...# — 1,т 0-
N — 1
(9)
Разность мгновенных значений фазы этих сигналов составит
Аф - 2ж/ск
М
■ + Т0
V-/ 8 )
к
— 2ж1с^ = 2я/скт0. ¿8
(10)
Максимальный разбег фаз на времени измерения
Афт - 2ж!сТт .
(11)
Таким образом, амплитуда джиттера Тт задает максимальный за время АТ разбег фаз
Афт , через который можно выразить нестабильность частоты
к -
1
2п/с АТ ■
Афт
(12)
1
1
Например, при Ус = 25 кГц, АГ = 1с, Афт = 9° получаем к = 10 6 = 1 ррт.
На рис. 6а показана лицевая панель программы вычисления разности фаз по данным измерений. При расчетах для некоторых методов важно устранить возможную постоянную составляющую. В программе для этого имеются два способа нормирования: статистический (вычитание среднего значения выборки) и фильтрационный (применение полосового фильтра с полосой пропускания 1 кГц). Результаты вычислений показаны на рис. 6б, в соответственно. Из графиков видно, что с интервалом в 1 с выполняется измерение частоты внутреннего генератора устройства синхронизации и производится импульсная фазовая автоподстройка частоты (ИФАПЧ).
Поскольку разность фаз составляет около 180°, метод [1] не смог выполнить расчет. В случае статистического нормирования близкие результаты дали метод [2] и модифицированный метод Прони, показавшие наименьшую дисперсию результатов расчета. При использовании цифрового полосового фильтра дисперсия значений, полученных модифицированным методом Прони и способом [5], существенно возросла. В этом случае наиболее точными оказались методы [2, 3]. Уход фазы в течение 1 секунды составляет 0.2°, что со-
—8
гласно формуле (12) соответствует кратковременной нестабильности частоты к = 2.78 -10 .
4. Заключение
В данной работе исследована точность расчетов разности фаз гармонических сигналов при помощи различных методов. Для проведения измерений в условиях слабозашумленных сигналов лучшим оказался метод [2]. Для небольших по длительности выборок сигналов лучший результат дал метод [3]. Для расчета разности фаз на границах диапазона измерений лучше всего справляется метод [1]. При расчете в зависимости от количества отсчетов на период лучше всего использовать метод [3], однако для оптимального результата достаточно использовать п=5...6. Кроме того, точность результатов можно повысить при помощи предварительной цифровой обработки измеренных сигналов.
Полный путь к файлу
ПЛИС]=\1>а1а\Ш01\
Вгоас1Ъап(1 Ба1а 2016.03.02 07.25.50.Ы
■=1
Форма сигналов Спектр Метки Разность фаз Стат. параметры Частота
еггог 01й
сойе
£ В—
еоигсе
Л. Гц
/с, Гц
3/1
19999,999959549721
> Ед.изм. времени а файле
Микросекунды (мкс)
Количество строк Количество
ллл считывания Заголовок (строк) каналов
1000
- а
20
Развернуть фазу 0 Сохранить в файл О Обработка файла (%):
.1 [I
Формамодельного и измеренного сигналов Модельный Измеренный
1- Г\ /Л
0.6-М. 0,4-& 0.20- н и э * / \ / \ / \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ V / \
\
\
\ г
-0,8- \ /
0 2.5Е-5 5Е -5 7.5Е-5 0,0001 0,000125 Время, с
•
а)
Зависимость ухода фазы ОТ времени Гильберт
-174,9-1-
Игнатьев I . Воронов
Прони
-175
оа
о -175.1-у
Й
3 -175Д
с«
-175,6- . ^^^^
15 15.2 154 15.6 15.Я
16 16.2 16.4 16.6 16.
Пронн?(СИ)
17 17,2 174 17,6 17,8 Время, с
- : I
18 18.2 18.4 18.6 18.8 19
Интервал •:""£. _ <•• Метод Отображение: Разность Среднеквад.откя. &ц > £е Эл-тов в
Обработано, с усреднения, с Метод нормирования Канал 1 фаз; град. фазы . град. Сигнал /с , Гц } очереди
7,600000000 0,005 ' ¡Игнатьев |Статистика |-176,823 |0Д20581404 [¡9999,85903815бЯГ □ р»
б)
Зависимость ухода фазы ОТ времени Гильберт -176,5
да |
Обработано, с 135ДОООООО
9 10 Время, с
Прони?(ОМ)
Интервал ; Метод Отображение: Разность и.реднекЕад.оппт Ёп > йе Эл-ТОЕ Б
усреднения, с Метод нормирования Канал 1 фаз, град. фазы, град. Сигнал /с, Гц
Игнатьев | Фильтр
0,005
-176,665 10,220700056
9 очереди
19999,99998238434; □ [о
В)
Рис. 6. Программа для оценки нестабильности частоты устройства синхронизации СДВ интерферометра: а) лицевая панель; б) результаты расчетов при использовании статистической обработки; в) результаты расчетов при использовании полосового фильтра
Литература
1. Воронов А. С. Измерение разности фаз сигналов // Горизонты образования. 2007. № 9.
2. Степанов В. В., Матвеев С. А. Методы компьютерной обработки сигналов систем радиосвязи. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. С. 48-54. 145 с.
3. Игнатьев В. К., Никитин А. В., Бернардо-Сапрыкин В. Х., Орлов А. А. Измерение разности фаз квазигармонических сигналов в реальном времени // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. 2013. № 7. С. 241-257.
4. Воскресенский Д. И., Канащенков А. П. Активные фазированные антенные решетки. М.: Радиотехника, 2004. 488 с.
5. Суранов А. Я. LabVIEW 7: справочник по функциям. М.: ДМК Пресс, 2005. С. 419-420. 512 с.
6. Токмачев Д. А., Полетаев А. C., Безрукин А. Г., Ченский А. Г., Засенко В. Е., Губин Н. А. Система синхронизации сверхдлинноволнового интерферометра // Приборы и техника эксперимента. 2014. № 5. С. 77-84. DOI: 10.7868^0032816214050139.
7. Переход Н. Г. Измерение параметров фазы случайных сигналов. Томск: Томское отделение издательства «Радио и связь», 1991. 310 с.
8. Полетаев А. С., Ченский А. Г., Токмачев Д. А. Регистрация вариаций амплитуды и фазы сигналов навигационных СДВ передатчиков: В сб.: Взаимодействие полей и излучения с веществом. Сборник трудов XIV Конференции молодых ученых. Иркутск, 14-18 сентября 2015. С. 252-255.
9. Полетаев А. С., Ченский А. Г., Григорьев К. А. Мониторинг нижней ионосферы методом наклонного зондирования СДВ-радиосигналами // Вестник ИрГТУ. 2012. № 10 (69). С. 203-211.
Статья поступила в редакцию 20.10.2016
Дамдинова Дарима Баировна
студент кафедры радиоэлектроники и телекоммуникационных систем ИРНИТУ (664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83), тел. 8 (950) 061-6495, e-mail: darimka1998@mail.ru.
Полетаев Александр Сергеевич
программист отдела информационно-измерительных систем физико-технического института, аспирант кафедры радиоэлектроники и телекоммуникационных систем ИРНИТУ (664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83), тел. 8 (904) 129-8187, e-mail: sardaukar9@yandex. ru.
Ченский Александр Геннадьевич
к.ф.-м.н., заведующий кафедрой радиоэлектроники и телекоммуникационных систем ИРНИТУ (664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83), тел. 8 (3952) 40-52-81, e-mail:
zavmts@istu.edu.
Accuracy comparison of methods for measuring a phase shift of quasi-harmonic signals D. B. Damdinova, A. S. Poletaev, A. G. Chensky
The article presents a comparative analysis of five methods for calculating a phase shift of quasi-harmonic signals which can be used in digital information-measuring systems. Errors depending on signal / noise ratio, number of samples, measurement range, total harmonic distortion, number of samples per a period of signal are assessed via programs designed in LabVIEW. These methods are applied for frequency instability measurements of a synchronization system of very-low frequency interferometers for oblique sounding of the ionosphere.
Keywords: phase shift, harmonic signal, phase measurement, VLF, frequency instability, LabVIEW.
