CC BY
106
Ковешников Е.В.1, Савченко В.Н.2
'Ассистент, кафедра алгебры и геометрии, Уссурийский государственный педагогический институт, 2д. ф.-м. н., профессор, Институт трансдисциплинарных исследований, Тихоокеанский государственный экономический университет
НЕПОЛНОТА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА И ИСТОРИЯ ИХ ПРЕОДОЛЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЯХ ЛОБАЧЕВСКОГО, РИМАНА, ГИЛЬБЕРТА И МАНДЕЛЬБРОТА
Аннотация
В статье даётся краткий философско-научный экскурс в проблему неполноты и неопределённости геометрии Евклида. Исследовано то, как Лобачевский и Риман пришли к неевклидовым геометриям, а Гильберт заново переработал классическую геометрию, сделав её аксиоматику строгой и упорядоченной. В конце статьи сообщается о фрактальной геометрии Мандельброта, имеющей шанс стать геометрией XXI века. Ставится вопрос о приоритете той или иной геометрии в научной программе геометризации Мира.
Ключевые слова: Евклид, Лобачевский, Риман, Мандельброт, геометрия, неполнота и неопределённость геометрии.
Keywords: Euclid, Lobachevsky, Riemann, Mandelbrot, geometry, incompleteness and uncertainty of geometry.
Геометрия возникла несколько тысяч лет назад в странах Древнего Востока. Её появление было продиктовано потребностями земледелия, архитектуры, мореплавания, астрономии. Геометрических книг и трактатов того времени почти нет, за исключением египетских папирусов и вавилонских глиняных табличек. Ведь знание это было эмпирическим и исключительно рецептурно-прикладного характера. "С течением времени, когда расширился круг объектов, к которым прилагались приобретённые геометрические знания, выяснилась необходимость формулирования геометрических правил, и притом в наиболее общем виде, что обусловило переход в геометрии от конкретных понятий к абстрактным. Например, правило, выработанное для измерения площади прямоугольного земельного участка, оказалось пригодным для измерения площади ковра, поверхности стены и т.п., в результате чего возникло абстрактное понятие прямоугольника" [9, с. 8]. Так и сложилось опытное знание, названное позже геометрией. А назвали его так греки. В VI-V вв. до н.э. знания из Древнего Востока переходят и в Древнюю Грецию, достигшую на тот момент такого уровня, когда в государстве может начать развиваться наука. Первопроходцами здесь были Фалес Милетский (625-547 гг. до н.э.) и Пифагор. Их заслуга в том, что геометрию из знания эмпирического они превратили в знание логическое. К истине приходили путём доказательства, а не принимая на веру путём заучивания. Впоследствии большое количество учёных обогатило геометрию своими открытиями. Но геометрия греческая, как и восточная, оставалась знанием несвязным, нестройным, неполным. Накопилось множество аксиом (знание опытное) и выведенных из них теорем. Перед древнегреческими учёными возникла "задача свести к минимуму количество предло жений первого рода (аксиом), чтобы тем самым облегчать работу геометра, перенеся основную её тяжесть в сферу логического мышления" [там же, с. 9].
Аксиоматизацию геометрии и её первое обобщение осуществил греческий математик Евклид примерно в 300 году до н.э. в своде трудов, получивших название "Начала" (Exotxeia) (это же можно перевести как "Элементы"). Что же представляет из
себя этот фундаментальный труд, пользовавшийся безоговорочным авторитетом более двух тысяч лет. Собственно геометрии посвящены 8 книг из 13. Сначала Евклид даёт определения точки, прямой, поверхности и разных геометрических фигур (всего 36 определений). Фундаментальным является определение точки, содержащее своеобразный физический Демокритов атомизм: точка есть то, что не имеет никакой части (тогда как греческие философы сотни лет рассуждали о соотношениях частей и целом). Теоремы доказываются Евклидом на основе аксиом и постулатов.
Аксиомы:
1. Равные одному и тому же, суть взаимно равны.
2. Если к равным приложены равные, то и целые равны.
3. Если от равных отняты равные, то и остатки равны.
4. Если к неравным приложены равные, то и целые неравны.
5. Если от неравных отняты равные, то и остатки неравны.
6. Двукратные того же суть взаимно равны.
7. Половины того же суть взаимно равны.
8. Совмещающиеся взаимно, суть взаимно равны.
9. Целое больше своей части.
10. Две прямые не заключают пространства [10, Книга Первая, с. 5-6, адапт. к совр. рус. - авт.].
Постулаты (со времен Боэция постулат понимается как требование):
1. Требуется, чтобы можно от всякой точки до всякой другой проводить прямую линию.
2. Определённую (то есть всякую - авт.) прямую продолжать впрямь непрерывно.
3. Из всякого центра всяким расстоянием можно описать круг.
4. Все прямые углы взаимно равны.
5. Если на две прямые падает (пересекает - авт.) третья прямая и делает углы внутренние и по ту же сторону меньше двух прямых (меньше 180° - авт.), то эти две прямые линии, продолженные беспредельно, взаимно встретятся по ту её сторону, по которую углы меньше двух прямых [там же].
Аксиомы и первые четыре постулата не вызывают нареканий. Они сформулированы просто и интуитивно понятны, вряд ли кто-то в своей жизни встречался с чем-то противоположным тому, что утверждает Евклид. А вот пятый постулат сформулирован довольно пространно (хотя и с безусловной ясностью) и напоминает, скорее, теорему, ждущую своего доказательства. Начиная с греческого математика Посидония (I в. до н.э.), "попытки доказать пятый постулат предпринимали очень многие математики: Сабит ибн Корра (IX век), Омар Хайям (1048-1131), Джон Валлис (1616-1703), Джироламо Саккери (1667-1733), Иоганн Ламберт (1728-1777), Адриан Лежандр (1752-1833), Фаркаш Бояи (1777-1857) и многие другие" [6, с. 59]. А некоторые исследователи истории математики склонны считать, что, возможно, " сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат; Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым" [3, с. 17].
В попытках доказать постулат, математики открыли ряд допущений, эквивалентных между собой и пятым постулатом, например, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Попытки доказать постулат напрямую не дали результатов. Тогда математики прибегли к проверенному методу древнегреческих мыслителей: предположить противное и, найдя возникшие в ходе размышлений от этого противоречия здравому смыслу, сказать, что противное неверно, а значит верно его отрицание - исходное утверждение. То есть, надо
взять отрицание пятого постулата (в любой эквивалентной формулировке) и ввести его в аксиоматику Евклида. От этого, полагали учёные, если начать действовать как Евклид, выводя новые теоремы, то эти теоремы войдут в противоречие с исходными нетронутыми аксиомами и постулатами. Но и здесь не было достигнуто особых результатов. Итальянский иезуит и математик Саккери этим методом сначала вроде нашёл "доказательство" пятого постулата, но потом выяснил, что в рассуждениях допущена ошибка, что, однако, не умаляет его статус первопроходца в этом нелёгком деле.
Выход из этой многовековой проблемы нашёл наш соотечественник Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). "В настоящее время установлено, что сам Н. И. Лобачевский сначала был убеждён в справедливости постулата Евклида, и пришёл к мысли построить геометрию на отрицании этого постулата только после долгих размышлений, когда тщательное изучение всех возможных доказательств этого постулата привело его к заключению, что все они ошибочны и что этот постулат доказан быть не может" [4, с. 30-31]. Таким образом, пятый постулат оказался действительно постулатом, а не теоремой. Заменив в аксиоматике Евклида пятый постулат на его отрицание ("через точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а"), Лобачевский смог сконструировать первую иную (за две тысячи лет!) геометрию. Современная философия математики так оценивает гениальную работу Лобачевского: "Правда, теоремы новой геометрии необычны. Вот некоторые из них:
1. В пространстве существует абсолютная единица длины, равная к.
2. Существует треугольник наибольшей площади, его площадь равна пк2.
3. Не существует подобных фигур, в частности - и подобных треугольников.
4. Если разные треугольники с тремя равными сторонами не равны между собой, то их углы не равны.
5. Чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов.
6. Сумма углов треугольника (в радианах) равна п-т, где т - "дефект", причём 0<т<п, площадь треугольника может быть выражена через его дефект, а именно S = к2® ; <...>
7. Для прямоугольных треугольников несправедлива теорема Пифагора, <...> и квадрат гипотенузы больше суммы квадратов катетов" [6, с. 61].
Сразу видно, что в евклидовой геометрии теоремы 3, 6 и 7 не выполняются, а 1, 2, 4 и 5 вообще не имеют смысла. Однако " несмотря на всё своеобразие геометрии Лобачевского, различие между нею и евклидовой обнаруживается лишь на расстояниях, больших по сравнению с «абсолютной длиной» к" [там же]. А длина эта, по Лобачевскому, не меньше, чем 100000 диаметров орбиты Земли! Вот почему геометрию Лобачевского называют ещё космической геометрией. Для расчётов в земных масштабах подходит и евклидова геометрия. Различия между этими двумя геометриями тут просто стираются.
Становление новой геометрии шло очень непросто. Она была непонятна не только простым математикам, но и мэтрам тогдашнего математического мира. "В 18З2 г. работа Лобачевского была послана на отзыв в Академию наук, где попала к знаменитому русскому математику академику М. В. Остроградскому (1801-1861). Остроградский дал отрицательный отзыв. Он отметил тяжёлый стиль изложения (что, кстати, справедливо); указав, что предположение о том, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямых углов, прилагается Лобачевским к вычислению определённых интегралов. Остроадский заметил также, что один из этих интегралов легко получить классическим путём, а другой неверен" [там же]. Учёные того времени просто не заметили, что работа Лобачевского относится к разделу чистой, а не прикладной математики. Но не только в этом заключалась проблема. Новую геометрию необходимо было проверить на непротиворечивость. Что это такое? Вот ответ Г. Вейля: "Система
аксиом должна при всех обстоятельствах быть непротиворечивой, т.е. должна существовать уверенность в том, что путём логических умозаключений из аксиом никогда не могут быть получены, с одной стороны, высказывание а, а с другой (посредством иного доказательства) противоположное высказывание а" [1, с. 50].
Сам Лобачевский пытался доказать непротиворечивость своей геометрии, но получил неубедительные доказательства. Только после его смерти к новой геометрии у математиков начал проявляться интерес. За автора непротиворечивость этой геометрии доказал в 1868 году итальянский математик Э. Бельтрами, а в 1871 году - немецкий математик Ф. Клейн. Так новая нестандартная, "Воображаемая геометрия", наконец, получила право на существование наравне с евклидовой.
Когда в 1829 году Лобачевский пришёл к выводу, что доказательство пятого постулата невозможно, в немецком городке Ганновере подрастал мальчик, чьё имя в будущем станет рядом с именем великого русского геометра. Это был Бернгард Риман (1826-1866). Риман, подобно Лобачевскому, создал свою геометрию, позже названную в его честь. В геометрии Римана заменены уже два постулата Евклида. Первый постулат "любые две точки можно соединить единственной прямой" заменяется на "существуют точки, через которые можно провести бесчисленное множество не совпадающих между собой прямых". А пятый постулат заменяется на "сумма углов треугольника больше двух прямых", то есть больше 180°. Какие же теоремы можно вывести из этой новой аксиоматики? Процитируем пособие по философии математики: "Вот некоторые из теорем геометрии Римана:
1. Параллельных прямых не существует. Любые две прямые пересекаются в двух точках, расстояние между которыми конечно.
2. Не существует подобных фигур. Если у двух треугольников не равны стороны, то не могут быть равны и углы.
3. Теорема Пифагора несправедлива. Квадрат гипотенузы меньше суммы квадратов катетов.
4. Сумма углов треугольника (в радианах) равна п+е, где е>0; сумма углов тем больше, чем больше площадь треугольника. Площадь треугольника может быть выражена формулой: S = X 2е , где £ - некоторая абсолютная единица длины.
5. Существует треугольник наибольшей площади" [6, с. 71].
Сравнивая списки теорем из геометрии Лобачевского и Римана, можно заметить между ними, тем не менее, некоторое сходство.
Если мы представим, что поверхность Земли сферическая, то меридианы (геодезические) - это и будут прямые линии этой поверхности. Тогда меридианы-"прямые" пересекаются в двух точках (на двух полюсах) сферы, и через полюса их проходит бесчисленное множество. Вот такова наглядная интерпретация геометрии Римана.
Важный вывод римановой геометрии - пространство неограниченное, но конечное. Вот что писал сам Риман: " При распространении пространственных построений и направлений неизмеримо большого следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяжённости, второе - метрическое свойство. То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие, является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира; в полном согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, и производится геометрические построения в поисках тех или иных объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неогра ниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства: напротив, если допустим
независимость тел от места их нахождения, т.е. припишем пространству постоянную меру кривизны, то придётся допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной" [8, с. 290].
Как и для геометрии Лобачевского, для геометрии Римана было установлено, что она столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. Более того, Риман смог примирить все три геометрии, из его исследований вытекает " возможность существования многих неевклидовых геометрий; простейшими из них являются геометрии с постоянной кривизной пространства; если кривизна меньше нуля, то приходим к геометрии Лобачевского, если кривизна равна нулю - к геометрии Евклида, если кривизна положительна - к геометрии Римана" [6, с. 72].
Следует отметить, что уже после возникновения неевклидовых геометрий сама геометрия Евклида была пересмотрена, если можно так сказать, переаксиоматизирована. Спустя почти 2200 лет она в первоначальном варианте перестала казаться математикам стройной и безупречной, так как допускала в себе порой чисто интуитивные утверждения, не имеющие логической строгой обоснованности, а в её аксиоматике усмотрели неполноту. Необходимо было создать для неё новую аксиоматику, то есть, фактически, проделать евклидову работу заново. За это тяжёлое, но почётное и нужное дело взялся мэтр геометров, великий немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943), опубликовавший в 1899 году книгу "Основания геометрии", после которой качественно новая аксиоматика справедливо стала называться аксиоматикой Евклида-Гильберта. В статье "Давид Гильберт и его математические труды" другой выдающийся немецкий математик и философ математики Герман Вейль говорит об этой математической проблеме так: "Греки представляли себе геометрию как дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Этой программы придерживались как Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон и его рассуждения не содержат логических пробелов. Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от такого подхода. Всё, что нам надо знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы, каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными (и по необходимости неполными) определениями. Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало реальное пространство физического мира. Однако в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны; они служат лишь предположениями, из которых выводятся логические следствия" [7, с. 334]. Как уже отмечалось выше, достижением новой геометрии перед старой стали её окончательное абстрагирование от физического мира и введение в её аксиоматику аксиомы полноты (акс. V2): "Элементы (точки, прямые, плоскости) геометрии образуют систему вещей, которая, при условии сохранения всех указанных выше аксиом, не допускает никакого расширения, т.е. к системе точек, прямых, плоскостей невозможно присоединить другую систему вещей так, чтоб в новой расширенной системе были по-прежнему удовлетворены вместе все аксиомы I-IV, V'¡" [2, с. 20]. Введение аксиом непрерывности (V группа) окончательно развеяло былой физикоатомистический характер геометрии Евклида, сделало её континуальной, а введение аксиом движения (III группа) - динамичной. Сегодня в геометрии выделяют движения I рода (поворот, параллельный перенос) и движения II рода (осевая и скользящая симметрии). Трудами Гильберта на давний вопрос Зенона, существует ли движение, для абстрактного мира геометрии был дан положительный ответ. В старой геометрии Евклида "равенство геометрических величин и фигур определяется с помощью движения. Между тем само понятие движения у Евклида не определено, и свойства движения ни в каких аксиомах не перечислены" [3, с. 12]. Гильберт ликвидировал эту неполноту.
Таким образом, разрешение парадоксов евклидовой геометрии произошло не только в геометриях Лобачевского и Римана, но и в самой евклидовой геометрии при прямом участии Гильберта. Новая система аксиом была признана полной, хотя её непротиворечивость доказать оказалось невозможно. Просто геометрия Евклида-Гильберта столь же непротиворечива, как и альтернативные неевклидовы геометрии. Надо так же отметить, что устранение неполноты в геометрии Евклида нашло своё логическое завершение в конце XIX - начале XX веков, первые же подозрения о неполноте возникли гораздо раньше, ещё у его современников: " Некоторые из недостатков евклидовых «Начал» были замечены учёными древности. Список геометрических постулатов был, в частности, расширен Архимедом, который в теории измерения длин, площадей и объёмов существенно завершил изложение Евклида" [там же].
Геометрия, как часть математики, имеет одной из своих главных задач описание окружающего мира либо непосредственно, либо через буферные математизированные теории частных естественнонаучных дисциплин. Достаточно долго в среде математически образованных людей назревал вопрос, получивший своё разрешение в 70-х годах XX века. Это, так сказать, вопрос приоритета геометрии в описании объектов Природы, вопрос приоритета той или иной геометрии в научной программе геометризации Мира. Впервые его поставили в начале XX века немецкий математик Феликс Хаусдорф (18681942) и русский математик Абрам Безикович (1891-1970). Проблема в том, что геометрии Евклида, Евклида-Гильберта, Лобачевского и Римана являются фактически непригодными для описания целого ряда объектов, имеющих иррегулярную самоподобную структуру. Примеров таких естественно существующих объектов можно привести много: формы горных хребтов, облаков, причудливые поверхности выветривания скал, береговые линии (по большому счету, с попыток после Второй Мировой войны измерить длину береговой линии Британии английским физиком Льюисом Ричардсоном, а затем и Мандельбротом, всё и началось) и участки суши, молнии, ветвящиеся структуры растений, кровеносные системы животных, хлопья и пылинки, русла рек, прожилки и трещины в камнях, формы брызг воды, морозные узоры, форма пламени и пр. Более того, в конце XIX - начале XX века в математике были открыты такие геометрические объекты, которые не вписывались в классическую теорию и получили название математических монстров.
Всё это объекты особой природы, которые нельзя подогнать под грубые рамки той же евклидовой или любой другой классической геометрии: их аксиоматики
принципиально неполны, неспецифичны, чтобы можно было через них рассматривать подобные объекты. Тут простой заменой одного-двух постулатов уже не обойтись! Для описания Природы нужна иная, специальная геометрия, которой пользуется сама Природа, а не та умозрительная геометрия, которую создал ум человека. " Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин - её неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовёшь гладкой, а путь молнии - прямолинейным.
В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами (евклидовым в данной работе мы будем называть всё, что относится к обычной геометрии) Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач" [5, с. 13]. Это слова математика и основоположника фрактальной геометрии (геометрии самоподобных структур) Бенуа Мандельброта. Действительно, живые и неживые объекты Природы созданы ею с высочайшей степенью изящества. Природа скорее бережно ваяет тонкой кистью, чем рубит топором. Человек стремится познать этот мир, и чтобы этого добиться,
ему необходимо познать тонкую и изящную геометрию Природы, а не оставаться рабом классических геометрических парадигм. В рамках истории развития геометрии это качественно новая мысль, которой самой не больше 40 лет, а её теоретическим основам -не более века. Здесь уместна такая аналогия. Когда ребёнок маленький, он играет с кубиками, конусами, пирамидками, шариками и кольцами, комбинирует их, строит из них что-то. Но настаёт момент, и он откладывает их в сторону и начинает рисовать картины Природы: животных, растения, пейзажи. Сначала это выглядит грубо и примитивно, но потом, при должном усердии и таланте и по мере взросления он научится рисовать так, как оно видится на самом деле, он приблизится к пониманию геометрии Природы. Всякий мыслящий человек рано или поздно приходит к идее, что есть нечто выше той обычной геометрии, которую он изучал в школе. Уже пришло время, когда геометрам пора "повзрослеть", отложить в сторону грубые и примитивные фигуры классической геометрии, перестать спорить, какая геометрия лучше и обратить свой взор на улицу, где за окном раскинулись покрытые лесом горы, под горой петляет река, а по небу бегут кучевые облака, постоянно меняя свою причудливую неповторимую форму, и где всё так далеко от того, о чём учёные мужи от геометрии спорят уже почти 200 лет. Сторонники новой геометрии справедливо подчёркивают, что человек создал свой удобный окружающий вещный мир, опираясь на классическую геометрию, однако, ошибкой будет думать, что и нерукотворный окружающий мир дикой природы, на фоне которого существует искусственный антропогенный мир, также можно полно и определённо выразить лишь классической геометрией.
Фрактальная геометрия вскрыла ещё одну неопределённость, связанную с применением евклидовой геометрии к описанию объектов реального мира. Это старинная проблема геометрического описания береговой линии. Парадокс заключался в том, что чем точнее был измерительный инструмент (то есть, чем меньше выбиралась длина шага измерения), тем длина берега получалась больше по результатам таких измерений [там же, с. 46-58]. Изначально такие расхождения списывались на неточности измерения, однако Мандельброт, сравнивая форму береговой линии с формой открытой в XIX столетии (по другим данным - в начале XX в.) шведским математиком Хельге фон Кохом* кривой, пришёл к выводу, что береговая линия, как и кривая Коха, является фракталом. Кривая Коха, по очертаниям напоминающая снежинку (за что её ещё называют снежинкой Коха), особенна тем, что, будучи ограниченной на плоскости, замкнутой и без самопересечений, имеет, тем не менее, бесконечную длину. Кривая, обладающая такими характеристиками, явно не вписывается в классические геометрические представления. Парадокс кривой Коха Мандельброт экстраполировал на береговую линию [там же, с. 60-62], показав, что длину последней нельзя точно измерить именно потому, что она является фракталом, а не типичной кривой в евклидовой плоскости. Он же, но в рамках своей геометрии, вывел формулу для точного вычисления длины этой кривой [там же]. Как легко видеть, данный физико-геометрический парадокс не мог быть разрешим в рамках любой классической геометрии, начиная с евклидовой, но был решён в неклассической геометрии фракталов.
Более того, важным отличием новой неклассической геометрии является то, что она предлагает математикам оперировать не с целыми размерностями типа 1, 2, 3, ... п, а с размерностями между 1 и 2, 2 и 3, то есть с дробными размерностями, о чём раньше математики не могли помыслить всерьёз.
* Есть, однако, некоторая неопределённость относительно автора этой кривой. Существует мнение, что её первооткрывателем была немецкая женщина, любитель математики Хельга фон Кох, а мужчиной она стала из-за ошибок перевода. В частности, такой позиции придерживается исследователь в области философии и истории математики профессор В.Н. Савченко. Что ж, вполне возможно, ведь разум любителя свободен от научных
догм и открыт для всего нового. В конце концов, ленту (лист) Мёбиуса, по легенде, нечаянно открыла женщина-домработница, служившая у математика, неправильно сшив концы ленты.
Литература
1. Вейль Г. О философии математики: пер. с нем. / Предисл. С. А. Яновской. Вступ. ст. А. П. Юшкевича. Изд. 2-е, стереотипное. - М.: КомКнига, 2005. 128 с.
2. Гильберт Д. Основания геометрии. Петроград: Сеятель, 1923.
3. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 584 с.
4. Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. -М., Л.: Государственное издательство, 1930.
5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.
6. Петров Ю. П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 448 с.
7. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977. 368 с.
8. Риман Б. Сочинения. Пер. с нем. / Под ред. В. Л. Гончарова. - М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
9. Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.
10. Эвклидовыхъ началъ восемь книгъ. Переводъ съ Греческаго 0. Петрушевскаго. Санктпетербургъ, 1819.
