CC BY
21
Физика
УДК 514
DOI 10.21661/r-551656
В.Д. Чемерис, И.А. Чемерис
Прямоугольники геометрии Лобачевского противоречат IV постулату
Аннотация
Представленную статью можно считать окончанием доказательства V постулата Евклида, но главная её задача всё же - показать, что отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида гораздо существеннее, чем это принято было считать до настоящего времени.
I
Ключевые слова: прямоугольники, параллельные прямые линии, пятый постулат Евклида, геометрия Лобачевского, одиннадцатая аксиома Евклида.
V.D. Chemeris, I.A.Chemeris
Rectangles in Lobachevskian Geometry Contradict Euclid's 4th Postulate
Abstract
This article can be considered the final proof of Euclid's 5th postulate. Nevertheless, its main purpose is to show that the difference between Lobachevskian and Euclidean geometry is much more significant than is commonly believed to date.
I Keywords: rectangles, parallel straight lines, Euclid's fifth postulate, Lobachevskian geometry, Euclid's eleventh axiom.
: 180° Г5; <
"аже элементарные фигуры в геометрии Лобачевского получаются крайне необычными. _В треугольниках сумма углов всегда меньше '180° [5, с. 8-29], а прямоугольники с четырьмя углами невозможны. Пятиугольные, семиугольные, сто-у-гольные, наоборот, - обычное дело. Методика получения равносторонних прямоугольников с количеством углов, превышающим 4, была предложена нами в предыдущей статье [7, с. 60-61].
Выходит, если геометрия Евклида неверна, а верна геометрия Лобачевского, то могут существовать прямоугольники с любым количеством углов, начиная с 5.
Нам для достижения поставленной цели потребуется пятиугольный прямоугольник. Обозначим его вершины: A, B, С, D и E (рис. а).
Продолжим луч AB и построим на нём перпендикуляр B1G1, расположенный дальше от А, чем BC (рис. б). Этот перпендикуляр и прямая DE находятся по разные стороны от прямой BC, и оба параллельны BC. Следовательно, между собой они не могут пересекаться. Можно уверенно полагать, что прямая B1G1 параллельна прямой DE.
Учитывая, что B1G1 параллельна DE, можно утверждать о существовании между ними общего перпендикуляра [4, с. 51]. Общий перпендикуляр - это перпендикуляр, образующий прямые углы с обеими параллельными линиями. В данном случае с B1G1 и с DE. Обозначим его Ср.
Важно знать, где проходит перпендикуляр С р. Например, он не должен совпадать с СР. Иначе мы получим классический четырёхугольный прямоугольник BCC1B1 (рис. в) и, в силу этого, подтверждение справедливости только одной геометрии - геометрии Евклида.
Сумма углов в четырёхугольном прямоугольнике равна 360о. Четырёхугольник легко делится на два треугольника. Сумма углов каждого из полученных двух треугольников равна удвоенной величине прямого угла, так как, если бы в одном треугольнике она оказалась меньше двух прямых, то в другом она должна бы была быть больше двух прямых. Что противоречит первой теореме Лежандра-Саккери [2, с. 169]. А так как есть треугольники с суммой углов равной двум прямым углам, то справедлива геометрия Евклида. Это доказывает вторая теорема Лежандра-Саккери: «Если существует треугольник ..., сумма внутренних углов которого равна 2d ^ - величина прямого угла - пояснение авторов), то сумма внутренних углов любого треугольника . равна 2d» [2, с. 176]. Выражение же - сумма углов треугольника равна двум прямым углам - равносильно У-му Постулату Евклида [3, с. 18-19].
Итак, С1р1 не может совпадать с Ср, чтобы не выходить за границы геометрии Лобачевского.
Можно уверенно утверждать, что С1р1 проходит где-то возле СР, так как фигура АВ1С1Р1Е аналогична
Physics
Рис. 1. Пятиугольные прямоугольники геометрии Лобачевского противоречат IV постулату Евклида
а) пятиугольный прямоугольник ABCDE; б) перпендикуляр к лучу АВ; в) вариант совпадения общего перпендикуляра С1Р1 с CD; г) вариант прохождения общего перпендикуляра С1Р правее отрезка ВС; д) вариант пересечения общим перпендикуляром Ср1 отрезка ВС; е) следующий перпендикуляр В2О2 к лучу АВ и общий перпендикуляр C2D2 между В2О2 и DE; ж) перпендикуляр ВО^ у которого совпадает основание с основанием общего перпендикуляра С Р .
Г У Г п п
(Все линии на схемах условно прямые.)
ABCDE. При этом пересечение C1D1 с CD не допустимо, так как C1D1 перпендикулярна DE и CD перпендикулярна DE. Они параллельны и, следовательно, не могут пересекаться.
Допустим тогда, что C1D1 находится за CD (Рис. г). В этом случае, продолжив, например, BC до пересечения с Cpi (точка F), получим два четырёхугольника BB1C]F и CDD р. Общая сумма углов этих четырёхугольников 720о. Но для выполнения условий неевклидовой геометрии каждый четырёхугольник, как было доказано немного выше, должен быть меньше 360о, то есть сумма всех углов никак не может быть равной 720о. Она должна быть меньше этой величины. Вывод. Второй вариант тоже не приемлем для геометрии Лобачевского.
Из всех возможных вариантов кажется только один непротиворечащим геометрии Лобачевского - общий перпендикуляр C1D1 пересекает отрезок BC (рис. д). Но это только на первый взгляд.
Построим перпендикуляр В2О2, ещё более удалённый от А (рис. е). Он, по аналогичным причинам, как и Врр тоже параллелен DE. Это значит, что между В2О2 и DE обязательно должен быть общий перпендикуляр. Общий перпендикуляр С2р2 должен оказаться ещё ближе к АВ, чем Срг В перспективе - чем дальше будет основание перпендикуляра В О , от А, тем ближе окажется общий перпендикуляр С Р к АВ. Заметим, что удалённость перпендикуляра В О от точки А ничем не ограничена. Это значит, что ничем не ограничено приближение общего перпендикуляра С Р к АВ, поэтому нам ничто не мешает найти перпендикуляр BnGn, имеющий общий перпендикуляр С Р с DE, такой, что основание С общего перпендикуляра совпадало бы с основанием перпендикуляра В О (рис. ж). Вп совпадёт с С .
В основании любого перпендикуляра лежит прямой угол, следовательно, после построения ВО и СР , бу-
^ А п п п гр ^
дут получены прямые углы АВ О и Р С О , имеющие
п п п п п
Interactive science | 6 (52) • 2020
55
Физика
общую вершину Вп (С) и общую сторону ВОп (СОп). По IV Постулату Евклида [6, с. 14] о равенстве прямых углов (принято считать, что Постулат справедлив и в геометрии Лобачевского [1, с. 6]) должно было получиться, что другие стороны углов тоже должны совпадать. Но на деле это не так. АВп, ну никак не хочет совпадать с СР. Между ними лежит четырёхугольник АВ Р Е, имеющий достаточно чёткие очертания, и что самое важное: у него есть площадь. Площадь эта не равна нулю, так как она вполне сопоставима с площадями уже других имеющихся фигур - ABCDE, АВ,С,Р Е, АВ,СрЕ, АВ С Р Е.
111 2 2 2 т т т
Итак, неравенство прямых углов АВ О и РС О
п п п п
противоречит IV Постулату Евклида, поэтому существование фигуры АВ РЕ и всех пятиугольных прямоугольников невозможно.
Но наши прямоугольники строились на утверждениях геометрии Лобачевского [7, с. 60-61]:
- сумма углов в треугольнике меньше 180о [5, с. 28-29];
- сумма углов в треугольнике уменьшается с увеличением площади [4, с. 60].
Следовательно, эти утверждения тоже неверны. И в действительности оказывается, что в треугольниках сумма углов не зависят от площади треугольника, то есть углы не могут уменьшаться при увеличении площади треугольника. А так как существуют разновеликие треугольники с постоянными суммами углов, то
сумма углов в треугольнике - 180о, и справедлива геометрия Евклида.
До настоящего времени принято было считать, что аксиоматики геометрий Лобачевского и Евклида отличаются только одним У Постулатом (Х1-ой Аксиомой). В действительности это отличие, надеемся мы убедительно это доказали, гораздо шире. Геометрия Лобачевского противоречит не V, а IVПостулату Евклида.
IV Постулат крайне прост - «И что все прямые углы равны между собой» [6, с. 14]. Даже кажется: была ли в нём необходимость? Но именно своей гениальной простотой, по нашему мнению, этот Постулат подчёркивает своё главенствующее место во всей Евклидовой геометрии.
Отказавшись же от него, от IV Постулата, можно обрести представления о пространствах, вполне возможных, но совершенно не похожих на окружающую нас Вселенную. Кстати, геометрия Лобачевского в открывающихся новых возможностях приобретает наконец своё законное лидирующее место, как важнейший инструмент для анализа пространств неоднородных, с хаотично изменяющимися свойствами. Обсуждение истинного места геометрии Лобачевского выходит за рамки этой статьи.
Пока же остановимся на том, что V Постулат является следствием Ш-го, то есть из аксиоматики его можно без колебаний переносить в доказательную часть геометрии Евклида как вполне обоснованную теорему.
Литература
1. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского / Л.С. Атанасян. - М.: Лаборатория знаний, 2017. - 467 с.
2. Бахвалов С.В. Основания геометрии (главы высшей геометрии): учебное пособие для вузов / С.В. Бахвалов, В.П. Иваницкая. - Ч. 1. - М.: Высшая школа, 1972. - 280 с.
3. Иовлев Н.Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского / Н.Н. Иовлев; под ред. А.М. Воронца. - М.; Л.: Госиздат, 1930. - 67 с.
4. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии: пособие для учителей средней школы / Б.В. Кутузов. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1950. - 127 с.
5. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии / Н.И. Лобачевский; под ред. П.С. Александрова, Б.Н. Делоне, П.К. Рашевского [и др.]. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1956. - 596 с.
6. Начала Евклида. Книги I-VI. - М.; Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 447 с.
7. Чемерис В.Д. Прямоугольники в геометрии Лобачевского / В.Д. Чемерис, И.А. Чемерис // Интерактивная Еаука. - 2020. - №5 (51). - С. 60-61.
References
1. Atanasian, L. S. (2017). Geometriia Lobachevskogo., 467. M.: Laboratoriia znanii.
2. Bakhvalov, S. V., & Ivanitskaia, V P. (1972). Osnovaniia geometrii (glavy vysshei geometrii)., 280. M.: Vysshaia shkola.
3. Iovlev, N. N. (1930). Vvedenie v elementarnuiu geometriiu i trigonometriiu Lobachevskogo., 67. M.; L.: Gosizdat.
4. Kutuzov, B. V (1950). Geometriia Lobachevskogo i elementy osnovanii geometrii., 127. M.: Gos. uchebno-pedagogicheskoe izd-vo Ministerstva prosveshcheniia RSFSR.
5. Lobachevskii, N. I. (1956). Izbrannye trudy po geometrii., 596. M.: Izd-vo Akademii nauk SSSR.
6. (1948). Nachala Evklida. Knigi I-VI., 447. M.: Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoi literatury; L.
7. Chemeris, V D., & Chemeris, I. A. (2020). Rectangles in Lobachevsky Geometry. Interactive science, 5 (51), 60-61.
