CC BY
0УДК 51 Лупина П.Н., Цаплина Е. С., Мавзовин В. С.
Лупина П.Н.
студентка 1 курса 71 группы факультета «Реконструкция
и реставрация архитектурного наследия» Московский государственный строительный университет
(г. Москва, Россия)
Цаплина Е.С.
учитель математики высшей категории ГБОУ Школы №17
(г. Москва, Россия)
Научный руководитель:
Мавзовин В.С.
доцент, старший преподаватель кафедры Высшей математики Московский государственный строительный университет
(г. Москва, Россия)
СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ ОДНИХ И ТЕХ ЖЕ ОБЪЕКТОВ В РАЗНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
Аннотация: в статье рассматриваются свойства трех объектов: треугольника, окружности и произвольного четырехугольника. Сравнение происходит в четырех геометриях: геометрии Евклида, геометрии Галилея, сферической геометрии и геометрии Лобачевского.
Ключевые слова: геометрия пространства, геометрия Лобачевского, геометрия Евклида, сферическая геометрия, геометрия Галлилея, геометрия, треугольник, окружность, чет ырехугольник.
Хотелось бы немного рассказать о каждой из геометрий, чтобы понять, с чем мы имеем дело. Для введения геометрии есть два пути: на основе формул
1804
(алгебраический), либо на основе утверждений (аксиоматический). Геометрии: Евклида, Лобачевского и сферическая- чаще всего являются примерами аксиоматического построения, а Галилея - алгебраического. Сама по себе геометрия возникла из-за потребности человека в измерении форм. Евклидова геометрия является одной из древнейших. В рамках ее аксиом работают наши физические законы, поэтому именно она изучается в школе. Труд Евклида "Начала", сформулированный около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Геометрия Евклида стоит на 5-ти постулатах:
• От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
• Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
• Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
• Все прямые углы равны между собой.
• Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
Правда евклидова геометрия не может применяться везде одинаково (в силу того, что при ее использовании пренебрегают реальной формой планеты и несоизмеримостью ее размеров с размерами объектов, окружающих нас). В следствии этого появляются новые геометрии. К примеру, Николай Иванович Лобачевский решил заменить 5-тый постулат: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Таким образом появилась неевклидова геометрия. В своей работе «О началах геометрии» Лобачевский ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, а значит, что, допустив утверждение, противоположное постулату Евклида, можно построить геометрию, которая не будет уступать ей содержательностью.
1805
Сферическая геометрия - более практическая из-за связи с географией и астрономией. Основана она на тех же аксиома, что и евклидова, но в ней появляются новые основные понятия:
Большой круг (аналог прямых в привычной нам геометрии) — это круг, центр которого совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все меридианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга.
Любые два больших круга пересекаются по прямой, содержащей диаметр
сферы.
При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре двуугольника. Их площадь определяется формулой 5 = 2Я2а, где Я — радиус сферы, а а— угол двуугольника в радианах.
Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Если у треугольника все стороны меньше половины большого круга, то он называется эйлеровым.
Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара 5 = Д2£.
С
Рисунок 1. Треугольник в сферической геометрии.
1806
Геометрия Галилея отличается от всех вышеперечисленных, т.к. возникла она из-за потребности расширения понятий раздела механики в физике. В ней свойства фигур напрямую зависят от законов механики.
ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ.
Треугольник.
Треугольник - фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки - вершины треугольника, а отрезки - его стороны.
Геометрия Евклида.
Некоторые свойства:
• Сумма углов любого треугольника 180°,
• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных углов лежат равные стороны,
• Длина каждой стороны меньше суммы длин оставшихся двух,
• Внешний угол равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Геометрии Лобачевского.
Вводится понятие идеального треугольника (все три его вершины бесконечно удалёнными точками). Они обладают следующими свойствами:
• Все идеальные треугольники равны между собой,
• Все их внутренние углы равны нулю,
• Периметр такого треугольника бесконечен,
• Идеальный треугольник является наибольшим возможным треугольником в геометрии Лобачевского.
Сферическая геометрия.
Напомню, что три больших окружности, которые пересекаются попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников.
Помимо трёх классических признаков равенства, для них верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны (в сферической геометрии нет неравных подобных фигур).
1807
Рисунок 2. Треугольник в геометрии Лобачевского.
Появляется понятие полярных треугольников (полярным для сферического треугольника (ABC) называется такой треугольник (A'B'C'), вершины которого A', B', C' являются полюсами по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно).
• Для любого полярного треугольника выполняются следующие правила: К' = п — к, к' = п — к, где угол K = а, в, у и сторона к = а, Ь, с.
• Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярным к самому себе.
• Полярный треугольник, построенный к полярному треугольнику для некоего сферического, совпадает с исходным.
Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
• Сумма всех сторон а + b + с всегда меньше 2п.
• Величина 2п — (а + b + с) — сферический дефект.
• Сумма углов сферического треугольника s = а + fí + у будет лежать между п и 3п.
Величина s — п = s — сферический избыток.
• Площадь сферического треугольника определяется по формуле S = R2s = R2(a + р + у — п).
В отличие от классического треугольника, у сферического может быть два или три прямых или тупых угла.
1808
Геометрия Галилея.
Длины сторон треугольника ABC - это расстояния BC = d(B, C), CA = d(C, A), AB = d(A, B). Они могут быть как положительными, так и отрицательными (длины сторон со знаком). Абсолютные величины этих длин будем обозначать: a, b, c. За величины углов треугольника будем принимать величины углов между прямыми, на которых лежат стороны (так ZABC -угол между прямыми AB и BC, заметим, что порядок важен).
Рисунок 3. Построение треугольника в геометрии Галлилея
В отличие от геометрии Евклида, в геометрии Галилея углы и стороны треугольника связаны между собой следующими соотношениями:
• Если с - наибольшая из положительных длин сторон треугольника, то а + Ь = с.
Это объясняется физическим смыслом: точки А, В, С - это события, а расстояния между ними - это промежутки времени (промежуток времени между
1809
самым ранним событием и самым поздним равен сумме промежутков времени между ранним и средним).
Если брать длины сторон треугольника со знаком, то для треугольника ABC с вершинами A ya), B(xь, уь), C(xc, yc) будет выполняться следующее условие:
• AB + BC + CA = (xa - xb) + (xь - Xc) + (xc - Xa) = 0 (т.е. периметр любого треугольника на плоскости Галилея равен нулю).
Аналогичным образом вычисляем сумму углов треугольника:
• zABC + zBCA + zCAB = 0 (т.е. сумма углов любого треугольника равна нулю).
• Если брать абсолютные величины углов, то получим (см. рисунок) zA + zB = zC.
В геометрии Галилея отсутствует признак равенства треугольников по трем сторонам.
Окружность.
Окружность - замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от
центра
Геометрия Евклида.
Некоторые свойства:
• Прямая может иметь с окружностью 0, 1 или 2 общие точки.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.
• Точка касания двух окружностей лежит на одной прямой с их центрами.
• Окружность симметрична относительно любой своей оси.
• В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.
• Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.
1810
• Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее
осью.
Геометрия Лобачевского.
В геометрии Лобачевского существует аналог окружности: фигура под названием орицикл (предельная линия на плоскости Лобачевского).
Неформально орицикл можно рассматривать как «окружность бесконечно большого радиуса с бесконечно удалённым центром».
Рисунок 4. Окружность в геометрии Лобачевского.
Некоторые свойства:
• Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с ним не более чем в двух точках,
• Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит одна и только одна секущая равного наклона к этим прямым,
• Все внутренние точки хорды орицикла лежат в его середине, а все внешние точки - вне,
• Все точки орицикла лежат по одну сторону от перпендикуляра, проведенного в какой-либо вершине к оси, а точнее в сторону параллельности осей.
1811
Сферическая геометрия.
Стоит отметить, что раз большие окружности - аналоги прямых в евклидовой геометрии, а малые окружности- окружностей (их можно получить пересечением сферы плоскостью), то многие свойства совпадают: через любые три точки на сфере, не лежащие на одной большой окружности, можно провести единственную малую окружность.
Окружность на сфере определяется привычным способом (через равноудаленность от центра). Для малых окружностей та из двух точек, для которой сферическое расстояние от неё до точек данной окружности меньше, называется сферическим центром этой окружности. А само расстояние сферическим радиусом. Для больших окружностей эти две точки называются полюсами больших окружностей. Их так же можно считать центрами большой окружности. Сферический радиус большого круга равен квадранту, и обратно, круг на сфере со сферическим радиусом, равным квадранту, есть большой круг.
• Если плоскость проходит через центр сферы, то получившаяся окружность будет иметь максимальный возможный радиус,
• Если пересекающая плоскость не проходит через центр, то получившаяся окружность называется малой окружностью,
Рисунок 5. Малая окружность.
Свойства:
1812
• Через любые три точки, не лежащие на одной большой окружности, можно провести единственную малую окружность.
Геометрии Галилея.
Под окружностью в геометрии Галилея мы будем понимать множество точек плоскости, модуль расстояния от каждой из которых до данной точки Р равен данному положительному числу г> 0 (Р называется центром, а число г -радиусом).
У > Ь < с >0 а Б \ N
ос / > г+а ? <
Рисунок 6. Окружность в геометрии Галилея.
В таком случае, окружность будет представляться, как вертикальная линия центров и две параллельные ей прямые, равноудалённые на расстояние г (если Р (а, Ь), то точка М (х, у) принадлежит окружности Б с центром в точке Р радиуса г тогда и только тогда, когда (М, Р) | = г, значит |х - а| = г).
Некоторые свойства:
• При параллельных переносах и сдвигах окружность переходит в окружность (появляется понятие параллельности окружностей),
• Дуги окружностей имеют равные длины тогда и только тогда, когда существует движение, переводящее одну дугу в другую,
• Серединой отрезка - точка этого отрезка, разбивающая его на два отрезка равной длины,
• Серединой дуги окружности называется точка, которая делит ее на две дуги равной длины,
1813
• Любую точку особой прямой можно принять за центр этой окружности.
Произвольный четырехугольник.
Четырехугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся.
Геометрия Евклида.
Некоторые свойства:
• Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника 3600,
• Если соединить отрезками середины соседних сторон - получится параллелограмм,
Геометрия Лобачевского.
Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Джироламо Саккери, использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен». В этой работе важным является попытаться доказать пятый постулат, используя метод «приведение к нелепости».
Рисунок 7. Четырехугольник Саккери
Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом. В четырёхугольнике Саккери ДВСО стороны ДО и ВС равны по длине и перпендикулярны к основанию ДБ (важность имеет указание, какие из углов являются верхними, а какие нижними).
1814
Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно).
Пусть ДВСО — четырёхугольник Саккери с основанием ДБ.
Следующие свойства верны:
• Верхние углы равны и являются острыми,
• Верхняя сторона больше основания,
• Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны является их общим перпендикуляром,
• Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта,
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не является перпендикуляром ни к одной из сторон.
Двупрямоугольник - четырехугольник, в котором два угла, которые прилежат к одной стороне (основанию), прямые. Если две боковые стороны (сторона, между которой и основанием прямой угол) равные, то такой двупрямоугольник - прямоугольник Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников:
• Если ДВСО - четыреугольник Саккери с основанием ДБ, то zДDC = ZBCD <90°,
• Если в двупрямоугольнике ДВСО с основанием ДБ ДО <ВС, то ZADC> zBCD.
Сферическая геометрия.
Сферический многоугольник - часть сферы, расположенная внутри многогранного угла с вершиной в центре сферы.
Сферический многоугольник выпуклый если конус ОБ (где Б -многоугольник) - выпуклый. В ином случае такой многоугольник вогнутый. Свойства:Сферическому многоугольнику соответствует многогранный угол которым он образован.
1815
• Если выпуклый сферический многоугольник содержится в другом сферическом многоугольнике, то первый имеет меньший периметр.
• Периметр выпукглого четырехугольника меньше большой окружности.
е
А
Рисунок 8. Сфера в сферической геометрии.
Геометрия Галилея.
Четырехугольником в пространстве Галилея называется фигура, состоящая из четырех точек (любые три из которых не лежат на одной прямой), попарно соединенных отрезками. При этом никакие два из этих отрезков не имеют пересечений, кроме концов этих отрезков. Углами называются геометрические углы между сопряженными сторонами этого четырехугольника.
Особенной фигурой в геометрии Галлелея является антипараллелограмм. Фигура, образованная вследствие применения принципа двойственности к определению параллелограмма из Евклидовой геометрии.
Антипараллелограмм - четырехугольник, в котором противоположные стороны равны между собой и никакие из сторон не параллельны друг другу. Две равные стороны в нем образуют пересечение.
Антипараллельные стороны - равные стороны в антипараллелограме.
Антипараллельные прямые - прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют два равных углы, но расположенных по разные стороны от этой прямой. Прямые 11 и 12 называются антипараллельными относительно прямых Ш1 и ш2, если угол 1 равен углу 2 на рисунке 1. Если прямые т1 и т2
1816
пересекаются в некоторой точке О, то 11 и 12 называют также антипараллельными относительно угла ш1Ош2. Если прямые т1 и ш2 совпадают, то 11 и 12 называют антипараллельными относительно одной прямой.
Заключение.
Геометрия является одним из самых разнообразных и сложных для осознания предметов в школе, именно поэтому я решила показать ее значимость в различных сферах жизни. Напомню, что в моей работе были рассмотрены следующие геометрии:
Рисунок 9. Антипараллелограмм.
Рисунок 10. Антипараллельные прямые.
1817
• Евклида (классическая, изучаемая в основном курсе школы, геометрия),
• Лобачевского (геометрия, в рамках которой можно изучать космос находясь на земле),
• Сферическая (в рамках которой можно описывать саму Землю),
• Галилея (навеянная принципом относительности).
В рамках каждой из них можно найти такие фигуры, как: треугольник, четырехугольник, окружность. Именно эти объекты (а также их свойства) и стали объектом исследования в моем проекте. В ходе работы мне удалось:
• Изучить материалы по теме,
• Показать связь геометрии с окружающими нас объектами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. И.М. Яглом Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Москва, 1969. 2. А.В. Хачатурян Геометрия Галилея. Москва, МЦНМО, 2005;
2. Википедия. URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1 %82%D 1 %80%D0%B8%D 1 %8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B 1 %D0%B0%D 1 %8 7%D0%B5%D0%B2%D 1 %81 %D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE (дата обращения: 05.03.2022);
3. Большая российская энциклопедия 2004-2017 URL: https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2177061 (Дата обращения 05.03.2022);
4. Википедия. URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0 %B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0% B5%D 1 %82%D 1 %80%D0%B8%D 1 %8F (дата обращения: 29.02.2022);
5. Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. М.—Л.: ОГИЗ, 1948.
1818
Lupina P.N., Tsaplina E.S., Mavzovin V.S.
Lupina P.N.
Moscow State Construction University (Moscow, Russia)
Tsaplina E.S.
School No. 17 (Moscow, Russia)
Scientific adviser: Mavzovin V.S.
Moscow State Construction University (Moscow, Russia)
COMPARISON OF PROPERTIES THE SAME OBJECTS IN DIFFERENT GEOMETRY
Abstract: the article discusses the properties of three objects: a triangle, a circle and an arbitrary quadrilateral. The comparison takes place in four geometries: Euclidean geometry, Galilean geometry, spherical geometry and Lobachevsky geometry.
Keywords: geometry of space, Lobachevsky geometry, Euclidean geometry, spherical geometry, Galilean geometry, geometry, triangle, circle, quadrangle.
1819
