ПРЯМОУГОЛЬНИКИ В ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физика

УДК 514.132

DOI 10.21661/r-541066

В.Д. Чемерис, И.А. Чемерис

Прямоугольники в геометрии Лобачевского

Аннотация

Если заменить V Постулат Евклида на Постулат Лобачевского, то можно получить прямоугольники с количеством углов более 4-х. В статье описана методика построения таких прямоугольников.

I

Ключевые слова: прямоугольники, параллельные прямые линии, Пятый постулат Евклида, геометрия Лобачевского, Одиннадцатая аксиома Евклида.

V.D. Chemeris, I.A.Chemeris

Rectangles in Lobachevsky Geometry

Abstract

If we replace the V Postulate of Euclid with the Postulate of Lobachevsky, then we can get rectangles with more than 4 angles. The article describes the methodology for constructing such rectangles.

I Keywords: rectangles, parallel straight lines, Euclid's fifth postulate, Lobachevsky geometry, Euclid's eleventh axiom.

Классическая геометрия Евклида достаточно хорошо ложится на наши представления об окружающем мире. Совсем по-другому обстоит дело с альтернативной геометрией - с геометрией Лобачевского. Фигуры в ней получаются часто экзотические и даже нереалистичные. Николай Иванович хорошо понимал необычность своей геометрии и именовал её «воображаемой» [1, с. 313].

Прямоугольники того вида, к которому мы привыкли в геометрии Евклида, для геометрии Лобачевского невозможны, так как сумма углов любого четырёхугольника в этой геометрии всегда меньше 360о. Ведь любой четырёхугольник легко делится на два треугольника. А, хорошо известно, сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше 180° [1, с. 28-29]. Сумма углов двух треугольников, соответственно, не может быть равной 360о. В силу указанных выше обстоятельств, это должно быть характерно и для четырёхугольника. В четырёхугольнике Лобачевского сумма углов всегда меньше 360о.

В классическом прямоугольнике все четыре угла прямые (90о). Следовательно, сумма этих углов никак не может соответствовать «воображаемой» геометрии и быть меньше 360о.

Итак, прямоугольники обычного вида в «воображаемой» геометрии не существуют. Но это всего лишь один вид. А ведь прямоугольники - это целый класс. И вот почти всё многообразие этого класса приходится на геометрию Лобачевского.

Справедливость этого утверждения крайне подозрительна, поэтому мы начнём издалека - с треугольников.

Возьмём два равнобедренных треугольника, имеющих равные углы при вершинах (Рис. 1а). Угол при основании малого треугольника обозначим ар большого - а2, а площади соответственно Sl и S2.

Суммы углов этих треугольников: g + а1 + а1 ; g + а 2 + а2.

Выполним наложение одного треугольника на другой (Рис. 1 б). Результат в прямом смысле очевиден:

§1 <

Рис. 1. Равнобедренныеравновершинные треугольники: а) два равнобедренных треугольника; б) наложение

треугольников; в) построение равнобедренных равновершинных треугольников на продолжениях боковых сторон

60

Интерактивная наука | 5 (51) • 2020

Physics

Рис. 2. Построение шестиугольного прямоугольника в геометрии Лобачевского: а) равнобедренный треугольник с величиной угла при вершине кратной полному углу и углами при основании больше половины прямого угла, б) равнобедренный треугольник с тем же углом при вершине и с величиной углов при основании равной 45o, в) шесть равных равнобедренных треугольников с общей вершиной, г) шестиугольный прямоугольник

Известно, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника, имеющего меньшую площадь, больше, чем сумма углов треугольника, имеющего большую площадь [2, с. 60]. Следовательно:

g + а1 + а1 > g + а2 + ау а1 > а2.

Итак, угол при основании большего треугольника оказался меньше, чем угол при основании меньшего треугольника. Можно полагать, что, чем дальше будет основание от вершины, тем больше будет площадь, и тем меньше будет угол при основании (рис. 1в):

а1 > а2 > аз > а4.

Важно отметить, что увеличение размеров треугольника ничем не ограничивается до бесконечности, и, соответственно полученным результатам, угол при основании может уменьшаться и уменьшаться вплоть до нуля. И даже, как полагает геометрия Лобачевского, основание может совсем оторваться от боковых сторон. Но до такой крайности нам доходить не потребуется.

Построим равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине (рис. 2а). Особенностью этого угла является то, что его величина кратна полному углу (360о). Кроме того, очень важно в выбранном треугольнике, что угол в основании больше половины прямого угла (>45о).

Если отодвигать от вершины основание, то угол при основании будет уменьшаться и уменьшаться, что было доказано выше. Выходит, основание можно отодвинуть настолько, что угол при основании станет равным 45° (рис. 2б).

На этом остановимся. Равнобедренный треугольник с углом при основании в половину прямого - это именно то, что и требовалось получить. Теперь займёмся, наконец, построением прямоугольника.

К полученному треугольнику приложим последовательно ещё пять таких же, так, чтобы у всех шести совпадали вершины (рис. 2в). Последний треугольник приложится своей боковой стороной к первому. Таким образом, из шести равных равнобедренных треугольников сложился шестиугольник. Углы при вершинах этого шестиугольника равны удвоенной величине угла при основании равнобедренного треугольника, то есть 2 х 45° = 90°. Получается, что углы при вершинах шестиугольника прямые. Таким образом, можно утверждать, что полученная фигура является шестиугольным прямоугольником (рис. 2г).

Аналогичным способом в геометрии Лобачевского можно построить прямоугольники с любым количеством углов, начиная с пяти.

«Воображаемая» геометрия допускает существование шестиугольных, семиугольных, десятиугольных и даже сто-угольных прямоугольников. И, что совсем непостижимо, бесконечно-угольных. Всё это так фанта-смогорично, но, тем не менее, как показывает цепочка рассуждений, логически вытекает из оснований геометрии Лобачевского.

Почти всё многообразие прямоугольников приходится на геометрию Лобачевского. На геометрию Евклида приходится только один вид - четырёхугольный. По-видимому, оставшиеся три - треугольные, двуугольные и одноугольные приходятся на геометрию Римана.

Надеюсь, мы достаточно убедительно показали, что в геометрии Лобачевского, альтернативной геометрии Евклида, допускается существование прямоугольников с количеством углов, превышающих 4.

Литература

1. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии // ред. Академика П.С. Александрова, Б.Н. Делоне, П.К.Ра-шевского; ком. В.Ф. Кагана, А.П. Норлена, Б.Л. Лаптева [и др.]; ред. изд-ва К.П. Гуров; техн. Ред. А.А. Киселева. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1956. - 596 с.

2. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии: пособие для учителей средней школы. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1950. - 127 с.

References

1. Lobachevskii, N. I. (1956). Izbrannye trudy po geometrii. red. Akademika P.S. Aleksandrova, B.N. Delone, P.K.Rashevskogo; kom. B.Ph. Kagana, A.P. Norlena, B.L. Lapteva [i dr.]; red. izd-va K.P. tekhn. Red. A.A. Kiseleva, 596. Gurov;; M.: Izd-vo Akademii nauk SSSR.

2. Kutuzov, B. V (1950). Geometriia Lobachevskogo i elementy osnovanii geometrii., 127. RSFSR.

Interactive science | 5 (51) • 2020

61