CC BY
22
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 20. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 2010. № 2
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ РАЗМЫШЛЕНИЯ
КУДА ВЕДЕТ ТРЕТИЙ ТИП ОРИЕНТИРОВКИ?
(история организации учебного исследования школьников
по элементарной геометрии)
Т.Ю. Веселяева
(кафедра алгебры и геометрии Северо-Восточного государственного университета;
e-mail: tatyanaves@mail.ru)
В статье предлагается общий метод классификации многоугольников по числу их симметрий, пользуясь которым, школьники имеют возможность построить ориентировочную основу действия третьего типа по П.Я. Гальперину* — самостоятельно сформулировать определения разных видов многоугольников. Описывается опыт экспериментальной работы с учениками восьмого класса, свидетельствующий, в частности, о том, что построения ориентировок третьего типа создают предпосылки творческой деятельности учащихся.
Ключевые слова: третий тип ориентировки, учебное исследование, элементарная геометрия, классификация многоугольников.
Геометрия в школьных учебниках традиционно излагается по мотивам "Начал" Евклида. С древних времен сохранился и репродуктивный стиль обучения геометрии: ученики воспроизводят определения и доказательства теорем, приведенные в учебнике. Учителя, как правило, считают, что евклидова геометрия давно стала завершенным, построенным знанием — образцом совершенной логической строгости, а воспроизведение этих образцов необходимо для развития логической культуры школьников. Отказ в школьных учебниках от аксиоматики лишил геометрические доказательства их фундамента. Сами же доказательства традиционно остались по сути прежними. И очень часто совершенно непонятно, почему ход рассуждений, приведенных в учебниках, именно такой. Попытки найти ориентиры, необходимые для доказательства геометрических теорем, приводят к "признакам", которые, по сути, являются формулировками аксиом Евклида [1:128]. Но насколько полезно школьникам воспроизведение формализованных построений геометрии? М. Вертгеймер считал, что чисто логические построения в геометрии, освобожденные от всяких
* Различные типы ориентировок (типы построений ориентировочной основы действия) были выделены П.Я. Гальпериным в его теории планомерного (поэтапного) формирования умственных действий и понятий.
следов интуиции и имеющие основания на определенном этапе развития этой науки (когда "анализировались вопросы валидности идеальных, аксиоматических систем, в которых конкретные теоремы выводятся только путем применения к аксиомам силлогистических и сходных формальных операций" [2:64]), лишают мышление тех свойств, которые играют важную роль в действительно продуктивных процессах. На примере вывода формулы площади параллелограмма он убедительно доказывает, что выучивание школьниками даже очень простых, но предложенных им в готовой форме доказательств не означает понимания ими последних [2:39]. Воспроизведение школьниками определений геометрических понятий также не означает, что эти определения будут верно ими применяться. Н.Ф. Талызина описывает ситуацию, когда ученица из верно сформулированных ею определений равнобедренного и равностороннего треугольников делает вывод: равносторонний треугольник не является равнобедренным, добавляя в ориентировочную основу действия условие на третью сторону (не равна первым двум), хотя это условие и не содержится в определении равнобедренного треугольника [3:118]. Современные школьники уже попадают в плен "порочного круга": "Равнобедренный треугольник — это треугольник, боковые стороны которого равны. Боковыми сторонами называются стороны равнобедренного треугольника, которые равны". А после определения: "Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол", по аналогии формулируют такое "определение" остроугольного треугольника: "Треугольник называется остроугольным, если у него есть острый угол".
Какой же способ изучения геометрии предложить школьникам? Какие доказательства станут для них естественными? Какие определения будут верно ими применяться? Видимо, те, которые будут сформулированы ими самостоятельно при учебном исследовании. Для организации такого исследования автору необходимо было найти общий метод, пользуясь которым школьники могли бы составить ориентировочную основу действия третьего типа по П.Я. Гальперину, имеющую полный состав, представленную в общем виде и характерную для целого класса явлений [3:129]. В математике определения часто возникают из классификаций. К примеру, осознание основания, по которому проведена классификация треугольников на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (вид наибольшего угла), позволяет сформулировать единообразные определения этих видов треугольников: треугольник называется остроугольным (прямоугольным, тупоугольным), если его наибольший угол острый (прямой, тупой). Определения, следующие из определенной классификации, можно было бы назвать "пучком" определений. Поэтому ориентировочная основа действия получается обобщенной. Эквивалентность этих определений классическим обеспечивает полноту построенной ориентировочной основы действия.
Из какой же классификации следует определение равнобедренного треугольника? И можно ли назвать традиционное его определение совершенным, если его не могут усвоить поколения школьников? Б. Спиноза так пишет о совершенном определении: "Чтобы можно было назвать определение совершенным, оно должно будет выразить внутреннюю сущность вещи и не допускать того, чтобы мы взяли вместо нее какие-нибудь другие свойства вещи... чтобы из него (определения) можно было вывести все свойства вещи." [4:152]. Что же подразумевает Спиноза под внутренней сущностью вещи? Читаем дальше: "Сущность и активность вещи тождественны". Ищем "активности" в геометрии. Очевидно — это преобразования геометрических фигур. В частности, преобразования, переводящие фигуру в себя, — симметрии фигуры. Идея построения геометрии на основе понятия симметрии в математике известна. В аксиоматике Ф. Бахмана само понятие симметрии выбрано одним из неопределяемых [5]. В школе же геометрия, бесспорно, должна строиться синтетически, изначально используя лишь представления школьников о симметриях (самосовмещениях) геометрических фигур. Эти представления можно сформировать уже в дошкольном возрасте, предлагая детям сделать материальные действия с листом бумаги.
Классифицируя треугольники по числу симметрий, получим два их вида: равнобедренный (имеющий, по крайней мере, одну ось симметрии) и равносторонний (имеющий, по крайней мере, две оси симметрии). В соответствии с этой классификацией формулируются и определения: треугольник называется равнобедренным (равносторонним), если он имеет, по крайней мере, одну ось (две оси) симметрии. Из этих определений естественным образом следуют все свойства равнобедренного и равностороннего треугольников. В частности, доказывается, что равносторонний треугольник обладает третьей осью симметрии.
Методом теоретико-экспериментального моделирования было спланировано учебное исследование для учеников восьмого класса [6]. Предполагалось, что при формулировке определений у учеников возникнет необходимость во введении обозначений, в определении других понятий, используемых в этом определении. Тем самым будет моделироваться деятельность математика по построению цепочки определений. Планировалось, что школьники докажут эквивалентность сформулированных ими определений классически (за исключением определения трапеции), установят родовидовые связи между различными видами четырехугольников и проиллюстрируют их схемой. Далее воображаемым ученикам предлагалось из сформулированных ими определений геометрических фигур вывести свойства этих фигур. Намечалось сравнить доказательства свойств геометрических фигур, вытекающие из определений, приведенных в учебнике, и доказательства, следующие из определений с использованием сим-
2 ВМУ, педагогическое образование, № 2
метрии. Вывод о преимуществах пути построения геометрии на основе понятия симметрии должен следовать из простоты доказательств.
В результате экспериментальной работы доказано, что многие из намеченных рассуждений вполне доступны учащимся восьмого класса. Формирующий эксперимент проводился в течение трех дней в московской Школе развития № 1133 с двумя учениками восьмого класса и на протяжении трех месяцев — в магаданской школе № 29, также с двумя учениками восьмого класса. Эксперимент выявил ошибки теоретических построений, породил новые идеи и доказал возможность школьников делать не только субъективные, но и объективные открытия.
Для учителя, организующего подобное учебное исследование школьников, желательно знание теории групп. Этот раздел алгебры, как правило, плохо осваивается будущими учителями, поскольку связей теории групп со школьным курсом математики они не видят. А такая связь есть. Например, правильный треугольник является частным случаем равнобедренного, а группа симметрий последнего является подгруппой группы симметрий правильного треугольника. Группы симметрий параллелограмма, прямоугольника и ромба являются подгруппами группы симметрий квадрата. И для того чтобы помочь своим ученикам построить классификацию четырехугольников по числу их симметрий, учителю хорошо бы самому "увидеть сверху" эту классификацию, применяя теорему Лежандра: порядок подгруппы группы является делителем порядка этой группы. Поскольку порядок группы симметрий квадрата равен восьми, порядок его подгрупп не может быть равен трем, пяти, шести или семи. Поэтому четырехугольников с таким числом симметрий заведомо не существует.
Ход рассуждений школьников бывает, как правило, следующий. Пусть четырехугольник самосовмещается, по крайней мере, центральной симметрией. Тогда он является параллелограммом. Пусть четырехугольник симметричен, по крайней мере, относительно одной прямой. Если ни одна из его вершин не принадлежит этой прямой, то они попарно симметричны, стороны, соединяющие эти вершины, перпендикулярны оси симметрии, а значит, параллельны между собой. Если две другие стороны при этом не параллельны, то четырехугольник является равнобокой трапецией и других симметрий, кроме осевой, у него нет. Если же две другие стороны параллельны, то четырехугольник является прямоугольником, он симметричен и относительно другой прямой, перпендикулярной первой, следовательно, обладает и центром симметрии — точкой пересечения осей симметрии. Если хотя бы одна вершина четырехугольника принадлежит его оси симметрии, то две соседние ее вершины не принадлежат оси и, следовательно, симметричны. Четвертая вершина четырехугольника должна при осевой симметрии перейти сама в себя и по-
этому принадлежит оси симметрии. Таким образом, получили четырехугольник, одна пара противоположных вершин которого лежит на оси симметрии, а другая пара симметрична относительно нее. Этот четырехугольник, называемый дельтоидом, несправедливо не упоминается в школьных учебниках геометрии, за исключением учебника И.М. Смирновой и В.А. Смирнова [7]. В отличие от других симметричных четырехугольников, дельтоид, отличный от ромба, может быть выпуклым и невыпуклым (рис. 1). Если дельтоид обладает еще одной осью симметрии, проходящей через другую пару противоположных вершин, то он является ромбом. Классификация четырехугольников по числу их симметрий ведет к переоткрытию дельтоида. Экспериментальные исследования показали, что при ведении учебного исследования дедуктивно переоткрытие дельтоида гарантировано. Такое переоткрытие сделали и студенты третьего курса психологического Рис. 1. Дельтоиды факультета МГУ, и школьные учителя на
занятиях в Магаданском институте усовершенствования учителей, и студенты специальности "Математика" Северо-Восточного государственного университета.
Приступая к перечислению четырехугольников, имеющих, по крайней мере, две симметрии, школьники, как правило, замечают, что ось симметрии четырехугольника может проходить либо через противоположные вершины, либо через середины противоположных сторон. Ранее ими уже был найден четырехугольник, обе оси симметрии которого проходят через противоположные вершины (ромб), и четырехугольник, обе оси симметрии которого проходят через середины противоположных сторон (прямоугольник). Четырехугольник, имеющий, по крайней мере, две разнотипные оси симметрии (ось, проходящую через противоположные вершины, и ось, проходящую через середины противоположных сторон), оказывается квадратом. Этот вывод легко делается школьниками, если им еще до учебного исследования (например, при отборе испытуемых) предлагается решить задачу: минимальным числом действий докажите, что выданный вам лист бумаги — квадратный. С этим листом разрешается сделать материальные действия, но не разрешается пользоваться измерительными инструментами. Перегибая лист бумаги по двум разнотипным осям симметрии, школьники доказывают равенство всех его сторон и всех его углов.
После того как перечислены все возможные симметричные четырехугольники и на основе понятия симметрии сформулированы их определения, ставится задача установления родовидовых связей между различными видами четырехугольников. Приведем фрагмент дикто-
фонной записи эксперимента с учениками восьмого класса московской Школы развития № 1133. Определение равнобокой трапеции у них получилось (как и планировалось) не эквивалентным классическому. По этому определению прямоугольник оказывался частным случаем равнобокой трапеции.
Экспериментатор. А прямоугольник не является частным случаем равнобокой трапеции?
Испытуемый Е.Е. Нет.
Экспериментатор. Почему? Посмотрите на ваше определение! Какое вы дали определение равнобокой трапеции?
Испытуемый Е.Е. (читает) Четырехугольник, у которого есть, по крайней мере, одна ось симметрии и она проходит через середины противоположных сторон, называется равнобокой трапецией.
Экспериментатор. Хорошо. У прямоугольника есть, по крайней мере, одна ось симметрии, которая проходит через середины противоположных сторон? Испытуемый Е.Е. Да, значит неправильное определение. Экспериментатор. Неправильное ДАННОЕ ВАМИ определение? Когда ромб — частный случай дельтоида, это вас не смущает, а когда прямоугольник — частный случай равнобокой трапеции — смущает? Испытуемые (хором). Да, смущает. Экспериментатор. Почему?
Испытуемый Е.Е. У трапеции только две стороны должны быть параллельны. Экспериментатор. В учебнике какое определение трапеции? Испытуемый Е.Е. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны.
Экспериментатор. У прямоугольника две стороны параллельны. Испытуемый Е.Е. У него ПОПАРНО параллельны! Экспериментатор. Ну и что! По крайней мере, две параллельны? Испытуемый Е.Е. А у трапеции ПРОСТО параллельны.
Экспериментатор. Вы уверены, что в учебнике такое определение трапеции?
Испытуемые (хором). Да!
Испытуемый Е.Е. А у Вас есть учебник?
Экспериментатор. Конечно, есть.
Испытуемый К.П. (читает). Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие... не параллельны. Экспериментатор. Вот, оказывается, в определении учебника требуется, чтобы две другие стороны не были параллельны!
Испытуемый Е.Е. Значит, прямоугольник — это не трапеция! А у нас неправильное определение.
Экспериментатор. Или в учебнике неправильное. Испытуемый Е.Е. Нет, у нас неправильное!
Испытуемый К.П. Это у нас неправильное. И вправду же, прямоугольник не должен быть трапецией.
Экспериментатор. Почему? Может быть, авторы учебника ошибаются? Испытуемый Е.Е. Авторы учебника не могут ошибаться!
Испытуемый К.П. Не могут!
Экспериментатор. Надо решить этот вопрос: какое определение лучше. Давайте для этого изобразим схему классификации четырехугольников и посмотрим, при каком определении равнобедренной трапеции схема будет красивее.
В результате была получена схема (рис. 2), отражающая родовидовые связи четырехугольников, определения которых были сформулированы школьниками. Традиционное определение равнобокой трапеции нарушало симметричность этой схемы. И, несмотря на это, школьники категорически не согласились отказаться от традиционного ее определения. В завершающий, третий день эксперимента мы вернулись к анализу двух полученных схем.
Рис. 2. Первая схема родовидовых связей симметричных четырехугольников
Экспериментатор. Как вы решили: надо ли включать множество прямоугольников во множество равнобоких трапеций или нет? Испытуемый К.П. Не хочется автора учебника обижать.
Экспериментатор. Но не авторами школьных учебников введен этот термин. Трапеции были известны еще в Древней Греции. В переводе с греческого трапеция — трапезный столик. А у нас стол больше похож на прямоугольник. Вот этот, например, стол для трапезы годится? Испытуемый К.П. Годится.
Экспериментатор. В чем тогда дело? Может быть, вы боитесь, что читатели запутаются, если будут смотреть и учебник, и вашу работу? Тогда надо те фигуры, которые вы назвали равнобокими трапециями, называть каким-нибудь другим словом.
Испытуемый К.П. (хохочет) ТРАПЕЗОИДЫ!
Экспериментатор. Трапезоиды? Еще предложения есть? Трапезоиды — хорошо?
Испытуемый Е.Е. А зачем вводить слова?
Экспериментатор. Потому что новое понятие у нас получается, которое должно включать в себя и равнобокие трапеции, и прямоугольники. Испытуемый Е.Е. Ну. ладно.
Экспериментатор. Где же на вашей схеме будут трапезоиды? Испытуемые составили схему, показанную на рис. 3.
Рис. 3. Вторая схема родовидовых связей симметричных четырехугольников
Экспериментатор. Теперь нам надо зафиксировать определение трапезоида. Испытуемый Е.Е. (записывает) Трапезоидом называется четырехугольник, имеющий, по крайней мере, одну ось симметрии, проходящую через середины противоположных сторон.
Экспериментатор. А еще лучше написать: НАЗОВЕМ. Мы же ВВОДИМ этот термин. По-хорошему, надо еще посмотреть, не использовал ли кто-нибудь этот термин в геометрии в другом смысле. Например, в Интернете набрать в поисковой строке: "трапезоид".
Таким образом, учениками восьмого класса московской Школы развития № 1133 было введено объективное новое понятие: "трапезоид".
Магаданских школьников не смутило, что полученное ими определение равнобочной трапеции было не эквивалентно классическому. Они заявили, что это определение лучше, чем определение в учебнике. И все попытки экспериментатора убедить их не отказываться от клас-
сического определения с целью вывести на переоткрытие трапезоида были тщетны. Ими было получено другое объективно новое знание. Они усилили обобщение, проведя начальные рассуждения для произвольного многоугольника, и классифицировали симметричные пятиугольники и шестиугольники. Для облегчения формулировок определений ими были введены понятия серединной и биссекторной оси симметрии многоугольника. Приведем фрагмент текста работы магаданских школьников, подготовленной к городской конференции.
Рассмотрим всевозможные случаи расположения вершин многоугольника относительно его оси симметрии. Пусть ни одна из вершин этого многоугольника не лежит на оси. Тогда все его вершины попарно симметричны и ось симметрии проходит через середины его двух сторон.
Определение. Серединной осью симметрии многоугольника назовем ось симметрии, проходящую через середины двух его сторон.
Пусть хотя бы одна из вершин многоугольника лежит на оси симметрии. Тогда стороны многоугольника, исходящие из этой вершины, симметричны, и ось симметрии содержит биссектрису угла многоугольника.
Определение. Биссекторной осью симметрии многоугольника назовем его ось симметрии, содержащую биссектрису, по крайней мере, одного из его углов.
Если только одна вершина многоугольника лежит на биссекторной оси симметрии, то остальные — попарно симметричны. Тогда биссекторная ось симметрии проходит через середину одной из сторон многоугольника.
Если две вершины многоугольника лежат на биссекторной оси симметрии, то остальные — попарно симметричны.
Если число вершин многоугольника четно, то он может иметь как бис-секторную, так и серединную оси симметрии; а если число вершин многоугольника не четно, то он может иметь только биссекторную ось симметрии (рис. 4).
Рис. 4. Оси симметрий многоугольников
Определение. Сторону, содержащую симметричные вершины многоугольника, назовем его основанием.
Из определения следует, что если многоугольник имеет два основания, то они параллельны, поскольку перпендикулярны одной прямой — оси симметрии.
Определение. Симметричные относительно оси стороны многоугольника назовем боковыми сторонами, а симметричные относительно оси углы — боковыми углами.
Из определения следует, что пары боковых сторон и пары боковых углов многоугольника равны.
Дальнейшие рассуждения о четырехугольниках и формулировки "пучка" полученных из классификации определений с использованием введенной терминологии упростились.
Пусть четырехугольник имеет, по крайней мере, одну ось симметрии. Тогда она может быть либо серединной, либо биссекторной.
Определение. Равнобедренной трапецией назовем четырехугольник, у которого есть хотя бы одна серединная ось симметрии.
Определение. Дельтоидом назовем четырехугольник, у которого есть хотя бы одна биссекторная ось симметрии.
Пусть четырехугольник имеет, по крайней мере, две оси симметрии. Тогда возможны три случая: обе оси серединные, обе оси биссекторные, одна ось серединная, а вторая — биссекторная.
Определение. Прямоугольником назовем четырехугольник, у которого есть хотя бы две серединные оси симметрии.
Определение. Ромбом назовем четырехугольник, у которого есть хотя бы две биссекторные оси симметрии.
Определение. Квадратом назовем четырехугольник, у которого есть, по крайней мере, две оси симметрии — серединная и биссекторная.
Далее перед школьниками были поставлены две задачи — построение цепочки теорем — следствий из введенных ими определений и задача классификации симметричных многоугольников. Для того чтобы справиться с первой задачей, школьники стремились как можно быстрее получить в качестве следствия условие классического определения и с облегчением отчитывались, что все остальные теоремы теперь доказываются так же, как в школьном учебнике. По всей видимости, у восьмиклассников еще не возникла потребность в строгом логическом построении геометрии. Задача классификации симметричных многоугольников показалась им намного интереснее. В результате школьниками было доказано, что существует только два типа симметричных пятиугольников — равнобедренный (имеющий по крайней мере одну ось симметрии) и правильный (имеющий по крайней мере две оси симметрии). В этом смысле пятиугольник оказался сходен с треугольником. Используя теорию групп, этот результат можно обобщить на многоугольник с простым числом вершин. Школьниками были также найдены все возможные симметричные шестиугольники (рис. 5) и введена соответствующая терминология:
1) трапециевидный (имеющий хотя бы одну серединную ось симметрии);
2) дельтоидный (имеющий хотя бы одну биссекторную ось симметрии);
со
I
к чМЛ-
) щ
I ' I V
Рис. 5. Симметричные шестиугольники
3) параллелограммный (имеющий, по крайней мере, центр симметрии);
4) равноугольный (имеющий хотя бы две серединные оси симметрии);
5) равносторонний (имеющий хотя бы две биссекторные оси симметрии);
6) ромбовидный (имеющий, по крайней мере, две перпендикулярные оси симметрии — серединную и биссекторную);
7) правильный (имеющий, по крайней мере, две неперпендикулярные оси симметрии — серединную и биссекторную).
На основе введенных школьниками понятий равностороннего и равноугольного шестиугольников были сформулированы задачи элементарной геометрии:
• доказать, что существует шестиугольник ABCDEF с равными сторонами, такой, что АА = АС = АЕ, АВ = ^ = АЕи АА ф АВ;
• доказать, что существует шестиугольник ABCDEF с равными углами, такой, что АВ = CD = EF, ВС = DE = ЕА и АВ ф ВС.
Эти задачи были предложены на олимпиаде студентов специальности "Математика" Северо-Восточного государственного университета. Все участники олимпиады, кроме одного (победителя олимпиады), пришли к выводу, что шестиугольников с равными сторонами (углами) и неравными углами (сторонами) не существует. Исследования школьников вызвали оживленный интерес у студентов. Классификации многоугольников по числу симметрий с применением теории групп были продолжены в одной из дипломных работ.
Непредсказуемость получаемых московскими и магаданскими школьниками результатов при одной и той же постановке задачи и их ярко выраженное эмоциональное переживание в процессе получения этих результатов позволяет говорить о том, что они осуществляли подлинно творческую деятельность. И тут надо вспомнить, что работа
ш
экспериментатора начиналась с поиска метода (основания классификации многоугольников), пользуясь которым восьмиклассники могли бы построить ориентировку третьего типа (сформулировать определения этих многоугольников). Три характеристики построенной школьниками ориентировочной основы действия: обобщенная, полная, составленная самостоятельно — позволяют отнести ее именно к третьему типу [8: 88]. Можно сказать и то, что была решена задача содержательного обобщения ("Содержательное обобщение осуществляется путем анализа некоторого целого с целью открытия его генетически исходного, существенного, всеобщего отношения как основы внутреннего единства этого целого" [9:119]). Эти две задачи не противоречат друг другу: «Понятие "содержательное обобщение" перекликается с понятием "полная и самостоятельно найденная ориентировочная основа действия", принятая в концепции П.Я. Гальперина» [10:189]. Еще Петра Яковлевича упрекали в том, что формирование действий и понятий по схеме полной ориентировочной основы действия «.обеспечивает только усвоение "готового знания" и не воспитывает "творческое мышление".» [11: 347]. На эти упреки он отвечал: "Воспитание творческого мышления составляет отдельную и особую задачу. Планомерное формирование умственных действий и понятий с заранее намеченными свойствами не только не мешает этой задаче, но и создает для нее наилучшие интеллектуальные предпосылки" [11: 349]. Результаты совместной творческой деятельности учащихся и экспериментатора, описанные в настоящей статье и полученные непосредственно после решения задачи построения ориентировки третьего типа, в частности, свидетельствуют о том, что резервы теории П.Я. Гальперина для создания предпосылок творческой деятельности учащихся еще далеко не исчерпаны.
Список литературы
1. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства// Формирование приемов математического мышления/ Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: Вентана-Граф, 1995. С. 120-155.
2. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М.: Прогресс, 1987. 336 с.
3. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М.: Академия, 2006. 288 с.
4. Спиноза Б. Об усовершенствовании разума: Сочинения. М.: Эксмо-Пресс, 1998. 864 с.
5. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Наука, 1969. 380 с.
6. Талызина Н.Ф. Методика составления обучающих программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. 47 с.
7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 классы. М.: Мнемозина, 2008. 376 с.
8. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 344 с.
9. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Академия, 2004. 288 с.
10. Давыдов В.В. Лекции по педагогической психологии. М.: Академия, 2006. 224 с.
11. Гальперин П.Я. Психология как объективная наука. М.: Изд-во психол.-соц. ин-та, 2003. 480 с.
WHERE DOES THE THIRD TYPE OF ORIENTATION LEAD?
T.Y. Veselyaeva
In this paper we propose a general method for the classification of polygons by number of symmetries. Using it, the school students get the opportunity to build an indicative framework of the third type of P. Galperin formulating their own definitions of different types of polygons. The paper describes the experience of the pilot work with eighth grade pupils, indicating, in particular, that the construction of orientations of the third type provide the prerequisites of student's creative activity.
Key words: third type of orientation, study research, elementary geometry, polygons classification.
Сведения об авторе
Веселяева Татьяна Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, профессор кафедры алгебры и геометрии Северо-Восточного государственного университета. Тел. 8-914-860-76-62; e-mail: tatyanaves@mail.ru
