CC BY
18ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
О МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ НАЧАЛ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Хатамов И.1, Останов К.2
'Хатамов Иброхим - преподаватель, кафедра общей математики, факультет математика и информатики, Джизакский государственный педагогический институт, г. Джизак;
2Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье рассматривается некоторые аспекты методики изучения начал неевклидовой геометрии в средней школе, ее важные дидактические элементы, их основные функции, повышения эффективности усвоения знаний и творческой активности учащихся в процессе изучения неевклидовой геометрии. Кроме того, рассмотрены некоторые особенности неевклидовой
геометрии, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых.
Ключевые слова: начала, неевклидовая геометрия, постулат, геометрия, отрезок, углы, прямая, движение фигур, неограниченность, пространство.
Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути к теории относительности. Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.
Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая СВ , перпендикулярная в точке С к заданной прямой г и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке В, но, тем не менее бесконечные прямые г и 5 никогда не пересекутся. Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 1800 в евклидовой геометрии, больше 1800 в эллиптической геометрии и меньше 1800 в гиперболической геометрии.
Первым неевклидовым геометром, вероятно, можно считать самого Евклида. Его нежелание использовать «несамоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того,
что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 года математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности». Ближе всех подошел к цели иезуит, логик и математик Дж. Саккери (1667-1733), который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери, т.е. с четырехугольника BCED, у которого ВС = DE, а углы при вершинах С и Е прямые. Заметив, что углы при вершинах В и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.
К. Гаусса (1777-1855) принято считать одним из величайших математиков всех времен. Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Я.Бойяи (1802-1860) и русскому Н.И. Лобачевскому (1793-1856).
В 1854 Б. Риман (1826-1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.
Ф. Клейн (1849-1925) первым увидел, как избавить сферическую геометрию от одного из ее недостатков - того, что две лежащие в одной плоскости «прямые» (два больших круга на сфере) имеют не одну общую точку, а две . Так как для каждой точки существует одна-единственная точка-антипод (диаметрально противоположная точка), а для любой фигуры существует ее дубликат из точек-антиподов, мы можем, ничем не жертвуя, но многое приобретая, абстрактно отождествить обе точки такой
45
пары, объединив их в одну. Таким образом можно изменить смысл термина «точка», условившись впредь называть «одной точкой» пару диаметрально противоположных точек. Иначе говоря, точки так называемой «эллиптической» плоскости представлены на единичной сфере парами точек-антиподов или диаметрами, соединяющими точки-антиподы. Вся эллиптическая прямая замкнута, как окружность, но, поскольку каждая из ее точек представлена двумя точками-антиподами на единичной сфере, полная длина эллиптической прямой равна половине длины окружности большого круга, т.е. ее полная длина равна п.
Список литературы
1. Александров А.Д. О геометрии Лобачевского / А.Г. Александров // Математика в школе, 1993. № 2. С. 2-7.
2. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского / Л.С. Атанасян. М.: Просвещение, 2001. 335 с.
3. Бескин Н.М. Аксиоматический метод / Н.М. Бескин // Математика в школе, 1993. № 3. С. 25-29.
4. Болтянский В.Г. Загадка аксиомы параллельных. / В.Г. Болтянский // Квант, 1976. № 3. С. 2-8.
5. Гайбуллаев Н. Формирование геометрических представлений учащихся средней школы при изучении евклидовой и неевклидовой геометрии, автореф. дис. канд. пед. наук / Н. Гайбулаев. Ташкент, 1972. 39 с.
К ВОПРОСУ О СОЗДАНИИ СИСТЕМЫ УПРАЖНЕНИЙ В ЭЛЕКТИВНОМ ДИСТАНЦИОННОМ КУРСЕ ОБУЧЕНИЯ ДЕЛОВОЙ ПИСЬМЕННОЙ РЕЧИ Тиманова Р.В.
Тиманова Роза Валерьевна - преподаватель, кафедра теоретических наук английского языка, Узбекский государственный университет мировых языков, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье анализируются существующие классификации упражнений, предложенные различными учеными, также проводится анализ самого понятия упражнение. Рассматривается проблема создания и систематизации упражнений для обучения деловой английской письменной речи студентов. Приводятся примеры
