CC BY
53
СРАВНЕНИЕ СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН 1 2 Белкин А.Э. , Бирюков Д.Р. Email: [email protected]
1Белкин Антон Эдуардович - студент магистратуры;
2Бирюков Данила Русланович - студент магистратуры, кафедра прикладной математики и информатики, Институт прикладной математики и компьютерных наук Тульский государственный университет, г. Тула
Аннотация: рассматриваются различные известные способы определения бесконечно малых и бесконечно больших величин - как пределов функций в классическом математическом анализе; как бесконечно удалённых точек расширенной числовой прямой; как дуальных чисел; как гипервещественных чисел. Сравниваются преимущества и недостатки данных способов с точки зрения замкнутости получаемых систем относительно основных арифметических операций и возможности работы с получаемыми числовыми системами. Подробно рассматривается способ получения поля гипервещественных чисел с помощью множества рациональных функций.
Ключевые слова: математический анализ, бесконечно малые, бесконечно большие, дуальные числа, гипервещественные числа, нестандартный анализ.
COMPARISON OF METHODS FOR DETERMINING INFINITELY SMALL AND INFINITELY LARGE QUANTITIES Belkin A-Е.1, Birukov D.R.2
1Belkin Anton Eduardovich - Graduate Student;
2Birukov Danila Ruslanovich - Graduate Student, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, INSTITUTE OF APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE TULA STATE UNIVERSITY, TULA
Abstract: various known methods for determining infinitely small and infinitely large quantities are considered: as limits of functions in classical mathematical analysis; as infinitely distant points of the extended numerical line; as dual numbers; as hyperreal numbers. The advantages and disadvantages of these methods are compared from the point of view of the closeness of the systems obtained with respect to the basic arithmetic operations and the possibility of working with the resulting numerical systems. The method of obtaining the field of hyper-real numbers using the set ofrational functions is considered in detail.
Keywords: mathematical analysis, infinitesimal, infinitely large, dual numbers, hyperreal numbers, nonstandard analysis.
УДК 510.8
Бесконечные величины в классическом анализе. Для краткости в данной статье, при упоминании одновременно бесконечно малых и бесконечно больших величин будем называть их просто бесконечными.
Бесконечные величины играют огромную роль в математике, так как они являются необходимым элементом для построения анализа. Понятия производной и интеграла немыслимы без определения бесконечно малых. Проблема состоит в определении бесконечных величин, существование которых противоречит аксиоме Архимеда, без которой немыслима теория вещественных чисел в нашем привычном понимании. По этой причине в классическом анализе бесконечные величины определяются как
функции или последовательности, стремящиеся к нулю (бесконечно малые) или к бесконечности со знаком или без знака (бесконечно большие) [ 1 ] . Данный подход требует определения такого понятия, как предел (функции или последовательности).
Именно предел позволяет определять большинство понятий математического анализа, не прибегая к бесконечным величинам напрямую. Другими словами, благодаря пределу можно всё ещё рассматривать вещественные числа, для которых выполняется аксиома Архимеда. Но, наряду с классическим математическим анализом, в математике известны непротиворечивые теории, в которых числовое множество включает как обыкновенные действительные числа, так и бесконечные элементы. Рассмотрим некоторые варианты построения таких теорий.
Расширенная числовая прямая. Пусть 1 - множество действительных чисел (числовая прямая). 1 определяется как непрерывное упорядоченное поле. То есть, оно снабжено операциями сложения и умножения (а также обратными им операциями -вычитания и деления, кроме деления на ноль) и отношением линейного порядка (которое согласовано с операциями поля). Также, обладает таким свойством, как непрерывность (отделимость).
Расширенной числовой прямой 1 называется множество R = RU {—да, + да }, где +да и — да - соответственно положительная и отрицательная бесконечности [ 1 ] . Множество 1 упорядочено, так как для вещественных чисел их естественный порядок сохраняется; для бесконечностей же верно: V а£1 : — да < а < + да.
Но при этом 1 не является полем, так как для бесконечных элементов определены не все операции. К примеру, неопределённостями являются выражениями вида (+да) — (+да) или Несмотря на это, расширенная числовая прямая используется в классическом математическом анализе, так как благодаря наличию бесконечно больших элементов + да и — да все особые разновидности предела сводятся к одному общетопологическому определению.
Дуальные числа. Алгебраическую систему, содержащую помимо вещественных чисел бесконечно малые, можно построить, используя частный случай гиперкомплексных чисел. Системой гиперкомплексных чисел называется конечномерная алгебра над полем вещественных чисел. Частными случаями гиперкомплексных чисел являются собственно комплексные числа (называемые также эллиптическими комплексными числами), двойные числа (гиперболические комплексные числа) и дуальные числа (параболические комплексные числа). Последние обладают свойствами, позволяющими рассматривать некоторые из дуальных чисел как бесконечно малые элементы . Множество дуальных чисел представляет собой , снабжённое операциями сложения и умножения. Пусть и (с, d) - дуальные числа. Тогда:
(a, b) + (с, d) = (а + c,b + d) (а, Ь) ■ (с, d) = (а ■ с, а ■ d + b ■ с)
Число представляет собой бесконечно малое число, обладающее
свойством . Каждое дуальное число представимо в виде .
Дуальные числа представляют собой кольцо, но не являются полем, так как содержат делители нуля (ими являются все бесконечно малые числа, то есть числа вида , где а 6 1).
Полезность дуальных чисел заключается в их тесной связи с производной функций. Пусть / : 1 -» 1 - аналитическая функция. Если её продолжить естественным образом на множество дуальных чисел, то производную функции в вещественной точке можно получить по формуле
_ /(х + е)-/(х)
Гипервещественные числа. Расширенная числовая прямая не содержит бесконечно малых величин и не замкнута относительно арифметических операций. Дуальные числа, напротив, являются кольцом, но не содержат бесконечно больших чисел. При этом существует расширение вещественных чисел, которое содержит как бесконечно большие, так и бесконечно малые числа, которое при этом является полем. Такое расширение не единственно, и все они носят название систем гипервещественных чисел. Их изучением занимается раздел математики, называемый нестандартным анализом [ 4] .
Существуют различные способы построения системы гипервещественных чисел. К примеру, можно дополнить множество действительных чисел 1 некоторым абстрактным элементом таким, что 1: ((а > 0) - (0 < Е < а) ) . То есть,
элемент положителен, но при этом меньше любого положительного вещественного числа (но не меньше любого положительного числа вообще). Можно доопределить операции сложения и умножения (а также отношение порядка) над вещественными числами и так, чтобы выполнялись аксиомы упорядоченного поля. Тогда каждый элемент полученного упорядоченного поля будет представлять собой рациональную дробь над «переменной» Е. Само упорядоченное поле будет множеством гипервещественных чисел. Элемент Е будет бесконечно малым числом, а Е " 1 -бесконечно большим.
Аналогичный результат можно получим, если изначально рассмотрим рациональные дроби сами по себе, не вводя новый абстрактный элемент. Можно выбрать в качестве операций сложения и умножения соответствующие естественно
- „ ,а , с ай+Ьс а с
определенные операции на множестве рациональных дробей (- + - = ^ , - ■ - = Множество рациональных дробей с данными операциями образует поле [ 3 ] , если отождествлять дроби - и - такие, что а й = Ъ с.
Ь й
Затем, введем отношение порядка. Выберем произвольный элемент х£1. Если р и <7 - рациональные дроби, рассматриваемые как функции, то
Если хЕ1: р < << <н> 3 у > 0 : Уа 6 (х,х + у) : р (а) < << (а)
Если Если
Оказывается, множество рациональных дробей с операциями сложения и умножения и определенным выше отношением порядка образует упорядоченное поле. Если отождествить каждую рациональную дробь вида -,аб1,Ъб 1\ { 0 } (то есть, рациональную функцию-константу) с вещественным числом -, то окажется, что
множество рациональных дробей, которое в дальнейшем будем обозначать , является системой гипервещественных чисел.
Бесконечно малыми числами оказываются рациональные дроби р такие, что . Бесконечно большими, соответственно, такие дроби , что И тж-¡р (х) = ± да.
Как дуальные, так и гипервещественные числа позволяют каждому вещественному числу поставить в соответствие множество (класс) чисел, бесконечно близких к
. В случае с гипервещественными числами такой класс называется монадой числа .
Таблица 1. Определение класса чисел К( а) , бесконечно близких к а 6 1
Дуальные числа Гипервещественные числа (определённые изложенным выше способом)
К(а) = {(а, Ь): Ь Е Е} К(а) = (г е ЯМ: Ит(г(х) - а) = о] х^х )
В следующей таблице сравниваются рассмотренные способы определения бесконечных величин:
Таблица 2. Сравнение способов определения бесконечно малых и бесконечно больших величин
Числовая система Преимущества Недостатки
Бесконечные величины как пределы функций и последовательностей Нет необходимости рассмотрения актуальных бесконечностей Для определения понятий математического анализа необходимо использование понятия предела.
Расширенная числовая прямая Расширенная числовая прямая отличается от множества действительных чисел наличием лишь 2 дополнительных точек. Расширенная числовая прямая не замкнута относительно арифметических операций и не содержит бесконечно малых величин.
Дуальные числа Дуальные числа -коммутативное кольцо, элементы которого можно описать просто как пары вещественных чисел. Дуальные числа содержат делители нуля и не содержат бесконечно больших величин.
Гипервещественные числа Гипервещественные числа образуют поле, содержащее как бесконечно большие, так и бесконечно малые элементы. Систему гипервещественных чисел существенно сложнее реализовать программно, чем множество дуальных чисел.
Заключение. Каждый способ определения бесконечных величин имеет свою область применения, свои преимущества и недостатки по сравнению с другими способами. С помощью использования таких величин как существующих (актуальных, а не потенциальных) объектов можно исследовать математический анализ с новой точки зрения, без использования понятия предела. Основным применением бесконечных элементов является упрощение формул математического анализа, к примеру, формулы производной.
Хотя гипервещественные числа программируются существенно сложнее дуальных, дальнейшее исследование их построения на основе рациональных функций позволит использовать данный тип функций в более широком классе математических задач.
Список литературы /References
1. Ильин В.А., Садовничий В.А. Математический анализ. Часть 1 // М.: Изд-во «Проспект», 2007. 660 с.
2. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы // М.: Изд-во «Наука», 1980. 400 с.
3. Бурбаки Н. Алгебра. Главы 4, 5, 6. Многочлены и поля. Упорядоченные группы // М.: Изд-во «Наука», 1965. 300 с.
4. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ. М.: Изд-во «Наука», 1987. 128 с.
